CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 5.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-217-221
Гиперболическая дзета-функция двумерных диагональных
1
унимодулярных решеток
А. П. Крылов, Н. М. Добровольский
Крылов Александр Петрович — аспирант, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: alek.krylov@gmail.com,
Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: dobrovol@tsput.ru
Аннотация
В работе изучаются свойства гиперболической дзета-функции диагональных двумерных унимодулярных решёток. Доказывается теорема об аналитическом продолжении этой функции.
Ключевые слова: гиперболическая дзета-функция решёток, метрическое пространство решёток, унимодулярные решётки, диагональные решетки, фундаментальные решётки.
Библиография: 4 название. Для цитирования:
А. П. Крылов, Н. М. Добровольский. Гиперболическая дзета-функция двумерных диагональных унимодулярных решёток // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 5, с. 217-221.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 5.
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-217-221
Hyperbolic zeta function of two-dimensional diagonal unimodular
l3ititlCGS
A. P. Krvlov, N. M. Dobrovolskv
Krylov Alexander Petrovich — postgraduate student, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula).
e-mail: alek.krylov@gmail.com
Dobrovol'skii Nikolai Mikhailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: dobrovol@tsput.ru,
1 Исследование выполнено в рамках госзадания № 073-03-2022-117/7 по теме «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике» .
2The study was carried out within the framework of state task No. 073-03-2022-117/7 on the topic "Number-theoretic methods in approximate analysis and their applications in mechanics and physics" .
Abstract
The paper studies the properties of the hyperbolic zeta function of diagonal two-dimensional unimodular lattices. A theorem on the analytic continuation of this function is proved.
Keywords: hyperbolic zeta function of lattices, metric lattice space, unimodular lattices, diagonal lattices, fundamental lattices.
Bibliography: 4 title. For citation:
A. P. Krvlov, N. M. Dobrovolskv, 2023, "Hyperbolic zeta function of two-dimensional diagonal unimodular lattices" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 217-221.
1. Введение
В работе [3] была доказана полнота метрического пространства двумерных диагональных унимодулярных решёток. Каждая двумерная диагональная унимодулярная решётка является декартовой решёткой, а, следовательно, гиперболическая дзета-функция этой решётки имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскасть (см. [1], [4]).
Цель нашей работы — изучить свойства аналитического продолжения гиперболической дзета-функции двумерных диагональных унимодулярных решёток в левой полуплоскости.
2. Дзета-функция диагональных унимодулярных решёток
Диагональные решётки — самый простой класс решёток. Они получаются растяжением по координатам фундаментальной двумерной решётки 22: Л(^1, (12) = {^1т\, Ш2)|Ш1, т,2 € 2}, {(к, д,2 > 0)
Диагональная унимодулярная решётка Л(^) = Л {(!, й> 0. Она имеет простой базис А1 = (й, 0) Л2 = (0, и базисную матрицу М вида
мм=(0 0).
Взаимная решётка Л*(й) = Л , имеет взаимную базисную матрицу
м*№=(00).
Поэтому, без ограничения общности, будем считать, что всегда в этой работе й ^ 1, так как взаимная решётка будет симметричной к ней диагональная решётка с параметром ^ ^ 1.
В работе [3] доказана лемма о растояниях (определение метрики на пространстве решёток см. [2], стр.165).
Лемма 1. Пусть й1 ^ й2, тогда р(Л(ё1), Л(й2)) ^ 1п ^ - 1^. Доказательство. См. [3]. □
Лемма 2. Пусть й1 ^ <12, Л(й{) = А ■ Л(й2) и ||А - Е21| ^ 5 < 1, тогда й1 - й2 = й261, где 0 < ¿1 < 2.
Доказательство. См. [3]. □
Гиперболическая дзета-функция диагональной унимодулярной решётки Л(^) = Л (й, имеет вид:
те ^ 2 4
(н(.Щ^а') = ^ + 1=а + _а (а = а +а> Х)
т=1 ат т=1 3т т,п= 1 • 3П
Нетрудно видеть, что (н(Л(^)|а) = (н(Л*(^\а) = (н (Л | а). Пользуясь тем, что й ^ 1, и вводя обозначение
№|а) = Е I1 —(¡V) = £ 0-£)•
получим
Сн (Л(ф|а) = 2С (а) ( ^ + + 2/(ф) + 4( 2(а) + 4( (а)/(ф). (1)
3. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток на пространстве диагональных унимодулярных решёток
Как было отмечено во введении, диагональная унимодулярная решётка является декартовой и поэтому имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость за исключением точки а = 1, где у неё полюс второго порядка.
Для дальнейшего нам потребуется функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
2Г(1 — а) жа
С,(а) = М(а)((1 — а), М(а) = -._— 8т —— множитель Римана, а = а + И, а < 0.
(2^)1 а 2
Здесь Г(ж) — гамма функция Эйлера.
Лемма 3. Для гиперболической дзета-функции диагональной унимодулярной решётки справедливо функциональное уравнение
(н(ЛЩа) = 2М(а)С(1 — а) (± + д^ + 2/(<Ца) + 4 (М(а)((1 — а))2 + 4М(а)((1 — а)/(<Ца)
при а = а + И, а < 0.
Доказательство. Действительно, функция /(сЦа) является аналитической на всей комплексной плоскости, поэтому, подставляя в выражение для гиперболической дзета-функции
диагональной унимодулярной решётки функциональное уравнение для дзета-функции Рима-
□
Теорема 1. Для любой диагональной унимодулярной решётки Л(й) (й ^ 1) гиперболическая дзета-функция (н(Л(^)|а) является аналитической функцией на всей комплексной плоскости кром,е точки а = 1; в которой у неё полюс второго порядка, с вы,чет,ом,
И^Ся(Л(ф|а)=2( 1 + Л +87 + 4 ^ Л — -V
Доказательство. Как известно, дзета-функция Римана мероморфна с единственным полюсом первого порядка при а = 1 и раскладывается в ряд Лорана в точке а = 1
оо
1 , ^ ,
п=0
где
- lim íYv (1пк)Л (ln щ)п+Л
7п = ^ ^Z-j к у п + 1 у
— константы Стилтьеса, а 70 = 7 — константа Эйлера.
Таким образом, для дзета-функции Римана справедливо равенство
С(а) = —^т+7 + г(а)•
а — 1
где
те те
г(а) = ^ 7п(1 — а)п = (а — 1)п(а), п(а) = — ^ 7п(1 — а)п-1 п. п-п=1 п=1
и функции г (а) и Г\(а) — голоморфные функции на всей комплексной области. Отсюда следует, что
1 27
с2( а) = -.-TV2 +-+ 2 П(а) + (7 + г (а))2, Res^2(а) = 27.
(а — 1)2 а — 1
Так как все функции, стоящие в правой части равенства (1) являются либо голоморфными,
а = 1
а = 1
Для вычета в этой точке имеем равенство
Resi(н(Л( d)|а)=2( 1 + d} +87 + 4 ^ Л — ^
и теорема полностью доказана. □
Теорема 2. На, метрическом пространстве двумерных диагональных унимодулярных решёток гиперболическая дзета-функция (н(Л(d)^) и её вычет, в точке а = 1 являются
d
Доказательство. Так как (н(Л^)|а) = (н(Л*^)1а) = (н (Л Q) | а), то при 0 < d < 1 необходимо положить f(d|а) = f (d | а), тогда равенство (1) будет справедливо для любого d> 0
Все функции, стоящие в правой части равенства (1) являются непрерывными функциями d d > 0 d Аналогично, имеем
Resi(н(ЛЩа) = 2 Q + ^ +87 + 4/(d|1), а =
Так как метрическое пространство двумерных диагональных унимодулярных решёток го-меоморфно пространству R+ = (0, то), то теорема полностью доказана. □
4. Заключение
Из доказанных теорем возникает вопрос о справедливости их на пространстве всех диагональных решёток. Ответ на этот вопрос будет темой нашей следующей работы.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4-107.
2. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с.
3. А. П. Крылов, Н. М. Добровольский. Метрическое пространство двумерных диагональных унимодулярных решёток // Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. 2022. Вып. 1, С. 37-41.
4. Dobrovolskava L. P., Dobrovolskv М. N., Dobrovol'skii N. \!.. Dobrovolskv N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices // Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23-62. doi: 10.1007/978-3-319-03146-0^2.
REFERENCES
1. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skii, M. N., Dobrovol'skii, N. M. к Dobrovol'skii, N. N. 2012, "The hyperbolic Zeta function of grids and lattices, and calculation of optimal coefficients", Chebyshevskii sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4—107.
2. Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometrivu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, (Russia).
3. Krvlov, A. P., Dobrovolskv, N. M. 2022, "Metric space of two-dimensional diagonal unimodular lattices", Notes of scientific seminars of the Tula School of Number Theory, Iss. 1, pp. 37-41.
4. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skii, M. N., Dobrovol'skii, N. M. к Dobrovol'skii, N. N. 2014, "On Hyperbolic Zeta Function of Lattices", Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, vol. 211, pp. 23-62.
Получено: 28.07.2023 Принято в печать: 21.12.2023
