CC BY
28УДК 531.72:004
ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ИЗВИЛИСТЫХ КАНАЛОВ
Д. Е. Игошин1'2, Н. А. Хромова1
'Тюменский филиал Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН,
2Тюменский государственный университет igoshinde@gmail. com khromova.n. a@gmail. com
К основным параметрам пористой среды, определяющим ее фильтрационно-емкостные свойства, относятся пористость и проницаемость. Однако проницаемость зависит не только от пористости, но и от структуры пористой среды. Извилистость каналов является одним из тех параметров, которые определяют структуру порового пространства. В работе рассмотрены тонкие каналы круглого сечения двух типов: с направляющей, составленной из дуг окружностей, и направляющей в виде синусоиды. Исследовано влияние извилистости каналов пористой среды на их гидравлическое сопротивление при ламинарном течении в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Геометрия задачи и расчетная сетка были построены в SALOME. По результатам прямого гидродинамического моделирования, проведенного в пакете OpenFOAM, найден объемный расход флюида через поперечное сечение канала, с использованием которого вычислен коэффициент гидравлического сопротивления.
Ключевые слова: вычислительная гидродинамика, извилистость, коэффициент гидравлического сопротивления, OpenFOAM.
HYDRAULIC RESISTANCE OF TORTUOUS CHANNELS D. E. Igoshin1'2' N. A. Khromova1
'Tyumen Branch, Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch, RAS
2Tyumen State University igoshinde@smail.com khromova.n.a@gmail.com
The main parameters of porous medium that determine its filtering properties are porosity and permeability. Still, permeability depends not only on porosity, but also on the porous medium structure. The canal tortuousness is one of the parameters defining the porous space structure. The present paper studies the effect of channel tortuosity on hydraulic resistance coefficient in laminar flow. It discusses circular cross-section thin channels of two types: with a trajectory composed of circular arcs, and a sine wave trajectory. The research considers the effect of the tortuous canals in porous medium on hydraulic resistance in laminar flow for a wide range of Reynolds numbers. The geometry and the computational grid have been developed with SALOME. The results of direct flow simulation with OpenFOAM package have led to finding the fluid volume flow rate through the cross section of the channel, and to estimate the hydraulic resistance coefficient.
Keywords: computational fluid dynamics, tortuosity, hydraulic resistance coefficient, OpenFOAM.
Введение
Проницаемость пористой среды зависит не только от пористости и размера пор, но и от структуры порового пространства. Извилистость каналов является одним из тех параметров, которые определяют структуру порового пространства. Изучению влияния извилистости на свойства пористой среды посвящено большое количество работ. В [1] построена единая модель абсолютной, эффективной и фазовой проницаемости (по нефти, газу и воде) продуктивных пород с межгранулярной пористостью. Модель позволяет получать хорошие результаты для терригенных и карбонатных пород межгранулярного типа,
включает только физические свойства горных пород и не включает эмпирических параметров. В [2] предложен уточненный вариант формальной капиллярной модели полишаровой среды — со скошенными в пределах ячеек порами-трубками. Получены выражения для их диаметра и коэффициента извилистости в каждой из пяти возможных ячеек, а также соответствующее обобщающее выражение. На основании модели пересекающихся сфер в [3] разработан метод расчета плотности упаковки и степени срощенности частиц, коэффициента извилистости и радиусов пор, характеризующих строение пористой структуры ПВХ, полученной как в процессе полимеризации, так и при спекании частиц. В [4] проведен тест со ступенчатым снижением расхода с последующим построением кривой зависимости давления от скорости закачки жидкости (Step Down Test), позволяющий определить и классифицировать наличие потерь давления на трение в призабойной зоне скважины. На основе теории обобщенной проводимости и капиллярной теории в [5] получена формула для определения коэффициента извилистости. В [6] предложена формула для расчета коэффициента проницаемости, зависящая от формы слагающих пористую среду частиц. В качестве примеров вычислены коэффициенты проницаемости пористых сред, образованных частицами простых геометрических форм. В [7] учитываются потери давления вследствие извилистости капилляра, непостоянства размеров поровых каналов, пересечения капилляров и их расширения. В [8] Предложена фильтрационная модель протекания через пористую среду, представляющую собой фрактальный объект. Приведены методики определения фрактальных размерностей извилистости и пористости среды. На основе анализа результатов лабораторных экспериментов по фильтрации полимерного раствора (ксантан) через образцы различных песчаников [9] введено эмпирическое соотношение, учитывающее два механизма: увеличение извилистости каналов течения и уменьшение пористости. В [10] предлагается применять новый закон фильтрации, названный авторами обобщенным законом Форхгеймера, в котором извилистость учитывается наряду с другими параметрами пористой среды. В [11] представлены результаты дисперсионного факторного анализа при разграничении карбонатных пород по структуре порового пространства. В качестве результативных признаков использовались радиус поровых каналов и их извилистость. С использованием модели пересекающихся сфер [12] показан метод расчета коэффициента извилистости пор для пористых материалов, образованных при спекании сферических частиц. Установлено определяющее влияние на коэффициент извилистости пор степени срощенности частиц и плотности их упаковки. В [13] показано, что при переходе от гидравлического радиуса идеальной модели к гидравлическому радиусу капиллярно-пористого материала необходимо учитывать извилистость капилляров и эффект их сужения (расширения). В [14] дается аппроксимации извилистости трещин кусочно-линейными функциями и их моделирование методом срединных смещений. Управляющим параметром модели является фрактальная размерность траектории трещин (показатель Гельдера).
В предлагаемой работе исследовано влияние извилистости каналов пористой среды на их гидравлическое сопротивление при ламинарном течении в широком диапазоне чисел Рейнольдса.
Геометрия задачи
Рассмотрим канал круглого сечения, образованный движением окружности радиуса r вдоль кривой, заданной выражением:
2nz
f(z) = A cos——, 0 <z<L, г «А.
L
Плоскость окружности всегда перпендикулярна направляющей. Назовем такой канал каналом первого типа (рис. 1а).
Также рассмотрим канал, образованный движением окружности радиуса r вдоль кривой, состоящей из дуг окружностей радиуса R:
L п
4sin9 2
Назовем такой канал каналом второго типа (рис. 1 б).
Рис. 1. Канал первого (при А = 0,4) (а) и второго (при ф = п/3) (б) типа
Длины направляющих для каналов первого и второго типа соответственно [15]:
ь
= | ^Т+Гч^й!,
0
Ф
= 2пИ = 4Яф.
2п
Извилистостью а [166] назовем отношение длины направляющей Ь*к длине Ь отрезка, соединяющего вход и выход канала:
а = г
На рис. 2 показана зависимость извилистости от параметра А для канала первого типа и от угла ср для канала второго типа.
Рис. 2. Извилистость для каналов первого (I) и второго (II) типа Кривизна направляющей для канала первого типа [17]:
. г2п\2 2п • г\ А (—) cos ■
к(2) =
\№"\ ГШ
(V!+7^ Щ2)
ь
средняя кривизна по длине канала
=1( и)
к(г)йг.
Поскольку направляющая канала второго типа составлена из дуг окружностей одинакового радиуса, она имеет постоянную кривизну. Для канала второго типа средняя кривизна
_ 1 к=И'
Введем безразмерную среднюю кривизну канала:
к = кЬ.
На рис. 3 показана зависимость безразмерной средней кривизны направляющей от параметра А для канала первого типа и от угла ф для канала второго типа. Зависимость безразмерной средней кривизны направляющей канала первого типа от параметра А имеет экстремум, поскольку при больших А большая часть длины канала приходится на участки, близкие к прямым, и с ростом А их доля возрастает, что ведет к уменьшению безразмерной средней кривизны. Для канала второго типа безразмерная средняя кривизна монотонно растет с увеличением угла (р.
Рис. 3. Безразмерная средняя по длине канала кривизна направляющей для каналов первого (а) и второго (б) типа
Основные уравнения
Течение несжимаемой вязкой жидкости в канале описывается системой уравнений Навье-Стокса
иV 1
— + (у У)у = уАУ — Ур, V • V = 0,
р г
(1)
в стационарной постановке с граничными условиями, соответствующими прилипанию на стенке и заданному давлению на входе и выходе
вход
йп
йп
р р
Рь P2,
(2)
выход
стенка V = 0,
Решив систему (1) - (2), найдем объемный расход через поперечное сечение рассмотренных каналов.
йп
0
Численная реализация
Геометрия задачи и расчетная сетка построены в пакете SALOME. Для каналов использована сетка с элементарными объемами в виде гексаэдров. Расчеты проведены в пакете OpenFOAM [18, 19]. Для OpenFOAM были применены те же настройки, что и для тестовой задачи о течении Пуазейля [20].
В расчетах были использованы следующие параметры: длина прямого канала L = 10-3 м, радиус образующей окружности r = 10-2L = 10-5 м, плотность флюида р = 103 кг/м3, коэффициент динамической вязкости флюида / = 10-3 Па с. Система (1) - (2) решена численно для перепада давления hpp Е [2; 2 • 106] Па, параметра A: 0 < А < 0.5 и угла ф Е
I—;-|, ф; = — • i, i = 1,30.
160 2\ 60
Анализ результатов
Поскольку граничные условия на входе и выходе заданы через перепад давления, то удобно ввести безразмерный критерий, зависящий от перепада давления, аналогичный числу Рейнольдса. По определению число Рейнольдса
_ pvD _ vD _ 2vr , -
| V V '
где р — плотность жидкости, и — характерная скорость, D — диаметр канала, / — динамическая вязкость жидкости, v — кинематическая вязкость жидкости. Используя для (3) определение средней скорости течения, имеем:
„ 2rQ 2Qr 2Q
Re = — = = —. (4)
vS vnr2 vnr
Аналог числа Рейнольдса Re* получим, подставив в (4) выражение для объемного расхода флюида при течении Пуазейля [21] через канал длиной L*:
_ пг4Ар 2 г3Ар
Re* ----- —:-. (5)
8iL* vnr 4v2L*p
Определим безразмерный перепад давления через (5) с учетом определения извилистости и физической толщины L слоя пористого материала:
p = bRe* = aRe*=4VhLp. (6)
На рис. 4 в виде изолиний показана зависимость числа Рейнольдса от безразмерного перепада давления и извилистости канала.
Рис. 4. Число Рейнольдса для каналов первого (а) и второго (б) типа
Объемный расход в рассмотренных каналах несколько меньше, чем в прямых каналах длиной Ь. Введем безразмерный объемный расход, приведенный к величине расхода Qp при течении Пуазейля через прямой канал длиной Ь:
С 8^ ()= — = .
Qp пг4Ар
Безразмерный объемный расход, приведенный к длине направляющей канала Ь* определим следующим образом:
На рис. 5 в виде изолиний показана зависимость безразмерного объемного расхода , приведенного к слою среды Ь от безразмерного перепада давления р и извилистости а канала. Видно, что при фиксированной извилистости с увеличением р уменьшается . Связано это с тем, что при больших значениях р динамический напор течения выше, а, значит, выше инерционная составляющая силы сопротивления при движении по криволинейным траекториям. При фиксированном значении р с ростом извилистости снижается (3.
Рис. 5. Безразмерный объемный расход, приведенный к слою среды в зависимости от безразмерного перепада давления и извилистости для каналов первого (а) и второго (б) типа На рис. 6 в виде изолиний показана зависимость безразмерного объемного расхода Q*, приведенного к длине направляющей канала Ь* от безразмерного перепада давления р и извилистости канала а. Видно, что при фиксированной извилистости с ростом величины р так же как и на рис. 5 Q* уменьшается. При фиксированном значении р с увеличением извилистости а для канала первого типа Q* сначала уменьшается (участок СВ), а затем увеличивается (участок ВА). Это связано с немонотонной зависимостью средней кривизны от извилистости (рис. 3а). Для канала второго типа Q* сначала уменьшается, а затем (с а « 1,1) практически не меняется.
Рис. 6. Безразмерный объемный расход, приведенный к длине направляющей канала в зависимости от безразмерного перепада давления и извилистости для каналов первого (а) и второго (б) типа
В гидравлике характеристикой гидравлического сопротивления является коэффициент сопротивления трубы X [22]. Введем его для рассматриваемых каналов на основе формулы Дарси-Вейсбаха:
1 1 4
А
откуда с учетом длины направляющей канала получим выражение для коэффициента гидравлического сопротивления:
Я = ^ (7)
Применив к (7) определение средней скорости и Б = пг2, получим:
д _ 2АрйБ2 _ 2Ар2т2г4 _ 4п2Арг5
= рь*(}2 = рь*(2 = рь*(}2 ' Численную оценку коэффициента гидравлического сопротивления обозначим Япит, где Q — объемный расход флюида через поперечное сечение канала, полученный численно. Аналитическую оценку коэффициента гидравлического сопротивления Яр найдем, используя значение объемного расхода для течения Пуазейля:
4п2Арг5 4п2Арг5 • 64ц2Ь2* 256ц2Ь*
1гАргъ 4п2Арг5 ■ 6\\12\Л 256ц2ь* р рЬ^р рЬ* • п2г8Ар2 рг3Ар
Приведенный коэффициент сопротивления определим как:
Д _ Лпит _ 4п2Арг5 рг3Ар _ п2Ар2г8 _ /пг4Ар\ _ /_1_\2
= Хр = рЬ*(2 256ц2 Ь* = 64ц2ь2(2 = \8цЬ*() = \((*) . ( )
На рис. 7 в виде изолиний показана зависимость коэффициента сопротивления канала X от безразмерного перепада давления р и извилистости канала а. Видно, что при фиксированной извилистости с увеличением р коэффициент сопротивления канала уменьшается, поскольку инерционные силы начинают преобладать над вязкими. При фиксированном значении р с увеличением извилистости коэффициент сопротивления канала также увеличивается, поскольку уменьшается число Рейнольдса (рис. 4). При больших перепадах давления с увеличением извилистости коэффициент сопротивления возрастает быстрее.
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500р 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500р Рис. 7. Коэффициент сопротивления канала в зависимости от безразмерного перепада давления и извилистости для каналов первого (а) и второго (б) типа
На рис. 8 в виде изолиний показана зависимость приведенного коэффициента сопротивления канала А от безразмерного перепада давления р и извилистости канала а. Поскольку в силу (8) приведенный коэффициент сопротивления А имеет обратную квадратичную зависимость от безразмерного объемного расхода Q*, то он будет увеличиваться с ростом р. Для каналов первого типа наибольшее значение А « 1,5 достигается при значении извилистости а « 1,1 и р = 500. Для каналов второго типа наибольшее значение А « 1,6 достигается при значении извилистости 1,1<а<1,5 и р = 500.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 р 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500р Рис. 8. Приведенный коэффициент сопротивления канала в зависимости от безразмерного перепада давления и извилистости для каналов первого (а) и второго (б) типа
В моделях пористых сред [23, 24] поровые каналы имеют прямую центральную линию, поэтому аналитические оценки проницаемости для них, полученные в [25], хорошо согласуются с результатами численного моделирования [20]. Однако относительное отклонение значения коэффициента сопротивления прямого канала от такового для прямого канала в области рассмотренных параметров может достигать полутора раз. Результаты выполненной работы будут использованы для уточнения аналитической оценки
проницаемости для модельных пористых сред, образованных извилистыми каналами [26, 27].
Заключение
В работе рассмотрены тонкие каналы круглого сечения двух типов: с направляющей, составленной из дуг окружностей, и направляющей в виде синусоиды. Исследовано влияние извилистости каналов пористой среды на их гидравлическое сопротивление при ламинарном течении в широком диапазоне чисел Рейнольдса. По результатам прямого гидродинамического моделирования найден объемный расход жидкости через поперечное сечение канала, с использованием которого вычислен коэффициент гидравлического сопротивления. Показано, что на коэффициент сопротивления канала влияет не только его извилистость и перепад давления, но и средняя кривизна канала.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-29-15119.
Литература
1. Элланский М. М. Единая теоретическая модель проницаемости продуктивных отложений с межгранулярным типом пустот // Геофизика. - 2001. - № 6. - С. 28 - 37.
2. Сандуляк А. В., Сандуляк А. А., Ершова В. А. Извилистые поры-«трубки» полишаровой среды // Химическая промышленность сегодня. - 2006. - № 8. - С. 44 - 47.
3. Гуткович С. А., Миронов А. А. Расчет коэффициента извилистости пор // Технологии нефти и газа. - 2007. - № 2 (49). - С. 36-37.
4. Ханжина В.Е. Применение Step-down Test для выявления причин и оценки потерь давления на трение // Нефть. Газ. Новации. - 2011. - № 1 (144). - С. 42-46.
5. Никитин В.И., Кофанов В.А. Определение коэффициента извилистости капилляров строительных материалов при расчете влагопереноса // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия F: Строительство. Прикладные науки. - 2012. -№ 8. - С. 57-62.
6. Бушланов В.П., Сентякова Е.Н., Бушланов И.В. О топологической зависимости коэффициента проницаемости в законе фильтрации Дарси // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Морская техника и технология. -2012. - № 1. - С. 94-102.
7. Сираев Р.Р. Фильтрация жидкости в неоднородной пористой среде // Фундаментальные исследования. - 2013. - № 11-3. - С. 451-455.
8. Измеров М.А., Тихомиров В.П. Фильтрационная модель протекания через фрактальную пористую среду // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. -2014. - № 3 (305). - С. 7-14.
9. Михайлов Д.Н., Бочков Д.С. Моделирование динамики изменения коллекторских свойств породы пласта при проникновении полимерных растворов // Вестник ЦКР Роснедра. - 2015. - № 4. - С. 26-32.
10. Толпаев В. А., Гоголева С. А. Математические модели притока газа к скважине для фильтрации, подчиняющейся обобщенному закону Форхгеймера // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. Труды Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика Г. И. Марчука. -Новосибирск: Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 2015. - С. 777-781.
11. Некрасов А.С. Результаты дисперсионного факторного анализа при оценке достоверности структуры порового пространства карбонатных пород-коллекторов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Геология. Нефтегазовое и горное дело. - 2015. - № 16. - С. 25-34.
12. Гуткович С.А. Коэффициент извилистости в пористых материалах // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2015. - № 3. - С. 293-295.
13. Гурьев В.В., Никитин В.И., Кофанов В.А. Определение гидравлического радиуса пористой структуры керамических материалов // Стекло и керамика. - 2016. - № 7. - С. 25-34.
14. Латышев О.Г., Прищепа Д.В., Франц В.В. Статистическое моделирование природных трещин // Известия высших учебных заведений. Горный журнал. - 2016. - № 5. - С. 3845.
15. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1974. - Т. 1. - 479 с.
16. Пыхачев Г. Б., Исаев Р. Г. Подземная гидравлика. - М.: Недра, 1973. - 360 с.
17. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1974. - 176 с.
18. OpenFOAM User Guide, version 2.2.1. http://www.openfoam.org/docs/user/ (дата обращения: 01.03.2016).
19. Unoffcial openFOAM wiki. http://openfoamwiki.net/index.php/Main_Page (дата обращения: 01.03.2016).
20. Игошин Д. Е., Сабуров Р. С. Численное исследование зависимости проницаемости от пористой среды, образованной каналами регулярной структуры // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. - 2015. - Том 1. № 1 (1). - С. 84 - 90.
21. Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. - 244 с.
22. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.
23. Игошин Д. Е., Никонова О. А., Мостовой П. Я. Моделирование пористой среды регулярными упаковками пересекающихся сфер // Вестник Тюменского государственного университета. Серия «Физико-математические науки. Информатика». -2014. - №7. - С. 34 - 42.
24. Игошин Д. Е., Хромова Н. А. Основные фильтрационные свойства пористой среды, образованной сообщающимися осесимметричными каналами // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. - 2015. - Том 1. № 4 (4). - С. 69 - 79.
25. Игошин Д. Е., Максимов А. Ю. Численные и аналитические оценки проницаемости пористой среды, образованной каналами, имеющими вращательную симметрию // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. - 2015. - Том 1. № 3 (3). - С. 112 - 121.
26. Игошин Д. Е., Никонова О. А. Проницаемость пористой среды периодической структуры с разветвляющимися каналами // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. - 2015. - Том 1. № 2 (2). - С. 131 - 141.
27. Игошин Д. Е. Численное определение проницаемости в среде периодической структуры, образованной разветвляющимися каналами // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. - 2015. - № 12. - С. 30 - 33.
