CC BY
41GERT-сетевой анализ производственных процессов
Антамошкина Е.А. (пп [email protected])(1), Дегтерев А.С.(2), Ерыгин Ю.В.(1)
(1)Сибирский государственный аэрокосмический университет, (2)ФГУП ЦКБ «Геофизика»
Ранее нами рассматривались оптимизационные модели производственных процессов в детерминированной постановке (в [1] - оптимизации производственной программы, в [2] - оптимизации инновационной программы). Однако в реальности на реализацию производственных процессов влияют многие случайные факторы, основными из которых являются финансовые поступления и изменение конъюнктуры рынка.
Использование стохастического описания реализации производственных процессов позволяет решать задачу нахождения математического ожидания и стандартного отклонения директивного времени на их реализацию в условиях неопределенности. Для сложного производственного или технологического процесса директивное время рассматривается как случайная величина, описываемая подходящей функцией распределения с конечным математическим ожиданием и дисперсией [3]. Для получения дисперсионных оценок необходимы некоторые предположения, касающиеся стохастических характеристик каждого элемента производственной структуры в стандартных и, если необходимо, аварийных условиях.
Согласно [4], узлы стохастической сети могут быть интерпретированы как состояния процесса, а дуги - как переходы из одного состояния в другое. Такие переходы можно рассматривать как реализацию обобщенных операций производства, характеризуемых плотностью распределения, или функцией массы, и вероятностью выполнения. Таким образом, получается стохастическое графовое представление производственных процессов, где узлы являются входом и выходом для операций. Дуги характеризуют время выполнения реальной производственной операции.
Каждый внутренний узел стохастической сети выполняет две функции, одна из которых касается входа в узел, а другая - выхода. Обычно эти функции называют входной и выходной. В [4] определен следующий тип входной функции: узел выполняется, если выполнена дуга, входящая в него, при условии, что в заданный момент времени может выполняться только одна дуга.
Для выхода там же определены два типа выходной функции: детерминированный выход и вероятностный выход. Для детерминированной выходной функции характерна ситуация, когда все дуги, выходящие из узла, выполняются, если этот узел выполнен. Для вероятностной выходной функции -ровно одна дуга, выходящая из узла, выполняется, если узел выполнен. Выбор такой дуги может быть описан с помощью функции распределения вероятностей.
Процедура, предлагаемая для анализа вероятностных характеристик процесса реализации производственных операций, базируется на стохастических сетях типа GERT (Graphical Evaluation and Review Technique) [5] и совмещает теорию потоков в графах, функции генерации момента и PERT - анализ [4] для получения результата. Можно установить следующие соотношения между сетями PERT-типа, графами с потоками и стохастическими сетями.
1. Сети PERT-типа соответствуют стохастическим GERT-сетям, в которых все узлы являются детерминированными "И"-узлами (And - Deterministic).
2. Графы с потоками соответствуют стохастическим сетям с простым мультипликативным параметром (все аддитивные параметры, такие как время, установлены равными нулю). Вероятностная интерпретация для мультипликативного параметра исключена из рассмотрения.
Рассмотрим реализацию производственного процесса (программы), заданную сетью G=(N, A), которая содержит только GERT-узлы, образующие множество N. Пусть время выполнения операции (i, j) (для стохастической интерпретации реализации) есть случайная величина Н.. По определению (i, j) может быть
выполнена только в том случае, если выполнен узел i. Поэтому для изучения вопросов, связанных с выполнением этой операции, необходимо знать условную вероятность (в дискретном случае) случайной величины Hij при условии, что узел i
выполнен. Это, в свою очередь, позволит нам провести исследования, связанные с выполнением всей сети. В частности, можно определить моменты распределения времени выполнения сети, с помощью которых будут вычислены математическое ожидание и дисперсия времени выполнения сети.
В [4] описаны некоторые наиболее важные функции распределения и указаны соответствующие производящие функции моментов и первые (математические ожидания) и вторые центральные моменты.
Пусть p. - вероятность того, что операция (i, j) будет выполнена при условии,
что узел i выполнен. Для случайной величины H. определим W-функцию как W. (s) = pг]Мij (s), где Mj - условная производящая функция моментов случайной величины H. [4].
С помощью этого преобразования всегда можно определить сеть G', структура которой идентична структуре сети G, только вместо двух параметров дуг p. и Н.
присутствует один параметр W. .
Согласно системе GERT-моделей можно включить в описание в качестве параметра дуги время выполнения соответствующей операции производственного процесса. Однако в действительности можно рассматривать любой характерный параметр, обладающий аддитивностью по дугам любого пути. Если времена выполнения сети G представляются независимыми случайными величинами, то для G' справедливы правила эквивалентности (с вычислительной точки зрения):
а) для случая, когда G' состоит из двух последовательных дуг;
б) G' - из двух параллельных ветвей;
в) G' - из одной ветви и одной петли.
Перечислим основные этапы решения поставленных задач моделирования посредством стохастических сетей типа GERT.
1. Перевести качественное описание рассматриваемых производственных процессов в GERT-сетевую модель.
2. Собрать необходимые структурные данные для описания связей в GERT-сети (включая характеристики операций).
3. Применить топологическое уравнение для определения эквивалентной функции (или функций) GERT-сети.
4. Вычислить через эквивалентную функцию две следующие характеристики функционирования сети:
- вероятность выполнения конкретного узла;
- функции генерации момента для времени, связанного с узлом, если он выполняется.
5. Сделать выводы относительно реализации производственных процессов на основе информации, полученной в пункте 4.
В нашем случае важно рассмотреть подход к минимизации времени и максимизации прибыли при анализе реализуемости с учетом стохастической реализации производственного процесса. Первоначально рассмотрим простой ациклический детерминированный процесс, который имеет "GERT-подобную узловую логику" [6]. Такую модель будем называть сетью для планирования. Термин "планирование/решение" показывает, что осуществляется процесс выбора, т.е. принимается решение о том, какие операции должны быть выполнены для оптимизации некоторой целевой функции. Это приводит к задаче комбинаторной оптимизации, частным случаем которой является, например, "decision CMP" - метод критического пути для случая, когда присутствуют только узлы двух типов AND и OR [7].
Для учета вероятностных характеристик реализации вводится понятие случайных акций и рассматривается возможность многоразовой последовательной реализации до момента успешного завершения.
Пусть N - ациклическая сетевая модель с источниками и стоками (действия, соответствующие операциям процесса, представляются дугами), где множество узлов обозначается V, а множество дуг - E. Предположим, что N имеет только один исток, который обозначается через r и соответствует началу рассматриваемого процесса. Предполагается также, что один из стоков N представляет собой успешное завершение и обозначается s. Оставшиеся стоки, если они есть, могут представлять собой различные виды неудачного завершения или прерывания. Будем использовать следующие Определения, введенные в [8].
Определение (1) Ациклическую сетевую модель - N(V,E) только с одним истоком и со стоками назовем сетью для планирования/решения, если каждый узел i из N определен через входную характеристику X-g 0,1,..., |p(i) и выходную
характеристику X+ g 0,1,...,\S(i), где множество узлов обозначается V, а множество
дуг - E; |Д0|, |S(i)| - мощность множества предшественников и последователей узлов I
соответственно. Эти характеристики, формирующие узловую логику, имеют следующие значения:
(1а) - узел активируется сразу же, как только входные действия X-
завершаются;
(1б) - как только узел I активирован, то не более Х+ выходных действий начинает выполняться, если узел I не активируется, то ни одно выходное действие не выполняется.
Иногда уместно заменить термин "не более" на "точно". Два условия из Определения (1) подразумевают, что каждое действие выполняется сразу, как только это становится возможно.
Для источника г полагаем X-= 0, т.е. он всегда активирован. Кроме того, Х+ = 0 для I е £, где £ - множество стоков N.
Нужно отметить, что, во-первых, если X- =1, тогда узел I имеет ОЯ-вход, и, если X- = |р(/), то тогда I имеет AND-вход. И если "не более" заменяется на "точно" в (1б), то XI =1 соответствует вероятностному выходу, а XI = |£() соответствует
детерминированному выходу. Во-вторых, если данная сеть N для решения имеет множество источников Я (\Щ>1) и множество Я'с Я, Я' ф0 активизируется в начале выполнения процесса, то можно формально перевести N в соответствующую одно-истоковую сеть следующим образом. Введем новый единый источник г0 и для каждого I е Я введем вспомогательную дугу < г0,I >.
Кроме того, установим X- = X+ = 0. Определим
X- = /0 для I е Я
[1 для I е Я / Я Введем дуговые переменные (<ц> е Е):
[1, если (г, у) выполняется;
иначе;
и узловые переменные (г е V):
/1, если г активируется; ич = {с, иначе;
где иг = 1, т.е. источник всегда активируется.
Тогда два условия узловой логики, введенные в Определении (1) могут быть переписаны в следующем виде:
Е ж > X:uг ((е V /{г}); (1)
X-+ ыги, (2)
где Мг > XI- (I е V/{г});
2^ < X:щ (е к/^). (3)
Если в (1) иг =1, то это значит, что в результате активации узла I выполняется по крайней мере Х+ входящих воздействий. Если и/ =0 в (2), то это значит, что узел I не активирован, так как менее чем Х+ входящих действий выполнено. Таким образом, оба эти неравенства вместе соответствуют (1а). Полагая иг- =1 и иг- =0 в (3),
обеспечиваем выполнение второго условия узловой логики.
Определение (2) Так как сетевая модель ациклична, то каждая операция соответствующего процесса либо выполняется только один раз, либо не выполняется вообще. Таким образом, каждая реализация процесса (или реализация сетевой модели) может быть соотнесена с множеством выполняемых действий сети или с функцией w: Е ^ {0,1}; ((, у) е Е), значения которой задаются как
С- А
10, иначе.
(/. д\ |1 если У^/ выполняется
w((i, А)=: w, =■' '
С другой стороны, если некоторая реализация сети w задана, то, как узловые, так и дуговые переменные для этого случая также специфицированы. Будем говорить о допустимой реализации, если w удовлетворяет условиям узловой
логики. Тогда е*= {к: Е ^{0,1^. -удовлетворяет (1)-(3); <1,]> е Е } и е* - множество
всех допустимых реализаций.
Итак, стохастическое представление моделей реализуемости в виде ОЕЯТ-сети позволяет получить достаточное количество полезной информации о временных характеристиках протекания производственных процессов. Используя неравенство Чебышева, можно показать пределы, в которых будет изменяться фактическое время реализации процессов, а также получить более сильные утверждения. Кроме того, если реальный показатель не соответствует этим оценкам, то, как показано в [8], можно построить ряд критериев для проверки гипотез, позволяющих определить перспективные характеристики времени реализации процессов.
В заключение необходимо отметить, что рассмотренная ОЕЯТ-сетевая модель, является своеобразной альтернативой традиционным методам определения директивных времен реализации производственных процессов. При использовании традиционных методов предполагается, что время выполнения каждой отдельной операции постоянно. После суммирования этих времен в полученный результат вносится некоторая поправка с целью учесть случайные колебания или устранить неустойчивость действительных времен. Система же ОЕЯТ-моделей позволяет включать случайные отклонения и неопределенность, возникающие непосредственно во время выполнения каждой операции производственного процесса. Следовательно, в полученный результат уже включены все случайные колебания и нет необходимости вносить в него дополнительные поправки, не считая тех, которые соответствуют аварийным производственным ситуациям.
Литература
1. Дегтерев А.С., Нейман Г.А. Моделирование задачи оптимизации загрузки технологического оборудования // Экономика и финансы, 2002, № 20 (22), с. 46-49.
2. Дегтерев А.С., Ерыгин Ю.В., Лобков К.Ю. Оптимизация портфеля инновационных проектов на машиностроительном предприятии ОПК в условиях конверсии // Конверсия в машиностроении, 2004, № 3 (64), с. 83-85.
3. Корячко В.П., Шибанов А.П., Шибанов В.А. Численный метод нахождения закона распределения выходной величины GERT-сети // Информационные технологии, 2001, № 7,.с. 16-21.
4. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. М.: Мир, 1984.
5. Шибанов А.П. Нахождение закона распределения выходной величины GERT-сети большой размерности // Информационные технологии, 2002, № 1, с. 4245.
6. Antamoshkina O., Kovalev I. Modelling, Optimization and Computer-Realization of Control Cyclograms. SAA-Press. Krasnoyarsk, 1996.
7. Neumann K. Stochastic Project Networks. Springer-Verlag, 1990.
8. Kovalev I. System of Multi-Version Development of Spacecrafts Control Software. Pro Universitate Verlag, Sinzheim, 2001.
