CC BY
24
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы
УДК 511
ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЕККЕ1
В. Г. Журавлев (г. Владимир)
Аннотация
Для функции отклонения 5п(г) распределения дробных долей {]а} <
{па}, где ] < г, п = 0 — целое и а — иррациональное число, доказана факторизация
6п (г) = ^п о Г г (г)
в виде композиции функций Гг(г) = {га} — дробная часть га и Рп(ж) — кусочно-линейная функция, имеющая |п| разрывов.
Из факторизации выводится ряд следствий и, в частности, при п >
0 доказаны формулы, выражающие среднее значение ёп через сумму п
п
Введение
Для произвольных вещественных чисел а и Д, 0 < а, Д < 1, определим функцию отклонения 6д(г) = Д г — гд(г), где гд(г) равну числу попаданий дробных долей {]а} для ] = 0,1,..., г — 1 в полуинтервал [0, Д),
Теорема Гекке [1], Пусть Д принадлежит модулю Z + Ща].; где а — иррациональное число. Тогда функция отклонения 5д(г) ограничена при г ^ ж.
Если Д удовлетворяет неравенствам 0 < Д < 1, то последнее условие означает Д = Дп, вде Дп = {па} для некоторого п = ±1, ±2,...
Цель настоящей работы — доказать, что функция 5дп (г) допускает следующую факторизацию в виде композиции
£д„(г) = Пп ◦ ^г(г) (1)
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 08-01-00326.
функций ^г(г) и £>п(х), где ^г(г) = {га} — дробная чаеть га и Рп(х) — кусочнолинейная функция, имеющая п разрывов. Иными словами — имеет место коммутативная диаграмма
N А 51
\ / ®п (2)
К
где ^1- соответственно множества натуральных и вещественных чисел, а §1 _ единичная окружность.
Из факторизации (1), (2) вытекает ряд следствий,
1, Между функциями отклонения £дп и £д_п существует отношение двойственности, вытекающее из равенства
'Ъ-п(у) = Х>п(у + {па}) + сп,
где п > 0 и сп — константа, зависящая только от п, а,
2, Точные границы
пйПп < 5дп (г) < тахп
определяются |п| значениями дробных долей {]а}, при этом амплитуда колебаний отклонений ип ^^ — па пп удовлетворяет равенству
^п — ^—п*
Ранее алгоритм вычисления точных границ был найден в [7] с помощью аналитического метода,
3, Пусть £дп;У0 (г) — аналогично определенная функция отклонения для сдвинутых дробных долей {^'а + у0}. Тогда соответствующая амплитуда ип = тахп>У0 — па пп,У0 те зависит от едвига у0.
4, Из факторизации (1) и равномерности распределения дробных долей {^а} в случае иррационального а следует, что для среднего значения 5дп имеет место интегральное представление
5п = ЪпШу,
п > 0
пых долей
с„(а) = 5] ({**} - ^
1<г<п
Для таких сумм в [2] и более общих неоднородных сумм в [3] найдены явные
п
Отсюда следует вычислимость среднего значения £дп за 0(1п п) шагов.
Для доказательства факторизации (1) применяется геометрический инвариантный метод. На бесконечном цилиндре С = К х §1 задается двухцветный поворот Бп : С м С, связанный с функцией отклонения £дп (г) соотношением
£ди (г) =Ргх(^п (^0)),
где ргж — проекция на х и г0 = (0, 0), Орбита ОгЬп(г0) точки г0 представляет собою компактное одномерное £п-инвариантное подмножество Еп С С, параметризуемое функцией Рп из коммутативной диаграммы (2),
С
цветного поворота единичной окружности 81, который был использован в [5] для оценки модуля функции отклонения £дп(г),
1 Двухцветный поворот цилиндра
Рассмотрим вращение окружности
§1 —М §1 : у м Б (у) = у + а (^осИ) (3)
на иррациональный угол а, удовлетворяющий условию 0 < а < 1. Пусть п € п=0
Ап = {па}. (4)
Определим функцию отклонения £п(г), описывающую равномерность распределения последовательности {зв} (шос11) и определяемую равенством
^п(г) = Апг — Гп(г), (5)
где
гп(г) = ЙШа} < Ап;з = 0,1,...,г — 1}.
С функцией отклонения £п(г) можно связать некоторый двухцветный поворот Бп бесконечного цилиндра
С = К х §1.
Поворот Бп определяется следующим образом:
£п : (х,у) м (х + ^п(у),Б(у)), (6)
где функция
7 (у) = \ Ап — 1 у € [0 Ап)’ (7\
7п(у) \ Ап, если у € [Ап, 1) ^
считается определенной на единичной окружности 81.
Двухцветный поворот £п представляет собой разрывное биективное отображение цилиндра С, сохраняющее площади, поскольку £п — это композиция
С
етвия отображения 5п на точку (х, у) зависит от области на цилиндре С, в (х, у)
С
Сп = Сп,я и Сп,с (8)
или разбиение на две области
Сп,я = 1 х ^п,д> Сп,С = 1 х §п,с. (9)
Раскраска (8), (9) индуцировала, соответствующей раскраской единичной окру-
жности
^ = ^п,д и ^.С, (Ю)
где
§п,д =[0, Ап)д, §п,С = [Ап, 1)С.
Ранее двухцветные повороты окружности S1 исследовались в [5], В настоящей
Сп
ее к изучению функции отклонения £п(г), В основе такого применения лежит следующее утверждение.
Предложение 1. Функция отклонения 8п(г) и двухцветный по ворот £п
Сп
^п(г) = Р ^ (*>» (11)
для, любого г = 0,1, 2,..., где ргх — проекция на х, г0 = (0, 0) — начальная,
точка.
Доказательство, проведем индукцией по г = 0,1,2,... При г = 0 обе части равенства (11) равны нулю. Согласно (5) и (7) имеем
£п(г + 1) £п(г) + 7п(га) (^-2)
а по (6) —
^п+1(^0) = ^п^пЫ = £п(РГх(^пга) =
= (ргх(^п(^)) + 7п(га), (г + 1)а)
и, следовательно,
РГх(^п+1Ы) ^Гх(^п(^0)) + 7п(га). (13)
Индукционный переход вытекает из равенств (12) и (13),
□
Таким образом, свойства поведения функции отклонения £п(г) определяются поведением орбиты
0гЬп(2о) = {^п(^0); г = 0,1, 2,...} С Сп
начальной точки г0 = (0, 0) под действием двухцветного поворота 5п. Оказывается, замыкание орбиты ОгЬп(г0) представляет собою компактное одномерное
Сп
разделе.
2 Множество Еп
Пусть п > 0 и а иррационально, Упорядочим множество чисел О'а}, ^ € {0,1,...,п}:
а0 = 0 < а1 < ... < а* < ... < ап < ап+1 = 1, (14)
где а* = {т*а}, т* пробегает множество {0,1,..., п}, на котором порядок (14)
задает биекции
г I у . а* {'т*а},
т I гт : а*т = {та}.
Рассмотрим полуотрезок
Р =[в0,вп+1) С 1 х I (16)
где в0 = (0, 0) вп+1 = (п, 1) — танцы Р и I = [0,1] — единичный интервал.
Выделим на отрезке Р точки
в = (па*,а*) для г = 0,1,...,п + 1, (17)
которые разбивают его
Р = Р0 и... и Р* и... и Рп
на прилегающие друг к другу отрезки Р* = [в^вт]- Рассмотрим еще дополнительные отрезки
Е1 = Р* + ^ (18)
получающиеся параллельными сдвигами отрезков Р* па векторы V* = (-г, 0), Из (17), (18) имеем
Е* = [б*? е*+1) (19)
где е* = (х*,у*) = (па* - г, а*), е* = (х',у') = (па* - г + 1,а*) для г = 0,1,..., п.
Из (16) и (18) следует
Е* | Е для всех г, ^ (20)
Из так определенных отрезков (19) построим множество
Е = Е0 и ... и Е
п
При редукции
1 х I —У С = 1 х §1 (тос11) (21)
Е0 Еп
Е® = Еп 0 Е0 =' Еп и Е0 (тос!1). (22)
Пусть
Еп = Е1 и ... и Еп-1 и Е® С С (23)
где Е*, г = 1,..., п — 1, определены в (19), а отрезок Е® согласно определению (22) равен
Е® = [еп.е',) С С. (24)
Здесь и далее при использовании редукции (21) мы не будем вводить дополнительные обозначения, чтобы различать оригиналы и их образы, исключая ситуации, когда возможно появление неоднозначности.
Пусть
V = К...^ V' = {е1,...,еп} (25)
— концы отрезков из множества Еп, и пусть
V = {е0,еь ... ,еп}. (26)
Наша цель — доказать замкнутость множества Еп относительно действия на него двухцветного поворота цилиндра 5п. Данный факт вытекает из замкнутости множества концов отрезков (25), (26) множества Еп, а чтобы убедиться в этом, нам потребуются перенумерации элементов а* из (14) под действием поворота окружности Б,
3 §п-перенумерации
п > 0
и г принадлежит множеству {0,1,..., п} и г = гп. При этих условиях найдется некоторый номер г' из {1, 2,..., п} такой, что выполняется сравнение
Ба* = а* + а = а*/ (тос11). (27)
Данное сравнение задает биекцию
{0,1,... ,п} \ {гп} Э г I г' = Зп(г) € {1, 2, ...,п} (28)
которую назовем зп-перенумерацией элементов (14), Она естественно зависит па
Воепользуемя раскраской (10) единичной окружности §п и определим отвечающую ей индикаторную функцию цвета с/п(х), полагая
(х) Г 1 если х € §п,Д = [0, Аn)R,
С1п(х) \ 0, если х € §п,С = [Ап, 1)с. 1 ]
Чтобы привести явный вид зп-перенумераци (28), нам потребуется способ
задания вращения окружности Б как перекладывания отрезков из разбиения
§1 = [0,1 - а) и [1 - а, 1).
В этих терминах вращение Б можно определить равенством
бу = у + а + %), (30)
где
,(у) = Г ° если у € [0, 1 - а), ( ,
Г(у) \ -1, если у € [1 - а, 1). 1 ;
Предложение 2. Пусть п> 0 0 <а< 1— иррациональное число, и пусть па = [па]. Тогда, вп-перенумерация г' = зп(г) из (28) имеет вид
г' = г + па + п£(а*) + с/п(а*). (32)
Доказательство. Для произвольного вещественного числа А 0 < А < 1, определим функцию распределения
гд(п) = ЙШа} < А; з = 0 1,...,п - 1}. (33)
Далее нам потребуются две элементарные формулы о распределении дробных А = а 1 - а
г а (п + 1) = [па] + 1 (34)
( , П Г 1 , \ 0, если {па} € [0,1 - а), . .
г^а(п + 1) = п— |па| + < г т м , (35)
1-а 1, {па} € [1 - а, 1).
Сначала рассмотрим случай 1 - а < а. Предположим, что а* € [0,1 - а).
Тогда имеем
г' = г + га(п + 1) и г' = г + га(п +1) - 1
для а* € [0, Ап) и [Ап, 1) соответственно. Отсюда, используя формулу (34) и функцию (29), получаем равенство
г' = г + [па] + с/п(а*),
тождественное для данного случая равенству (32).
Предположим теперь а* € [1 - а, 1) Сначала рассмотрим случай а*п € [0,1 -
а)
равенство
г' = г + [па] - п + с/п(а*),
эквивалентное доказываемому равенству (32) в силу определения функции (31). Если а*п € [1 - а, 1), то при доказательстве следуем той же схеме.
1-а<а
□
4 Инвариантность множества Еп
Лемма 1. Пусть £п (п > 0) — двухцветный поворот (3) цилиндра Сп,
V' — концы отрезков (25), (26) множества Еп, и пусть
е*п (па*п - гп, а*п ), е*п (па*п - гп + 1, а*п ), (36)
где а*п = {па}. Тогда, выполняются включения
\ {е*„}) С V., 5п(^ \ {е*п}) С V'. (37)
Доказательство. В силу нумерации (14) для любого г = 0,1,..., п, г = гп, существует номер г' с условием
Ба* = а*/. (38)
Докажем, что из (38) следует равенство £п(е*) = е*/ или, согласно определению двухцветного поворота (6), — ему эквивалентное равенство
(х* + ^п(у*), Бу*) = (х*/, у*/). (39)
Ввиду (38) имеем Бу* = у*/, и нужно проверить еще выполнимость равенства
х*/ = х* + гп(у*), (40)
где
х*/ = па*/ - г' (41)
и
х* + ^п(у*) (па* г) + (Ап с/п(а*)). (^2)
Ап = па - па
а* + а = Ба* — ^(а*) = а*/ — ^(а*), (43)
получаем
х* + ^п(у*) п(а* + а) па г с1п(а*) Г 44)
= па*/ - £(а*) - па - г - с/п(а*).
Таким образом видим, что равенство (40) в силу (41) и (44) равносильно равен-
ству
г' = г + па + п£(а*) + с/п(а*)
из предложения 3.1, что доказывает первое включение (37).
Относительно второго включения (37) заметим е* = е* + (1, 0) = (х* + 1, у*) и, значит, с1п(у*) = с/п(у*). Поэтому го равенства £п(е*) = е*/ следует £п(е*) = е*/,
□
Лемма 2. Для, п > 0 подмножетво Еп С С замкнуто
£п£п С Еп (45)
относительно отображения £п
Доказательство. Из определения (23) множества Еп следует, что для доказательства ^-замкнутости множества Еп достаточно проверить выполнение включений (37), выполнимость которых вытекает из леммы 1.
□
Теперь мы можем доказать основное свойство множества Еп.
Теорема 1. Для п > 0 ограничение двухцветного поворота, £п цилиндра Сп Еп С Сп
£п • Еп ^
Доказательство. Из определения (6) следует, что двухцветный поворот £п отображает любой отрезок X С Сп в равный ему отрезок X' или сумму двух неперееекающихея отрезков Х1 и Х2 с общей дайной, как у X. Отсюда и включения (45) получаем утверждение теоремы.
□
5 Двойственность между отображениями £п и £-п
В (8) и (10) мы задали раскраску на единичной окружности §п и цилиндре Сп, определяемую параметром Ап = {па} = а*п. Заметим, что между параметрами и раскрасками для п и -п существуют связи:
Ап = -А-п (тос11),
Ап,Я = (1 - А-n)G, (1 - Ап)С = А-п,Д. (46)
Здесь индексы Д, О указывают типы раскрасок.
Определим отображение инверсии
Сп -I С-п : (х, у) I (хьу1) = (-х + Сп, у - Ап), (47)
где
Сп пАп гп.
Отображение (47) является несобственным движением цилиндра 1 : С ^ С.
Сп
С-п
Сп,Я --1 C-n,G, Сп,С -1 С-п,Д. (48)
п > 0
Сп ~ С—п
£п ?! ?! 5-п (49)
Сп ~ С—п
т.е. выполняется формула коммутирования
1 о5п = £_п о 1. (50)
Доказательство, непосредственно вытекает из определения инверсии (47) и равенства (46)
□
Еп п > 0 С
1 Е- п С С - п < 0
Е_п = 1Еп. (51)
Теорема 2. Пусть £_п (п > 0) — двухцветный поворот (6) цилиндра С_п и множество Е_п определено равенством (51). Тогда, отображение
£_п : Е_п _^ Е_п (52)
является, биекцией и, следовательно, множество Е_п инвариантно
^_пЕ_п Е_п
относительно действия 5_п.
Доказательство, вытекает из теоремы 1 и коммутативности диаграммы (49).
□
6 Функции £>п(у) и ^п(у)
Определим для произвольных п = ±1, ±2,... и у € §1 функцию
^п(у) = ^ип(п)({у}|п| - ^п(у)) (53)
— отклонение распределения последовательности {га} па полуинтервале [0, у), где
^п(у) = Й{га; {га} < у, г = 1, 2,..., п}
п > 0
^п(у) = Й{га; {га} < у, г = -1, -2,..., п +1} (54)
Теорема 3. Функция отклонения х = "п(у) имеет график £п, где Еп —
п > 0 п < 0
п>0
множества Еп, для для п < 0 — из двойственности (51) между множествами Еп и Е_п-
□
Из теоремы 3 и свойств множества Еп вытекают ряд следствий.
Во-первых, это — параметризация множества
Еп = {(х,у) = (^п(у),у); у € §1} (55)
1
функциями отклонения "п(у) и "_п(у):
"_п(у) = "п(у + {па})) + Сп (56)
где п > 0 сп = пАп - гп и гп — номер элемента а*п = {па} в ряду (14),
Во-вторых, из инвариантности £п£п = Еп и параметризации (55) вытекает свойство Ба-ннварнантноети отклонения "п(у):
"п(у + а) = "п(у) + ^п(у). (57)
п>0
п{у + а} - Пп(у + а) = п{у} - ^п(у) + 'Уп(у),
откуда получаем равенство
Пп(у + а) = ^п(у) + п({у + а} - {у}) - г^у^ (58)
где г>п(у) — функция (7), которую можно записать через индикаторную функцию цвета (29) в виде
г>п(у) = Ап - с/п(у) = {па} - с/п(у). (59)
Воспользовавшись функцией (32), разность дробных долей из (58) представим как
{у + а}-{у} = {а} + %). (60)
Тогда из (58) - (60) получаем
Пп(у + а) = Яп(у) + п{а} + п^(у) - гп(у). (61)
С другой стороны, п{а} - {па} = [па], если а = {а}. Отсюда и (61) выводим формулу
Пп(у + а) = Пп (у) + [па] + п£(у) + с/п(у),
эквивалентную для y = а* ранее доказанной формуле (32),
Повторяя аналогичные рассуждения для n < 0, приходим к общим формулам
Rn(y + а) = Rn(y) + |п|{а} + |n|t(y) - sign(n)v„(y), (62)
Rn (y + а) = Rn(y) + na + |n|t(y) + sign(n)c/„(y) + e„, (63)
где
na = [|n|a] = [|n| {а}]
для 0 < а < 1 и
= J 0, еели n > 0, n | 1, если n < 0.
Формулы (62) и (63) означают S-инвариантность функцин Rn(y) относительно поворота окружности (3),
7 Орбиты двухцветного поворота цилиндра
Для n > 0 и начальной точки z0 = (0, 0) определим орбиты
Orb±„(zo) = {S±n(zo); i = 0,1, 2,...} С С±„.
Поскольку в силу (23) и (51) точка z0 принадлежит множествам E±n, замкнутых относительно действия двухцветных поворотов S±n, то множества также
содержат и полные орбиты точки z0:
Orb±„(zo) С £±n- (1)
Определим проекцию
рт-у
С ~ S1 : (x,y) ^ y
и рассмотрим ее ограничения
: E±n ^ S1 (2)
на подмножества С С, В силу определений (23) и (51) множеств проек-
ции (2) являются биекциями. Кроме того, непосредственно из определения (6) двухцветных сдвигов S±n вытекает коммутативность следующей диаграммы
рт-у
S±n Ц Ц S±n (3)
рт-у
и, значит, коммутационные соотношения
S ° pry = рГу О (4)
n
а
текает
n
Orb±n(z0) = £±п
замыканий орбит Orb±n(z0) начальной точки z0 = (0, 0) и м,ножеств E±n.
2. Орбиты, Orb±n(z0) равномерно распределены относительно меры Лебега на соответствующих множествах E±n.
□
8 Границы и амплитуда для функции отклонения
Для произвольного вещественного y0 определим еще одну неоднородную функцию отклонения
^n,yo(i) Ani rn,yo(i)> (5)
где
rn,yo(i) = ЙШа + y0} < An;j = 0,1,...,i - 1}.
В этих терминах функцию отклонения £n(i) можно записать как
^n(i) = ^n,0 (i) • (6)
Теорема 4. Пусть Dn(y) — функция, определенная равенством (53). Тогда, n>0
£n,yo(i) = Dn^ + y0) - Dn(y0) (7)
y0 = 0
^n(i) = ^^а). (8)
Доказательство. В предложении 1 было доказано равенство
^n(i) =р r^(sn (z0)),
где z0 = (0, 0). Если воспользоваться параметризацией (55) множества En, то нетрудно заметить, что последнее равенство допускает обобщение
£n,yo (i)=Prx(Sn(z0)). (9)
Здесь z0 = (x0,y0) = (0,y0^ и y0 — любое вещественное число. Поскольку Sn
С y0
окружности S1,
Заметим, что раскраска (8) цилиндра Cn инвариантна относительно сдвига
(x,y) ^ (x,y) + (x0 , 0)
цилиндра С. Поэтому из Sn-HHBapnaHTHoeTH множества En выводим инвариантность
Sn(En + (x0, 0)) = En + 0) (10)
и множества En + (x0, 0) для любо го x0 G R,
Теперь из (9), (10) вытекает формула (7), а поскольку по определению Dn(0) = 0, то формула (8) получается как частный случай (7) при y0 = 0,
□
Следствие 1. Для n > 0 пусть {^а} — {^а} = е, где е > 0, и интервал [{^а}, {І2а}] не содержит никакое а* из последовательности, (Ц) для,
i = 1, . . . , n венство
^n,yo (i2) ^n,yo (il) en.
□
Для функции отклонения £n(i) при люб ом n определим ее граничные значения
minn = infi<*<^{^n(i)}^ maxn = supi<i<TO{^n(i)}, (11)
и пусть
vn n — minn
— амплитуда колебаний отклонеия £n(i)
Теорема 5. Пусть Rn(y) — функция (54)- Тогда, справедливы, следующие утверждения.
n > 0
minn < ^n (i) < maxn для, любо го i = 0,1, 2,..., , ,
min-n < ^_n(i) < max-n для любо го i = 0,1, 2,...,
при этом границы в (12) 'точные и значения minn, max_n достигаются. Граничные значения из (11) вычисляются, по формулам
minn = min {^'а — Rn('а)}, (13)
l<j<n
maxn = max {и^'а — R^j^)} + 1,
l<j<n
тгп_п = —тахп + сп, тах-п = —ш пп + сп, (15)
где сп определено в (47).
2. Амплитуды ип и ^_п связаны между собой соотношением двойственности
^п = ^_п для, п = 1, 2, 3,... (16)
Доказательство. Равенства (13) - (15) вытекают из теоремы 1, определения функции ©п(у) и (7), (47), а соотношение (16) — из (51),
□
9 Среднее значение функции отклонения
Пусть п > 0, Из предложения 4 следует существование среднего значения для функции отклонения
£ = д!™ ^ <17>
1<7<м
Согласно равенству (8) можем записать
Ит — V = Ит — 'У Т>п(^а}).
N^ ^ пи
1<7<М 1<^<М
Используя данное равенство, получаем для среднего значения (17) интегральную формулу
6п = / ^п(у)^у. (18)
ио
Чтобы вычислить интеграл, воспользуемся определением (53) функции Рп(у), Тогда получим следующее равенство
^ ЪпШу = ^ - <4, (19)
где
е/п ^ ^ г(аг+1 аг) п ^ ^ аг*
1<г<п 1<г<п
Теорема 6. Пусть п > 0. Тогда для среднего значепия (п имеет место следующее равенство
С ^ е(г), (20)
1<г<п
где
е(г) = {га} - -
— нормированная дробная часть га.
Доказательство. Согласно нумерации (14) элементов а* имеем равенство
X! а = X! {га}
1<г<п 1<г<п
из которого и равенств (18), (19) вытекает утверждение теоремы.
□
Чтобы сформулировать следующий результат, примем соглашение
5 о = °,
формально вытекающее из определения функции отклонения (5).
Следствие 2. Среднее значение 8п как функция переменного п = 1, 2, 3,... обладает следующим свойством, аддитивности
5п+1 = 5п + е(п + 1) (21)
и, таким образом,, удовлетворяет неравенству
&+1-£п|<^ (22)
п
Доказательство, вытекает из представления среднего значения (п в виде суммы (20).
□
Замечание 1. Неравенство (22) указывает на существование локальной связи, между средними, значениями 5п для, соседних п + 1 и п. В связи, с этим естественно возникает вопрос о существовании дальних связей между значениями 5п+д и 5п для, больших д. Ответ оказывается, положительным: в
[6] было доказано, что суммы дробных долей (20) как функции натурально-п
ния, верхней оценки для, разностей |5п+д — 5п|, аналогичной неравенству (22). Поэтому по теореме 6 этим свойством, обладает и среднее значение функции отклонения (п. При этом, отметим, что указанное свойство зависит от разложения угла, а поворота окружности Б (3) в цепную дробь и имеет явно выраженный характер только при наличии, в разложении а больших неполных частных.
Для суммы нормированных дробных долей
Сп(а) = ^ е(г)
1<г<п
п
дорфа. Более общие неоднородные суммы исследованы в [3].
Воспользуемся обозначениями из [3], Пусть а = [а0; а1; а2,...] — разложение
а
ап+1
«п+1 = 1 \, «о = {«}•
Подходящие дроби ^ для а вычисляются через рекуррентные соотношения
рп+1 ап+1рп + рп— 1, р—2 0, р—1 1)
Цп+1 = ап+1Цп + Цп— 1) Ц—2 = 1 Ц—1 = 0
и для них выполняется равенство
(—1)"
£г = -Рг =-----------;-------. (24)
?г+1 + аг+1%
п
определяется следующим образом
п = ^1^0 +-----+ ад*—1, (25)
где 0 < г1 < а1 — 1, 0 < г* < а*, 2 < г < при этом коэффициенты г* в разложении (25) удовлетворяют правилу сокращения: если г* = а*, то г*—1 = 0 для
2 < г <
п
пу = ^1^о +-------+ гу £,•_ 1, (26)
где 1 < 3 < удовлетворяющие неравенствам пу + пу-+1 + 1 < ду.
п
дробных долей (23) вычисляется по формуле [3]
1 *
сп(а) = - ^(-1)^(1 - \ej-iKrij + 1 + 1)). (27)
У=1
Из формулы (27) и теоремы 6 вытекает
Теорема 7. При п > 0 для среднего значения (17) выполняется явная, формула
1 *
^п= 2 - + !))• (2®) У=1
□
Золотое сечение. В качестве примера рассмотрим применение формулы
(28) к вычислению среднего значения 5п для а, равного
т = ^±^=[0;1,1,...]
— золотому сечению, В этом случае дп = Еп+1, где Еп — числа Фибоначчи, определяемые рекуррентным соотношением
Еп+2 = Еп+1 + Е1 = 1) Е2 = 1.
Используя соотношение т = Для £г из (24) получаем равенство
„ _ (—1)"
(29)
Теорема 8. Если а = г, то для среднего значения 5рг имеет место явная, формула
5ъ = ^ (1-----Рь + 1 ) (30)
‘ 2 V Ъ+1 + тЪ) К ]
для, ^ > 2.
Доказательство. Пусть п = Еи ^ > 2, Тогда его разложение Цеккендорфа (в данном случае — разложение Фибоначчи) имеет вил
п = ад*— 1 с г* = 1 и д*—1 = Е*.
Поэтому формула (30) вытекает из равенства (29) и формулы (28),
□
Следствие 3. Среднее значение 5р1 обладает следующим свойством стабилизации
^ = (—1)*у^2г + °(1) п'Ри t ^ оо. (31)
Доказательство, вытекает из теоремы 8, если принять во внимание, что
Ит * = г.
□
Замечание 2. Явление стабилизации (31) имеет место и в более общем п
п = Ц? , (32)
где Zj = 0 шш 1 и zj Zj+1 = 0. Сдвиг n порядка s = 1, 2,... числа, n с разложением (32) определяется, равенством,
s
П = ^j Zj Fj+s-
Повторяя, доказательство теорем,ы, 8, можно показать, что для, среднего значения, (L, аналогично (31), также имеет место свойство стабилизации
П
(L = (—1)sc(n) + о(1) при s ^ то,
П
где c(n) зависит только от числа n.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Неске Е,, Eber analvtische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod, eins,// Math, Sem, Hamburg, Univ. Bd, 1 (1921), 54-76,
[2] Brown T.C., Shiue P.J-S,, Sums of fractional parts of integer multiples of an irrational,// J. Number Theory 50 (1995), 181-192.
[3] Pinner C,, On Sums of Fractional Parts {na + 7},// J. Number Theory 65 (1997), 48-73.
[4] Журавлев В.Г., Одномерные разбиения Фибоначчи,// Изв, РАН, Сер. мат. 71 (2007), № 2, 89-122.
[5] Журавлев В.Г., Двухцветные повороты единичной окружности,// Изв. РАН, Сер. мат. 73 (2009), № 1, 79-120.
[6] Шутов А.В., О суммах дробных долей, // Чебышевекий сборник, 7 (2006), вып. 1, 278-285.
[7] Красильщиков В.В., Шутов А.В., Описание и точные границы максимума и минимума остаточного члена проблемы распределения дробных долей, // Мат. заметки (2010), (в печати).
Владимирский государственный гуманитарный университет E-mail: vzhuravlev@mail.ru Поступило 5.06.2010
