Геометрия и кинематика тел при движении по роликам Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

УДК 531.8:621.8

В.А Гоголин, М.Т. Кобылянский, В.Ф. Горбунов, Д.М Кобылянский ГЕОМЕТРИЯ И КИНЕМАТИКА ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО РОЛИКАМ

При конструировании механизмов, узлы которых имеют ограниченное число степеней свободы при наличии роликовых связей, возникает вопрос о влиянии геометрических параметров узлов и кинематических характеристик движения на их возможную конструкционную форму. К таким механизмам, в частности, относятся вибраторы, совмещающие колебания с вращением. В работах [1, 2] установлена принципиальная возможность создания конструкций таких вибраторов, и показано разнообразие форм тел, совмещающих колебания с вращением по роликам. В данной работе рассматривается влияние конструктивных и кинематических параметров указанных выше вибраторов на их форму, а также анализируются поля скоростей и ускорений таких механизмов.

1. Рассмотрим влияние радиуса роликов г, амплитуды а и частоты колебаний т на возможные формы тел при их вращении по роликам. Здесь, также как и в работах [1, 2], величины, имеющие размерность длины а и г выражены в относительных единицах радиуса Я окружности, проходящей через центры трех роликов. Ролики расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной Ял/3. Тело вращается относительно своего центра, который в начальный момент совпадает с центром окружности, и совершает гармонические колебания, уравнения которых в системе координат, связанной с телом , имеют вид:

/(т) = а• $1п(тт), g(т) = 0(1)

для горизонтальных и /(т) = 0, gT)= а ■ sin(mт) (2) для вертикальных колебаний.

В соответствии с методикой определения формы тел, совмещающих вращение с колебаниями при движении по роликам, изложенной в [2], были проведены численные эксперименты с различными радиусами роликов при гармонических режимах колебаний (1) и (2) с частотой т=3. Форма тел определялась параметрическим урав-

У=а -і'іп 3 г, £=0

нением, полученным в [2] х1 = Я 8ІП т + / (т) ±

± Я 8ІПТ- g’ (т)

± ж ,

У1 = Я 008Т + g(т) ±

± Я 008 т + /’ (т)

± ж ’

(3)

ж =

[Я 8ІПТ- g' (т)]2 + + [Я 008Т + /'(т)]2

где т - параметр уравнения.

На рис.1 показаны формы тел для различных радиусов

/=0; ^ампЗт

Рис.1. Формы тел при движении по роликам разных радиусов с частотой колебания т=3

4

В. А Гоголин, М.Т. Кобылянский, В.Ф. Горбунов, Д.М Кобылянский

J=a -sin6 г, g=0

f= О, g=a -sin6 т

ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ

ПОЛЕ УСКОРЕНИИ

Ф=0

////( " Ч :

! i \ j

1

VZ

]

if * ■"1

/ 4 >11 ]

\

I 1

1.5 ■

0.5

о

-0.5

■1

1.6

1'

\...£А Г4, i j

•Js # i \

4- 1 i

I 1 1

.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.1

Ф=2п/3

Рис. 2. Формы тел при движении по роликам разных радиусов с частотой колебания m=6

1 j I 4 i j :

:

: ft i ) |

i

! : :

5 -1 -0.5 0.5 1.5

о

-0.5 -1

Рис. 3. Поля скоростей и ускорений контура тела при различных углах поворота

j ; i j ]

: i : i v

! \ i \

’ \ }pT ■ 1 1 L...J

: t ! : : ! ! !

роликов г=0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 для частоты колебаний m=3. Из рисунка следует, что размер радиуса роликов не оказывает влияние на форму тела. Для случая гармонических колебаний с амплитудой a=0.1 овальная форма тела сохраняется. При большем значении амплитуды колебаний, при a=0,2 на контуре тела появляются узловые точки, что, естественно, не допустимо для конструкций механизмов. Тот же рисунок показывает, что при значениях амплитуды колебаний а<0,15 сохраняется овальная форма тела, а при больших значениях овальный контур тела переходит в замкнутую кривую с вогнутыми участками. Аналогичные качественные результаты получены при m=6 (рис.2). В этом случае овальная форма те-

ла сохраняется при значениях амплитуды a<0,05. Поэтому, далее была проведена серия численных расчетов для установления соответствия между частотой и наибольшей амплитудой колебаний, при которой еще сохраняется овальная форма тела. Для частот 3, 6, 9, 12, 15 наибольшие значения амплитуд составили 0,15; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005. По этим данным получена регрессионная степенная зависимость наибольшей амплитуды от частоты вида

а = 1,74 • m_2’07, (4)

с коэффициентом детерминации

0,97.

Данное уравнение можно заменить с погрешностью 12 ^ 25% в диапазоне частот колебаний m=3^15 на зависимость

' = л/3/г

.2

где амплитуда вы-

ражается в единицах радиуса окружности R. Если амплитуда a1 выражается в единицах расстояния между центрами роликов Ял/3, то (4) можно представить в виде aj = 3/ m2 .

2. Кинематический анализ тел, совершающих колебания совместно с вращением по трем роликам, сводился к рассмотрению поля скоростей и ускорений тел при различных значениях размеров роликов, амплитуды и частоты колебаний. Параметрическое уравнение траектории произвольной точки тела с начальными координатами (x^) задавалось в форме [2]:

'x = [Xj - f(ф)] cos ф -

- [y\ - g(ф)] sin ф, (5)

' У = [xj - f(ф)]sinф +

+ [У1 - g(ф)]cosф,

где ф есть угол поворота тела относительно центра вращения.

Далее рассматривалось равномерное вращение тела ф =wt с угловой скоростью w, где t -время. На рис.3 показаны поля скоростей и ускорений точек контура тела, координаты которых определяются по (3) при w=1 (получены с использованием MATLAB). Разработанная программа рассчитывает значения компонент скорости и ускорения любой точки тела при произвольном законе вращения и произвольном, согласованном с вращением, законе колебания центра вращения.

Для случая гармонических горизонтальных (1) или вертикальных колебаний (2) уравнения компонент скоростей и ускорений точек тела при равномерном вращении ф = wt несложно получить аналитически. Так, при гармонических горизонтальных колебаниях тела (1) уравнения для перемещений точки тела с начальными координатами (хг; у 1) из (5): x = [xj - asin(mwt)] ■

coswt - У1 sinwt, (6) y = [xj - a sin(mwt)] ■

sinwt + yj coswt.

После одно- и двукратного дифференцирования (6) по t получим выражения для поиска компонент скоростей Vx, Vy и ускорений Ax, Ay

Vx = -wxj sin wt - wyj cos wt

- a( в cos fit + acosat)/2, Vy = wxj cos wt - wyj sin wt

+ a( в sin pt -a sin ext)/2;

(7)

Ax =-w2 xj coswt + w2 yj sinwt +

a(p2 sin pt + a2 sin at)/ 2,

Ay = -w2xj sin wt - w2yj cos wt +

a( p2 cos pt -a2 cos at)/2;

(8)

где a = (m + j)w, p = (m-j)w.

Для кинематического анализа движения вибратора представляют интерес значения модулей скорости и ускорения. Из (7) модуль скорости

V = (w2 (x2 + y2 ) + a 2 [a2 +

+ p2 + 2ap cos( a + p)t] / 4 +

+ aw[xpsin(wt + pt) + (9)

+ xasin(wt -at) +

+ yp cos( wt + pt)

+ yaj cos(wt -at)]}1 /2.

Модуль ускорения находится из (8) и имеет вид:

A = (w4 (x2 + y2 ) + a 2 [ a4 +

+ p4 - 2a2p2 cos(a + p)t]/4 + + w2a[xp2 sin(wt + pt) --x^a sin(wt -at) +

+ yp2 cos(wt + pt) -- yja2 cos(wt -at)]}1 / 2.

(j0)

Выражения (9) и (Ш) существенно упрощаются для точки тела, совпадающей с центром вращения, то есть при х1=у1=0:

V = a[a2 + p2 +

+ 2apcos( a + p)t ]l / 2 / 2,

A = a[a4 + p4 -

- 2a2p2 cos(a + p)t]X' 2 / 2.

(П)

Из (jj) следует, что макси-СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

мальное значение модуля скорости центра вращения достигается при условии cos(а+Р^=1 , то есть при (а+Р^=2лк , (к =

0,1,2...). Учитывая из (8), что а+р =2wm, найдем максимальное значение модуля скорости. Оно составляет Vmax=a ■m ли в моменты времени t = лk/wm. Максимальное

значение модуля ускорения центра вращения достигается при выполнении условия cos(а+P)t=-1, и равняется Аmax=aw2(m2+1) в моменты времени t = (2к + 1)п / 2wm. Так, например, при частоте вращения тела 90 оборотов в минуту угловая скорость и=3п сек-1. При частоте колебаний m=3 и абсолютном значении амплитуды колебаний a=0,01м максимальные значения модулей скорости и ускорения центра вращения тела составят Vmax=0,3 м/сек, Amax=10 м/сек2. Таким образом, полученные выражения для модулей скорости и ускорения центра вращения тела (11) позволяют проводить динамический анализ вибраторов.

Авторы выражают благодарность к.т.н., доценту В.Н. Ермаку за полезные консультации при выполнении данной работы, а также работ [1, 2].

1. Кобылянский Д.М. Совместимость вращения и колебаний тел с одной степенью свободы / Д.М. Кобылянский, В.Ф. Горбунов, В.А. Гоголин //Вестн. КузГТУ, 2006.- №1.- С. 26-28.

2. Гоголин В.А., Кобылянский М.Т., Горбунов В.Ф., Кобылянский Д.М. Движение тел по роликам / В. А

Гоголин, М.Т. Кобылянский, В.Ф. Горбунов, Д.М. Кобылянский // Вестн. КузГТУ, 2006.- №3.-С.3-6.

□ Авторы статьи:

Гоголин Вячеслав Анатольевич

- докт. техн. наук, проф., зав. каф. прикладной математики

Кобылянский Михаил Трофимович

- докт. техн. наук, проф., зав. каф. начертательной геометрии и графики

Горбунов Валерий Федорович

- докт. техн. наук, проф. каф. стационарных и транспортных машин

Кобылянский Дмитрий Михайлович

- аспирант каф. стационарных и транспортных машин