CC BY
1
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 2.
УДК 517
DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-102-126
Геометрия блочных сред1
А. Я. Канель-Белов, В. О. Кирова
Канель-Белов Алексей Яковлевич — Магнитогорский государственный технический университет имени Г. И. Носова (г. Магнитогорск). e-mail: Kanelster@gmail.com,
Кирова Валерия Орлановна — Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (г. Москва). Kirova vo@mail.ru
Для изучения блочного массива важно уметь определять относительное число блоков, удовлетворяющих данному свойству. Так, при разработке месторождения облицовочного камня возникает необходимость по данным о трегциноватости определить распределение блоков по объемам. Будем полагать (если не оговорено противное), что трещины моделируются неограниченными плоскостями и группируются в системы примерно параллельных трещин. Ниже рассматриваются модель равностоящих трещин и пуассоновская модель, в которой предполагается, что пересечения каждой системы трещин с прямой Ь общего положения образуют пуассоновское множество точек, и кроме того, объединения любого числа этих множеств точек пересечения также образуют пуассоновские множества точек. Для модели равностоящих трещин (мы будем в дальнейшем ее называть равностоящей моделью ) доказана эргодическая теорема, связывающая средние по объему и по реализациям для чисел блоков, удовлетворяющим данному свойству. Разработана основанная на этой теореме программа для ЭВМ. Также рассмотрены задачи определения среднего объема блока, распределения блоков по объемам и выхода так называемых тарифных (т.е. имеющих определенные размеры и форму) блоков при разработке месторождения облицовочного камня камнерезными машинами.
Ключевые слова: Эргодический подход, эргодическая теорема
Библиография: 17 названий.
Для цитирования:
А. Я. Канель-Белов, В. О. Кирова. Геометрия блочных сред // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 2, с. 102-126.
Аннотация
1 Работа выполнена при поддержка гранта РНФ 22-19-20073 «Комплексное исследование возможности применения самозаклинивающихся структур для повышения жесткости материалов и конструкций»
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.
UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-102-126
Geometry of block environs
A. Ya. Kanel-Belov, V. O. Kirova
Kanel-Belov Alexey Yakovlevich — Nosov Magnitogorsk State Technical University (Magnitogorsk).
e-mail: Kanelster@gmail.com,
Kirova Valeria Orlanovna — National Research University "Higher School of Economics" (Moscow) .
Kirova_ vo@mail.ru
Abstract
To study a block array, it is important to be able to determine the relative number of blocks that satisfy a given property. Thus, when developing a deposit of facing stone, it becomes necessary to determine the distribution of blocks by volume based ОП dcltcl on fracturing. We will assume (unless otherwise stated) that the cracks are modeled by unbounded planes and are grouped into systems of approximately parallel cracks. Below we consider the model of equidistant cracks and the Poisson model, in which it is assumed that the intersections of each system of cracks with a generic line L form a Poisson set of points, and in addition, the unions of any number of these sets of intersection points also form Poisson sets of points. For the model of equally spaced cracks (we will henceforth call it the equally spaced model), an ergodic theorem is proven that relates the averages over volume and over realizations for the number of blocks satisfying this property. A computer program based on this theorem has been developed. The problems of determining the average volume of a block, the distribution of blocks by volume and the yield of so-called tariff (i.e., having a certain size and shape) blocks when developing a deposit of facing stone using stone-cutting machines are also considered.
Keywords: Ergodic approach, ergodic theorem
Bibliography: 17 titles.
For citation:
A. Ya. Kanel-Belov, V. O. Kirova, 2024. "Geometry of block environs" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 102-126.
1. Доказательство свойств эргодичности и вывод необходимых соотношений.
Эргодический подход основан на равенстве средних по объему и по реализациям, что позволяет вместо моделирования всего массива описать локальные его участки, вычислив локальную характеристику такого участка, усреднение которой по реализациям и даст искомую, эффективную характеристику массива. При усреднении по реализациям каждый локальный участок учитывается с весом, пропорциональным частоте его появления м массиве. Таким образом, определение локальной характеристики участка и частоты (плотности мат. ожидания) его появления являются основными задачами при данном подходе.
В этом параграфе будут получены эргодические теоремы для разбиения пространства п системами равностоящих плоскостей и других аналогичных задач. Также в этом и следующем
параграфе мы будем рассматривать задачу определения относительного числа Ny, блоков, имеющих объем больше V для пространства, разбитого п системами плоскостей А\,... ,An, моделирующих трещины.
При этом для каждой г - системы Ai расстояния между соседними плоскостями постоянны и равны di.
Отметим, что задача отыскания распределения блоков по объемам равносильна задаче определения Ny, поскольkv Py — плотность вероятности того, что монолитный блок имеет объем V, равна:
Py = lim (Ny — Ny+dy) /dV. (1)
d,y —0
Если число систем n < 3, то плоскости не разбивают пространство на ограниченные части, а если п = 3, то они разбивают пространство на одинаковые параллепипеды, так что этот случай тривиален. Поэтому мы будем рассматривать только случай, когда п > 3. (Изучая разбиение плоскости п системами параллельных равностоящих прямых мы будем предполагать, что п > 2 по тем же причинам ).
Основные идеи. Рассмотрим три системы трещин А1, А2, A3. Они разбивают пространство на параллелепипеды, которые называют блоками первого порядка. Каждый из них в свою очередь, разбит плоскостями остальных п — 3 систем A4,..., Ап на монолитные блоки. Монолитным мы будем называть блок, не пересеченный ни одной трещиной.
Блок первого порядка В примем в качестве локального участка; его разбиение системами A4,..., Ап описывается п — 3 параметра ми /4,..., fn, характеризующим сдвиг систем A4,..., Ап относительно В] параметр fi соответствует системе Ai.
В качестве fi мы примем расстояние от фиксированной вершины В до подходящей плоскости системы Ai~, при этом 0 ^ fi ^ di. Оказывается, что все fi равновероятны и независимы, т.е. относительное число N блоков В таких, что fi < f < fi + df i равно ПП=4 df i/di.
Ниже будет придан сказанному точный смысл. Число частей Ny, объем которых превосходит V, в пересчете на единицу объема, находится по формуле:
1 1 rd4 rdn
Ny = — -j-т ■■■ (/4 ,...,fn) df4 ...dfn, (2)
^1,2,3 «4 • • • (In J0 Jo
где Ny (/4 ..., fn) - число блоков, объем которых превосходит V, получившихся при разбиении, задаваемом набором параметров
{/1,..., fn} •V1,2,3 - объем В - блока первого порядка, порожденного системами А1, А2, А3.
Относительное число Ny блоков, объем которых превосходит V отличается от N множителем No, где No - среднее количество блоков в единице объема.
При практическом вычислении выбор тройки систем целесообразно проводить так, чтобы ^1,2,3 (и следовательно, среднее число частей разбиения В) был бы минимален.
Перейдем к формальной постановке задач. Среднее число Ny монолитных блоков, объем которых превосходит V в пересчете на единицу объема мы определим как среднее по решетке через предел:
Ny = lim Mny/п, (3)
n—^^о '
где Mny - число монолитных блоков, объем которых больше V в кубе с ребрами длины п, параллельными осями координат. Из доказанного ниже будет следовать, что этот предел существует. Аналогично можно определить Na - среднее число блоков в единице объема, удовлетворяющих свойству а, если соответствующий предел, аналогичный пределу (3), существует.
Уравнения плоскостей из Ai имеют вид:
X cos Pi sin 'фг + Y cos Pi cos 'фг + Z sin фi = COnst
(4)
Причем cos (pi sin ф\ > 0 в силу выбора нормального вектора.
Предположим также, что все системы находятся в общем положении, так что величины {cos <pi,di, cos фi} алгебраически независимы .
Поскольку породный массив часто имеет сложную структуру из-за сильно выраженной системы пастельных трещин, имеет смысл и плоский аналог задачи. В этой случае величины Ns, Ns определяются аналогично, только блок первого порядка В определяется парой систем прямых Ai, А2, S - его площадь; справедлива формула аналогичная (2):
Уравнения линий трещин ¿-системы Ai имеют вид:
X ■ sin (fi + Y ■ cos (fi = 0.
При этом также предполагается, что трещины находятся в общем положении, т.е. величины {cos (fi, di} алгебраически независимы. Задача нетривиальна при п > 2.
1.1. Случай трех систем прямых на плоскости.
Прежде чем доопределить необходимые пространственные понятия и заняться изучением общей задачи, рассмотрим первый нетривиальный случай разбиения плоскости тремя системами прямых Ai, А2, A3.
С помощью афинного преобразования можно добиться того, чтобы системы Ai, А2, разбивали плоскость на единичные квадраты.
Выбрав подходящим образом направления координатных осей, можно считать, что уравнения прямых из A3 имеют вид:
где а > 0, b > 0,а = cos <p,b = sin p.
Случаю общего положения исходных систем соответствует случай, когда для преобразованных систем A!i величины a/d и b/d-. иррациональны, где d - расстояние между соседними прямыми в преобразованной системе М3.
Рассмотрим теперь разбиение плоскости 3-мя системами прямых Ai,A2,A3 .
Каждый блок первого порядка В определяется однозначно парой целых чисел ( х, у ) являющихся в образованной трещинами систем Ai, А2 системе координат координатами его левого нижнего угла.
Разбиение блока В системой A3 определяется расстоянием f от точки 0(х,у) до ближайшей прямой из A3, лежащей выше О.
Очевидно, что 0 ^ f < d = d^ Покажем, что значения f равномерно распределены на отрезке [0, d], т.е. относительное число блоков первого порядка, для которых fi ^ f < /2, где
Тем самым среднее число N^ блоков площади > 5 в пересчете на единицу площади будет равным:
ах + by = const,
(4)
0 < ff < ¡2, равно (fi - /2) /d.
где Ns(f) - определяется аналогично Ns (f3,..., fn).
Докажем равномерную распределенность /. Равномерное распределение для / следует из того, что равномерно распределены величины {а ■ п], (где п € Ъ, {X} - дробная часть X ), т.е. предел отношения числа целых чисел п на отрезке [-К,К] при К ^ <х для которых 0 ^ ^ {ап} ^ Ь,2 ^ 1 к числу 2 К +1 - всех целых чисел на этом отрезке есть Ь,2 — Н\. В самом деле: при сдвиге В на вектор (а, /3) значен и / меняется следующим образом:
/' = й ■{(/ — аа — = й ■ {//й — аа/й — Рь/а]. (5)
Поскольку а/А € О из (5) следует равномерная распределенность /. В горизонтальном ряде квадратов единичной решетки, отличающихся сдвигом на векторы, параллельные оси ОХ значения ^ распределены равномерно; в разных же горизонтальных рядах / отличается сдвигом, поэтому равномерная распределенность / есть и для усреднения по плоскости.
1.2. Определение необходимых величин.
Для доказательства формул (2) и (2') в общем случае необходимо проверить независимость распределения параметров /г и кроме того, их нужно более удобно определить, ведь что значит что прямая (или плоскость) лежит "выше"точки О ? В качестве ^ хочется взять расстояние от выбранного угла до подходящей прямой (плоскости) г-й системы. Но точка О находится между двумя прямыми (плоскостями). Какую из них выбрать?
Запишем уравнение прямых г-й системы в нормальном виде:
X ■ сц + У ■ Ъг = а + к ■ (к, к € Ъ (4)
где а2 + Щ = 1,а2 > 0. Аналогично, уравнения плоскостей г— й системы в пространственном случае имеют вид:
аг ■ X + Ьг ■ у + Сг ■ г = + к ■ Аг, (4)
Причем а1 > 0,а2 + Ь2 + с2 = 1.
Рассмотрим пространственный случай.
Точка О (хо, уо, заключена между плоскостями ац и а2 :
аг : аг ■ X + Ьг ■ У + а ■ г = еА + к ■ Аг
(5)
а.2 : а1 ■ X + ^ ■ У + а ■ 2 = а + (к + 1) ■ &,
что алгебраически означает:
аг ■ Хо + Ъг ■ Уо + Сг ■ — к ■ Аг > 0 > аг ■ Хо + Ъг ■ Уо + Сг ■ 2о- (к + 1) ■ &
Положим /г [Хо, Уо, ^о] равным расстоянию от т. О (Хо, Уо, ^о) до а.2■ Как легко убедиться
/г [Хо, Го, ^о] = Аг ■ {(—аг ■ Хо — Ъг ■ Уо — Сг ■ го + ег) /Аг} . (6)
При параллельном переносе точки О (Хо, Уо, го), на вектор (Хг, У\,гг ) /\ преобразуются следующим образом:
Л = <к {( и — аг ■Хг — Ъг ■Уг — сг ■ г г)/Аг] (5')
Для плоского случая имеют место аналогичные формулы:
и [Хо, Уо ] = {(—аг ■Хо — Ъг ■ Уо + ег) /аг] . (6')
Л = йг {(Л — аг • Хг — Ьг • Уг) /йг} (5'')
Сформулируем теперь эргодическую теорему:
Пусть В - блок первого порядка, образованный системами Аг, т. О его вершина.
Набор /г, г = 4,..., п, определяет разбиение В системами Аг,..., Ап и тем самым определена величина Иу (/4,..., /п) число частей разбиения В, объем которых превосходит V. Величина Иу уже определена выше с помощью формулы (3).
Теорема 1.
__11 Г<14 г<1п
Иу = —тт Иу (^4,..., /п) <4... <1п
•'1,2,3 <4 • • • <п Jo Jo
аналогично, для плоского случая
__1 1 Г<1з г&п
= С- <-Т • • (/3,..., /п)</з ...<Тп
¿1,2 <3 • • • <п Jo Jo
Поставим задачу о математическом ожидании числа добытых тарифных блоков. Пусть О -разрабатываемая область массива, настолько большая, что можно пренебрегать граничными блоками и полагать, что она содержит целое число блоков первого порядка. Через |О| мы будем обозначать объем О, а терез Му - математическое ожидание числа блоков объема выше V, находящихся в области О, точное определение этой величины будет дано ниже.
Теорема 2.
Му = | О| • N. (7)
Аналогично, в плоском случае
Му = |О| • N5,
|О| О)
ков, т.е. его значение на наборе есть сумма его значений по всем блокам, составляющим набор. Примерами такого функционала являются число блоков в наборе объема больше V или суммарная "стоимость" блоков.
Пусть Му - математическое ожидание, т.е. среднее значение I на наборе монолитных бло-О му и М. , введем нужные
понятия.
Рассмотрим систему координат О (ёг, ё*2, ёз), связанную с блоком первого порядка В. В этой системе координат Аг, А2, Аз образуют целочисленную решетку единичных кубов, каждый
В( а, , ) ( а, , )
ного куба
В = В(0,0,0) = {х,у,г | 0 ^х,у,г < 1}.
Тем самым определяются функции /г(х,у, г) - параметры разбиения В(х,у, г) системами А4, . . . , Ап
й(х, у, г) = йг •{( ¡г — аг •х — Ьг •у — сг • г) /йг} (6)
область О задается набором {В (а + хг, Ь + уг, с + гг)} составляющих ее блоков первого по-
О а, , )
векторов (хг, уг, гг) определяет "форму"О. Объем |О| области О равен к • V1,2,3
Математическое ожидание М? или среднее значение I на частях разбиения области О определяется как среднее по решетке:
МР = Иш
п^те 8п3
к
+ Х',Ь + Уг,С + гг]
М,|Ь|,|с|<п г=1
(8)
Здесь 1[] - значение I на наборе, образованном разбиением В(а,@,^) системами
А4,..., Ап.
Равенство (7) можно упростить, переставив порядок суммирования:
МР = Иш Дг
п^те 8п3
1[а + Хг, ь + Уг,с + ) =
г=1 |а|,|Ь|,|с|<п
= к • 11ш '
п^-те 8п3
1[ а,Ь,с]
|а|,Н,|с|<п
Окончательно имеем:
М? = к • I,
(8)
где I - среднее значение 1[х, у, г] по решетке. Взяв в качестве I число блоков объема больше V, мы определим Му.
Через Ь (/4,..., /п) мы обозначим значение I на наборе, образованном разбиением В, си-
А4, . . . , Ап 4, . . . , п
Ь ( 4, . . . , п)
Теорема 3.
Мр =
|О|
1
С Л 4
Ь (14,..., /п) <114 ... <#п.
^,2,3 <4 • • • <п ,;о
Аналогично, в плоском случае
|О| 1 ГЛз
31,2 <3 • • • <п 7о
где все соответствующие величины для плоского случая определяются аналогично.
М? =
Ь (¡3,..., /п) <¡3 ... <С}п
(7')
(7'')
Мы будем изучать сечения массива прямыми, при этом каждая система А' будет системой точек А' с расстоянием между соседними точками в (г — 1)-ой системе С'-, условие общего положения означает линейную независимость над ^ ^теел <1,..., <п.
А1
первого порядка, точно также можно определить необходимые величины. В линейном случае справедлива формула:
м? = ш.
1
ГЛ 2
Ь (¡2,..., /п) С02 ... <%п
(7 )
< 1 < 2 • • • < п о о
Приведенные теоремы позволяют сводить задачу отыскания распределения блоков по объемам или, что более обще, находить относительное число блоков, удовлетворяющих данному свойству к изучению разбиения одного блока первого порядка, что позволяет избежать моде-
на О пропорциональна объему |О|, и, во-вторых, что все сдвиги систем А' относительно В в
а
п
а
п
случае общего положения равномерно распределены и независимы. Сформулируем последнее утверждение в несколько ином виде, в ряде случаев более удобном для использования.
Определим относительное число блоков решетки Ма, удовлетворяющих свойству а через предел:
Ма = lim Мща, (3')
где Мп,а - относительное число блоков решетки удовлетворяющих свойству а, находящихся в шаре радиуса п.
Теорема 4. Относительное число блоков первого порядка, таких, что 0 ^ f® ^ fi ^
+ A fi < di^euo пп=4 A fi/di-
п
Из теоремы 4 непосредственно следует теорема 3 ; из ее плоского и одномерного аналога -соответствующие аналоги теоремы 3 .
Доказательство теоремы 4. Мы рассмотрим только пространственный случай. Для плос-п
Прежде всего: с помощью аффинного преобразования можно добиться того, чтобы В являлся единичным кубом. Из условия общего положения будет следовать, что величины {d'i, cos pi, cos будут алгебраически независимы. Начиная с этого момента только этот случай мы и будем рассматривать. Удобно также вместо fi иметь дело с Xi = fi/di. Достаточно показать, что относительное число кубов единичной решетки для которых 0 ^ Xf ^ Xi ^ Xi + AAi ^ 1 равно ПП=4 AAi. Из равенства (5) следует, что при сдвиге на вектор ( х, у, z) величины Xi преобразуются по формуле:
X'i = {Xi -х •äi - у • bi - z • Ci} , (9)
где äi = ai/di, h = bi/di, äi = ci/di.
Из условия общего положения следует линейная независимость над Q набор а {ai, bi, Ci} г = = 4,... ,п. (т.е. нет линейных соотношений с рациональными коэффициентами).
Утверждение теоремы 4 следует теперь из теоремы о равномерной распределенности и независимости величин {пai}, где п £ N, а% линейно независимы над Q .
1.3. Соображения эргодичности в общем случае.
Доказанные выше теоремы о равномерной распределенности и независимости сдвигов дают основания к тому, чтобы попытаться применить эргодический подход в общем случае.
Пусть теперь трещины одной системы не равноотстоят друг относительно друга и направления трещин в системе меняются, однако в масштабах порядка размера блока трещины можно предполагать плоскостями .
{ Xi}
рассмотреть набор {ai} - характеризующий локальные межтрещинные расстояния и набор {ßi}, характеризующий направления трещин. Меру dP в пространстве параметров {Xi, ai, ßi}*, по которой следует производить интегрирование, следует искать в виде:
dP = dXi... dXn • ß(a, ß)dai... dapdß\... dßq• (10)
Величина же Ny будет равна:
Nv = У Ny (X, a, ß)dP/Vc (11)
где Vc - средний объем блока 1-го порядка.
В. В. Павловой разработана на основе этой методики программа.
2. Распределение блоков по объемам.
Эргодическая теорема, доказанная в предыдущем параграфе, позволяет упростить нахождение распределения блоков по объемам. Для случая трех систем прямых на плоскости получены явные формулы для распределения блоков по площадям. Для случая четырех систем в пространстве также можно получить явные формулы, однако последние будут включать несколько десятков случаев и содержать достаточно громоздкие формулы для общего решения кубического уравнения, так что пользы от них нет, поэтому для вычисления числа Ny -блоков объема выше V нужно определить Ny для каждого разбиения блока первого порядка, а затем численно проинтегрировать по формуле (16).
Решим задачу для случая четырех систем плоскостей ( для общего случая будет приведена теорема, позволяющая эффективно вычислять объемы блоков).
2.1. Случай четырех систем плоскостей.
Как уже упоминалось выше, это первый нетривиальный случай.
Для этого случая разработана программы, основанная на явном вычислении объемов. Эта программа строит гистограмму распределения блоков по объемам примерно за 2 секунды на ЭВМ типа NORD. Опишем соответствующие формулы.
Плотность вероятности Р(V) того, что блок имеет объем V вычисляется следующим образом:
Р(V) = Um {Ny - Ny+ду) /AV. (1)
Достаточно уметь определять Ny или пропорциональную величину блоков объема выше
V
дачу можно свести к случаю, когда системы A1,A2,A3 разбивают пространство на решетку единичных кубов, а нормальные уравнения плоскостей системы A4 имеют вид:
а1 ■ X + а2 Y + а3 ■ Z = const , (12)
где а\ + а2 + а2 = 1; а1, а2, а3 ^ 0.
В случае общего положения а1,а2,аз > 0 и кроме того а1,а2,аз линейно независимы над Q. На самом деле достаточно только иррациональности одного из чисел а1, а2, аз; этот случай можно из случая общего положения получить предельным переходом.
Пусть f - расстояние от т. О - начала координат до ближайшей плоскости из A4, лежащей "выше"О , т.е. уравнение которой имеет вид а^х + а^у + а^х = С > О.
Напомним, что в рассматриваемой системе координат В задается следующим образом:
В = [х,у,х | 0 ^х,у,х ^ 1}
где
Пусть Vol( d) - объем пересечения В с полупространством П,
П : а^х + агу + а^х ^ d.
A4 В
{0 < x,y,z < 1 If + i ■ d < а1 ■ х + а2 ■ у + а3 ■ z ^ f + (i + 1) ■ d} , где d - расстояние между соседними плоскостями системы A4. Объем Vi г-й части равен:
V = Vol(/ + i ■d) - Vol(/ + (i - 1) ■ d).
(13)
Таким образом, для вычисления V' достаточно уметь определять Уо1(х). Как обычно, через X+мы обозначим шах(х, 0) Пусть ТИ,(х) = I при х > 0, иначе ТИ,(х) = 0.
Теорема 5.
Уо1(х) = х3 — [(х — а1)+]3 — [(х — а2)+]3 — [(х — а3)+]3 + [(х — а1 — а2)+]3 + [(х — а2 — а3)+]3 + [(х — а1 — а3)+]3 (14)
[(х — а1 — а2 — а3)+]3 / [6 • а1 • а2 • а3]
(«1+«2 +аз)/(1
Йу(/) = ^ Тг[Уо1(/ + (к + 1)<С) — Уо1(/ + кй) — V] + Тг[Уо1(С) — V] И (14) к=о
^Р^ДЛФ^^ири^ 2.
Йу = 1/< • ^Йу (/)</
< • 0, 01
2.2. Доказательство теоремы.
Пересечение полупространства Пх с положительным октантом х,у,х ^ 0 есть тетраэдр объема (X+)3 / [6 • а1 • а2 •аз, ]; а пересечение Пх с результатом параллельного переноса положительного октанта на вектор ( а, 0,^) имеет объем:
((х — аа1 — 0а2 — 7а3)+]3 / [6 • а1 • а2 • а3).
Фактически выписанные в (14) члены отвечают объемам пересечения Пх со сдвигами положительного октанта на векторы ( 1, 0,0), (О, I, 0), (0,0,1), (I, I, О), (О, I, I), (I, О, I),
В
По сути дела соотношение (14) - это формула Эйлера для включений-исключений: записывая объем (X+)3 / (6 • а1 • а2 • а33) пересечения Пх с положительным октантом О мы некоторые области подсчитали зря; а именно - пересечение Пх со сдвигами О на векторы (1,0,0);(0,1, 0); (О, О, /); вычтем соответствующие объемы. Но тогда мы дважды, вычли объем пересечения Пх со сдвигами О на векторы ( 1,1, 0) ( 0,1,1);(1,0,1) и трижды - со сдвигом О вектор (1,1,1). прибавим соответствующие объемы. Но тогда окажется, что мы лишний раз прибавили пересечения Пх со сдвиг ом О на вектор ( 1,1,1 ), что компенсируется последним членом формулы.
В Мп имеет место аналогичная формула для объема пересечения Пх : аг • Xг < < где аг > 0 с единичным кубом 0 ^ Хг ^ 1, если ^ а2 = 1. В этом случае:
Уо1(<) = -щ^— Е (—1)# (< — £*)+*, (14')
п-И г=1аг 1с{1..,п} га
где #I - число элементов множества I. Доказательство равенства (14') аналогично. Например, если п = 2, то
Уо1(<) = \<2 — ((< — а1)+]2 — [(< — а2)+]2 +
21 (14'')
+ [(< — а1 — а2)+] / (2а1 • а2] .
п = 1
Уо1(< = [<+ — (й — а)+] /а = й+ — (й — 1)
+
а = аг = 1
3. О нахождении распределения блоков по объемам в общем случае
При нахождении распределения блоков по объемам возникают задачи эффективного многократного вычисления объемов многогранников, грани которых параллельны данному конечному набору плоскостей. Сам объем вычисляется много раз при различных сдвигах, и для эффективного вычисления выгодно вычислить сначала все нужные величины, связанные с направлениями граней.
Достаточно, оказывается, уметь определять коэффициенты в формулах для объема тетраэдра в зависимости от свободных членов уравнений плоскостей его граней. Оказывается, что при массовом вычислении объема каждый раз тратится только несколько умножений. Мы
М
ления объема М сводится, как и в случае четырех систем плоскостей, с помощью соображений включения-исключения к задаче вычисления объемов тетраэдров, грани которых лежат на
М
М
параллельны одной прямой. Соображения включения-исключения удобно формулировать на языке линейных комбинаций характеристических функций : через Хм обозначим характеристическую функция множества М (т.е. Хм(х) = 1, если х € М, иначе Хм(х) = 0). Равенство функций мы понимаем в смысле почти всюду, пренебрегая тем, что точки граней могут считаться несколько раз. Через V(М) мы обозначаем множества М.
Теорема 6. Если все грани м находятся в общем положении, то найдутся тетраэдры Тг, грани которых лежат на, ^ и целые числа, Хг такие, что:
В этом случае V(М) = ^ Хг V ( Т^).
Если грани и не находятся в общем положении, то найдутся многогранники Иг, грани которых лежат на, К т,а,кие, что: параллелепипедом, л,ибо трехгранной призмой, либо пирамидой, у которой основание параллелограмм.
Доказательство теоремы. Поскольку К разбивает М на выпуклые части, можно счи-М М
Т М Т М
нением многогранниками Мг, чьи грани лежат на К, а число граней каждого Мг, очевидно,
М
что выпуклый многогранник, не имеющий звездчатых форм - это в точности описанный выше, М
Отметим, что даже для случая не общего положения можно ограничиться вычислением объемов тетраэдров с помощью метода малых шевелений.
Программа основанная на явном вычислении объемов, работает I сек. на малой ЭВМ и строит гистограмму.
4. Применение полученных результатов к определению выхода блоков. Сравнение теоретической и экспериментальной зависимостей.
4.1. Описание гистограммы.
Гистограмма распределения блоков по объемам, полученная в результате работы программы для разбиения пространства четырьмя системами плоскостей. Здесь А1, А2, А3— разби-
А4
А4
куба.
Аналогичные гистограммы получены и в ряде других случаев, все они имеют две характерные особенности. Во-первых, это пик при V ^ 0. Во-вторых, это максимум при относительно больших V и минимум при средних. Эти качественные особенности подтверждаются в работах маркшейдеров.
Эти графики имеют те же самые особенности. Различие состоит в поведении в окрестности нуля, но это связано с тем, что мелкие блоки, как неинтересные, маркшейдерами не учитывались.
4.2. Обсуждение результатов
Дадим теперь объяснение зависимости на интуитивном уровне. Рассмотрим для простоты случай четырех систем. Пусть V;(/) - объем г— й части разбиения В, задаваемым сдвигом системы А4. Если / изменится на </, то V; (/) изменится на dV;(/) = V(/)</•
Но так как все сдвиги / равновероятны, плотность вероятности того, что объем г— й части равен V, пропорциональна df/dVi = V¿(f). Таким образом, плотность вероятности того, что часть имеет объем V тем больше, чем меньше меняется объем V в зависимости от /.
пропорционален £3, а его производная - /2. Таким образом, плотность вероятности Р(V) при V ^ 0 имеет асимптотику V-2/3 Этим объясняется поведение Р(V) при малых V.
В
В
а ^ А1 • X + А2 V + А3 • 2 < а + <,
а
Вначале объем пересечения растет, затем падает, а когда становится максимальным, то меняется мало. Отсюда - второй максимум.
Тот же эффект присутствует и при распределении расстояний между соседними точками пересечения скважин с трещинами массива.
Вероятно, описанный выше механизм появления вторых максимумов работает и в ряде других ситуаций.
5. Оценка числа блоков в массиве и определение среднего объема блока.
В этом параграфе мы рассмотрим задачу определения среднего объема блока для модели, в которой трещины являются неограниченными плоскостями, а также рассмотрим плоскую задачу для модели, в которой каждая трещина растет до пересечения с соседней.
5.1. Модель, в которой трещины считаются неограниченными
плоскостями.Выше для этой модели была рассмотрена задача отыскания распределения блоков по объемам в предположении, что соседние трещины "в системах находятся на одинаковом расстоянии друг относительно друга. Однако, если искать только средний объем блока Vc ( или обратную величину т — V- , равную среднему числу блоков, приходящихся на единицу объема, то предположение о распределении расстояний между трещинами в системах не
йг
Мы приведем явные формулы для V , случай п систем будет сведен к случаю трех систем. Введем необходимые определения. Назовем блок ¿-й и к-а систем, г,],к - элементарные
блоки являются блоками первого порядка и, вообще говоря, не являются монолитными, по, ,
^¿к - средний объем г, ], к - элементарного блока, а = V,j~1k - среднее чиело i,j,k элементарных блоков, приходящееся на единицу объема. Задача определения тг^,к - это и есть случай трех систем, к которому сводится общий случай. Легко убедиться, что
= йгй^йк |ПгЛП^ЛПк|-1, (17)
тг,з,к = й- Ц X1 ЩгЛП^ ЛПк |, (17')
где, как обычно, Пг - единичные векторы нормали к г-й системы, Щ Л П^ Л Пк | - модуль смешанного произведения Пг,П^,Пк, т.е. объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Пусть направления всех Пг находятся в общем положении, т.е. П Л П^ Л Пк| = 0, если г = .] = к. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 7.
С1 []■], [стим 1.
Е
г=3=к
Ус =
Ек-1
г==к
-1
т = й- 1й- 1 й-1 ЩгЛПЛПк | К = [£й-Ч-Ч-1 ^гЛП ЛПк |
1
(18)
(18')
(18'') (18''')
Заметим, что формула (18") справедлива и в том случае, когда некоторые плоскости могут находиться не в общем положении и какие-то три могут быть параллельны одной прямой. В этом случае тг^,к следует положить равным нулю, а Vг,j,к-бесконечности.
Соотношение (18") получается для этого случая предельным переходом. Важно только, чтобы нашлись такие г,], к,что П Л П^ Л Пк| было бы отлично от нуля, т.е. Аг, А^, Ак не были бы параллельны одной прямой, иначе системы А1,..., Ап не разбивают пространство на ограниченные части. Заметим, что если существуют средние расстояния йг, й^, йк, то определен и средний объем Vг,j,к■
Доказательство теоремы
Докажем (18), установив взаимно-однозначное соответствие между монолитными блоками и блоками первого порядка.
Выберем направление, не перпендикулярное ни к одной из линий пересечения плоскостей системы Ai ш Aj',Vi,Vj . Назовем это направление направлением "вверх", у каждого монолитного блока определен тогда "верхний "угол и этот угол образуют три системы с номерами, скажем 1,],к. (Поскольку системы А^ ^^^одятся В общем положении, мы предполагаем, что никакие 4 плоскости не пересекаются в одной точке).
Таким образом, каждому монолитному блоку соответствует 1,],к - элементарный блок с тем же "верхним"углом. Верно и обратное: у каждого г,],к - элементарного блока есть "верхний"угол, а, следовательно, и монолитный блок к нему прилегающий. Теорема доказана.
5.2. Модель, в которой трещины являются неограниченными плоскостями, но не группируются в системы.
В этом случае пусть К(п) характеризует распределение трещин по направлениям (см.гл.2). В случае N систем с нормалями ^функция К(п) имеет вид
N
N
К(п) = ^5(П, Пг) (-1 + £ 5 (П ъщ) (-1 (19)
i=l i=l
Рассматривая, распределение для N ^ <х> систем, трещин, аппроксимирующее непрерывное, и переходя к пределу, будем иметь:
т= К (п1) К (п2) К (п3) ^Л^ЛПз^^п1(2п2(2п3
■Л^х^хй'2
(20)
Для N - мерного пространства точно также можн о определить г\,... гп - элементарные блоки и соответствующие величины. Точно также г = Е/с-а,.^}.^^ И аналогично
т/ = П(-1 п
/е/
7 1
=
#/=пiе/
В случае непрерывно распределенных направлений:
Л п
iе/
(21)
т = V
1
V,=
18п-1х...х8п-1(праз )
ПК (П)
Л п
iе/
(Г^щ ...dп-1пN.
п 1
(22)
Наш вывод, использующий идею аппроксимации является значительно более простым и прозрачным, по сравнению с имеющимися.
5.3. Модель, в которой каждая трещина растет только до слияния с соседней.
В реальном массиве очень часто трещина растет только до слияния с соседней. Получается картина подобная той, что показана
Задачи, вытекающие из рассмотрения моделей, в которых каждая трещина растет только до слияния с соседней, очень сложны, мы рассмотрим только плоскую задачу и покажем, как искать в этом случае среднюю площадь.
Предположим, что трещины находятся в общем положении, так что в каждой вершине сходятся только две трещины. Трещина считается тонкой, так что вероятность того, что три
или более растущих трещины "столкнуться"в одной точке мы считаем пренебрежимо малой. (Точно так же для пространственного случая пренебрежимо мала вероятность того, что 4 или больше трещин пройдут через одну точку ).
Перейдем теперь к рассмотрению плоской задачи.
Теорема 8. Произведение среднего числа трещин на единицу площади на среднюю площадь Бс области равно единице.
Доказательство. Пусть п = б"-1 _ среднее число монолитных областей в пересчете на единицу площади, К - соответственно число вершин, I - трещин. Точки встречи трещины с другими трещинами разбивают трещины на сегменты, т - число таких сегментов в единице площади. Поскольку у трещины две вершины, К = 21.
Поскольку к каждой вершине примыкают 3 сегмента, а каждый сегмент ограничен двумя вершинами, 3К = 2 т, откуда т = 31.
Из формулы Эйлера для плоского графа (число всех вершин -число ребер + число граней = 2, двойной пренебрегаем) вытекает, что К — т + п = 0 Откуда п = 1. Теорема доказана.
Из доказательства следует, что теорема верна и для криволинейных трещин.
Теорема позволяет также находить среднюю площадь монолитного участка поверхности образца после того, как трещины разовьются, зная среднее число трещин на единице площади.
6. Задачи об определении выхода блоков при разработке месторождения облицовочного камня камнерезными машинами.
В этом параграфе мы рассмотрим задачи о числе прямоугольных монолитных блоков, которые можно "вырезать"из массива. Будут рассмотрены две различные постановки задачи, отвечающие двум разным технологическим процессам.
При разработке месторождения стенового или облицовочного камня камнерезными машинами из массива выпиливаются блоки, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда £1 х £>2 х £>з. Длины ребер £>1, £2, £3 мы будем пазывать л тарифными размерами. Те вы-пиливаемце блоки, которые пересечены трещинами, бракуются. Таким образом, представляет интерес задача определения выхода целых блоков.
Разработка месторождения производится по горизонтали, каждый такой горизонт можно считать частью пространства, заключенного между 2 горизонтальными плоскостями, находящимися на расстоянии Из.
Для каждого горизонта выемка производится вдоль направления Фронта горных работ (ФГР), затем сам ФГР передвигается вглубь горизонта на расстояние £1..
Расстояния между горизонтальными распилами равны £3, между вертикальными распилами, параллельными ФГР, равны £1.
Распилы этих систем проводятся строго на равном расстоянии друг относительно друга и моделируются двумя перпендикулярными системами плоскостей с равными расстояниями между соседними плоскостями в каждой системе.
Когда выпиливается блок, то проводятся еще два вертикальных распила, перпендикулярных ФГР, расстояние между которыми равно £2. Однако, в самой процедуре проведения этих распилов возможны варианты.
Для первого технологического процесса (применяемого при разработке месторождения стенового камня) распилы каждой системы проводятся на равных расстояниях, так что все три системы распилов моделируются тремя перпендикулярными равноотстоящими системами плоскостей, с расстояниями между соседними плоскостями в системах равными ^1,^2, Из.
В этом случае задача сводится к задаче отыскания относительного числа монолитных блоков первого порядка.
Для второго процесса две системы распилов, параллельные ФГР проводятся точно также и разбивают пространство на равные бруски, а вот распилы третьей системы, перпендикулярные ФГР, доразбиваюие каждый такой брусок, для каждого бруска всякий раз регулируются так, чтобы повысить выход целых блоков. Ниже будет решена задача для оптимального выбора распилов.
Назовем горизонтальные распилы первой системой распилов или просто первой системой, систему распилов, перпендикулярную ФГР второй, а оставшуюся - третьей. Расстояния между соседними распилами соответственно первой, второй и третьей систем при выпиливании блока равны V1, V2,
мы предположим, что распилы второй системы регулируются оптимальным образом. Поясним это. Пусть добыча происходит слева направо (направление указано ). можно считать, что две системы распилов, параллельных ФГР уже проведены и разбивают пространство на бруски.
В
Оптимальная стратегия, позволяющая выпилить из в максимально возможное число монолитных тарифных блоков размера VI состоит в следующем:
1. Если можно провести справа от ранее проведенного распила второй системы распия на расстоянии V2 так, чтобы был выпилен монолитный блок, это следует сделать.
2. В противном случае проводится самый левый из распилов, который не пересекается с трещинами и не совпадает с ранее проведенным
Выход монолитных блоков размера VI хV2 х Vз для второго технологического процесса в пересчете на единицу объема равен выходу таких блоков из бруска. В пересчете на единицу длины длинного ребра В, деленный на VI ■ Р3. Последняя задача сводится уже к одномерной задаче определения числа отрезков длины V2 в пересчете на единицу длины, которые можно вырезать из прямой с выброшенными системами отрезков.
Уточним это соображение. Рассмотрим проекцию на направление ФГР. Вторая система проектируется в систему точек, вырезаемой тарифный блок - в отрезок длины V2■
Сечения в плоскостями г-й системы А1 проектируются в отрезки длины среднее рассто-
г-ю систему отрезков через а Расстояние между отрезками из ai пропорционально расстоянию между соответствующими плоскостями из Ai, поэтому имеет тот же закон распределения.
Вырезанный монолитный блок проектируется в область, не пересекаются ни с одним из отрезков систем а.
Множество точек, не закрытых ни одним из отрезков систем аi образует набор интервалов. Назовем такие интервалы свободными, из свободного интервала длинны х можно вырезать /(X) = [х/02] отрезков длины вде [х] - целая часть х. С коэффициентом VlV'3 выходу в
В
где N(I) - число блоков, которые можно вырезать из части В, являщейся прямоугольным параллелепипедом с ребрами Vl, £>3. Пусть Ь(д) - проекция этой части на (ОХ). Тогда:
X
задачи является такой:
На прямой даны п систем отрезков среднее расстояние между соседними отрезками г-й системы равно закон распределения расстояний между соседними отрезками из а известен.
д = Иш N(1)/1
(23)
Найти А - среднюю сумму f(x) по свободным интервалам в пересчете на единицу длины, т.е. предел:
lim 1/21 * V /(x)
i ^^
середина х принадлежит [—1,1 ]
Ниже будут получены явные выражения для di и Si через параметры, описывающие положение систем Ai и направление ФГР.
Для первого процесса задача ставится так: даны 3 системы плоскостей, разбивающие пространство на блоки первого порядка, являющиеся прямоугольными параллелепипедами. Соседние плоскости первой системы удалены на расстояние £i, второй и третьей системы на £2 и £>з соответственно. Кроме того, имеются еще п систем плоскостей с известными направлениями, средними расстояниями и законом распределения расстояний между соседними.
Требуется определить относительное число монолитных блоков первого порядка, порожденных первыми тремя системами.
На выход блоков, как для первого, так и для второго процесса оказывает влияние закон распределения расстояний в системах.
Мы рассмотрим две модели: равноотстоящую и пуассоновскую, которые представляют крайние случаи распределения расстояний между трещинами. Сравнение результатов этих двух моделей позволяет судить о влиянии разброса расстояний между трещинами и тем самым об обоснованности предположений, лежащих в основе моделей.
Заметим, что выход блоков для пуассоновской модели больше. Это связано с тем, что разброс межтрещинных расстояний приводит к тому, что где-то трещины располагаются реже ( а где-то чаще). Но для выхода блоков "много трещин"это все равно, что "очень много". Зато важно, что появляются места с более редкими трещинами.
Ниже задача определения выхода блоков решена для четырех различных ситуаций:
1. 1-й процесс - равноотстоящая модель.
2. 1-й процесс - пуассоновская модель.
3. 2-й процесс - равноотстоящая модель.
4. 2-й процесс - пуассоновская модель.
В первом случае выход получается минимальным, в четвертом максимальным. Эти соображения служат одним из тестов для проверки алгоритмов. Сравнения результатов для первого и второго процесса позволяют судить о значении выбора распилов.
На основе решения задач 1, 2, 3,4 была разработана программа.
7. Задание плоскостей и вычисление вспомогательных величин.
а\x + b\y + c\z = const
при этом а2 + б2 + с2 = 1 или
ai = sin ai cos ßi b-í = sin ai, sin ßi Ci = cos ai
ai ßi
Через ф обозначается азимут ФГР, а через d^ средние расстояния между трещинами г-й системы. Пусть Rij - координаты ребер вырезаемого тарифного блока В (R3j - вертикального,
R\j параллельному ФГР, R2j - горизонтального нормального ФГР, j = 1, 2, 3 соответствует координатам х, у, z). Тогда:
Rn = D1 cosф, R21 = —D2 sin ф, R31 = R32 = 0 R12 = -Di sin ф, R22 = -D2 cos ф, R33 = D3, R13 = 0, R23 = 0.
Длина проекции Г блока П на нормаль к г-й системе равна сумме длин проекций его ребер:
Г = iRiidí + R12 bi + R13 Cil + IR210.Í + R22 bi + R23 Cil + + lR31üí + R32 bi + R33 c¿| = D1 |cosa¿ + sinb¿ | + (24)
+ D2 l — sina¿ + cosb¿| + D3 lal
П
с базисными векторами в1 = R1j,e2 = R2j,&3 = R3j- В этой системе координат блок П есть множество точек x',y',z', таких, что 0 ^ x',y',z' ^ 1. Переход к этой системе координат
П
а[х + b'.¿y + c^z = const,
где
а[ = díRn + biR12 + C1R13,
b'i = a¿R21 + №2 + C1R23, (25)
Cj = a¿R31 + biR32 + c¿R33. Удобно все коэффициенты di, b\, di разделить на нормировочный коэффициент
x¿ = уа2Тб2Т^2.
Положим al = a¿/x¿; б4 = í^/x¿; c¿ = c¿/x¿.
Окончательно, уравнения плоскостей i-й системы имеют вид:
a¡x + б^у + c¡z = const.
d1 = d1/x.i а проекция Г1 на нормаль к i-ñ системе равна:
Г = | a¡ 1 + 1 b\ l + l с\ |. (24')
Ниже, если не оговорено противное, все координаты будут относиться к описанной выше системе.
Пусть Вг - брус: Вг = [х,у,г | 0 ^ х,у, г ^ 1}
В
Проекция сечения Вг плоскостью г-й системы на ось ОХ есть отрезок, длина которого равна:
* = (IЪ1 1 + 1 С1 I ) /I а1 I (26)
Среднее расстояние DSi между серединами таких отрезков равно:
DSi = 4/1аЦ (27)
7.1. Определение выхода блоков для первого процесса.
Как было сказано выше, в этом случае задача ставится так: даны решетка параллелепипедов (блоков первого порядка), длины ребер которых равны £>2, ^з и п систем плоскостей. Требуется определить выход (относительное число) монолитных блоков первого порядка. Ниже в этом пункте будут решены задачи I, 2 предыдущего пункта. Проводимые при этом рассмотрения не зависят от выбора системы координат.
Средний выход блоков равен вероятности Р того, что наугад взятый блок первого порядка, образованный системами распилов А\, А2, Аз, является монолитным. Как для пуассоновской, так и для равноотстоящей модели справедливо равенство:
п
Р = ПР- (28)
г=1
где Рг - вероятность того, что блок первого порядка не пересчен трещинами г-й системы. Равенство (28), очевидное для пуассоновской модели, для равноотстоящей модели вытекает
Р ( Рг )
модели через рравн и через р.Пуасс - в пуассоновской.
Пусть Гг - проекция блока первого порядка В на нормаль к г-й системе, (г - расстояния между соседними трещинами г-й системы через ж+мы как обычно обозначаем МАХ(Х, 0).
В
следует равенство для равноотстоящей модели:
РГШ = (( - Г) + М- (29)
Из (28) и (29) следует, что:
п
Рравв = ^ ( ( - Гг) /¿г, (30)
=1
где рРавн выход блоков для равноотстоящей модели.
модели приходим к следующей задаче:
На прямой дано пуассоновское множество точек, средние расстояния между соседними г Рг Г
ни одной точки.
Как хорошо известно из теории геометрических вероятностей, в этом случае
РПУаСС =ехр(-Гг/(г) . (31)
Учитывая (28) и (31) для пуассоновской модели, окончательно имеем:
п п
рпуасс ^ ехр (-ГгМ) = ехр - ^ Гг/(Л (32)
=1 =1
В системе координат, связанный с В Г1 = | а11 + | б11 + | с11 и поэтому окончательные выражения для выхода блоков в этой системе координат примут вид:
п
Рраве = -|а1|-|61|-|с1|] /(1, (30')
ппуасс „
Рг ехр
[|а11 + | Ьг1 | + | С1 | ] /$
(32')
где индекс I наверху обозначает, что все величины берутся в системе координат, связанной
В
7.2. Определение выхода блоков для второго процесса.
Прежде всего с помощью аффинного преобразования задача сводится к случаю, когда VI = V2 = Vз = I, а азимут ФГР ф равен 0 . После преобразования вырезаемый блок является единичным кубом.
После перехода к проекциям на направление ФГР и сведения таким образом к линейному случаю, задача сводится к следующей:
На прямой I дано п систем отрезков, которые мы будем называть закрытыми отрезками. Отрезки г-й системы длину DSi. Средние расстояния между серединами соседних
отрезков г-й системы равны Si. Определить среднее число Л отрезков длины 1 , которое можно
Равенство (21) можно переписать в виде:
те
Л = Нш 1/2Ь £[х] = ^^, (21')
к=1
где х - свободный интервал на отрезке [—Ь, Ь], и Ик — среднее число свободных интервалов длины, большей чем к, в пересчете на единицу длины. Запишем окончательно:
те
Л = ^Ик. (33)
к=1
Число отрезков системы ^^ ^^^^тое длины Ь равно Ь/DSi, а всего отрезков всех систем равно Ь ■ DQ, где
п
DQ = £ 1/Si (34)
i=1
"конце" ка^жд ого отрезка.
Перейдем теперь к разбору случаев пуассоновской и равноотстоящей модели.
7.3. Пуассоновская модель.
Выход блоков мы будем обозначать Лпуасс . В этом случае середины отрезков систем ^ образуют пуассоновское множество точек со средним расстоянием I/DSi. Пусть Е - случайно выбранный конец отрезка системы А^ Вероятность Р^ того, что Е не закрыта (не является внутренней точкой) отрезка А^ равна вероятности того,что произвольно выбранная точка не закрыта точками А^ При г = j это очевидно, при г = ] это, следует из рассмотрения системы Аi
Ак
середин малой интенсивности. Справедливо равенство:
Р3 =ехр(^-/DsJ). (35)
Формула (35) следует из того, что Sj/DSj - это относительная суммарная длина отрезков из Аj в пересчете на единицу длины. Доказательство (35) основано на рассмотрении системы А1?- как объединения систем Аj малой интенсивности. В этом случае
п
Р.
. = Пр;
а=1 а=
п 11
а=1 \
т.е.
Р.
Иш 1 -
п^-те у
Б.
N■03;
1
+ 0
Б.
N -ОБ.
+ о
(N -ОБ.) )
\N-ОБ,)
= ехр (-Б./О.)
Вероятность Р того, что Е не закрыта никаким из отрезков систем Аг равна:
(36)
Р = ЦРз = ехр (-^Б,-/О. =1 =1
(37)
Пусть Е - начало свободного интервала.
Покажем, что вероятность Рх того, что расстояние от т.Е до начала ближайшего закрытого отрезка превышает X равна:
Рх = ехр(-X * ОО) = ехр
-X £ 1/ О Б.
=1
(38)
А.
Е
Е
Аг А.
один пуассоновский процесс интенсивности ОО Вероятность же того, что ближайшее слева начало от наугад выбранной точки отстоит на расстоянии больше ^^на ехр(-X * ОО), что и требуется.
Определим теперь относительное число Nх свободных отрезков длины больше X в пересчете на единицу длины.
Число середин отрезков систем {А.}, а следовательно, и концов, в пересчете на единицу длины равно ОО, Р - вероятность того, что конец не закрыт другим отрезком. Итак, относительное число свободных отрезков в единице длины равно ИОР. Каждый такой отрезок с вероятностью Рх имеет длину больше X.
Таким образом, справедливо равенство:
Nх =
Воспользовавшись (33) найдем А
£ 1/О Б. I * ехр I - £ Б./ОБ. I * ехр I -X £ 1/ОБ. 3 = 1 \ 3 = 1 \ 3 = 1
(39)
оо
п
оо
Апуасс = = ОО ехр I - ^2 Б./ОБ. I ■ ^ ехр(-ЙОО) =
к=1 \ .=1 ) к=1
= ехр 1 - £ Б./ОБ. | ■ ОО ■ ехр(-ОО)/(1 - ехр(-ОО)]
Окончательно имеем:
п
V = ехр (-Б./ОБ.] ■ ОО ■ ехр(-ОО)/(1 - ехр(-ОО)], (40)
где DQ = ЕП=11/DSj. Заметим, что если DQ ^ 0, т.е. трещины располагаются редко, то DQ exp(-DQ)/(1 - exp(-DQ)] ^ 1 и Лоуасс ехр (- ££=1 Sj/DSj
В этом случае свободные интервалы имеют большую (стремящуюся к бесконечности) сред-
тервалов.
7.4. Равноотстоящая модель.
В этом случае каждая система А\ отрезков представляет собой систему отрезков длины S^ Соседние отрезки находятся на равном расстоянии DSi между собой. Поскольку предполагается, что все параметры, описывающие положение ФГР и системы трещин находятся в общем положении, так что все величины DSi алгебраически независимы и выполняются все свойства равномерного распределения независимости сдвигов. Это дает возможность любую точку, связанную с набором систем считать случайно взятой по отношению к другим системам, причем все сдвиги других систем относительно этой точки можно считать равномерно распределенными и независимыми.
Пусть L ^ ж. Число отрезков (а, следовательно, и их конщов) из Aj на участке длины L равно L/Dj.Пусть Qj - число свободных интервалов, начало которых совпадает с концом отрезка из Aj.
Поскольку вероятность Pj того, что наугад взятая точка не закрыта отрезком из Aj, равна (D Si — Si)+ /DSi, то из замечания о независимости сдвигов, сделанного выше, вытекает равенство
Qj = I/DSj ■ П (DSi — Si) +/DSi. (41)
i=j
Множитель IIi=j (D Si — Si) +/DSi имеет смысл вероятности того, что случайно взятая
Ai
по I = j, а не по всем I от I до п.
Если Sj > Dj при некотором j, то система Aj не оставляет свободных отрезков и выход в этом случае равен нулю.
Пусть Е - начало свободного отрезка, являющееся одновременно концом отрезка из Aj. Вероятность Pj того, что начало ближайшего отрезка из Ai(j = 1) находится на расстоянии больше х от Е равна:
Pjj = (DSi — Si — X)+ / (DSi — Si). (42)
Aj
D S — Sj
Aj X
интервал длины (D Sj — Sj — X)+ , начадо которого совпадает с концом первого отрезка Aj, а
При I = j, P^ = 1, если X ^ DS-j — Sj и P^ = 0 при X ^ DS-j — Sj ■
Pj
Aj X
Pf = П (DSi — Si — х)+ / (DSi — Si). (43)
i=j
Таким образом, число свободных интервалов Nx,j длины больше X, начало которых на-
Aj Pj ■ Qj
Ь т-т (РБ1 -$)+ тг РБ1 - X)+ ^ = Щ = В31 • = ВБг -8г
1=3 I=з
После упрощения получим:
НХ) = Ь__1_П (РЯ' -8,-Х)+ (44)
х'' -8, -хЧ В81 ( )
1=1
Общее число Жх отрезков, длины большей, чем X, в пересчете на единицу длины равно
I/L ^Nx-
3 = 1
(45)
Жх = (у_1_) И -8 -Х)+.
Х ^ -X) М ^ - Бз
Пусть т = Мгп^([DSj - ]). Если т ^ 0, то Аравн = 0.
Воспользовавшись (33) имеем:
те т
А?™* = ^ Мх = ^ Жх.
Х=1 х=1
Отсюда окончательно получаем:
= £ (£ оБ^-Х) П (46)
х=1 у=1 зз! ¿=1 з з
Мы заменили ( ББ^ - - X)+, на ББ^ - - X, поскольку ББ^ - - X > 0.
На основании формул (40), (46) была составлена программа, позволяющая для каждого направления ФГР от 0° до 180°, определять выход блоков для четырех описанных выше ситуаций, а также находить оптимальное направление ФГР для каждого случая. Для неоднородного месторождения выход блоков определяется как взвешенное, среднее.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Анощенко H.H. Геометрический анализ трещиноватости и блочности месторождений облицовочного камня // МГП. 1983.
2. Р.В. Амбарцумян, И.Мекке, Д.Штоян. Введение в стохастическую геометрию // М.:Наука, 1989.
3. А.Я. Канель-Белов, В.В. Павлова, В.О. Кирова Геометрические свойства сред, разбитых трещинами на блоки // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 5, с. 208-216.
4. Батугин С. А., Бирюков А. В., Крылатчанов Р. \!.. Гранулометрия геоматериалов // Новосибирск, Наука, Сибирское отделение, 1989.
5. Касселс Дж. В., Введение в теорию диофантовых приближений // Москва, Изд-во иностранной литературы, 1961.
6. Количко А. В., Опыт оценки блочности трещиноватого массива скальных пород // Труды Гидропроекта, Сб.14, Москва-Ленинград, Энергия, 1966.
7. Кендалл \!.. Моран П. Геометрические вероятности // М.:Наука 1972.
8. М. Маттерон. Случайные множества и интегральная геометрия // М: Мир, 1978.
9. Никитин В. В., Разработка Горно-Геометрического метода прогнозирования выхода блоков для рациональной отработки месторождений облицовочного камня // Дисс. на соиск. канд. техн. наук, Москва, Mill. 1987. с.97.
10. Садовский М. А., Естественная кусковатость горной породы // Докл. АН СССР, 1979, т. 247, N4 - с. 829-831.
11. Садовский М. А., Болховитинов Л. Г., Писаренко В. Ф., О свойствах дискретности горных пород // Москва, Ин-т физики Земли им. О. Ю. Шмидта, 1981 (36с.).
12. Садовский М. А., Болховитинов Л. Г., Писаренко В. Ф., О свойстве дискретности горных пород. Физика Земли // 1982, N12, с. 3-18.
13. Садовский М. А., О распределении твердых отдельностей // ДАН СССР, 1983, т.269, N1, с.69-72.
14. Сантало д. Интегральная геометрия и геометрические веролтности // М.:Наука, 1983.
15. Чернышев С. Н., Трещины горных пород // Москва, Наука, 1983.
16. Pavlova V. V., Study of Geometrical Properties of Blocks in a Jointed Rock Mass Using Statistical Geometry. // Proceedings of the 23-rd International Symposium on the Application of Computers and Operations Research in the Mineral Industry, Tucson, Arisona, USA, April 7-11, 1992, pp.367-373.
17. Goodman, Gen-hua Shi. Block theory and some it's applications to rock engineering // Prentice-Hall, 1985.
REFERENCES
1. Anoshchenko, N.N., 1983. "Geometric analysis of fracturing and blockiness of facing stone deposits", MGI.
2. Ambartsumvan, R.V., Mekke, J., Shtovan, D, 1989. "Introduction to Stochastic geometry", Moscow:Nauka.
3. Kanel-Belov, A.Ya., Pavlova, V.V., Kirova, V.O., 2023. "Geometric properties of media broken into blocks by cracks", Chebyshevskii Sbornik, Vol. 24, Iss. 5, pp. 208-216.
4. Batugin, S. A., Birvukov, A. V., Krvlatchanov, R. M., 1989. "Granulometrv of geomaterials", Novosibirsk, Nauka, Siberian Branch.
5. Cassels, J. V., 1961. "Introduction to the theory of diophantine approximations", Moscow, Publishing House of Foreign Literature.
6. Kolechko A. V., 1966. "Experience in assessing the blockiness of a fractured rock mass", Trudy Gidroproekt, Sat. 14, Moscow-Leningrad, Energiya.
7. Kendall, M., Moran, P., 1972. "Geometric probabilities", Moscow:Nauka.
8. Masteron, M., 1978. "Random sets and integral geometry", Moscow: Mir.
9. Nikitin, V. V., Development of a mining and geometric method for predicting block yield for rational mining of facing stone deposits // Diss, on the job. Candidate of Technical Sciences, Moscow, Moscow State University, 1987. p.97.
10. Sadovskv, M. A., 1979. "Natural lumpiness of rock", Dokl. USSR Academy of Sciences, Vol. 247, № 4, pp." 829-831.
11. Sadovskv, M. A., Bolkhovitinov, L. G., Pisarenko, V. F., 1981. "On the properties of rock discreteness", Moscow, O.Y.Schmidt Institute of Physics of the Earth, 1981 (36s.).
12. Sadovskv, M. A., Bolkhovitinov, L. G., Pisarenko, V. F., 1982. "On the discreteness property of rocks", Physics of the Earth, № 12, pp. 3-18.
13. Sadovskv, M. A., 1983. "On the distribution of solid separations", DAN USSR, Vol. 269, № 1, pp. 69-72.
14. Santalo, D., 1983. "Integral geometry and geometric probabilities", Moscow: Nauka.
15. Chernvshev, S. N., 1983. "Rock cracks", Moscow, Nauka.
16. Pavlova, V. V., 1992. "Study of Geometrical Properties of Blocks in a Jointed Rock Mass Using Statistical Geometry", Proceedings of the 23-rd International Sym,posiu,m, on the Application of Computers and Operations Research in the Mineral Industry, Tucson, Arisona, USA, April 7-11, pp. 367-373.
17. Goodman, Gen-hua Shi., 1985. "Block theory and some it's applications to rock engineering", Prentice-Hall.
Получено: 05.04.2024 Принято в печать: 28.06.2024
