CC BY
42
отображения пространства R3. Все этапы аналитического решения сопровождаются образным представлением геометрических объектов и их отношений в виртуальном электронном пространстве геометрической модели. Предложенный в работе алгоритм генерации семейства OC для случая двусвязной многоугольной области может быть положен в основу генерации семейства OC для многосвязных многоугольных областей. Наличие аналитического решения задачи генерации семейства OC значительно упрощает автоматизированный расчет траектории инструмента и подготовку управляющих программ для обработки карманных поверхностей на станках с ЧПУ.
Список литературы
1. Park S.C. and Chung Y. C. Offset Tool-Path Linking for Pocket Machining // Computer-Aided Design. 2002 Vol. 34. № 4. P. 299-308.
2. Байков В. Д. Решение траекторных задач в микропроцессорных системах ЧПУ / Под ред. В.Б. Смолова. Л.: Изд-во «Машиностроение». Ленингр. отдел, 1986. 106 c.
3. Persson H. NC machining of arbitrary shaped pockets // Computer-Aided Design, 1978. 10(3). P. 169-174
4. Held M. On the Computational Geometry of Pocket Machining. Lecture Notes in Computer Science, Springer Verlag. Berlin. 1991. Vol. 500. Р.184.
5. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Berlin. Heidelberg: Springer Verlag, 2001. 565 p.
6. Lee D. Medial axis transformation of a planar shape // IEEE. Trans. 1982. Pat. Anal. Mach. Int. PAMI-4(4). P. 363-369.
7. Choi H. I., Han C. Y., Moon H. P., Roh K. H., Wee N. S.: Medial axis transform and offset curves by Minkowski Pythagorean hodograph curves // Computer-Aided Design. 1999. Vol. 31 (5). P. 9-72.
8. Choi H. I., Choi S. W. and Moon H. P. Mathematical theory of medial axis transform // Pacific J. Math. 1997. 181(1). P. 56-88.
9. Pottmann H. Peternell M. Applications of Laguerre Geometry in CAGD // Comp. Aided Geometric Design. 1998. Vol. 15. P. 165-186.
10. Xu-Zheng Liu, Jun-Hai Yong, Guo-Qin Zheng, Jia-Guang Sun. An offset algorithm for polyline curves // Computers in Industry. 2007. Vol. 58. P. 240-254.
11. Li X. J., Ye J. S. Offset of planar curves based on polylines // Journal of Institute of Command and Technology. Chinese. 2001. Vol. 12. P. 5-8.
12. Pham B. Offset curves and surfaces: a brief survey // Computer-Aided Design. 1992 Vol. 24. P. 223-239.
13. Maekawa T. An overview of offset curves and surfaces // Computer-Aided Design. 1999. Vol. 31. P. 165-173.
14. Fiedler W. Cyklographie oder Construction der Aufgabenüber Kreise und Kugeln und elementare Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme. Leipzig, Druckund Verlag von B.G. Teubner, 1882. 284 p.
15. Панчук К. Л., Кайгородцева Н. В. Циклографическая начертательная геометрия: моногр. Минобрнауки России, ОмГТУ. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2017. 232 с.
16. Доля П. Г. Моделирование кусочно-гладких непрерывных функций и кривых // Вестник Харьк. нац. унта. Сер. Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления. 2005. № 661. Вып. 4. С. 97-103.
УДК 004.925.83
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕМЕЙСТВА ЛИНИЙ КОНТУРНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ КАРМАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ИЗДЕЛИЯХ МАШИНОСТРОЕНИЯ
GEOMETRICAL MODELING OF FAMILY OF LINES OF CONTOUR-PARALLEL PROCESSING OF POCKET SURFACES IN MACHINE-BUILDING PRODUCTS
Т. М. Мясоедова, К. Л. Панчук
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
T. M. Myasoedova, K. L. Panchuk
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. В работе рассмотрены аналитические решения предложенных геометрических моделей формообразования эквидистантных кривых, т.е. контурно-параллельных линий для плоских контуров и ограниченных ими областей в случае применения кривых второго порядка в качестве таковых. Геометрические модели являются пространственными и основаны на циклографическом отображении. Они отличаются от известных алгебраических моделей и их решений для рассматриваемой задачи формооб-
разования тем, что на этапе компьютерной пространственной визуализации позволяют получать более полное и наглядное представление о взаимосвязи и взаимовлиянии геометрических объектов модели. Приведены примеры, подтверждающие работоспособность предложенных геометрических моделей рассматриваемой задачи формообразования. Модели могут быть использованы при автоматизированном проектировании траектории режущего инструмента для обработки карманной поверхности на станках ЧПУ.
Ключевые слова: эквидистанта, циклографическое отображение, «-поверхность, геометрическая модель, кривые второго порядка
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-269-276
I. Введение
Эквидистанта представляет собой контурно-параллельную линию, т.е. кривую равных расстояний для всех ее точек относительно заданной контурной кривой. Эквидистанта и семейство эквидистант используются при автоматизированном расчете траектории перемещения инструмента для обработки деталей на станках с ЧПУ в CAD/CAM системах [1, 2].
В практических задачах вычисления семейства эквидистант внутри области на плоскости, ограниченной некоторым контуром, приходится решать задачу «обрезки» самопересекающихся эквидистант. Для этих целей используется медиальная ось преобразований области (MAT - medial axis transform), под которой понимается множество всех вписанных в область кругов максимальных радиусов, т.е. касающихся ее граничного контура. Координаты (x,y) центра круга и его радиус R - это тройка чисел, множество которых для всех вписанных кругов максимальных радиусов определяет MAT [3,4,5,6]. Центры всех этих кругов образуют медиальную ось MA. Самопересечение эквидистанты определяется на основании информации о радиусах вписанных кругов и происходит в точках на MA. Таким образом, MAT, как множество пар «точка, радиус», позволяет решать задачу обрезки эквидистант для последующего перехода к автоматизированному проектированию контурно -параллельных линий, представляющих собой траектории режущего инструмента, обрабатывающего карманные поверхности с заданной областью с граничным контуром на станках с ЧПУ.
Возможен иной подход к формированию семейств эквидистант (в дальнейшем множество OC - offset curves), основанный на представлении MAT как некоторого пространственного образа, взаимно-однозначно соответствующего заданному прообразу - плоской области с граничным контуром. В новом подходе MAT - это пространственная кривая, восстановленная циклографическим отображением [7,8] в пространстве по геометрической информации об области и ее граничном контуре. Она образуется при пересечении всевозможных линейчатых а-поверхностей с образующими, наклоненными к плоскости контура под углом а=45° [9]. При этом а-поверхности формообразуются по геометрической информации об области и ее граничном контуре. Для построенных а-поверхностей выполняется соответствующая обрезка по полученной MAT, что приводит к формообразованию некоторой а-оболочки, накрывающей заданную область с граничным контуром. а-оболочка и плоская область с граничным контуром - это взаимно-однозначно соответственные двухмерные геометрические объекты. Последующее рассечение а-оболочки множеством плоскостей вдоль оси z с шагом Azi=S=const приводит к образованию на ней семейства линий уровня, ортогональные проекции которых на плоскость заданной области представляют собой множество OC внутри этой области, необходимое для последующих автоматизированных расчетов траектории перемещения обрабатывающего карманные поверхности инструмента и составления соответствующих управляющих программ для станков с ЧПУ.
II. Постановка задачи
Сравнивая два подхода к формообразованию OC - существующий и предложенный в настоящей работе, можно заметить различие технологий формообразования: в первом случае MA формообразуют на основе уплотняющей интерполяции (уплотнение множества касательных кругов, заполняющих плоскую область) с выполнением последующего построения множества OC и, при необходимости, MA T; во втором случае вначале формообразуют MAT и строят множество плоских сечений а-оболочки по оси z, а затем ортогональным отображением на плоскую область получают MA и множество OC.
В предлагаемом подходе отпадает необходимость в сложном аналитическом оперировании множеством касательных кругов для получения MA, MAT и построении OC. При этом появляется возможность получения на этапе компьютерной визуализации более полного и наглядного пространственного представления о взаимосвязи и взаимовлиянии всех геометрических объектов, участвующих в образовании множества OC. Исходя из предложенного подхода к формообразованию линий OC ставится задача разработать геометрическую модель с аналитическим описанием, реализующую этот подход, и дать экспериментальную проверку работоспособности этой модели.
III. Теория формообразования я-оболочки
я-оболочка представляет собой некоторую поверхность, ограниченную MAT по высоте (в направлении оси z) и опирающуюся на граничный контур области на плоскости. Между двумерными множествами точек я-оболочки и точек области устанавливается взаимно-однозначное соответствие.
Формообразование MAT
Пусть на плоскости (xy) задан некоторый контур (a,b), состоящий из линий acC2, bcC2:
а: Га = (ха),>a)); Ъ : гь = (xb(i2),yb(i2)); tut2 е R . Принимая линии a и b в качестве эвольвент, запишем уравнения их эволют е и еь:
Ьа : Геа (t1 ) = (хеа (t1), Уеа (t1 )) = Га + Rana ,
еЪ : ГеЪ (t2 ) = (хеЪ (t2 УьЪ (t2 )) = ГЪ + Rb ПЪ . Для эволют еа и еЪ построим следующие пространственные линии еа1 и еЪ1:
Ьа1 : Га1 (t1^ = (Хеа , Уеа , Zea = ^) ,
ЬЪ1 : ГЪ1 (t2 ) = (ХеЪ , УеЪ , Zeb = W(ХЪ " ХеЪ )2 + (Уъ - УеЪ )2 ) .
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Линии а, еа1, и Ь, еы попарно образуют линейчатые я-поверхности ^ и , для которых эти линии слу-
ьа1 >
жат направляющими:
01 : n(t1, /1) = Га1(^) + ¡1 • (Га (t1) - Гаl(tl)) , Q2 : Г 2 (t2, ¡2 ) = Г Ъ1 (t2 ) + ¡2 • (Г ь (t2 ) - Г Ъ1 ^ )) .
(6) (7)
я-поверхности образуют линию пересечения, представляющую собой MAT: Q ПQ = MAT . Действительно. Обозначим линию пересечения как s = Q П Q. Тогда я-проекцией линии s , принадлежащей поверхности Q , будет линия а. я-проекцией линии s, принадлежащей поверхности Q2, будет линия b. Под я-проекцией линии s, принадлежащей я-поверхности, понимается множество точек пересечения образующих прямых этой поверхности с плоскостью (xy). При этом образующие наклонены к плоскости (xy) под углом 45° и проходят через линию s. Следовательно, линии а и b представляют собой две ветви линии пересечения плоскости (xy) и огибающей однопараметрического множества я-конусов с вершинами на s и осями, перпендикулярными плоскости (xy). Основание каждого конуса на плоскости (xy) - это окружность радиуса R, касающаяся линий а и b. Таким образом, на плоскости (xy) образуется непрерывное множество троек чисел (x,y,R=z), которое по приведенному выше алгебраическому определению представляет собой MAT.
IV. Результаты экспериментов
Рассмотрим построение MAT и MA для кривых второго порядка, предполагая использование их в дальнейшем в качестве примитивов для формообразования комбинированных граничных контуров, ограничивающих области на плоскости.
Построение MAT, MA и OC для кривых второго порядка
На рис. 1 приведен контур-эллипс, представленный в виде составляющих частей q1 и q2.
Рис. 1. Исходный контур - эллипс (qi, q2)
Уравнение составляющих qx и q2 имеют следующий вид:
2t i -12
: *i = yi = bi-—Т'-1 ^ ti ^ 1> a=4 bi =2; i+tj2 i+tj2
2t i-t2
Ъ : X2 = a2-T' У2 = b2-2'-i ^ t2 ^ i' a2 = 4'b2 = 2 •
i + t22 i + t22
Исходя из этих уравнений и используя вышеприведенный алгоритм определения поверхностей Q и Q (уравнения (6), (7)), можно получить эти поверхности (рис. 2) и линию MAT, обозначенную как ml2. Затем выполняем обрезку полученных поверхностей Q и Q по линии mi,2 и формируем таким образом а-оболочку
Qi,2 (рис. 3).
Рис. 2. Образ ml 2 контура q^) Рис. 3. я-оболочка Ql 2 на контуре -
в циклографическом отображении эллипсе q2) после обрезки
Последующее рассечение я-оболочки Q1 2 пучком плоскостей Р^ (/а=8=сот() приводит к образованию множества ОС (рис. 4) на оболочке и на плоскости (ху) (рис. 5) с линиейМ4(т12(ху)).
Рис. 4. Рассечение я-оболочки плоскостями Рис. 5. Итоговый результат - множество ОС эллипса
П(А2=сот()
На следующем рис. 6 приведен исходный контур-парабола q2) с уравнениями её составляющих:
t2 i
qi: xi =-ti' yi = —' Pi = -'-i < ti < 0 ;
2 Pi 4
t22 i
q2: X2 =-t2' У2 = ~Z-' P2 = T '0 < t2 < i .
2 P2 4
Рис. 6. Исходный контур-парабола (qi, q2)
По исходному контуру - параболе построены MAT (т12) и а-оболочка Qi 2 (рис.7). Затем произведена процедура рассечения а-оболочки пучком плоскостей Pi (Azi=S=const) и получено множество OC на плоскости (xy) (рис. 8).
Следующий исходный контур - гипербола (q1, q2, q3, q4) задан уравнениями её составляющих (рис. 9):
qi: x = -
гi + e
' yi =■
'-i < ti <0; q2: x2 =
et2 + e h
2
У2 =■
t, -t, e 2 - e 2
,0 < 12 < i;
e'3 + e 's
qs: x3 = ■
t3 t3
' Уз ="
et4 -e_t4 Л
,-i < ts < 0; q4 : x4 =-, y4 =-,0 < t4 < i.
et4 + e t4
2
Рис. 7. а-оболочка на контуре-параболе (q1, q2) после обрезки
Рис. 8. Итоговый результат - множество OC параболы
2
2
2
2
2
Как и в предыдущих примерах, вначале выполним формообразование я-поверхностей ^, 02,03 и и соответствующих им я-оболочек Q1 2,Q3A , затем произведем рассечение полученных оболочек пучком плоскостей Р, (/а==8=сот(), что и позволит получить множество ОС на плоскости (ху) (рис. 10).
Рис. 9. Исходный контур-гипербола
(<?ь 42, чъ, дд
Рис. 10. Итоговый результат - множество ОС гиперболы
Приведем результаты решения более сложной задачи формообразования ОС на примере симметричного комбинированного замкнутого контура д(£), ограничивающего область £ на плоскости (ху) (рис. 11). Контур д(£) состоит из: дуг эллипса (дь 41), дуг двух гипербол (д21, д22) и (421, 422), дуг двух гипербол (дъ1, дъ2) и (4Ъ1, 4Ъ2), дуг двух гипербол (д41, д42) и (441, 442). В точках стыковки дуг кривых второго порядка ТЬ_,Т5 и Т/2,Т/ъ,Т/4,Т5 выполняется соединение дуг по второму порядку гладкости. Для комбинированного контура д(£) по вышеизложенному алгоритму выполнено формообразование я-поверхностей (рис. 12). Затем сделана обрезка для получения комбинированной я-оболочки (рис. 13), последующее рассечение которой пучком плоскостей Р, (А1,=8=сот1) привело к получению на ней множества линий уровня по отношении к плоскости (ху), симметричного относительно плоскости (хг) (рис. 14). Последующее ортогональное отображение линий уровня на плоскость (ху) позволило получить множество ОС области £с контуром д(£) (рис. 15).
V. Обсуждение результатов
Геометрические модели и их аналитическое описание для определения множества ОС кривых второго порядка на основе циклографического отображения имеют, как следует из рассмотренных выше примеров, аналитическое решение. Это позволяет рассматривать такие кривые и их множества ОС как некоторые примитивы, которые могут быть использованы в построении множества ОС для сложных контуров, состоящих из участков - дуг кривых второго порядка с гладкостью С2 их стыковки. Пример решения такой задачи приведен в настоящей работе и подтверждает сказанное.
Рис. 11. Исходный комбинированный контур д(£)
Рис. 12. Формирование я-поверхностей по комбинированному контуру 3(£)
Рис. 13. Комбинированный образМЛТ=т(ху2) исход- Рис. 14. Рассечение я-оболочки пучком плоскостей ного контура 3(Ц) и я-оболочка после обрезки pi (лzi= сот^
Рис. 15. Итоговый результат - множество ОС области £с контуром д(£) и медиальная ось тх
VI. Выводы и заключение
Для сложного контура из дуг кривых второго порядка, принимаемого в качестве профиля карманной поверхности технического изделия, и ограниченной этим контуром области, можно получить аналитическое решение задачи формообразования множества OC. Это значительно упрощает автоматизированный расчет траектории инструмента для обработки таких поверхностей на станках с ЧПУ в CAD/CAM системах.
В направлении развития затронутой в работе темы исследований, представляет теоретический и практический интерес применение предложенного в работе подхода к формообразованию OC для случая сложного контура, описываемого дугами различных сплайн-кривых.
Список литературы
1. Held M. On the Computational Geometry of Pocket Machining // Lecture Notes in Computer Science. Springer Verlag. Berlin 1991. Vol. 500. Р. 184.
2. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Berlin. Heidelberg: Springer Verlag, 2001. 565 p.
3. Lee D. Medial axis transformation of a planar shape // IEEE. Trans. Pat. Anal. Mach. Int. PAMI-4(4). 1982.
Р. 363-369.
4. Choi H. I., Han C. Y., Moon H. P ., Roh K. H., Wee N. S. Medial axis transform and offset curves by Minkowski Pythagorean hodograph curves // Computer-Aided Design. 1999. Vol. 31, no 5. Р. 59-72.
5. Choi H. I., Choi S. W. and Moon H. P. Mathematical theory of medial axis transform // Pacific J. Math. 1997. Vol. 18. Р. 56-88.
6. Pottmann H., Peternell M. Applications of Laguerre Geometry in CAGD // Comp. Aided Geometric Design. 1998. Vol. 15. Р. 165-186.
7. Fiedler W. Cyklographie oder Construction der Aufgabenüber Kreise und Kugeln und elementare Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme. Leipzig, Druckund Verlag von B.G. Teubner, 1882. 284 p.
8. Dr. Emil Muller. Vorlesungen über Darstellende Geometrie. II. Band: Die Zyklographie / Edited from the manuscript by Dr. Josef Leopold Krames. Leipzig and Vienna, Franz Deuticke, 1929. 476 p.
9. Панчук К. Л., Кайгородцева Н. В. Циклографическая начертательная геометрия : моногр. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2017. 232 с.
УДК 621.01
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА СЕРВИСА РУКИ АНДРОИДНОГО РОБОТА МЕТОДОМ СИНТЕЗА МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ ОСИ СХВАТОНОСИТЕЛЯ ПО ВЕКТОРУ СКОРОСТЕЙ
DEFINITION OF SERVICE ANGLE OF ANDROID'S ROBOT HAND BY METHOD OF SMALL MOVEMENTS OF GRIPPER'S AXIS SYNTHESIS BY SPEED VECTOR
Ф. Н. Притыкин, В. И. Небритов
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
F. N. Pritykin, V. I. Nebritov
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. Излагается обобщённый метод определения телесного угла сервиса на основе синтеза движений по заданным направлениям оси схватоносителя при неподвижном центре захвата. Синтез движений в работе осуществляется по вектору скоростей. В качестве примера определен телесный угол руки андроидного робота, образованный продольной осью схватоносителя. Сущность метода основана на исследовании множеств положений конфигураций, задающих крайние положения точек развертки сферы единичного радиуса, которая задаёт телесный угол сервиса. На основе этого определена сферическая кривая, задающая форму искомого телесного угла. Результаты исследований могут быть использованы при разработке систем управления автономно функционирующих андроидных роботов.
Ключевые слова: механизмы манипуляторов, угол сервиса, синтез движений механизмов, вектор скорости, манипулятивность.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-276-281
I. Введение
При моделировании процессов перемещения объектов манипулирования с использованием роботов необходимо на начальных этапах выяснять двигательные возможности и собственные свойства исполнительных механизмов. Одной из задач на этом этапе является определение угла сервиса. Решение данной задачи на виртуальном уровне возможно с помощью моделирования малых движений механизмов манипуляторов по вектору скоростей выходного звена с обеспечением заданного фиксированного положения центра выходного звена. В работе [1] приведен способ определения угла сервиса на основе использования векторного уравнения замкнутости эквивалентного механизма. Однако при сложной структуре кинематических цепей механизмов манипуляторов, заданных различных предельных значений обобщенных координат и двигательной избыточности, равной двум и более использование указанного способа затруднено. В работе [2] предложен способ определения телесного угла на основе исследования мгновенных состояний механизмов [3]. Однако синтез движений оси схватоносителя в различных направлениях при неподвижном центре захвата в указанной работе не исследовался, а определялись лишь отдельные положения оси схватоносителя, соответствующие допустимым значениям вектора обобщенных скоростей для заданной конфигурации.
В работе [4] предложен обобщенный способ определения угла сервиса на основе синтеза движений оси схватоносителя по часовой и против часовой стрелки при неподвижном центре захвата для плоских механизмов
