CC BY
35
УДК 001.925 8
ГСОМСТРИЧССКОС МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПРИМРНРНИРМ КРИВЫХ И ПОВРРХНОСТРЙ БР^ЬР
Т. В. Люшеез, С. В. Паю лога. Р. Н. Булычев Воспгсчнс-С'.&ирсмш госу дарственны й унаеерсит еп: технологий и управления
х. У/тн-УАя, Р,к(пи
Аннотация В статье рассматривается метод построения модели трехмериых параметрических твер дых тел свободной формы и их описание с помощью кривых и поверхностей Бсзье. Приведены уравпе ния порипн тела с граничными кубическими кривыми и поверхностями Ьезье. В качестве эксперимента рассматривалась порция тела на восьмиугольном криволинейном каркасе. Вычислительный эксперимент показал, что метол хорошо работает и корректно определяет положения внешних и внутренних поверхностей как при начальном условии, так и при деформации формы тела с помошью управляющих точен Данный метод позволяет легко управлять формой и описывать полностью поведение промежуточных поверхностей внутри тела моделируемого объекта. Предложенная методика может быть использована при численном моделировании многослойных конструкции.
Ключевые слова: трехмерное моделирование, многослойная конструкция, поверхность Ьезье.
IВСЕДШХ
Мсшды 1 оимецшчвимми молелиривааия фгхмернь.?.. параметрических твердых леи. и шм числе мшл целинных конструкций. позволяют оптимизировать проектирование н разработку самых разных, подчас функционально разных промышленных изделии Тазе. например. для проектирования деталей, изготавливаемых намоткей нз композиционных материалов, разработан метод объемного геометрического моделирования [1] Возможности и особенности применения данного метода рассмотрены также примепитеяыю к проектированию изделий легкой про мыаиегаюсга. имеющих сложную антропоморфную форму и многослойную структуру [2, 3].
Для моделирования таких тел существуют различные подходы. Существуют поверхностные модели тела, представление тел плоскими гранями, моделирование тел с помошью методов конструктивной твердотельной ггомприи [4] Кил.чый и:с них имггг (.«'и догтинггки и нг,цк~гагки ОГиций подход к омиглник» гр.| пч'ткг к ||]ГДГ1ЯШ1ГНИИ тли сокоьунтх гкю ними чин )1 |и х гт оПъгм пормий г.ини и ргОри кошрмх «1Л/1НЫ изометрически. Каждая порция строится нз набора стыкующихся др>т с другом поверхностей произвольной формы. содержащих полную информацию о своих границах и связях с соседями. Такое описание тел называется представле:шем с помощью границ. Оно дает возможность выполнять над телами множество операции, сохра пяя при этом единый способ их свиутреппего устройства». Представлешге тел с помощыо границ позволяет моделировать оОьскты произвольней формы и сложности, в том чнеле многослойные конструкции.
В работах [1. 5] для описания порции трехмерного тела используют обобщенную линейную нктерполяцню
Тиной ип'1\;1 НИИСИНИХ 1Г.1И ИО.ЧКОЛМП ГКОНПруИ^КЖ/ИЬ ПГГЛНН«Г 1ТЛ1» ИЧ Ш'рцнн ДАННОЮ ТИ1Б1 ОдНИЯО НИ 1|1И-НИЦЛХ МОрЦИЙ 4111 -1Г.И» буДГТ ТПЛЬЬО НРИ])^1К1КН->1М, НО НГ П1ИДКИМ Тик ИМ пГ^ИЧОМ. Н рг.чулкштс- |1ю]1миругнм
составное тело нулевого порядка гладкосгн. Непрерывность градиентов, существенная для большинства практических приложении, достигается более сложных! путем, где порция тела определяется не только через расчет граничных поверхностен, но н также через расчет граничных наклонов в направлениях, траасверсальных граничным поверхностях. С этой целью в работе [6] была поставлена и решена задача о построении уравнения норцни тело, учитывающая заданные наклоны поперек граничных поверхностен. В донной роботе уравнение порции получено на оснсве применения обобщенной интерполяции Эрмита. Для описания граничных кривых использовались кубические параметрические сплайны Полученное уравнение порции поззоляег формирозать
{ЧК'ЧИКНОГ ТГ-1П ПГ|1КОШ порядки 1ЛИДМКТ1И ТпКОЙ МС-П1Д ОПИСАНИИ 1ГЛЛ )'ДнГ>И1) ИГ.ПОЛК-СПКИТЬ, Н"ЛИ ИЖГПНЙ ([к>рми Ч<0ДГЛИр>ГМ010 обкГИ 1И ХоГИ 11|>Л)(||Е1:Ч{1КИНИГ И1:1'Г1ц>/ГИЧСЧ'Ю11! У1»КН-НИИ К]1ИКОЙ к форму финиш
уравнения позволяет работать с кривой нг. интуитивном уровне, эрмитова форма не полностью удовлетворяет требованиям разработчиков прикладных систем. Предсказал, форму кривой по величине векторов касательных ие так то просто. Поэтому в некоторых приложениях, например, при проектпрогсшни изделий легкой ирсмыш лепиости, где часто отсутствует физическая модель, или присутствует начальные несовершенства формы нзде лня. предпочтение отдастся моделированию кривых и позсрхностсй в форме Ьсзьс.
R ,ржыой ciari-htt [исгм/ирикиги * .чаднча :кк"п:огним урлннгния iki]n;hh чрехмгрнот irjia г. iiovnnihKi купи-ческнх кривых и поверхностей Безье. Предложенная методика позволяет описывать составное тело первого порядка гладкости
TT ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть нам известна ферма поверхности тела моделируемого объекта. Построена сетка кривых, определяющая поверхность тела. Сетка кривых делит поверхность на четырехугольные порции, которые ограничены и. v. W кривыми, KHK ПОКИЧЛНО Н* ]1И(~. 1 Пуспъ IтрПМСТфИЧГГКИМ Д31И№1 >1ГИХ крикмх тмгнкпг* К 1П*-ДП1ЯХ Ol П до 1 Тогда r(u, v, и»), О < и, v, w < 1, представляет внутренность порции тела, а r(i, v, w), г(u,j,w), г(u,v,k), i.j.k = 0; 1 определяют cc известные граничные поверхности. Нсоохоцнмо определить функиню г(u, v, w). которая при и = t, v = ), w = к представляет нужную граничную поверхность порции тела.
Грантах пэвеэтчэгть
Гоиг-ыая «0,JS1>_¿1__" К1.1.П
кризах
r(U.o.i) / ГОД»,
1.0)
гр£.01 1Г- гС1.0.О Рис. 1. Порция тела
Ш. Теория
Порция тела представляет собой восьмиугольный криволинейный каркас, состоящий нз 8 узловых точек, 12 грашгшых кэпвих и 6 грашппплх поверхностей (рис. 2).
<0.1,1) г(н11>_ 1(1,1.J)
кап/ / ш.ол) [»(«А») /
P(J,V,0)
f(ül0,0) г( 1.0,0)
Рис. 2. Грашгчные кривые порции тела
Для описания граничных кривых мы использовали параметрическую кубическую кривую Безье (рис 3). Уравнение кубической крпэсп Безье в матричной форме имеет вид (7):
г(0 - *0)МР. (1)
где: — Сс3 t2 £ - матрица строка параметра Л
Р — (Р0 Р1 Р; Р3)Т — МИфИЦИНТНХлПгЦ у| ]).1К11ЧН)1|ИХ И1ЧГК кринпй,
/-1 3-3 1\
М = | ^ ~~ 2 о* 0 I ~ матРша коэффициентов кубической кривой Безье. \ 1 00 0 )
Рис. 3. Kyöinecicafl кривая Беэье
Используя формулу (1), запишем уразсгепня грапягшык кривых поршш тела:
г(ц,].к) = F(u)MPUjfc. г(i, v,k) = F(v)MPl>fc.
ГС»./. Vi') - F(w)MPi;il., i,j,k € ГОД],
где: PbiK. P(p*: Pi/K, - управляющие точки вдоль кривых и v, w. Уравнения граничных поверхностей порции тела имеют вид:
г(i.v.w) = F(tOMPltni.MTF(vv)T. r(u,j, w) = F(u)MPll/w.MTF(w)T.
r(u,v,k) ~ F(m)MP„„i:MtF(v)t, i,j,U G {0,1},
где: Pjv*. Pujwv- Puvu ~ управляющие точки граничных поверхностен. Уравнение шрцик хеш в матричной форме имеет вид.
т(и, v,w) - F(V)MP„, ,MtF(V)tF(V)M(0> + F(m)MPu „ MTFi;^)'rFi;^)Mil) +
F(u)MPuir2MTF(v)TF(HOM<2> + F(?i)MPup3MTF(v)TF(w)M(3>,
где: Ри1Ю, Pap;j Put3 - управляющие точки поверхностен.
С2)
Ü)
(4)
IV. Результаты экспериментов В качестве эксперимента рассматривалась порция тела на восьмиугольном криволинейном каркасе. Вычислительный эксперимент показал, что метод хорошо работает и корректно определяет положения внешних и внутренних поверхностей как при начальном условии, так и при деформации формы с помощью управляющих точек.
Рис. 4 Промежуточные поверхности порции тела
Вычислительные эксперименты проводились с использованием математического пакета программ MatCAD. Изменялись положения узловых точек поршш тела и определялись промежуточные поверхности поршш тела при значениях параметра w = 0; 0.25; 0.5; 0.7S; 1. Результаты экспериментов показаны на рнс 4.
V. Обсуждение результатов
Вычислительные эксперименты показали корректность полученной формулы (4) для описания поршш тела. Последовательные подстановки конкретных числовых значении в указанную формулу удовлетворяют требуемым условиям поставленной задачи. Управлять формой моделируемого объекта можно с помошью управляющих точек граничных поверхностей Безье. При изменении точечного каркаса, изменяются граничные поверхности. прн этом данная конструкция описывает полностью поведение промежуточных поверхностей тела, в том числе срединной поверхности. Это очень важный результат, когда в некоторых приложениях необходимо определить срединную поверхность толстостенной многослойной оболочки с переменной толщиной при изменении формы граничных поверхностей под воздействием различной нагрузки.
vl Выводы и заключение
Рассмотренная модель задания формы н структуры многослойной конструкции изделия позволит оптимизировать решение задач объемного моделирования изделий в различных отраслях промышленного производства. Это позволит сократить время проектирования изделия, не приводя к снижению качества проектируемого объекта. Результаты проведенных экспериментов показали, что предложенная методика не требует перезадания каркаса тела прн определен™ положения н формы промежуточных поверхностей. Форма поверхности тела легко управляется с помощью управляющих точек. Использование кубических параметрических кривых и поверхностей Безье обеспечивает создание составных тел первого порядка гладкости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аюглеев Т. В. Метод построения модели сплошного тела с применением обобщенной линейной интерполяции U Автоматизация и современные технологии. 2005. № 6. С. 35—40.
2. Павлова С. В.. Аюшеев Т. В. Метод геометрического моделирования многослойных конструкций изделий легкой промышленности. И Вестник ВСГУТУ. 2014. № 1. С. 13-18.
3. Павлова С. В.. Аюшеев Т. В. Описание вирту альной модели изделия в индустрии моды с позиции геометрического моделирования формы ■'/ ВестникВСГТУ. 2007. № 3. С. 35.
4. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. М.: Изд-во Физико-математической литературы. 2002. 472 с.
5. Durikovic R., Czanner S Modeling with three types of Coons Bodies ft International Journal of Modelling & Simulation. IASTED. 2004 Vol. 24, no 2. P. 97-101.
6. Аюшеев Т. В. Метод построения сплошных тел с применением обобщенной интерполяции Эрмнта И Информационные технологии. 2005. № 6. С. 27—32.
7. Иванов В. П.. Батраков А. С. Трехмерная компьютерная графика / под ред. Г.М. Полшпука. М.: Радио н связь, 1995. 224 с.
