CC BY
28Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ COMPUTER SIMULATION HISTORY
УДК 681.5 DOI:10.18413/2518-1092-2016-1-4-4-15
Дмитриенко В.Д. Заковоротный А.Ю.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ЭНЕРГОЗАТРАТ ТЯГОВОГО ПОДВИЖНОГО СОСТАВА
Национальный технический университет «Харьковский Политехнический институт», ул. Фрунзе, 21, г. Харьков, 61002, Украина e-mail: valdmitrienko@gmail.com, arcade@i.ua
Аннотация
В работе средствами инволютивных распределений геометрической теории управления получена работоспособная линейная математическая модель движения дизель-поезда с двумя эквивалентными тяговыми электроприводами, которая эквивалентна нелинейной математической модели, описываемой системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 24-го порядка с четырьмя управлениями. С помощью принципа максимума решены две задачи оптимального управления тяговым приводом: максимального быстродействия и минимизации взвешенной линейной комбинации времени и расходы квадрата управления. Это позволило, с одной стороны, получить для каждого участка железнодорожного пути законы управления, которые определяют минимально необходимое время для преодоления перегона, а с другой стороны, получать законы управления, обеспечивающие график движения и минимизацию расхода топливно-энергетических ресурсов.
Ключевые слова: геометрическая теория управления; линейная математическая модель; движение дизель-поезда; принцип максимума; оптимальное управление.
UDC 681.5
Dmitrienko V.D. Zakovorotniy A.Yu.
GEOMETRIC CONTROL THEORY IN THE PROBLEM OF OPTIMIZATION OF ENERGY CONSUMPTION OF TRACTION ROLLING STOCK
National Technical University «Kharkov Polytechnic Institute» 21 Frunze St., Kharkov, 308015, Ukraine.
Аbstract
In the course of the study, by means of involutive distributions of geometric control theory, the authors produced a workable linear mathematical model of the motion of a diesel train with two equivalent electric traction drives, which is equivalent to a non-linear mathematical model, described by a system of nonlinear ordinary differential equations of the 24-th order with four controls. With the help of the maximum principle there were resolved two tasks of optimal control of the traction drive: maximum performance and minimization of the weighted linear combination of time and cost control of a square. This allowed, on the one hand, to receive control laws for each section of railway track, that specify the minimum time necessary to overcome the haul, on the other hand, to receive the control laws ensuring the timetable and minimizing the consumption of fuel and energy resources.
Keywords: geometric control theory; linear mathematical model; diesel train movement; maximum principle; optimal control.
Постановка проблемы и анализ литературы в области развития современных видов
Одним из основных стратегических железнодорожного транспорта является
направлений государственной политики Украины привлечение к их производству отечественных
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
производителей, что обеспечит уменьшения импортной зависимости Украинских железных дорог от зарубежных поставок подвижного состава [1, 2]. При этом особое внимание уделено, с одной стороны, внедрению современных энергосберегающих технологий, а с другой стороны, рациональному использованию имеющихся энергоресурсов [3]. Последнее решается путем совершенствования уже существующих систем автоматического управления подвижным составом с целью минимизации затрат энергоресурсов при соблюдении графиков движения. Для Украины этот вопрос является актуальным, поскольку расход энергоресурсов на перевозку грузов и пассажиров в нашей стране выше, чем в большинстве развитых стран мира.
Сегодня вопросами создания и совершенствования систем оптимального управления тяговым электроприводом
подвижного состава занимается множество специалистов как в Украине, так и в странах ближнего и дальнего зарубежья. При этом работы этих ученых основываются на теории управления и теории оптимальных систем управления, а также методов динамического
программирования, классического вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина, функций Ляпунова, аналитического
конструирования Красовского и Летова-Калмана, терминального управления, синтеза робастных систем управления и т.д. [4 - 10]. Но, несмотря на это, в полном объеме проблема оптимального управления тяговым электроприводом
подвижного состава не решена и по сей день, поскольку не решена проблема синтеза оптимальных систем управления для объектов с несколькими управлениями, которые
описываются нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Это, в свою очередь, привело к разработке методов линеаризации исходных нелинейных систем и последующему применению хорошо разработанной теории линейных систем управления [11]. Однако наиболее часто применяемая линеаризация по Тейлору, позволяющая линеаризовать систему в достаточно малой окрестности выбранной рабочей точки, практически неприменима для сложных объектов, описываемых нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Но научная привлекательность теории управления
линейными системами, которая позволяет
синтезировать оптимальные системы управления для линейных объектов любого порядка, привела к разработке нового метода - геометрической линеаризации, основанного на геометрическом подходе к теории управления, теории групп, дифференциальной геометрии, алгебры Ли и т.д. Успехи этого метода линеаризации легли в основу создания нового научного течения -единой геометрической теории управления [12-14], которая с помощью обратной связи в пространстве «вход-выход» или «вход-состояние» позволяет преобразовывать нелинейные системы высокого порядка с несколькими управлениями в эквивалентные линейные системы. Это становится возможным благодаря декомпозиции исходной нелинейной модели объекта, представленной в некотором пространстве состояний, на ряд независимых линейных подсистем меньшей размерности в канонической форме Бруновского, которые принадлежат соответствующим подпространствам исходного пространства состояний. При этом каждая линейная подсистема уравнений содержит только одно управление [12].
Процесс получения линейного эквивалента для исходной нелинейной системы вида шх т
— = Е(х) + £ (х), х е М с Я", (1)
ш к=
где х = (х, х2, ..., х ) - вектор фазовых координат
нелинейной системы управления на гладком
многообразии М размерности п; ¥(х), Ок (х) -
гладкие векторные поля на многообразии М,
которые в локальных системах координат имеют
" д " д вид г(х)(х)^~ и вк(х)(х)^~; м дxJ 7=1 ' ^
^ (х), ^(х), ] = 1," - гладкие функции
векторного аргумента х, определенные в локальных системах координат на многообразии
М; щ, к = 1, т - управления, может быть сформулирован следующим образам: необходимо найти такую гладкую замену координат г = г(х), г е Я" и управлений V = у(ы, х),
V = У2 , ..., Ут X ( " = (щl, и2- ..., ит) X что система уравнений (1) приводится в новой системе координат к некоторой ей эквивалентной управляемой линейной системе
шг
— = А + Бу, г е Я", V е Ят, т < " . (2)
ш
Здесь матрицы А и В имеют соответственно размеры п х п и п х т и являются блочно-
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
диагональными
A = blockdiag[A1, ..., Aр , ..., Am], B = blockdiag[Bi, ..., Bp, ..., Bm], где 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0
матрицами
a p =
где
О О О ... 1 О О О ... О
qp, p =1 m -
; B
индексы
, p = 1, m ,
qpx i
управляемости
линейной системы управления (2), ^ qp = n . При
p=i
m=l, т.е. при скалярном управлении, система уравнений (2) сводится к канонической форме:
dzi dz2 dz i dzn
—1 = z2; —2 = z; ••• — = zn; —- = v, (3)
dt dt dt dt
получившей название формы Бруновского. В
случае векторного управления пространство Rn
представляется в виде прямой суммы
m
подпространств меньшей размерности: Rn = © Rp .
p=i
При этом, каждое из подпространств Rp является подпространством состояний для р-й подсистемы декомпозированной исходной системы в пространстве Rn . Размерности подпространств, а следовательно, и размерности линейных подсистем в системе управления (2) однозначно определяются индексами управляемости # ,
p = 1, m линейной системы (2). Каждая линейная подсистема уравнений имеет одно управление и структуру системы уравнений вида (3), где число дифференциальных уравнений равно индексу управляемости. При этом решение, полученное при совместном интегрировании m независимых линейных подсистем уравнений, являющихся результатом декомпозиции исходной нелинейной системы уравнений в некоторой области V
пространства Rn , не может в самом общем случае совпадать с решением нелинейной системы (l) в этой же области V. Для перехода от нелинейной системы уравнений (l) к канонической форме Бруновского необходимо, с одной стороны, определить индексы
управляемости # (p = 1, m), а с другой стороны, выполнения дополнительных условия - условия инволютивности распределений MJ (j = 0, n — m) [12], которые связанны с совместным
интегрированием векторных полей на многообразии М.
В нашем случае с исходной нелинейной системой (1) связаны распределение Д0 векторных полей Gj (x), G2 (x), ..., Gm (x) До = span {G1(x), G2(xX ..., G„ (x)} = span {G(x)} где span - линейная оболочка Gj, G2, ..., Gm векторов в точке x (минимальное пространство, порожденное этим набором векторов) и распределение Дг = Д0 + F = span {F(x) + G(x)}, где Д - распределение, смещенное на поле F относительно распределения Д . С помощью указанных распределений Д0 и Д определяется следующие два семейства распределений: k0-А • M° =Д;
A° =Ao;
ДJ = span (Д^,[ДГ,Д-1]}; M1 = span {M ,[F,M ]};
ад ад
Дад = U ДJ; M ад= \MJ,
j=0 J=0
где [F, G] - скобки Ли двух векторных полей F, G, это векторное поле, характеризующее степень "связанности" на многообразии М полей F и G. В рассматриваемом случае они характеризуют возможность или ее отсутствие для совместного интегрирования задаваемых векторными полями F и G на гладком многообразии М уравнений в частных производных. Скобки Ли для векторных полей F, G в матричной форме, определяются следующим образом:
[F, G](x) = *GX> F( x)G(x),
где
ôG ( x)
ôx
ôx
f ÔWi(x)
ôxl
ô¥n( x)
ôxl
f
ôx
Ô^l(x) >
ôx
n
ô¥n( x)
ôx
ÔF ( x)
ôx
Ô^( x) ôq\( x)
ôx1 Ôxn
ôVn( x) ÔVn (x)
ôx1 Ôxn
wn ( x))T ; V„ ( x))T.
х) = х),
Р (х) = (Я\( х), В случае неинволютивности распределений М1 (] = 0, п — т) точная линеаризация возможна за счет увеличения размерности пространства и получения инволютивных распределений уже на расширенном пространстве [12].
q„'- q
pp
У
\
У
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
Теоретически такой подход позволяет преобразовать к линейному виду широкий класс нелинейных систем управления, причем независимо от их размерности, однако его практическое применение, является чрезвычайно сложным и трудоемким, так как требует выполнения большого количества аналитических преобразований: вычисление производных и скобок Ли, а также дифференцирования функций вдоль соответствующих векторных полей на некотором многообразии и т.д., которые не автоматизированы ни в одном из известных пакетов моделирования. В связи с этим, в работах [15-17] были разработаны соответствующие функции для универсального пакета моделирования МаЙаЬ, позволяющие
автоматизировать сложные аналитические преобразования геометрической линеаризации нелинейных математических моделей объектов, что, в свою очередь, устранило разрыв между теоретическими результатами геометрической теории управления и решением практических задач. Как следствие этого, появилась возможность применения геометрической теории управления для синтеза систем управления
dyL dt dy2 dt dy± dt
dy± dt dy5 dt dy7
dt
dy&
dt dy9 dt dyio dt dyii dt
= ад;
= a2iy4 yii + a22 УзУю + a2y + a24;
= ^2 + a32 yi3;
= + a42y5 - y9yio;
dy6 TT*
= a5iy5 + a52 у 4 + y6; — = Ui dt
= У8;
y8
= a7i-+ a72 yi9 + a7^.y7;
yi3
2
= %У4 yii + a82 У5У0 + ^9 + a84 У9 + ^
= a9iyi0 + a92Ун - У9У4;
= ai0iyii + ai02 yi0 + yi2
. dyi2
dt
= U*
dyi3 dt dyi4 dt dyi5 dt dyi6 dt dyi7 dt dyi9 dt dy20 dt dy2i dt dy22 dt dy23 dt
нелинейными объектами высокого порядка с несколькими управлениями. Однако определение оптимальных законов управления в каждой из подсистем не гарантирует оптимальность управления объектом в целом, поэтому необходим анализ полученных результатов оптимизации и, при необходимости, корректировка полученных результатов.
Цель работы. Оптимизация законов управления движением дизель-поезда с тяговым электроприводом на основе динамической линеаризации математической модели объекта управления средствами инволютивных распределений геометрической теории управления.
Математическая модель движения дизель-поезда состоящего из трех вагонов [15], учитывающая, с одной стороны, основные виды колебаний вагонов подвижного состава и распределение сил взаимодействия между ними, а с другой стороны, параллельную работу эквивалентных тяговых асинхронных двигателей двух обмоторенных вагонов, может быть представлена следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений с четырьмя управлениями:
= а111Уз + а112 У14 + а113;
= °121у13 + а122у15;
= «131У16 У 23 + а132 Уп У 22 + а133 У14 + ^
= ai4^yi6 + ai42Уi7 - У2^У22;
= WH + ai52 У i6 + У i8
= У20;
. dyi8
dt
= U*;
= ai7i + ai72y7 + ai73yi9 ;
yi3
2
= ai8iyi6y23 + ai82yi7y22 + ai83y2i + ai84y2i + ai85 ;
= ai9iy22 + ai92y23 — y2iyi6 ;
dy24 T- г* = a20iy23 + a202 y22 + У24; 7~ = U 4, dt
где У - расстояние, проходимое дизель-поездом и отсчитываемое от начала перегона; ^ - время; ап, а21,а22,^з,. .,а192, а201,а202 - постоянные
коэффициенты, которые учитывают параметры двух эквивалентных приводов обмоторенных
вагонов и подвижного состава; у2, у13, у15 -скорости движения, соответственно первого, второго и третьего вагонов дизель-поезда; у3, у14 - силы, действующие между соответственно первым и вторым, и вторым и
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
третьим вагонами поезда; у, у7 и уп, у3 -проекции на оси а и в потокосцеплений статоров эквивалентных двигателей соответственно первого и второго обмоторенных вагонов; у, у18
и у2, У4 - проекции на оси а ив напряжений обмоток статоров эквивалентных двигателей соответственно первого и второго обмоторенных вагонов; у, у6 и у10, у22 - проекции на оси а и в потокосцеплений роторов эквивалентных двигателей соответственно первого и второго обмоторенных вагонов; у и у21 - угловые
скорости вращения роторов двигателей соответственно первого и второго обмоторенных вагонов; у7 - величина бокового отклонения
второго вагона; у8, у20 - промежуточные
переменные; у - угол виляния второго вагона.
С помощью инволютивных распределений геометрической теории управления в пространстве «вход - состояние» исходная нелинейная математическая модель движения дизель-поезда может быть преобразована к следующей линейной системе в канонической форме Бруновского:
dz.
= z,.+1, i = 1, 23, i ф 6, 12, 18;
dz
dt dt где ^ (1 = 1, 4) - управления.
Для данной математической модели определяются функции Т. (у) = Т. (У1, У2,...,У24) (
1 = 1, 4), преобразующие переменные исходной нелинейной модели объекта управления в переменные линейной модели в форме Бруновского: 21 = Т (у); = Т2 (у); ^ = Т (у); г19 = Т (У). Методика определения этих функций описана в работах [12, 15 - 17]. Из этих функций путем последовательного дифференцирования
dz dt
dz
dz
. = V • = V • —21 = V (4)
к2' 7, Ну. 4' V V
dt dt
можно получить выражения для определения переменных: ^, 2, 2, 2 из функции Т (у);
г9, 2П из функции Т2(у) ; из функции Т (у); 220, , 222, ^ из функции Т ( у) . Благодаря этому были получены функции, связывающие переменные в линейной и нелинейной моделях.
Для первой подсистемы уравнений в форме Бруновского получено
dz,
dzг,
Z1 = У{; z2 =-± = а11У2; z3 =~Г = ai1(a24 + а2зУз + а21УиУ4 + «ИУЮ^ dt dt
dz
z4 =—3 = a11a23(a32 У13 + аыУ2) + «П^УИКУ + <0,2 У5 - У10У9) + а11а22 У5КУ10 + а92Уп - У4У9) + dt
+ а11а21У4(У12 + а102У10 + а101У11) + а11а22 Ую( Уб + ^4 +
dz
z5 = ~Т = а11(У12 + а102У10 + «ШУПХ^О^Л + а21а41У4 + 021042У5 + °22°92У5 " а2хУх0У9) " а11(а2^-УюУ11 + а22У4У5) ' dt
■ (а84У9 + а83У9 + а85 + ^УУ + а82У10У5) + а11(Уб + аЯУ4 + а5^-У5)(а21а42У11 + а22а51Уо + 022091УЮ + 022092УП -- а22У4У9) + «ПКЬУ + а42У5 " УОУЖ^ + а102а2^-Ую + «Ш^Уп + а21а4^-Уц + 022052У10 " ^УзУ^ + «ПКУЮ + + а92У11 - У4У9)(а22Уб + а102а21У4 + 022052У4 + а22а51У5 + а22а91У5 - ЪМ^ + а11а23а32(а113 + а112У14 + а11^.^3) +
+ а11а23а31(а24 + а23У3 + °21УпУ4 + а22 У10 УзХ
Для второй подсистемы уравнений в форме Бруновского получено
dz1 dzi
27 = У7; 2 =
~Т = У8; z9 =—Т = (апУ8 + а72 У13 У19 + ^У^УУ13; dt dt
dz.
z10 =~t = (апУ8 + а72 У13 У20 + а73У13 У8 - а113а7^-У8 + 071072 У13 У19 - а112а7^-У14 У8 - а111а71У3У8 + 071073 У13 У7)/ Уп; dt
Д Т Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах
т-\г-<гчл 7-7—гт гтп д ■—|—I оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
I П, 1") У / I I ) I /~Л I Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
RESEARCH RESULT!
dz
Z11 =-Т° = a72(ai7iy20 + ai73yi3yi9+ ^У 13.У 7УУ1Ъ — + a72 yi3yi9 + a73 yi3 y7)(aii3a7i — ^Уз — a7i+aii2a7^.yi4+
dt
Аналогично получены функции, подсистемы уравнений в канонической форме
связывающие переменные в линейной и Бруновского получено:
нелинейной моделях для третей и четвертой
213 = У13; г14 = ~77 = «113 + а112 У14 + аШУъ; г15 = —77 = Ч^тУп + а112 «122 У15 + «11^32 У13 + «пА^ ш ш
Шг
216 = (аИ2«121 + а111а32)(а113 + «112У14 + «11^ + а112«122(а134 + «^14 + «13^13 + «132У1тУ22) +
+ а111а31(а24 + «23 У3 + «пУиУл + «22 У10 Уз);
219 = У19 ; г20 = Шг7Г = У20 ; ^21 = Шг77 = (а"1У20 + «173У13У19 + «172У13У 7 )/ У13; ш ш
—z91 /2 2 2 г22 = ^"Уо + «173У13У20 + «172У13У8 " «113«17^20 + «171«173У13У19 " «112«171У14У20 "
" а111а171 У20 У3 + а171«172 У13 У7 ) / Уп ;
Таким образом, исходная нелинейная математическая модель движения дизель-поезда 24-го порядка была разбита на четыре независимых линейных подсистем шестого порядка в канонической форме Бруновского, каждая из которых содержит только одно управление.
Линейная математическая модель объекта управления в форме Бруновского состоит из четырех одинаковых по внешнему виду подсистем дифференциальных уравнений, которые описывают эквивалентные асинхронные электроприводы двух обмоторенных вагонов дизель-поезда. Поскольку электроприводы в обмоторенных вагонах в первом приближении можно рассматривать как одинаковые, то будем определять оптимальные управления только для одного эквивалентного асинхронного привода, управление которым осуществляется путем изменения амплитуды и частоты питающего напряжения. Так как при управлении тяговым приводом часто выдерживают определенные соотношения между амплитудой и частотой питающего напряжения (например, отношение амплитуды к частоте равно константе), то можно осуществлять поиск только одного из управлений, например, амплитуды питающего напряжения.
В зависимости от требований, предъявляемых к движению состава, можно
сформулировать две основных задачи оптимального управления тяговым приводом: максимального быстродействия и минимизации взвешенной линейной комбинации времени и расхода квадрата управления.
Решим вначале с помощью принципа максимума Понтрягина задачу максимального быстродействия. Поскольку линейная модель объекта управления в форме Бруновского (4) состоит из четырех одинаковых по внешнему виду подсистем дифференциальных уравнений, то можно рассматривать определение управления у, минимизирующего функционал
'1
J = J dt,
(5)
где ?0 и ^ - начало и конец интервала управления, только для одной из подсистем -первой:
Зг, , —— ёг,
= 2к+1, к = 1, 5 ; -6 = У1. (6) ш ш
Необходимо найти управление у , минимизирующее функционал (5) при переводе объекта (6) из начального состояния
г = (^) = 0, I = 1, 6 в конечное состояние г = (?!) = Ь, г = (^ ) = 0, ] = 2, 5 . При этом на управление у наложены ограничения:
НАУЧНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава // Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
RESEARCH RESUL'
ix; vlmm - 0, vlmax > 0. (7) Запишем функцию Гамильтона:
H((t), Vi (t), vJ = VZ + V2z3 + V3z4 + V4Z5 + V5Z6 + V 6v1 + V0Z0, i = 0 6
(8)
H (z (t), Vi (t), vi) = max H (z (t), у (t), vi),
v1eG
где z0 = 1 - дополнительная фазовая переменная, учитывающая наличие функционала (5); v (i = 0,6) - сопряженные переменные; G -область допустимых управлений, задаваемая неравенствами (7).
В силу линейности гамильтониана (8) по отношению к управлению v получаем, что он достигает своего максимального значения при условии, что управление v по своему знаку противоположно сопряженной переменной у6:
(9)
v _ fv1maxV6, пРи V6 > 0, 1 \v1minV6 , пРи V6 < 0. Сопряженные переменные v (i = 0,6) определяются из системы дифференциальных
уравнений
dVi
dt
ÔH
Vi (t1) = v,, i = 0 6,
(10)
где у, (^) ( i = 0, 6) - значения сопряженных переменных в конечный момент интервала управления.
Выполняя дифференцирование правых частей уравнений (10), с учетом выражения (8), получим:
dVo. = 0. dVL = о • dV
dt
dt
dt
, dv dw. dw, dw,
2 = -V1; —3 = -v2; —4 = -V3; —5 = -V4; —6 = -V5-
dt
dt
Интегрируя дифференциальные уравнения (11), найдем сопряженные переменные:
dt
dt
(11)
Wo = С>; V = cx; V2 =-c1t + c2; V3 = 7Гt2 -c2t + c3; V4 = tJ + ^1" -c3t + c4;
1 i3
22
2
6
2
w = -cLt4 -—t3 +—t2 - ct + c; w =——t5 +—t4 - —13 +—t2 - ct + c, W5 24 6 2 4 5; W 120 24 6 2 5 ^
(12)
где ск (к = 0,6) - константы.
Так как константы с (г = 0,6) неизвестны, то применение принципа максимума Понтрягина приводит на этом этапе к качественному описанию изменения управления. Поскольку функция у (^ может менять знак не более пяти
раз, то и управление V может иметь не более пяти изменений знака управления, т.е. не более шести интервалов постоянства управления. Однако в рассматриваемом случае решение существенно упрощается, поскольку при ровном участке железнодорожного пути перевозка пассажиров дизель-поездом начинается с разгона, достижения максимальной скорости, движения с этой скоростью, а затем - торможение и остановка, то есть наблюдается только два интервала постоянства управления. Время переключения с одного постоянного управления на другое может быть определено с помощью
Н(2 У V ) = + У23 + Уз2
итерационной процедуры. Переменный профиль пути на равнинной местности не вносит существенных изменений в закон управления, однако время переключения с одного управления на другое может изменяться и может не быть интервала времени с постоянной скоростью движения.
При решении задачи минимизации взвешенной линейной комбинации времени движения и расхода квадрата управления, объект управления описывается системой уравнений (6), а управление определяется из условия минимума функционала:
'1
J = { (1 + £vv2)dt,
(13)
где £у - постоянный коэффициент.
Основные соотношения принципа максимума Понтрягина имеют вид:
+ У25 + У2б + + (1 + К^2)У0, г = 0, 6;
0
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
H(z(t), у(t), Vi) = max(H(z,(t), y(t), v^), i = 0, 6;
V eG
dz ÔH — -
-f = , z,(t0) = 0, i = 1, 6; z^) = L; zt(tj) = zn, i = 2, 6; dt Ôy
dWi
ÔH
ш д^
где О - область допустимых управлений, задаваемая неравенствами (7); г1 (?0) , г1 (^) -значения фазовых переменных соответственно в начальный и конечный момент времени ?0, ^,
г = 1, 6 ; у(^) - значения сопряженных переменных в конечный момент времени ^,
г = 0,6.
Сопряженные переменные у (?), г = 0, 6, как и в задаче максимального быстродействия, определяются соотношениями (11).
Если управление у в режиме тяги находится внутри допустимой области управлений О, тогда справедливы соотношения
дЯ „ _ у6
, щ(ti) = щ, i = 0, 6, (14)
Из выражений (12) и (17) следует, что
поэтому
ф = т- = У + 2^vV1^0 = 0, vi =
ÔV1 2kv^0
■ < v„
По основной теореме принципа максимума [18] вектор сопряженных переменных
щ = (щ, щ, ...,щ) определен с точностью до произвольного постоянного положительного множителя и у0 (t) = const < 0 (ситуация анормальных вариационных задач, когда
y,(t) = 0:
не рассматривается, поскольку
решаемая задача к этому классу не относится), поэтому можно принять: у0 = — 1.
В рассматриваемой задаче в интервале времени управления режимом тяги выполняется равенство
Н = maxН(z (t), щ (t), v1) = const = 0. (15)
ueG
Имея два интеграла Н и Ф уравнений движения, можно с помощью скобок Пуассона получить третий интеграл движения [19]:
[нф]п =Е
ÔH 0Ф ÔH 0Ф
Л
Ôz. ÔW ÔW Ôz.
i t i T i i
= 0
(16)
или
[НФ]п = Щ = 0, (17)
где [НФ]П - скобки Пуассона интегралов Н и Ф уравнений движения.
у = £l t4 — t3 + ^ t2 — cAt + c = 0,
24 6 2 с = 0, г = 1, 5 и у = 0, г = 1, 5 .
Таким образом, при у0 = -1, у = 0, г = 1, 5 имеем:
Я = уу - (1 + ку2 ) = 0 и у6 - 2ку = 0. (18) Исключая у6 из выражений (18), получим
У .
При малых значениях к управление у в режиме тяги может превосходить у , т.е. выходить за пределы допустимой области управлений, поэтому оно должно определяться соотношением:
у = {л/1^ , если л/1^ ^ Чт^
1 1 У1max, если д/1^ > У1тах.
Определим минимально допустимое значение коэффициента к , которое имеет смысл использовать в функционале (13):
к >-1-
у тт 2
У1тах
Следовательно, только при ку > кут1П решение рассматриваемой задачи будет отличаться от решения задачи максимального быстродействия.
Исходя из изложенного можно сделать вывод о том, что для уменьшения расхода энергии или топлива, необходимого на перемещение состава с различной загрузкой из начального в конечный пункт назначения за определенное время, машинисту необходимо вести дизель-поезд с минимально возможной скоростью, при которой обеспечивается заданный расписанием график движения по перегону.
Однако знание оптимальных управлений для каждой головки дизель-поезда не гарантирует оптимального управления всем составом, что подтверждается и практикой эксплуатации. Как показывает практика движения дизель-поездов ДЭЛ-02 на маршрутах пригородного сообщения Одесской железной дороги при перевозке
i=l
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
пассажиров на равнинной местности (когда переменный профиль пути не вносит существенных изменений в закон управления), расход энергоресурсов при ведении подвижного состава с помощью двух головок дизель-поезда, работающих синхронно на одинаковых позициях контроллера машиниста, выше, чем при ведении состава на одной головке поезда с полностью выключенной второй головкой (в летний период года), или с частично включенной второй головкой (в зимний период), когда необходима выработка энергии для внутренних нужд поезда и обогрева вагонов. При этом меньший расход энергоресурсов наблюдается даже несмотря на то, что машинисту приходится осуществлять более интенсивный разгон состава на одной головке с помощью более высоких тяговых позиций контроллера машиниста до большей скорости движения, а также осуществлять интенсивное торможение для выдерживания времени, связанного с расписанием движения поезда по данному маршруту.
Рассмотрим примеры движения дизель -поезда между двумя станциями маршрута на равном участке железнодорожного пути длинной L = 3 км за время t = 5 мин с учетом действующих ограничений на скорость (V < 50 км/ч) и максимальное значение ускорения a при ведении подвижного состава связанных с комфортом поездки пассажиров в режимах разгона и
торможения (—1 ^ — 0.7 м/с2 < а < 0.7 м/с2) . На рис. 1 представлены графики изменения во времени позиций тягового (^км) и тормозного (^ткм) контроллеров машиниста, скорости движения первого, второго и третьего вагонов дизель-поезда (Ух= уг, V = уш V, = у5),
ускорения первого вагона поезда пройденного пути ($ = у), силы, действующие между первым и вторым (= у3), и вторым и третьим вагонами поезда (^ = у14), а также расходов энергии (Е) потребленной дизель-поездом при движении
между двумя станциями. При этом на рис. 1, а, в представлены графики процессов при одновременном использовании в процессе движения двух моторных вагонов дизель-поезда, работающих синхронно на 1 -3 позициях тягового контроллера машиниста в режиме разгона поезда (с 0 по 80 сек) и на 2 позиции в режиме поддержания заданной максимальной скорости (V = 50 км/ч) движения (с 81 по 245 сек), а на рис. 1, б, г - при использовании одного моторного вагона дизель-поезда работающей на 1-6 позициях тягового контроллера машиниста в режиме разгона поезда (с 0 по 145 сек) и на 4 позиции в режиме поддержания заданной максимальной скорости (V = 50 км/ч) движения (с 146 по 245 сек).
Как видно из графиков на рис. 1 расход энергии E при ведении подвижного состава с помощью двух обмоторенных вагонов дизель-поезда, работающих синхронно на одинаковых позициях контроллера машиниста выше, чем при ведении состава с помощью одного обмоторенного вагона поезда с полностью выключенным вторым обмоторенным вагоном. Это связано с тем, что на нижних позициях контроллера машиниста к.п.д. использования топлива для реализации управления меньше чем на высших позициях контроллера машиниста. Так, например, суммарная мощность, которая вырабатывается двумя тяговыми генераторами дизель-поезда ДЭЛ-02 для реализации второй позиции контроллера машиниста при поддержании скорости движения поезда V1 = 50 км/ч (рис. 1, а, с 81 по 245 сек), при условии синхронного использования двух обмоторенных вагонов, выше, чем мощность, которую вырабатывает тяговый генератор первого обмоторенного вагона дизель-поезда для реализации четвертой позиции контроллера машиниста (рис. 1, б, с 146 по 245 сек) при поддержании той же скорости движения подвижного состава (табл. 1).
НАУЧНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
RESEARCH RE ¡ГТГТГТ^И
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
Nkm,Nkm X 0.1; а X 0.02, м/с2; V1, V2, V3,км/ч; S x 50, м; E, МДж;
^КМ,NТКМ X 0.1; а x 0.02, м/с2; V1, V2, V3,км/ч; S x 50, м; E, МДж;
t, сек
F x104, H;
^2
Fl 1 23
F x104, H;
t, сек
t, сек
б) ''сек г)
Рис. 1. Графики полученные при движении дизель-поезда на равном участке пути с использованием: а, в - двух тяговых головок (синхронно); б, г - одной тяговой головки Fig. 1. Graphs of a diesel train moving on the level track with the use of: а, в - 2 traction drives (in synchronism);
б, г - one traction drive
Таблица 1
Частота вращения (пд) и тягового генератора (Рг) по позициям контроллера машиниста (КМ)
Table 1
Позиция КМ 0 1 2 3 4 5 6 7 8
пд, мин-1 800 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2100
PT, кВт 83 83 128 190 246 333 386 432 472
Следовательно, необходима модификация метода оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава, связанная с введением дополнительного этапа поиска оптимальных управлений, т.е. оптимизацию необходимо проводить в несколько этапов, один из которых предполагает поиск оптимальных управлений на уровне тяговых электроприводов обмоторенных
вагонов дизель-поезда, а другой, оптимизацию на уровне движения всего состава по железнодорожным перегонам.
Заключение
Средствами инволютивных распределений геометрической теории управления получена работоспособная линейная математическая
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
модель движения дизель-поезда с двумя эквивалентными тяговыми электроприводами, которая эквивалентна нелинейной
математической модели, описываемой системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 24-го порядка с четырьмя управлениями. Число уравнений в этой модели, по меньшей мере, в пять раза больше, чем в известных примерах, где применяется геометрическая теория управления. С помощью полученной модели и принципа максимума Понтрягина решены две задачи оптимального управления дизель-поездом.
Список литературы
1. Комплексна програма оновлення залiзничного рухомого складу Украши на 2008-2020 роки / Мшютерство транспорту та зв'язку Укра1ни, Державна Адмшютращя залiзничного транспорту Укра1ни. Кт'в, 2009. 299 с.
2. Розпорядження «Транспортна стратепя Украши на перюд до 2020 р.», схвалена постановою Кабшету Мiнiстрiв Украши ввд 20 жовтня 2010 р. № 2174. URL: http://zakon3.rada.gov.ua/ laws/show^^^lO^ (дата обращения: 18.03.2016).
3. Проект «Стратепчний план розвитку залiзничного транспорту на перюд до 2020 р.» URL: http://mtu.gov.ua/projects/view.php?P=23 (дата обращения: 13.10.2016).
4. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и томах. Т. 5: Методы современной теории управления / [под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова]. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 784 с.
5. Скалозуб В.В. Оптимизация режимов ведения поездов на основе непрерывного динамического программирования / В.В. Скалозуб, К.И. Железнов // Математичне моделювання. Дншродзержинськ: ДДТУ, 2002. № 2. С. 32-36.
6. Aseev S.M. The Pontryagin maximum principle and transversality conditions for a class of optimal control problems with infinite time horizons / S.M. Aseev, A.V. Kryazhimskii. SIAM. Control Optim. 2004. P. 1094-1119.
7. Пропой А.И. О построении функций Ляпунова / А.И. Пропой // Автоматика и телемеханика. М.: Наука. 2000. № 6. С. 61-69.
8. Мезенцев Н.В. Новые модификации метода АКОР для случая нелинейного вхождения управлений / Н.В. Мезенцев // Вюник НТУ «ХП1». Харшв: НТУ «ХП1». 2007. № 39. С. 119-124.
9. Поляк Б.Ф. Робастная устойчивость и управление / Б.Ф. Поляк, П.С. Щербаков. М.: Наука. 2002. 303 с.
10. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы. Изд. 2. / Д.П. Ким. М.: Физматлит, 2007. 312 с.
11. Краснощёченко В.И. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза / В.И. Краснощёченко, А.П. Грищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2005. 520 с.
12. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. Изд. 2. / Д.П. Ким. М.: Физматлит, 2007. 440 с.
13. Kim D.P. Automatic Control. Theory Nonlinear and Multivariable System / D.P. Kim. Seol: Harnol, 2000. 558 p.
14. Дмитриенко В.Д. Моделирование и оптимизация процессов управления движением дизель-поездов / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный. Х.: Изд. центр «HTMT», 2013. 248 с.
15. Дмитриенко В.Д. Разработка программных средств для автоматизации преобразований нелинейных систем к эквивалентным линейным в форме Бруновского / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, А.О. Нестеренко // Вюник НТУ «ХП1». Збiрник наукових праць. Серiя: 1нформатика та моделювання. - Харшв: НТУ «ХП1». 2014. № 35 (1078). С. 59-72.
16. Дмитриенко В.Д. Автоматизация символьных вычислений в процессе преобразования нелинейных моделей объектов к эквивалентным линейным / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Transaction of Azerbaijan National Academy of Sciences, Series of Physical-Technical and Mathematical Sciences: Informatics and Control Problems. Baku, 2014. Vol. XXXIV. № 6. С. 130-139.
17. Дмитриенко В.Д. Синтез оптимальных законов управления движением дизель-поезда с помощью математической модели в форме Бруновского / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, Н.В. Мезенцев // Науково-техтчний журнал «Iнформацiйно-керуючi системи на залiзничному транспорта». Харшв, 2010. № 5-6 (84-85). С. 7-13.
18. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и томах. Т. 4: Теория оптимальных систем автоматического управления / [под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова]. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 744 с.
19. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. В 10 томах / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц // Т.1. Механика. М.: Наука, 1988. 215 с.
References
1. Comprehensive Program of Updating of the Rolling Stock in Ukraine in 2008-2020 years / The Ministry of Transport and Communications of Ukraine, The State Administration of Railway Transport of Ukraine. Kyiv, 2009. 299 p.
2. The Order «Transport Strategy of Ukraine till 2020», approved by the Cabinet of Ministers of Ukraine on October 20, 2010 p. № 2174. URL: http://zakon3.rada.gov.ua/ laws / show / 2174-2010-p (date of access: March 18, 2016).
Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Геометрическая теория управления в задачах оптимизации энергозатрат тягового подвижного состава //Научный результат.
Информационные технологии. - Т.1, №4,2016.
3. The «Strategic Plan for the Development of Railway transport till 2020» URL: http://mtu.gov.ua/projects/view.php?P=23 (date of access: October 13, 2016).
4. Methods of the Classical and Modern Control Theory: Textbook in 5 volumes. Vol. 5: Methods of modern control theory / [ed. K.A. Pupkov, N.D. Egupov]. M.: MGTU im. Baumana, 2004. 784 p.
5. Skalozub V.V. Optimization of Reference Trains Regimes on the Basis of Continuous Dynamic Programming / V.V. Skalozub, K.I. ZHeleznov // Mathematical modeling. Dnipropetrovsk: DDTU, 2002. № 2. Pp. 32-36.
6. Aseev S.M. The Pontryagin Maximum Principle and Transversality Conditions for a Class of Optimal Control Problems with Infinite Time Horizons / S.M. Aseev, A.V. Kryazhimskii. SIAM. Control Optim. 2004. Pp. 1094-1119.
7. Propoy A.I. On the Construction of Lyapunov Functions / A.I. Propoy // Automation and Remote Control. M.: Nauka. 2000. № 6. Pp. 61-69.
8. Mezentsev N.V. New Modifications of ACOR Method for the Case of Occurrence of Nonlinear Controls / N.V. Mezentsev // News of NTU «KhPI». Kharkiv: NTU «KhPI». 2007. № 39. Pp. 119-124.
9. Polyak B.F. Robust Stability and Control / B.F. Polyak, P.S. Shcherbakov. M.: Nauka. 2002. 303 p.
10. Kim D.P. The Theory of Automatic Control. Vol.1. Linear Systems. Ed. 2 / D.P. Kim. M.: FIZMATLIT, 2007. 312 p.
11. Krasnoschechenko V.I. Nonlinear Systems: The Geometric Method of Analysis and Synthesis / V.I. Krasnoschechenko, A.P. Grishchenko. M.: MGTU im Baumana. 2005. 520 p.
12. Kim D.P. The Theory of Automatic Control. Vol.2. Multi-dimensional, nonlinear, optimal and adaptive systems. Ed. 2 / D.P. Kim. M.: FIZMATLIT, 2007. 440 p.
13. Kim D.P. Automatic Control. Theory Nonlinear and Multivariable System / D.P. Kim. Seol: Harnol, 2000. 558 p.
14. Dmitrienko V.D. Modelling and Optimization of Management Processes of Diesel-trains / V.D. Dmitrienko, A.Y. Zakovorotniy. Kharkov: HTMT, 2013. 248 p.
15. Dmitrienko V.D. Development of Software for Automating Transformations of Nonlinear Systems Equivalent to the Linear Form of Brunovsky / V.D. Dmitrienko, A.Y. Zakovorotniy, S.A. Nesterenko // Vestnik NTU «KhPI». Series: Information and Simulation. Kharkov: NTU «KhPI». 2014. № 35 (1078). Pp. 59-72.
16. Dmitrienko V.D. Automation of Symbolic Computation in the Process of Conversion of Non-linear Models of Objects to the Equivalent Linear / V.D. Dmitrienko, A.Y. Zakovorotniy // Transaction of Azerbaijan National Academy of Sciences, Series of Physical-Technical and Mathematical Sciences: Informatics and Control Problems. Baku, 2014. Vol. XXXIV. № 6. Pp. 130-139.
17. Dmitrienko V.D. Synthesis of Optimal Control Laws in Diesel Train Movement by Means of a Mathematical Model in the Form of Brunovsky / V.D. Dmitrienko, A.Y. Zakovorotniy, N.V. Mezentsev // Scientific and technical journal «Information management systems for rail transport». Kharkov, 2010. № 5-6 (84-85). Pp. 7-13.
18. Methods of Classical and Modern Control Theory: Textbook in 5 volumes. Vol. 4: The theory of optimal systems of automatic control / [ed. K.A. Pupkov, N.D. Egupov]. M.: MGTU im Bauman, 2004. 744 p.
19. Landau L.D. Theoretical Physics. The 10 volumes / L.D. Landau, E.M. Livshits // Vol.1. Mechanics. M.: Nauka, 1988. 215 p.
Дмитриенко Валерий Дмитриевич, профессор, доктор технических наук, профессор кафедры «Вычислительная техника и программирование» Заковоротный Александр Юрьевич, докторант, кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная техника и программирование»
Dmitrienko Valery, Professor, Doctor of Technical Sciences, Department of Computer Engineering and Programming
Zakovorotniy Alexander, PhD in Technical Sciences, Associate Professor, Department of Computer Engineering and Programming
