CC BY
76
УДК 72.03; 72.05 ДОЛГОВ А. В.
Геометрическая прогрессия и архитектурная ординация
В статье рассматривается система величин, позволяющих обнаружить при измерениях ортогональных изображений архитектурных форм присутствие организующего влияния геометрической прогрессии. Даются формулы крайней и средней кратности деления отрезка на части, что имеет важное значение в построении архитектурных форм по принципам ординации. Для доказательства эффективности применения величин кратности и коэффициента ординации при инструментально-аналитическом изучении форм приведен пример ординационного анализа построения формы гитары.
Ключевые слова: архитектурная ординация, геометрическая прогрессия, гармонические отношения, форма гитары, кратность.
DOLGOV A. V.
GEOMETRIC PROGRESSION AND ARCHITECTURAL ORDINATION
The article considers the system of quantities, are used to detect the measurements of orthogonal images of architectural forms, the presence of an organizing influence geometric progression. The author provided the formula extreme and the average multiplicity of division cut to pieces. This is important in the construction of architectural forms on principles of ordination. The author cites as an example of ordination analysis of building form guitar.
Keywords: ordination of architectural, geometric progression, harmonic relationships, form, guitar, frequency.
Долгов
Александр
Владимирович
кандидат архитектуры, профессор, член-корреспондент РААСН, директор Филиала ФГБУ «ЦНИИП Минстроя России» УралНИИпроект
e-mail: [email protected]
В предыдущих статьях, размещенных в журнале (№ 24—26), было показано, что членениям ордерных форм по вертикали свойственен определенный порядок. Он проявляется через сопоставление величин ординат, связанных последовательными геометрическими построениями, которые легко описываются алгебраически.
Автором установлено, что все выявленные ординаты, вернее, их величины, являются членами геометрической прогрессии, в которой для определения величины любого члена достаточно знать его порядок и знаменатель. В нашем случае отмеченного постоянства коэффициента ординации знаменатель геометрической прогрессии Q будет равен
Q = 1 = k-1, k
где к — коэффициент ординации.
Так как к > 1, то полученная прогрессия даст нам ряд последовательно уменьшающихся чисел (величин), стремящихся к нулю.
Сумма членов таких прогрессий предельна и может быть определена по формуле
ai (1 -Qn
lim S„
1 -Q
отсюда lim
1 -Q 1 - k-
где ак — первый член прогрессии, а Sn может быть высотой (ординатой) любого ордерного элемента: базы, колонны, капители и даже целого здания.
Таким образом, чтобы получить величины всех ординат, которые входят в ордер высотой Н (или в здание, или в антаблемент и т. д.), нам будет достаточно вычислить через измерение в натуре (если объект существующий) либо самим задать (если объект проектируется) коэффициент ординации к. После этого мы можем получить всю шкалу гармонически связанных между собой размеров (величин) ординат для определенного к. Все они будут однородны с точки зрения использования исходного принципа для их определения, но различны по величине. Если мы возьмем все величины последовательно и выстроим их в убывающий ряд, то в графическом изображении получим линейную перспективу уменьшающихся отрезков, сходящихся в точке.
Интервалы, образующиеся между соседними отрезками, будут относиться между собой как
= k; ап-к = Q.
ап-\ ап
Подобная система существует в музыке, представляя собой темперированный звукоряд, в котором знаменатель геометрической прогрессии (частот звуков или длин волн звуков)
56
© Долгов А. В., 2015
АКАДЕМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК УРАЛНИИПРОЕКТ РААСН 4|2015
a
О = 122 или , в зависимости от того, убывающая или возрастающая прогрессия.
Создание темперированного звукоряда приписывают И. С. Баху, однако он объективно существовал и до него, будучи явно выраженным в конструкции струнных инструментов, имеющих лады.
Именно размерная последовательность интервалов ладов (возрастающая или убывающая) на грифе струнного инструмента лучше всего иллюстрирует принципы системной дробности (дискретности) шкал предпочтительных (гармоничных) величин ординат, особым образом распределенных в архитектурной форме, образуя системные гармонические комбинации. Но если в музыке к = 122 можно считать единственным, образующим достаточно полный порядок гармоничных звукосочетаний, то в архитектуре их гораздо больше, хотя и здесь можно выделить наиболее часто встречаемые: 1,189; 1,2; 1,25; 1,26; 1,3; 1,33; 1,5. Реже встречаются: 1,17; 1,27; 1,4; 1,6 и 1,618 («золотое сечение»). Сама собой напрашивается гипотеза о соответствии значений к разновидностям ордеров.
Однако, чтобы подойти к рассмотрению данной гипотезы (и многих других, еще не названных в предыдущих статьях), следует дополнить для удобства использования в предстоящей аналитической работе ряд понятий и терминов. Они помогут нам постепенно перейти от эмпирического созерцания к теоретическому осмыслению.
Если к =-, то можно выразить через к от-
АС АВ
( ношение т. е. сколько раз в АВ укладывается ВС. Назовем эту величину «кратность»
и обозначим латинской буквой «Р». к
k -1
k = —, где b > a. a
Покажем ее геометрически и выразим алгебраически для к = 1,33...: и P = 4
к = Ь = SB
= a = AS'
AB
Тогда, при известном к и увиденном в структуре объекта завершающем элементе, мы сможем определить величину большей ординаты, к которой он относится.
Так, например, по высоте антаблемента может быть вычислена высота колонны, а по высоте постамента — высота всего ордера:
H _ Г _ P
ордера постамента
Интересно также отметить, что P в численном выражении может равняться lim Sn.
И, если нам известен (или мы задаем сами) первый член убывающей прогрессии, то мы можем определить сумму всех членов по формуле Sn = <h-P.
Графически это может быть изображено так, например, для к = 1,33...: и P = 4.
Если а1 — первый член геометрической прогрессии с к = 1,33, то О = 0,75; Р = 4; Sn = ах-Р = АВ = 4а1.
Еще одна важная величина, с которой нам предстоит аналитическая работа, прежде проявлявшая себя во внутреннем делении ординаты на два неравных отрезка а и Ь в соотношении к:
Введем величину С =-.
AS
Эта величина является показателем эксцентриситета внутреннего деления отрезка на две части в отношении к.
Выразим С через к.
С = 1 + к.
Величина С удобна для определения размера меньшего отрезка а, получающегося при внутреннем (среднем) делении отрезка (ординаты) на две части в отношении к.
АВ
а =-.
С
Если последний отрезок принять равным единице, то
1 1
а = — =-.
С 1 + к
В сущности С, так же как и Р, показывает, во сколько раз полученный при делении исходного отрезка в отношении к меньший из отрезков меньше исходного. То есть, С — та же кратность, но среднего деления, а Р — кратность крайнего деления. Когда Р = С, то исходный отрезок (ордината) поделена в отношении «золотого сечения», к = ф = 1,618...
В этом суть главного для «золотого сечения» свойства, выражаемого как «равенство деления отрезка в крайнем и среднем отношениях».
С = Р = 1 + ф, где ф = 1,618...
Пока мы не будем обращать подробное внимание на то, что в случае с ординатами, т. е. когда делимый отрезок вертикален и направлен (подобно вектору) на точки, полученные от деления отрезка в крайнем и среднем отношениях, хотя и равны численно, но различны по своему расположению на ординате.
„ АВ АВ „ , ,
Р =-; С =-; Р = С = 1 + ф; к = ф.
ВС АЗ ^ ^
Математические и логические следствия данных свойств не входят в задачу данной статьи, чтобы не удаляться от архитектурной логики.
Для усвоения использования величин к, О, Р и С можно вернуться к архитектурным примерам статей в № 24-26, а можно и по аналогии с ними попробовать самостоятельно проанализировать какую-либо архитектурную форму на предмет нахождения системы гармоничных величин в организации формы по осевой вертикальной линии.
В данной статье, стремясь к расширению доказательной базы выдвинутых гипотез и подтверждению работоспособности рассмотренных величин, возьмем пример из музыки. Точнее, попробуем проверить начальные элементы теории ординации через анализ построения «фасада» музыкального инструмента, например, гитары. Проверим, есть ли архитектурная логика в построении ее форм.
Иллюстрация 1. Ординационный анализ построения формы гитары
Как известно, классическая гитара имеет испанское происхождение. До сих пор испанские гитары славятся не только хорошими звуковыми качествами, но и бережным сохранением традиций их изготовления, секретами форм.
Удастся ли нам продвинуться в разгадке этих секретов при помощи ординационной логики? Это интересно.
Возьмем гитару «Esteve», fabrication Artesanal, Mod.ll, construida 14/06/06, № 643; Camino del Mar, 15-Alboraya-Valencia-Espana (Иллюстрация 1). Будем измерять ее в целом и по элементам и анализировать размерные характеристики, используя подходы теории архитектурной ординации. Стоит ли говорить о том, что в формах классической гитары нет ничего лишнего и случайного, находящегося на приблизительном месте, незавершенного и несовершенного?
Отобразим на схеме ординационного построения формы гитары основные (самые главные) ее элементы, расположенные по вертикальной оси. Попробуем найти на схеме крайние и средние отношения, связанные коэффициентом ординации, которые мы определили выше. На схеме они будут иметь соответствующие изображения:
— крайнее деление в отношении к
— среднее деление в отношении к
58
АКАДЕМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК УРАЛНИИПРОЕКТ РААСН 4|2015
Сначала обратим внимание на длину струны и соблюдение принципа музыкальной дихотомии (октав). Поскольку О музыкального звукоряда = -1\/2, то 12-й лад должен делить струну пополам, что и наблюдается с абсолютной точностью. Иначе гитара не будет «строить».
Обратим внимание на месторасположение нижнего порожка, отсекающего нижнюю часть корпуса, составляющую ровно (очень точно) 1/6 всей высоты гитары. То есть, Р = 6. При этом к = 1,2.
Между нижним порожком и 12-м ладом образуется зона, в которой размещено круглое отверстие. Его центр, размер и расположение, как мы видим, находится очень убедительно через простое, но очень изящное по смыслу сочетание двух средних делений отрезков. Этот способ предельно рационален и точен.
По существу, все. Главные элементы и их размеры по оси найдены. Для дополнительной иллюстрации преобладания к = 1,2 показаны ординационные отношения, определяющие размеры головки грифа и ширины грифа в зоне отверстия, которая также относится к ширине грифа в шейке как 6 : 5, т. е. 1,2 = к.
Для меня результаты проведенного анализа оказались несколько неожиданными. Вообще изначально, зная музыкальный строй с темперацией , ожидалось нахождение к = 42 = 1,189. Но этого не произошло, к = 1,2.
В этом окончательно убеждаешься, когда вместо чертежа в заданном масштабе, например, 1 : 5, используешь чертеж в М 1 : 1 и замеры в натуре. к = 1,2 проявляется не приблизительно, а абсолютно точно, насколько позволяет ручной измерительный инструмент.
В итоге, в ординационном строе гитары мы видим сочетание двух ординационных систем, разворачивающихся на двух разных по расположению, но одинаковых по размеру частях. От верхнего порожка до 12-го лада крайнее отношение задается в системе , а ниже 12-го лада — в системе к = 1,2.
Но если мы понимаем, что разбивка грифа на лады вовсе не обязательна для извлечения звука, а носит вспомогательный характер для удобства исполнителя, то ор-динационная система остается всегда одна, заданная к = 1,2.
Для проверки точности построения ординат оси гитары в их графической взаимосвязи можно выразить алгебраически формулу радиуса отверстия в зависимости от к и Ь:
R
L
2 ( + 2k2 +1) Для нашего случая: 650
Я
650
43,449 мм.
Если величины Р и к стали понятными и зримыми, то пришла пора проверить нашу теорию на примерах фасадов зданий и их элементов. Пока лишь ординационные отношения, но постепенно мы начнем подключать и второе — горизонтальное измерение, имеющее свою сущность и особенности взаимодействия с вертикальным. Обо всем этом — в следующих статьях.
Список использованной литературы
1 Долгов А. В. Пример ординационного анализа архитектурных форм Пантеона в Риме // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2015. № 2. С. 59-61.
2 Витрувий М. Об архитектуре. М., 1936.
2 (3 • 1,2 + 2 • 1,22 +1) 14,96
Следовательно, диаметр отверстия равен 2. 43,449 = 86,898 мм.
Мы его принимали равным 87 мм, измеряя линейкой.
При желании можно определить через алгебраические формулы в зависимости от Ь и к размеры других частей гитары: грифа, толщины верхнего порожка, расстояние от края отверстия до нижнего порядка и т. д.
Заключение
У проведенного ординационного анализа очень много следствий и особенностей, разбор которых не входит в задачу данной статьи. Пока же мы убедились, что «гитара помнит, гитара знает...».
Думаю, что внимательный читатель еще раз убедится в гармонизирующих свойствах геометрической прогрессии, крайнего и среднего деления отрезка на части.
