CC BY
20
УДК 72.03; 72.05 ДОЛГОВ А. В.
Деноминатор и коэффициент ординации
В статье рассматриваются взгляды автора «Комментария к десяти книгам об архитектуре Витрувия» Даниеле Барбаро (1513-1570) на вопросы пропорциональности в архитектуре, раскрывающие смысл понятия «деноминатор» и его применения для получения пропорциональных величин. Дается краткая характеристика дефиниций, пропозиций и правил арабского философа Аль-Кинди (ок. 801-873), к которым обращался Д. Барбаро. Установлено сходство свойств деноминатора и коэффициента ординации, ставшего одним из важнейших понятий и показателей авторского взгляда на вопросы пропорционирования в архитектуре с применением элементарных математических знаний.
Ключевые слова: Даниеле Барбаро, Аль-Кинди, пропорциональность, деноминатор, ординации,прогрессии.
DOLGOV A. V.
DENOMINATOR AND THE COEFFICIENT OF ORDINATION
The article deals with the views of the author of «Commentary on the Ten Books on Architecture Vitruvius' Daniele Barbaro (1513-1570) on the issues of proportionality in architecture, revealing the meaning of the» denominator «concept and its application for proportional values. A brief description of definitions, propositions and rules of the Arab philosopher al-Kindi (c. 801-873), which were accessed by D. Barbaro. Established denomination similarity properties and coefficient of coordination, which has become one of the most important concepts and indicators of the author's view on the issues proportsianirovaniya architecture using elementary mathematical knowledge.
Keywords: Daniele Barbaro, Al-Kindi, proportionality, denominator, coordination, progression.
Долгов
Александр
Владимирович
кандидат архитектуры, профессор, член-корреспондент РААСН, директор Филиала ФГБУ «ЦНИИП Минстроя России» УралНИИпроект
e-mail: mail@uniip.ru
В предыдущих статьях [4, 5, 7] мы показали, что абстрактное уподобление архитектурного объекта ординате, поделенной на части, формирует группы отрезков (линейных величин), отношения между которыми подобны отношениям членов убывающей геометрической прогрессии. Это свойство позволяет строить геометрически и вычислять алгебраически отрезки деления ординат, иногда алгоритмизируя данные построения, вскрывая возможную последовательность разбиения целого на части. Причем эти части пропорциональны по условию их получения.
Даниеле Барбаро в фундаментальном труде «Комментарий к десяти книгам об архитектуре Витрувия» пишет: «Такова сила пропорций, такова необходимость их, такова их польза, что ничто не может доставить удовольствия слуху, зрению или другим чувствам без соответствия и согласия отношений; вот почему то, что доставляет удовольствие или нравится нам, доставляет удовольствие или нравится только потому, что заключает в себе определенную
меру и упорядоченное согласие» [1, 85]. И далее: «Всюду, где есть пропорциональность, по необходимости должно быть отношение, ибо пропорциональность есть не что иное, как соответствие отношений, но не наоборот, ибо между четверкой и двойкой существует отношение и нет пропорциональности. В этой пропорциональности заключены все секреты искусства» [1, 88]. Из отношений (ргороГлош) получаются пропорции (сотраЛюш) и взаимные сопоставления (пзреШ) их, а именно, когда одно отношение сравнивается с другим. «Подобное равенство отношений носит название пропорциональности. ...отношение есть не что иное, как определенная особенность, сопоставление, сравнение двух величин, принадлежащих к одному роду. Особенность эта называется определенной (terminata)» [1, 86]).
Таким образом, заметив, что в организации архитектурной формы (ее ординаты) присутствуют отношения между частями и целым, характеризующиеся как пропорциональные, определив численное выражение этой пропорциональности, мы получаем терминату.
© Долгов А. В., 2016
69
Архитектура
Иллюстрация 1. Портрет Д. Барбаро. ИКЬ: https://en.wikipedia.org/wiki/ Daniele ВагЬаго
Как правильно вычислить терминату? Что с чем сравнить? Большее с меньшим или наоборот?
Прямого ответа на этот, казалось бы, простой вопрос Д. Барбаро не дает, а переключается на рассуждения о де-номинаторах отношений, позволяющих судить о том, какое отношение больше и какое меньше. Д. Барбаро приходится сравнивать между собой простые дроби, присваивая отношениям, описываемым дробями, довольно сложные названия, устанавливая между ними неравенства величин. То есть, для того времени было вовсе 7 9
не очевидно, что больше: 3 или 4 ? Позже эта проблема
7
была снята введением десятичных дробей: 3 = 2,333...;
9 7 9
— = 2,25; т. е. - > —. 4 3 4
Интересно замечание Д. Барбаро о том, что в тех заданиях больше величия, где (деноминатор) отношения больше. Однако суть его не раскрывается.
Если мы и сейчас оставались на уровне математических знаний времени Д. Барбаро, то нам пришлось бы
оперировать в рассуждениях терминами: 2 — субдупла;
16 3
-5— тройное отношение сесквинты; ^ — сесквиальтера;
45 2
3 — сесквитерция и т. д., производя с ними умопомрачительные действия, достойные титанов логики, поскольку в результате появлялось новое имя отношения, заключающее в себе всю сложность происхождения простой дроби.
Думаю, что на этом пути «золотое сечение» должно было быть безымянным, поскольку в данной системе терминологии его определить невозможно. Его, даже его намека, нет и у Д. Барбаро. Зато есть изложение «весьма важной и удивительной вещи, необходимой
для сравнения, — сопоставление отношений, с которыми мы сталкиваемся на каждом шагу (напомним, речь идет об отношениях в архитектуре и не только). Барбаро приводит четыре дефиниции Аль-Кинди1, старинного автора, копию трактата которого сделал «досточтимейший Филиппо Аркинто, легат его святейшества при Венецианской державе».
Аль-Кинди тесно связывал философию с естественно-научными знаниями и был убежден, что для того, кто хочет заниматься философией, обязательно знание математики. Первым в арабском мире он обратился к трудам Аристотеля. Написал более 200 известных трудов по философии, математике, астрономии, музыке, естественным наукам.
Общеизвестен исторический факт процветания в раннем Средневековье арабской культуры, ставшей во многом преемницей и хранительницей знаний античного мира на фоне культурного упадка стран Европы. Этим объясняется частое обращение ученых эпохи Возрождения к трудам арабских авторов периода Арабского халифата.
Дефиниции Аль-Кинди
1 Отношение есть взаимное сопоставление двух величин, принадлежащих к одному роду.
2 Если из двух однородных величин одна делится на другую, то частное выражает отношение делимого к делителю.
3 Умножение или сложение двух отношений есть не что иное, как отыскание деноминатора новых отношений, получающихся из [перемноженных] дено-минаторов первоначальных отношений.
4 Деление или вычитание двух отношений есть не что иное, как деление деноминатора делимого отношения на деноминатор отношения — делителя.
Мы видим, что Аль-Кинди в дефинициях постулирует хорошо известные арифметические правила с простыми дробями, вводя понятие деноминатора, который получается как сложением, так и умножением отношений. Не совсем ясно, как умножение уподобилось сложению. Большая ясность сущности деноминатора вытекает из идущих следом пропозиций Аль-Кинди.
Пропозиции Аль-Кинди
1 Если деноминатор произвольно взятого отношения между двумя членами будет умножен на второй член отношения, то получится первый член отношения. В алгебраическом виде в наше время мы можем записать это изречение так: 1 ■ = ах,
где ё — деноминатор; а2 — второй член отношения; ах —
первый член отношения. Отсюда:
ё = ^. а2
То есть, мы, наконец, выяснили, что такое деномина-тор, и можем дать ему свое определение.
Деноминатор отношений двух величин есть показатель превосходства большей величины над меньшей.
Среди величин, выведенных нами ранее для характеристики ординационных отношений, деноминатор соответствует коэффициенту ординации, т. е.
К,
орд'
1 Аль-Кинди (род. в Басре или Куфе) — первый крупный арабоязычный философ, которого называли «философом арабов». Аль-Кинди хорошо изучил достижения предшествующей науки и древнегреческой философии — труды Птолемея, Евклида, Аристотеля и др.
Иллюстрация 2. Портрет Аль-Кинди. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/ Al-Kindi
2 Если в промежутке между двумя числами [а и в] берется новое [с ], стоящее в определенном отношении к обоим, то отношение первого числа [а ] к третьему [в ] будет равно произведению отношений первого числа к среднему [а к с ] и среднего к третьему [с к в ]. Запишем для наглядности в алгебраическом виде, обозначив определенное отношение величин через деноминатор d.
Если а < с < в при том, что с = da; в = de,
a a c
то — =---;
в с в
a a ■ с а
отсюда: — =-= —.
в с ■ в в
Мы видим, что для доказательства не имеет значения величина d.
3 Пусть будет сколько угодно средних членов, я утверждаю, что отношение между крайними членами состоит из отношений промежуточных.
4 Если какое-нибудь отношение образовано из двух отношений, то обратное ему отношение образовано из отношений обратных.
шенном и ясном виде позволяют производить действия над действительными числами, определяя их взаимоотношения, как арифметические, так и геометрические.
Заключение
Важно уяснить, что пропорциональность с древнейших времен рассматривалась как установление правильных соотношений величин, получаемых от любой исходной величины через ее преобразование посредством деноми-наторов и действий с ними. Показав, что коэффициент ординации в положении ординационных отношений играет ту же роль, что и значение деноминатора, мы закрепили его существенность среди характеристик пропорциональности. Одновременно подтвердилась важность для пропорционирования в понимании древних и современников Даниеле Барбаро такой характеристики, как кратность (Р), а также установленная нами ранее связь между ними: Р = К (Корд -1).
Причем в убывающих (конечных) геометрических прогрессиях, сумма всех членов которых 8п = Р, а последний член прогрессии равен 0, чрезвычайно большое значение будет иметь величина первого члена геометрической прогрессии ах, посредством которой в следующей статье на примере архитектурных форм порталов будет показана принципиальная связь вертикальных и горизонтальных величин: ординат и протяженности оснований, соответствующих величинам ординат в архитектурных формах. Тем самым образуется возможность выхода из абстрактного линейного мира ординат на плоскость: от позиции к диспозиции. Для того чтобы осуществить задуманное, необходимо принять существенное допущение, а именно: поскольку высота архитектурного объекта конечна, его ордината может быть рассмотрена как сумма выборочных членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, равным 1 : Корд.
Список использованной литературы
1 Барбаро Д. Комментарий к десяти книгам об архитектуре Витрувия. М. : Изд-во Всесоюз. акад. архитектуры, 1938. 478 с.
2 Витрувий М. Об архитектуре /пер. Ф. А. Петровского ; под общ. ред. А. Г. Габричевского. М. : Изд-во Всесоюз. акад. архитектуры, 1936. 344 с.
3 Гримм Г. Д. Пропорциональность в архитектуре. М. : Изд-во ОНТИ, 1935. 148 с.
4 Долгов А. В. Инструментальный аналитический метод архитектурной ординации: к постановке проблемы // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2015. № 1. С. 16-18.
5 Долгов А. В. Пример ординационного анализа архитектурных форм Пантеона в Риме // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2015. № 2. С. 59-61.
6 Долгов А. В. «Штрихкод» ордера // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2015. № 3. С. 35-38.
7 Долгов А. В. Геометрическая прогрессия и архитектурная ординация // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2015. № 4. С. 56-59.
Нет смысла утяжелять изложение материала статьи дальнейшими алгебраическими разъяснениями, тем более что Аль-Кинди не останавливается на пропозициях, а переходит к правилам произведения арифметических действий с величинами, образуемыми отношениями, т. е. действий с деноминаторами. Они помогают ему установить величины интервалов между связанными через деноминаторы членами. Современные и даже не очень (XVIII в.) математические методы в гораздо более совер-
