Геометрическая нелинейность в задачах разрушения оболочечных конструкций взрывом Текст научной статьи по специальности «Физика»

Lobanov Alexandr Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, ABLOBANOV@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 539.375.5:69.058.8

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ В ЗАДАЧАХ РАЗРУШЕНИЯ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ВЗРЫВОМ

Г.Т. Володин, А.С. Новиков

Дано приближенное решение задачи о гарантированном разрушении открытой пологой цилиндрической оболочки взрывом неконтактного заряда конденсированного ВВ в воздухе. Построенная математическая модель учитывает существенные прогибы оболочки, которые могут быть сравнимы с ее толщиной (геометрическая нелинейность). Решение начально-краевой задачи выполнено методом наименьших квадратов, обобщенным на случай систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Учтены статистические характеристики прочности материала оболочки и динамический характер внешней взрывной нагрузки, применён, обобщенный на динамическое нагружение, критерий разрушения материала оболочки - динамический критерий энергии формоизменения.

Ключевые слова: заряд конденсированного ВВ, взрывная нагрузка, упругое деформирование, гарантированное разрушение, метод Б.Г. Галеркина, критерий разрушения, геометрическая нелинейность, большие прогибы.

Нахождение условий гарантированного разрушения оболочечных элементов конструкций является актуальной научно-технической проблемой при проектировании взрывозащитных инженерных сооружений, несущих элементов конструкций взрывоопасных производств, определении технических условий специальных складов боеприпасов, утилизации крупногабаритных элементов конструкций, в военном деле и т.д.

Указанные задачи сводятся к необходимости определения связи между геометрическими, механическими характеристиками оболочки, условиями ее закрепления в составе некоторой конструкции с энергетическими и геометрическими характеристиками заряда ВВ, его расположением в пространстве ближней зоны относительно рассматриваемой конструкции, приводящей при взрыве к её гарантированному разрушению [1].

В работах Т.М. Саламахина [2, 3] рассмотрена проблема воздействия импульсной нагрузки, созданной взрывом неконтактных зарядов конденсированных ВВ различных форм в ближней области взрыва, для балочных элементов конструкций. Получены соотношения для удельного им-

пульса и расположения заряда ВВ в ближней зоне, необходимые для гарантированного разрушения балочных конструкций. Предложен энергетический метод для решения сопутствующих задач.

Исследованию проблемы о гарантированном разрушении балок, пластин и оболочек в режиме упругого деформирования с применением энергетического метода и для разного рода материалов, условий закрепления, расположения заряда ВВ в пространстве ближней зоны посвящены работы [1, 4 - 8].

В работах [9, 10] для решения задач о гарантированном разрушении пластин и оболочек в режиме упругого деформирования на случай малых прогибов предложен метод Б.Г. Галеркина [11].

В отличие от работ [4-10] в данной работе рассмотрен случай больших прогибов, а в отличие от работ [1, 4 - 14] - предложен метод, основанный на методе наименьших квадратов, частный вариант которого в случае малых прогибов сводится к классическому методу Б.Г. Галеркина [11].

Физическая модель (основные допущения). В данной работе рассмотрим модель деформирования открытой цилиндрической оболочки взрывом неконтактного сосредоточенного сферического заряда конденсированного ВВ, расположенного в произвольной точке пространства, на некотором фиксированном расстоянии И1 от срединного слоя оболочки (рис. 1).

Рис. 1. Схема расположения заряда ВВ над оболочкой при взрыве

Предположим, что открытая цилиндрическая оболочка, шарнирно опертая по всему своему контуру, с размером плана 2а*2Ь и стрелой подъема 5 имеет постоянную толщину И, радиус кривизны Я и является тонкой и пологой, т.е. ЩК < 120 [12] и 5/шт[а, ь] < 2/5 [13] соответственно. Ма-

95

териал оболочки предполагается однородным и изотропным, рассматривается упругий режим деформирования вплоть до ее гарантированного разрушения. Принимаются основные классические гипотезы теории тонких оболочек [13].

Тип и энергетические характеристики сосредоточенного сферического заряда ВВ радиуса г0, массой С определяются обобщенным параметром А0 [1].

Рассматривается ближняя область действия взрыва И1/Г0 < 15 [2],

для которой давлением окружающей среды пренебрегаем по сравнению с давлением продуктов взрыва. Вследствие кратковременности действия взрывной нагрузки (время её действия т не превышает 2-10-4 с) начальными смещениями точек оболочки за время действия нагрузки можно пренебречь [1, 3].

Математическая модель и решение задачи. Введем правую прямоугольную декартову систему координат Охух, оси Ох и Оу расположим в плоскости плана оболочки, а начало координат - в центре симметрии плана (рис. 1).

Введем безразмерные переменные

и V w X у

и = —, V =—, Ж =—, £ =—, п = И а

(1)

а Ь И а Ь

где и = и(х, у, ?), V = v(x, у, ?), w = w(х, у, ?) - функции перемещений для точки срединной поверхности М; Н е [- И/2,И/2]; ?0 = 2-10-4 с.

В безразмерных переменных (1) уравнения движения [14] для пологой оболочки примут вид

д и + 1 - р д£ 2

2

ґ аЛ V ~Ь у

2 д2и

+

дп" 1 — р

И2

2

И Л 2

V Ь у

2 д£дп

дЖ д£ дп

дЖ д2Ж 1 + р(И + —- -Ь

V а У

2

д£ д£

2

2

дЖ д2Ж дп д£дп

+

2

Р

Е

а V *0 у

д 2и

дТ 2

0.

(2)

1 + р д2и д2V 1 — р (ЬЛ2 д^ (ИЛ2 дЖ д2Ж 1 + р (ИЛ2 дЖ д2Ж + —^ + —- — — -----------------------------------^ + —- —-----------------+

2 д£дп дп2 2

V а У

V Ь у

дп дп

2

2

+

д 4Ж

2

2

И2

V а У

дЖ д2Ж дп д£2 4

+ 2

гаЛ2 д4Ж

Р

Ь

д£2дп2 —12-

а

V Ь у 4

дп

Е

12

Ь

ч*0 у а

дТ

2

V а у

0.

д£ д£дп

(3)

2 д2Ж

И

ди дV

----+ р—

д£ дп,

д2Ж ( ди дVЛ

р-

+

И2Ь2 дп2 V д£ дп

12

дЖ

а V к у

д£

д 2и 1 - ц +

2

-12

а4 дЖ

2

к2Ь2 дп

д£

д 2У 1 -ц +

дп

2

2

а

Ь

Ь

а

2 д2и 1 + ц д2УЛ

• + •

дп2 2 д£дпу

2 д V 1 + ц д2иЛ +

12(1 - Ц)

С а Л2 д2Ж

к

д£дп

а

Ь

2

2 ди дУ

д£ 2

/ „л4

+ 12р

а

V к у

2 д£дп

2 с ь

V і0 у

1 - ц

у 2

Е

д 2Ж дТ 2

= 0, (4)

дп д£

ч

где и = и (£, п, Т), V = V (£, п, Т), Ж = Ж (£, п, Т) - безразмерные перемещения точки М; р - плотность материала оболочки; ^ - коэффициент Пуассона; Е - модуль Юнга. К уравнениям (2) - (4) необходимо присоединить граничные и начальные условия.

Начальные условия с учетом (1) примут вид [9, 10]

и (£, п, Т )|Т=0 = 0, V (£, п, Т )| Т=0 = 0, Ж (£, п, Т) Т=0 = 0

ди

дТ

0.

дУ

Т=0

дТ

0

дЖ

Т=0

’ дТ

Т=0

А0^0С Я 2 к 2р

а(£, п),

(5)

(6)

где

с1(£ п) =

С

а „ Я £ х* а „ - Я£. -1+ а

_ Я _ Я _

£2 +

1+а

Я

г _ 2Л

1І 1- а _ Я _ 2 £

х* а „

-----£

ЯЯ

2

+

У* Ь

п

2

+

а

Я

2 Л

2

Я Я

V ^ ^ У

Граничные условия, соответствующие шарнирному закреплению, в безразмерных переменных запишем в виде [14]: при £ = ±1

и = 0, V = 0, Ж = 0,

д 2Ж

д£

1 +

ди д£ ,

+ ц

Ь

ґаЛ2д2Ж

дп

1 +

дУ

+

д2Ж

дп У д£дп

дУ

д£

+ ц

а

Ь

2

2 ди

при п = ±1

и = 0, У = 0, Ж = 0,

д2Ж

дп

1 +

дУ

дп

+ ц

22

д2Ж

д£

1 +

ди

+

д2Ж

д£ у д£дп

ди

дп

+ ц

Ь

а

дп

2

2 дУ

0, (7)

д£

= 0. (8)

Решение полученной таким образом начально-краевой задачи, состоящей из уравнений движения (2) - (4), начальных (5), (6) и граничных (7), (8) условий, будем искать в виде

2

2

2

и(£,п,Т)= Еик(Т)-ик(£,п), р Є N,

к=1 т

У(n,Т)= ЕV](Т)-У](£п), т є N, І=1

Ж(£,п,Т)=Е™1 (Т)-Ж(£,п), и Є N,

і=1

(9)

(10)

(11)

где функции (Т), V,(Т) и (Т) подлежат определению, а {к(£,п)},

{V, (£,п)}, {Ж, (£,п)} - полные системы заданных координатных функций,

удовлетворяющие граничным условиям.

Подставив предполагаемые решения (9) - (11) в уравнения движения (2) - (4), получаем невязки Л^(£, п, Т), N2 (£, п, Т) и N3 (£, п, Т) для уравнений (2), (3), (4) соответственно [9, 10].

Для минимизирования полученных невязок N1 (£, п, Т), N2 (£, п, Т) и N3 (£, п, Т) составим функционал ^:

¥(Т)= |[^2 (£, п, Т) + N 2 (£, п, Т) + N3 (£, п, Г)}/Л, (12)

Ол

где О л = [-1,1]х [-1,1], а dЛ = d£dп, и запишем необходимые условия экстремума для функции ¥(Т) в виде

(т )]

д[«к (Т )]

= 0, к = 1, р, р є N,

д

р (Т)] д[ Р (Т )]

д

0, І = 1, т, т є N, = 0, і = 1, и, и є N.

(13)

.д[ (Т)]

Систему (13) с учетом выражения (12) представим в виде

|N1 (£,п,Т)- ик(£,п)Л = 0, к = 1,р, р є N,

Ол

|N2(£,п,Т)- VІ (£,п)Л = 0, і = 1,т, т є N, Ол

(14)

|N3(£,п,Т)• Ж,(£,п)dЛ = 0, , = 1,и, п е N.

1Ол

Таким образом, приходим к системе уравнений (14), в которой полученные невязки N1 (£, п, Т), N2 (£, п, Т) и N3 (£, п, Т) являются ортогональными в рассматриваемой области координатным функциям ик (£, п),

V, (£, п) и Ж, (£, п) соответственно.

Заметим, что в случае малых прогибов, т.е. прогибов, не превышающих 1/5 толщины к оболочки, перемещениями (9), (10) можно пренебречь [13], и задача сводится к минимизации одной невязки N3 (£, п, Т), полученной подстановкой перемещения Ж(£, п, Т) в соответствующие уравнение движения. Минимизируя невязку N3 (£, п, Т) в последовательности, которая приведена выше, придем к классическому апробированному методу Б.Г. Галеркина [11].

Таким образом, предложенный выше метод, основанный на методе наименьших квадратов, является обобщением метода Б.Г. Галеркина.

Подставляя невязки ^(£, п, Т), N2 (£, п, Т), N3 (£, п, Т) в систему (14), получим замкнутую нелинейную систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций щ (Т), V, (Т) и м, (Т) [9, 10].

Начальные условия для полученной нелинейной системы дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций щ (Т), V, (Т)

и м, (Т) определим подстановкой выражений для перемещений (9) - (11) в выражения (5) и (6) соответственно.

Таким образом, начальные условия для системы дифференциальных уравнений примут вид

Ик (0) = 0, V, (0) = 0, м, (0) = 0, йк (0 ) = 0, V, (0) = 0,

Я3(£,п,с) = с •-А^• с(£,п)-!>,(0)Ж(£,п). (15)

Я к р ,=1

Получаемую в (15) невязку Я3 (£, п, С) будем минимизировать аналогичным способом, примененным к минимизации невязок ^(£, п, Т), N 2 (£, п, Т), N3 (£, п, Т). В итоге получим

м, (0) = в гс,

где в, - соответствующие константы.

Для нахождения области разрушения воспользуемся критерием энергии формоизменения [15], в котором учтем динамический характер действующей нагрузки.

Согласно введенным ранее основным гипотезам теории тонких оболочек этот критерий в безразмерных переменных приводит к соотношению

®1 (£, п, Т )■ X2 + ю 2 (£, п, Т )• X + Ю3 (£, п, Т ) = 0, (16)

где

ю1(£п Т ) = о 2(£, п Т) + о 2 (£ п Т)-о 2 & п Т )• о 4(£, п Т) + 3т 2 (£, п Т), ю 2 (£, п, Т ) = -2о1(£, п, Т )• о 2 (£, п, Т)-2О3 (£, п, Т )• о 4 (£, п, Т) +

+ о1(£пТУ о4(п,Т)+ о2&пТ)• о3(£,п,Т)-6т1(£п,Т)т2(£,пТ),

®3 ( П Т ) = а? ( п Т) + а2 ( п,Т)-а1( п,Т ) 03 ( п Т) + Зт2 ( п,Т V

ди 1

-------1—

д£ 2

д^12 + {^12 \дУ I2 + _

д£ і 1 а і [д£ і і а

н I2 Гэж"2

ЗУ + и---------+

дп

1

+— и 2

- }2 Н І2+|ідп І2+1 _

Ь і 1 дп і 1 дп і 1Ь

НI2 ГдЖ' 2

дп

/ Г Н Л 2 д2Ж Г ди 1 Г Н Л

— д^ 2 1 + + —

1 V а [. д£ ] V а У

1 — и

2

ЗУ д2Ж д£ дЪ,дп

+ и

^НЛ 2 д2

д 2Ж

дп2

, ЗУ 1 + —

дп

+

V V Ь у

+ и

Ґ

1 — и

ЗУ 1

------1—

дп 2

ди д2Ж Эп д^дп 2

а

Ь

ди

дп.

+

ЗУ

.дп.

+ 1 ь і

Н І 2 ГдЖ I2

дп

ди

+ и-------+

д£

V

ди

.д£.

+1 аі

Ь І 2 Гд^ 2

1 — и

д£

2

+1 а і

НI2 ГдЖ' 2

д£

ґ НI2 д2Ж Г1 + ЗУІ + іН|2дид2Ж + и

НI2 д2Ж

Ьі дп2 I дп

НІ 2 ЗУд2Ж

Ьі дп д^дп Iаі д£2

1+Зи І+

. д£ і

+ и

а і д£ д^дп

т1( п, Т ) =

1

ґа ди Ь ЗУ Н2 дЖ дЖЛ

2(1 + и)

1 Н2д2Ж 1 + и аЬ д£дп

Ь дп а д5 аЬ д5 дп

Я" - коэффициент динамичности [1]; оТ - статический предел текучести материала оболочки при растяжении.

Разрешая полученное квадратное уравнение (16) относительно X, придем к выражению

42 ( п, т)=тгтЬл [-8 2 (5, п, г)±Т51ЕПГГ) ], (17)

Мі п, Т )'

где

81(5, п, Т ) = , 8 2 (5, п, Т ) = ,

®з (5, п, т) ®з (5, п, т)

А(5, п, т ) = 8 2 (5, п, Т)-481(5, п, Т).

Выражение (17) определяет поверхность, на и внутри которой материал гарантированно разрушен.

В качестве примера приведем расчеты для цилиндрической оболоч-

100

2

2

2

1

2

1

ки из дюралюминия, которая имеет следующие геометрические и механические характеристики: а = 0,5 м, Ь = 0,8 м, Я = 2 м, И = 4-10' м, 8 =

0,167 м; р = 2,8103 кг/м3, Е = 7,3-1010 Па, ^ = 0,34, оТ = 450 106 Па, К = 1,25, согласно [16].

Заряд ВВ изготовлен из литого тротила, для которого обобщенный параметр А0 = 400 м/с [2] и плотность р0 = 1630 кг/м , и расположен над центром симметрии плана, т. е. х* = 0, у* = 0, на высоте И1 = 0.1 м от срединного слоя оболочки. Координатные функции для (9) - (11) выбраны в виде

ик (5, п) = - вш (п5) соб

П

Л

—п

V 2 'у

Л

ехр(- [к -1][52 + п2

]),

V](5, п) = Бт(пп)собГ п5 | ехр(- [/ -1][52 + п2 ^

V2 у

^ «Т \

(18)

СОБ

I+2

П5 2

СОБ/+2V Пп

Рис. 2. Поверхности разрушений Х \(£,г|, / ). Дюралюминий

Зафиксируем по одному слагаемому в функциях перемещений (9) -(11) с координатными функциями (18):

и (5, п, т ) = щ(т )• и (5, п),

V (5, п, т ) = П (т )• VI (5, п), щ (5, п, т ) = ^(т )• щ1(5, п).

Поверхности гарантированного разрушения

^(5, п, т ) = - —05--) [8 2 (5, п, т )+VD(5-п-T) ]

81(5, п, т)

для массы заряда ВВ С = 0,7 кг и различных моментов времени Т показаны

на рис. 2 (на рис. 2а - для времени Т = 2; 2 б - для времени Т = 2,5; 2в - для

времени Т = 3; 2г - для времени Т = 3,5; 2д - для времени Т = 4,5; 2е - для времени Т = 5).

Расчеты показывают, что в оболочке формируется зона разрушения (рис. 2), которая увеличивается с течением времени, занимая определенную область оболочки. Полученные результаты исследований позволяют прогнозировать возможные разрушения оболочки взрывом и масштаб этих разрушений. Методика проведенных исследований может быть использована для инженерных расчетов в задачах прогнозирования гарантированного разрушения элементов конструкций взрывом неконтактных зарядов ВВ.

Список литературы

1. Володин Г.Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Часть 2. Взрывостойкость и гарантированное разрушение элементов конструкций. Тула: Левша, 2005. 160 с.

2. Саламахин Т.М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. 255 с.

3. Саламахин Т.М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961. 275 с.

4. Володин Г.Т. Прямой вариационный метод исследования взрыво-стойкости и гарантированного разрушения балочных конструкций взрывной нагрузкой // Вестник ТулГу. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2009. Вып. 1. С. 49-54.

5. Володин Г.Т. Моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ // Известия ТулГу. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 173-183.

6. Володин Г. Т., Чан Тхань Тунг. Математическое моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ // Известия ТулГу. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 67-74.

7. Володин Г.Т., Новиков А.С. Разрушение открытой цилиндрической оболочки взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ // Известия ТулГу. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 75-84.

8. Володин Г.Т., Новиков А.С. Гарантированное разрушение открытой цилиндрической оболочки взрывом неконтактных зарядов конденсированных ВВ // Известия РАРАН. 2013. Вып. 4. С. 56-62.

9. Володин Г.Т., Новиков А.С. Метод Б.Г. Галеркина в задачах гарантированного разрушения оболочечных конструкций взрывом // Mate-rialy IX mezinarodni vedecko-prakticka conference «Aplikovane vedecke no-vinky - 2013». Dll 12. Praha: Publishing House «Education and Science» s.r.o, 2013. Р. 28 - 35.

10. Володин Г.Т., Чан Тхань Тунг. Метод Б.Г. Галеркина в задачах гарантированного разрушения пластин взрывом // Известия ТулГу. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 110-119.

11. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 347 с.

12. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: ГСИСП, 1962.

432 с.

13. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1963. 278 с.

14. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Изд-во «Наука», 1972. 432 с.

15. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 191 с.

16. Косенков В.М., Бычков В.М. Метод определения реологических и энергетических характеристик ударного сжатия металлов // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. №6. С. 134-143.

Володин Геннадий Тимофеевич, д-р техн. наук, проф., g.volodin@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Новиков Андрей Сергеевич, аспирант, asnov28@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

IN GEONETRICALLY NONLINEAR PROBLEM OF THE BREAKING OF THE SHELL

DESIGNS EXPLOSION

G.T. Volodin, A.S. Novikov

An approximate solution for the guaranteed destruction of open shallow cylindrical shell explosion noncontact charge condensed HE in the air is given. Constructed mathematical model takes into account the significant deflection of the shell, which can be compared with its thickness (geometric nonlinearity). Solution of the initial-boundary value problem -fulfillment but the method of least squares, generalized to the case of systems of nonlinear differential equations. Into account the statistical characteristics of the strength of the shell material and the dynamic nature of the external explosive load is applied, generalized to dynamic loading, the shell material fracture criterion - the dynamic distortion energy criterion.

Key words: charge of condensed explosive, explosive load, elastic deformation, guaranteed destruction, method B.G. Galerkin, fracture criterion, geometric nonlinearity, large deflections.

Volodin Gennadiy Timofeevich, doctor of technical sciences, professor, g.volodin@yandex.ru. Russia, Tula, Tula State University.

Novikov Andrei Sergeevich, assistant, asnov28@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University.