Геомеханические модели процессов сдвижения подработанного горного массива Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 622.831

Г. Г. Литвинский

ГЕОМЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ СДВИЖЕНИЯ ПОДРАБОТАННОГО ГОРНОГО МАССИВА

Предложены простые модели опускания подработанного горного массива. Выявлена роль распределения пустотности в толще подработанных горных пород. Рассмотрено новое уравнение для определения мульды сдвижения. Раскрыта физическая сущность влияющих факторов. Показаны возможные пути использования и обобщения моделей.

Ключевые слова: сдвижение, земная поверхность, математическая модель, подработка, трещиноватость, пустотность массива, мульда сдвижения.

Краткий исторический экскурс и задачи исследований

Изучением процессов подработки горного массива и их влияния на подземные и поверхностные объекты занимались многие отечественные и зарубежные ученые. К настоящему времени по этому вопросу накопилась многочисленная литература [1] - [10], в том числе и обзорного характера [2], [8].

В XIX веке бурное развитие угольной промышленности в ведущих горнодобывающих странах (Англия, Бельгия, Германия) из - за возникающих при ведении горных работ повреждений поверхностных сооружений заставило зарубежных практиков и ученых обратить внимание на необходимость глубокого изучения сдвижений земной поверхности ([2] - [6] и др.). В отечественной горной науке основы учения о процессах сдвижения дневной поверхности заложил акад. С.Г. Авершин [1], который разработал расчетные методы прогноза на основе результатов натурных измерений. Проблема остается актуальной вплоть до настоящего времени, о чем свидетельствует непрекращающийся поток публикаций ([7] - [11] и др.), в которых предлагаются разные методы

наблюдения за процессом сдвижения дневной поверхности и расчета его параметров.

К настоящему времени благодаря экспериментальным и теоретическим исследованиям широкого сообщества ученых разных стран можно считать установленными следующие общепринятые представления и закономерности [2]:

1. Подземная добыча полезного ископаемого создает пустоты в массиве горных пород, нарушает его равновесное состояние и изменяет действующие в нем исходные поля напряжений и деформаций. Возникающие в массиве концентрации напряжений вызывают процессы перехода его к новому равновесному состоянию путем деформирования и разрушения пород.

2. Сдвижения земной поверхности являются частью процессов перехода массива в новое равновесное состояние и зависят от многих влияющих факторов; глубины и параметров разработки, мощности и угла падения пласта, физико - механических свойств и состояния слагающих массив пород, структурного его строения, неоднородностей и т. д.

3. В окрестностях подработки массива различают разные по своему образованию и поведению области [5], к важнейшим из которых выше и ниже отработанного пласта относят (рис. 1):

I - область повышенного горного давления, где различают зоны 6 и 8 - опорного давления; 7 - предельно напряженного состояния;

II - область разгрузки, в которой идут процессы деформирования, состоящие из зон: 1 - обрушения; 2 и 9 - разломов; 3 и 10 - активных трещин; 4 и 11 - локальных трещин; 5 и 12 - плавных деформаций;

III - приповерхностная область в виде мульды сдвижения, в которой различают зоны 13-15 - растяжения и сжатия, поднятия и опускания, вызывающие разнонаправленные деформации приповерхностных слоев; 16 - зона сползания слоев.

4. При неполной подработке у мульды сдвижения нет плоского дна и максимальное оседание происходит в одной ее точке, если подработка полная - дно мульды плоское и ограничено углами полных сдвижений, вдоль которых идут линии начала максимальных оседаний земной поверхности.

5. Наиболее опасными для поверхностных зданий и сооружений считаются краевые области мульды сдвижения, где возникают опасные смещения дневной поверхности в виде горизонтальных деформаций, наклонов и кривизны, превышающих заданный нормами уровень критических значений.

Рис. 1 - Схема сдвижения и области деформирования горных пород по оси симметрии выработанного пространства при

разработке пласта [5]

Отсюда становится понятным, почему при расчете сдвижения дневной поверхности практики и ученые главное внимание уделяют решению задачи об определении формы и размеров мульды сдвижения, при этом одним из базовых параметров, как правило, считается максимальное опускание ее дна. К настоящему времени было разработано множество расчетных методов размеров мульды и даже предложены их разные классификации

[3] - [7].

В обобщенном виде все известные классификации методов прогноза так или иначе разделяют на эмпирические или полуэм-

пирические методы, численные (в том числе и метод конечных элементов МКЭ) и теоретические модели. Следует признать, что при всех достижениях и важности эмпирических методов, созданных в предшествующий период почти вековой продолжительности усилиями многих ученых и практиков, они уже почти исчерпали свои возможности ([1], [4], [6], [11] и др).

Численные методы, применяющие мощные алгоритмы и вычислительные процедуры, так или иначе требуют для своего развития предварительно использовать или создать непротиворечивую математическую модель, которая не всегда адекватна и из-за принятых по умолчанию посылок и предположений обладает рядом существенных недостатков. Кроме того, вводимые параметры нередко оказываются не вполне обоснованы или раскрыты по физической сути. Необходимость корректного задания граничных и начальных условий с введением многочисленных эмпирических постоянных заставляет выполнять для их определения экспериментальные (лабораторные и натурные) изыскания, опробывания и испытания, нередко длительных и трудоемкиех

Одной из наиболее употребительных и востребованных величин при прогнозе оседаний дневной поверхности при ее подработке в процессе выемки пластового полезного ископаемого можно считать максимальное оседание, которое почти во всех расчетных методах [2] - [10], [15] предлагается рассчитывать с использованием формулы:

Лтах = • т • (1)

где q0 - максимальное оседание при полной подработке поверхности, отнесенное к мощности пласта;

т - мощность пласта по нормали к линии падения, м; а - угол падения пласта.

Нельзя не отметить, что в нормативном методе прогноза [15] многие формулы и рекомендации получены эмпирически и без явного аналитического обоснования. Для неполной подработки поверхности рекомендовано вводить эмпирически полученные поправки в виде замены q0 на q по формуле:

D

H

D

q = q •0,9-J T7-• T7-л2 , (2)

H

где и - размеры выработанного пространства соответственно по падению и простиранию пласта, м;

Н - средняя глубина разработки м;

а1; а2 - эмпирические коэффициенты, принимающие значение в пределах а=0,2...0,4 и тем больше, чем больше окололав-ные целики и выше прочность подработанных горных пород.

Однако формула (2), которая рекомендуется в нормативном документе [15], вызывает ряд вопросов. В частности, согласно «Правил.», максимальное оседание qo следует определять не вычислением (аналитически), а по заранее заданным эмпирическим таблицам. Кроме того, в формуле (2) равноправно учитываются оба размера выработанного пространства соответственно по падению и простиранию пласта и Э2, что не может быть признано корректным.

Вызывает сомнение утверждение [15], что максимальные оседания дневной поверхности с увеличением глубины разработки уменьшаясь, стабилизируются, на что впервые, по-видимому, указано в [16]. Эти и некоторые другие «шероховатости» существующих нормативных положений делают оправданными дальнейшие попытки по их корректировке.

Задачей исследования является анализ общепринятых [15] соотношений по прогнозу оседаний массива горных пород при его подработке, разработка соответствующих математических моделей и их параметров.

Геомеханические процессы при подработке массива

В первую очередь необходимо изучить существо происходящих механических процессов при ведении очистных работ, для чего рассмотрим последовательные этапы подработки поверхности по мере отхода очистного забоя от разрезной печи (рис. 2, 3).

Рис. 2 - Схема поэтапного сдвижения массива горных пород при движении лавы по простиранию и рост призмы полных опусканий пластов на разных глубинах (разрез по падению,

вид по А на рис. 3)

1. Выработанное пространство представляет собой протяженную незакреплённую прямоугольную выработку, ширина которой увеличивается по мере движения лавы.

2. Когда растягивающие напряжения в кровле выработанного пространства превысят прочность, произойдет отслоение и обрушение пород (чаще непосредственной кровли) с образованием свода естественного равновесия.

3. По мере увеличения пролета свода из-за подвигания лавы разрушенные породы из-за разрыхления пород заполняют все выработанное пространство, создавая эффект подбучивания кровли и вначале затрудняя, а затем прекращая дальнейшее развитие свода.

1 - зона обрушенных пород; 2, 3, 4, - этапы роста призмы полных сдвижений, 5 - очистной забой; 6 - разрезная печь; 7 - мульда сдвижений; 8 -рост зоны обрушений пород

Рис. 3 - Продольный разрез подработанного массива по простиранию (вид по А на рис. 2) с фиксацией поэтапного роста призмы полных сдвижений на разных глубинах 1, 2, 3, 4 при движении лавы 5 по пласту т на глубине Н от

разрезной печи 6

4. Пласты вышележащих пород из-за невозможности свободного обрушения начинают передавать свой вес на подбучен-ную ранее обрушенными породами область, прогибаясь последовательно снизу вверх в виде волны расслоения с разной степенью распора и трещинообразования (плавное опускание) или периодически обрушаясь по мере движения лавы в виде «осадок» основной кровли

5. По мере роста зоны полных оседаний начинают формироваться углы полных сдвижений на границах подработанных пород, образуя вначале трехгранную призму, у которой торцы ско-

шены под углами полных сдвижений и с гранью - основанием по почве пласта с размерами D1xD2. При неполной подработке пространственная фигура максимальных опусканий по мере продвижения лавы и увеличения D2 принимает промежуточную форму четырехгранной пирамиды с нижним основанием по почве пласта D1xD2, которая вновь переходит в трехгранную призму высотой, задаваемой меньшей из сторон основания, т. е длиной лавы D1;

6. При движении лавы по простиранию верхнее ребро объемной фигуры (вначале трехгранной призмы вдоль D2), которая охватывает область полных сдвижений, поднимаясь вверх пересекает земную поверхность (полная подработка при

и образует начальную линию мульды максимальных сдвижений, как правило, перпендикулярную фронту очистных работ;

7. Вышележащая толща пород при дальнейшей выемке продолжает прогибаться вслед за фронтом очистных работ, удлиняя на земной поверхности плоскую мульду максимальных сдвижений в виде прямоугольника со скругленными углами, размер которого вдоль направления лавы и по мере выемки увеличивается от начальной линии до длины выемочного столба, а поперечный размер остается равным начальной длине линии максимальных сдвижений.

Это предельно упрощенная схема деформирования массива горных пород должна в дальнейшем быть дополнена с целью учета угла падения пласта, направления выемки угля (по простиранию, падению, восстанию и пр.), разных углов полных сдвижений, повторной подработки, неоднородного строения массива, оставления барьерных и ленточных целиков и т. д. В ряде случаев отдельные этапы подработки массива могут отсутствовать или появляться иные (например, при наличии наносов, четвертичных пород и др.), что не окажет существенного влияния на весь процесс сдвижения массива и может быть учтено дополнительно.

На первом этапе остановимся на уточнении понятий полной и неполной подработки. Воспользуемся тем, что углы полных сдвижений ф2 (рис. 2) известны из обширных экспериментальных

исследований и они районированы в соответствии с местными горно-геологическими условиями. Начало полной подработки поверхности будет однозначно определяться условием выхода на земную поверхность верхнего ребра растущей трехгранной призмы полных сдвижений (со встречно скошенными основаниями), параллельного или нормального фронту очистных работ.

Необходимое и достаточное условие неполной подработки отражено в первом, а полной - во втором неравенствах (3):

тах [(Д • tgфl), (И2 • tgф2)] < 1

2 Н

х , (3)

— ШП [(Д • Щф^А^2 ' Щфг )] > 1

2 Н

При разработке пластов по простиранию условия полной и неполной подработки (3) оказываются необходимыми и достаточными, они полностью зависят от размера выработанного пространства по падению Д, тогда как размер по простиранию Б2 (длина выемочного столба) не влияет на условие полной подработки земной поверхности.

Для определения степени подработки породного массива, который должен оценивать степень развития полных оседаний дневной поверхности на произвольной стадии развития очистных работ на глубине Н, целесообразно ввести коэффициент подработки 0 < Кп < 1 как отношение достигнутой поперечной площади А растущей фигуры полных оседаний с высотой h < H к ее предельно возможной площади Ая при данных размерах выработанного пространства D1xD2:

Кп

A f й,л2

AT

H

(4)

*п V Н У

где A1, A - площади поперечного сечения фигур, ограничивающих полные оседания соответственно при неполной и полной подработке;

H - соответственно высота фигуры полных оседаний и глубина разработки.

Роль формы выработанного пространства Б^Бг

Чтобы оценить влияние каждого из размеров выработанного пространства Д, Б2 на процессы в подработанной толще массива горных пород, можно прибегнуть к аналогии закономерностей изгиба пластин и пластов пород. Основное уравнение изгиба плоской пластины средней толщины записывается в виде (уравнение Софи Жермен [17]):

д4w „ д4w д4w а /сч

—т + + — =—, (5)

дх дх ду ду Б

где м - вертикальная деформация нейтрального слоя пластины; х, у - система прямоугольных координат с началом в центре пластины; д - нормальная распределённая нагрузка, действу-

Л

ющая на пластину, Н/м .

Ек2

и =-— - цилиндрическая жесткость при изгибе пла-

12(1 -у )

стины;

Е - модуль Юнга, Па;

к - толщина пластины, м;

у - коэффициент Пуассона материала пластины.

Если с помощью решения уравнения (4) определить уравнение прогиба срединного слоя прямоугольной пластины размерами ахЪ (которые являются аналогами размеров подработанной толщи в плане 02) то на основании качественного анализа решения можно оценить степень влияния каждого из размеров. Одно из немногих точных решений уравнения 4 получено для пластины эллиптической формы. Поэтому с целью упрощения анализа, вместо прямоугольной рассмотрим эллиптическую в плане пластину с тем же соотношением полуосей ахЬ, прогиб которой будет качественно подобен прямоугольной (рис. 4)

Конечный результат решения уравнения (5) для прогиба в центре пластины получен в замкнутом виде [17]:

-1

, (6)

Wo =

8 D

3 2 3

--I---V

4 2т2 >4

a a b b

v

а нормальные напряжения в центре пластины равны:

4 Ew0 - 2 a + vb ~2

z

" 1 -V b -2 + va - 2

(7)

a r :

4 b "

■■■■-■ ■.■ ■.■ -.v ■.■ -.v ■.■ -л? ■.■ ■.■ -.v ■.■ ■.■ ■.■ -.v i

! q

■■-■11 fill fill Г П11ГП1 f ill i. Г. f ill г п

q

w

w

Рис. 4 - Деформации w защемлённых по контуру прямоугольной и эллиптической пластинок при равномерно

распределенной нагрузке q

Проведем анализ полученного решения с точки зрения аналогии поведения пластов в подработанном массиве и пластины. Как следует из (6), прогиб пластины w0 зависит от изменения

каждого из ее размеров. Изучим поведение прогиба из-за увеличения одной из полуосей (например, b) при постоянном значении другой в обозначениях процессов подработки. Рассмотрим эту закономерность на графике (рис.7) в нормированных относительных координатах: по оси абсцисс будем откладывать расстояние лавы от разрезной печи в единицах длины лавы D /D, а по оси ординат — прогибы пластов w0, отнесенные к их предельному цилиндрическому изгибу w , который получаем из (6) при

устремлении отношения длины балки к ее ширине, т.е. Ъ/а^да.

Линия 1 на рисунке 7 показывает, что относительный прогиб w /w по мере продвижения лавы быстро увеличивается на

участке 0,5<D1/D2<1,5, стремясь к своему предельному значению, т. е. w0/w^1.

Отметим, что полученная оценка основана на анализе только упругого изгиба пластов, на самом деле уже на первом этапе

подработки породы начинают растрескиваться и разрушаться, что значительно увеличивает их способность к прогибам. Следовательно, более достоверной будет линия 2 на рисунке 7, которая отражает поведение реальных пород при их подработке и показывает, что влияние размера D1 на сдвижение подработанной толщи быстро затухает при удалении лавы от разрезной печи на длину, несколько больше фронта очистных работ.

1

wjw 0.6

0.41

0.2

0 12 4

Рис. 7 - Рост прогиба пород при удалении лавы от разрезной

печи

Разумеется, в условиях управления кровлей полным обрушением, осложняемого периодическими осадками основной кровли, кривая 2 не будет такой идеально плавной и исказится скачками и разрывами, но, тем не менее, показанная с помощью аналогии закономерность будет соблюдаться.

Следовательно, можно сделать вывод о том, что:

1) уравнение (2) нельзя считать достаточно корректным, а метод прогноза, основанный на его использовании, необходимо пересмотреть;

2) развитие очистных работ приводит к образованию подработанной толщи, в которой область полных сдвижений меняет свою форму от трехгранной призмы вдоль лавы при отходе от разрезной печи до такой же призмы большей высоты нормально фронту очистных работ при неполной подработке или четырехгранной призмы при полной подработке;

3) максимальное опускание мульды сдвижения не зависит от удаления лавы от разрезной печи, начиная с расстояния, превышающего 1.1,5 длины лавы;

4) предопределяющим параметром полной подработки массива является длина фронта одного или примыкающих выработанных пространств.

Трещиноватость и пустотность подработанного массива горных пород

Подработанный массив пород при формировании мульды оседаний испытывает сложные деформации растяжения, сжатия и опускания, в результате которых возникает вполне определенные системы трещин сдвига и растяжения. Как известно [18], свободное пространство в породах в виде пустот различной формы, размера и ориентации, называется скважностью (пустотно-стью), которая представлена системами пористости, трещинова-тости и кавернозности. Пористость осадочных горных пород находится в пределах 2.4 % и поэтому может оказать заметное влияние на деформации массива.

При ведении очистных работ в слоистом массиве в результате подработки возникает вполне определенная четко выраженная техногенная система трещин, параллельная поверхности контактов. У этой системы в заданных горно-геологических условиях достаточно выдержанные параметры: густота трещин, которая измеряется расстоянием между соседними трещинами по нормали к их плоскости, примерно соответствует мощности слоев, раскрытие трещин меняется от долей миллиметра до нескольких сантиметров, а угол и азимут падения совпадают с теми же параметрами у пластов.

Согласно п. 2, образование и закрытие трещин в зоне подработки происходит в результате сложных геомеханических процессов последовательного изгиба и оседания пластов по мере движения лавы, на которые зачастую накладываются при управлении кровлей полным обрушением периодические посадки основной кровли. Последние выполняют роль триггера неупругих деформаций сдвижения всей многослойной толщи подработанных пород. Своеобразная «волна» изгибов, растяжений и сжатий с инициацией вначале раскрытия, а затем уменьшения трещин

разрыва слоевых контактов многократно проходит снизу вверх и пронизывает подработанную толщу, заставляя ее в конечном счете опускаться и уплотнять выработанное пространство.

Степень пустотности подработанного массива можно численно охарактеризовать объемным коэффициентом скважности. Учитывая особые условия проявления пустотности в подработанном массиве, деформации разрыва будут наблюдаться лишь в направлении, перпендикулярном слоистости. Тогда коэффициент трещинной пустотности (КТП) равен объему пустот, образованных трещинами в единице объема горной породы.

Поскольку трещины квазипараллельны друг другу и меняют только высоту единичного объема породы У0 который слагается из единичных высоты И0=1 и площади Л=Л0=1, то можно коэффициент трещинной пустотности представить в виде формулы:

-г К • A h л

0 < кТ = = Л.-= hL < i , (8)

-0 h0 • А0 h0

где Ит, Ут - суммарное раскрытие всех техногенных трещин в единичном объеме породы и объем этих трещин соответственно.

Незаполненное обрушенными породами кровли выработанное пространство представляет пустоту и его коэффициент трещинной пустотности равен = 1. У пород кровли без техногенных трещин этот коэффициент можно считать равным естественной пористости кт=0.4 %. В подработанном массиве пород коэффициент КТП будет принимать промежуточные значения и тем самым предопределять сдвижение массива пород.

В первом, достаточно приемлемом приближении построим математическую модель оседаний дневной поверхности в виде исходного порождающего решения, в котором надо получить функциональную зависимость сдвижений массива от степени распределения в нем коэффициента трещинной пустотности в области полных сдвижений, где пласты пород переместились параллельно своему первоначальному положению.

Для упрощения решения принимаем ряд идеализаций и гипотез. В частности, считаем массив горных пород однородным и

изотропным, пренебрегая на начальном этапе исследований различием свойств слагающих его пластов. Начало координат поместим на дневной поверхности над центром очистного забоя. Вводим безразмерные нормированные ортогональные координаты в которых далее будем записывать определяющие соотношения:

0 = х / Н (9)

0<д = к/Н < 1,

0 <д = ц/т<1

где х - расстояние от линии очистного забоя, м;

Н - глубина разработки, м;

И - текущая глубина;

0 < И < Н, м;

ц - оседание подработанного массива на глубине И, м;

М - мощность отрабатываемого пласта.

Нетрудно видеть, что вертикальный градиент опускания подработанного массива будет не что иное, как коэффициент трещинной пустотности:

К (!) = ^. (10)

ад

Рассмотрим особенности поведения КТП в центре мульды оседания при изменении глубины разработки, вытекающие их геомеханических условий рассматриваемой задачи:

- на уровне пласта д=1 до образования области беспорядочного обрушения КТП должен принимать максимальное значение кт(1)^1;

- после обрушения пород кровли и создания начального подпора на высоте Иоб=(5...6)т мощностей разрабатываемого пласта КТП принимает значения в пределах £г = т /коб = 1/(5...6) = 0,15...0,2 ;

- по мере уменьшения глубины разработки в силу снижения сдвиговых и разрывных деформаций подработанных пластов КТП также снижается;

- у дневной поверхности £^0 при полной подработке КТП также должен быть равен нулю ^ (£ = 0) = 0, а оседание должно быть равно в безразмерном виде дт=Лт / т, где цт - максимальное оседание дневной поверхности.

Выберем наиболее простую функцию, удовлетворяющую всем вышеприведенным условиям поведения КТП:

кт (£) = ^ = а ад

(11)

где а, т - безразмерные постоянные коэффициенты, определяемые из натурных наблюдений и экспериментальных исследований за оседанием подработанного массива.

Решая полученное дифференциальное уравнение (11) и определяя постоянную интегрирования из условия, что при £^0 оседание максимально и равно дт=цт / т, после некоторых замен и упрощений, получим искомое решение в виде:

? = 1 -(1 )(1 ), (12)

т

где п > 1 - эмпирическая постоянная.

Переходя к исходным размерным переменным, окончательно получаем из (12):

Л

1 - fi л 1 1 - f h ^ n

m < m —

m V m V H)

(13)

Таким образом, предлагается общий вид уравнения (13) для определения опусканий подработанного массива на произвольной глубине И при заданных мощности пласта т и максимальном оседании дневной поверхности

На рисунке 8 показаны в относительных координатах типичные графики <; (£) оседаний массива горных пород над отработанным пластом на разных глубинах разработки. Если КТП во всей толще одинаков (понятно, что тогда п=0), то оседания будут представлены прямыми линиями, выходящими из начала координат и пересекающими ось ординат в точке <;т (штриховая прямая на рис. 8).

Из (12) следует, что при <;т =0 и п=0 получим КТП=т/Н. Таким образом, в подработанном породном массиве при выемке на глубине 500 м угольного пласта мощностью 1 м КТП равен кТ=0,002 или 0,2 %, что на порядок меньше естественной пористости большинства осадочных пород, равной 2.. .4 %.

Рис. 8 - Графики зависимости <; (£) оседаний 0<^<1 породного массива от глубины 0<^<1 в относительных

переменных

В общем случае, когда п > 0 для КТП получим выражение:

Из (14) следует, что при 0< п < 1 кривые опускания массива изгибаются выпуклостью вверх, а это говорит о том, что с повышением глубины трещиноватость массива должна снижаться. Поскольку это противоречит экспериментальным данным (расслоение поднимается от пласта к поверхности), надо признать, что реальная область значений показателя степени должна удовлетворять неравенству п > 1.

Отметим довольно простую возможность распространить функциональные зависимости (12), (13) на кусочно-

0 0.2 0.4 0.6 0.8

кТ = n • (1 -gm )

(14)

неоднородные породные массивы, когда они состоят из разнородных по физико-механическим свойствам пород. Это значит, что можно отказаться от довольно ограничивающей применение модели исходной гипотезы об однородности массива, а решать задачу, разбив массив на квазиоднородные толщи пород.

Для этого следует решать исходное дифференциальное уравнение (11) последовательно сверху вниз, поочередно задавая различные граничные условия: на верхней по глубине ьтой границе £ задаем опускание здесь д и показатель степени для данного слоя пь в результате получим

—

д = - £) + ^, (15)

Тогда на нижней границе 1+1 слоя / получим опускание

—

ям = - £ -С) + ^, (16)

и можно переходить к расчету опусканий следующего /+1 слоя. Возможен и противоположный порядок расчета от нижнего слоя вверх, все зависит от постановки задачи и наличия достоверных исходных данных и граничных условий.

Геомеханическая модель сдвижения мульды подработанного массива. Из физических соображений следует, оседания ц поверхности обусловлены распределением трещинной путот-ности и будут слагаться из двух компонент:

- геометрической обусловленной расстоянием до линии очистного забоя ¥=х/Ы;

- временной ^(1) которая зависит от скорости движения очистного забоя и от процессов ползучести в массиве горных пород, затронутых очистными работами и потерявших равновесное состояние.

Снижение общей трещинной пустотности подработанных пород при их уплотнении и опускании определяется не только величиной уплотняющего давления и временем его воздействия. В решающей степени интенсивность этого процесса определяется также формой и размерами смещающихся породных блоков, их

составом и пространственной структурой системы слоевых трещин.

Перейдем к рассмотрению проблемы определения максимального опускания мульды сдвижения. Порождающее решение упрощенной геомеханической модели основано на принятии целого ряда идеализаций и исходных предположений (гипотез), которые должны быть подвергнуты корректировке и уточнению при их последующей экспериментальной проверке. Кроме того, исходная модель процесса или явления должна быть дополнена экспериментальным определением численных значений неизбежно вводимых постоянных коэффициентов, имеющих вполне ясную физическую трактовку. Упрощено говоря, математическая модель позволяет получить структуру функциональных зависимостей (формул), которые в виде шаблона могут быть использованы для данного класса описываемых явлений после конкретных для каждого случая наборов дополнений, уточнений и исправлений.

Существуют различные методы прогнозирования оседания грунта: эмпирически полученные зависимости, профильные функции, функции влияния, аналитические модели и физические модели [7]. К числу наиболее популярных и известных в Европе можно отнести метод Будрика - Кнота ([3], [7], [12], [13] и др.). Он позволяет рассчитывать горизонтальные и вертикальные смещения, наклоны и деформации. В качестве функции влияния используется колоколообразная кривая (функция Гаусса) g(x, у, s, позволяющая определить при отработке элементарной площадки с координатами x,y оседание S(x,y,s,t) поверхности в произвольной точке s,t:

g (x, y, s, t) = -^-exp

2

r

(x - s) + (y —1)2

—ж-

2

r

S(x y, s, t) = \ if S0 (x, y) exp

^ J J A

-ж

(17)

(x — s )2 + (y — t )2

r

dxdy

где x, у - координаты элементарной площадки отработанного пласта полезного ископаемого;

1

б, 1 - координаты точки, в которой рассчитывается оседание поверхности;

г - радиус влияния, соединяющий точки х, у и б, 1; Оседание в точке Р(0. 0) можно выразить в виде определенного интеграла:

( 2 Л

S(x,y) = —J exp -п—щ-J exp

Г xl

r

x? ( x2 К y2 y

( 2 Л

¿у, (18)

V ' ) у1 V г )

Как видно из выражений (17), (18) они довольно сложны для практического использования и обладают целым рядом недостатков: только экспоненциально - квадратичные зависимости от координат, не учитывают граничные углы сдвижения, различия в деформировании и неоднородность породного массива, изменение его трещинной пустотности, возможную несимметричность кривой мульды оседания и др.

В последнее время были предложены и другие многообещающие теоретико-модельные методы расчета, которые использовали для определения оседания дневной поверхности различные вводимые априори функции влияния, однако ввиду сложности и недостаточной обоснованности они не получили широкого распространения ([2] - [4], [6] - [10] и др.). До сих пор задача о сдвижении подработанного породного массива сохраняет свою актуальность.

Цель данного раздела исследований - получить математическую модель в виде исходного порождающего решения (функции влияния) для описания оседаний подработанного массива горных пород. Принятые неизбежные идеализации и исходные предположения (гипотезы) в завершение должны быть подвергнуты корректировке и уточнению в процессе последующей экспериментальной проверки. Математическая модель позволяет получить структуру функциональных зависимостей (формул), которые в виде исходного шаблона могут быть использованы для данного класса описываемых явлений после конкретных для каждого случая наборов дополнений, уточнений и исправлений.

Для описания оседаний земной поверхности рассмотрим ее сечение по оси симметрии очистного забоя, отрабатывающего

пологий пласт полезного ископаемого мощностью т на глубине Н (рис. 9) в квазиоднородном и изотропном массиве горных пород, где действуют массовые силы уЫ , где у - объемная масса пород. Вводим безразмерные нормированные координаты С, с, в которых будем записывать определяющие процесс соотношения:

0<£ =х/Н 0 < с = ц / Ц < 1

(19)

где И - текущая глубина, 0<И<Ы, м; х - расстояние от линии очистного забоя, м; ц - оседание земной поверхности, 0<л<цт, м; цт - вертикальная координата дна мульды оседания при полной подработке поверхности, м.

Рис. 9 - Расчетная схема математической модели оседания подработанного массива пород

Начало координат в относительных переменных С,С поместим над линией движущегося влево очистного забоя и будем рассматривать образующуюся мульду оседания.

Из физических соображений следует, что градиент оседания С земной поверхности в произвольной координате с при подработке земной поверхности будет изменяться в пределах

dg

d£

= 0, (20)

т. е. будет представлять собой полуволну с плавным переходом значения переменной д от верхнего уровня к нижнему. Такое поведение кривой часто встречается при описании различных явлений и процессов (демография, химия, физика, экономика, науки о земле и др.), и было, по-видимому, впервые рассмотрено Ферхюльстом [19] в модели роста населения.

Следовательно, чтобы удовлетворить условию (20), функция кривой оседаний должна подчиняться дифференциальному уравнению, которое в простейшем случае имеет вид:

¿д = д-(1 -д)' (21)

ад

т. е. при малых значениях опускания д градиент ему пропорционален д'=д, а функция д(£) близка к экспоненциальной, затем по мере роста д происходит замедление и при д^дш рост оседаний прекращается, т.к. градиент оседаний вновь становится нулевым.

Решая дифференциальное уравнение (21) с учетом граничного условия д(ад)=1, получим уравнение мульды сдвижения:

д(£) = [1 + ехр(-£) ]-1, (22)

Данное решение является уравнением Ферхюльста и представляет собой канонический вид логистической кривой, которая нашла широкое распространение в различных отраслях знания.

Для адекватного описания экспериментальных данных необходимо ввести три постоянных, позволяющих вполне удовлетворительно согласовать прогнозные решения с практикой. Учитывая граничные условия (£ ^ ад ^ д ^ 1), (£ ^-ад^ д ^ 0)) и сделав привязку к началу координат, расположенному на поверхности в центре линии очистного забоя ( д = 0 ), получим окончательное решение:

1 + (— -1) [ exp - кД^-^о)]

(23)

где с0 - оседание в точке С=С0; кЛ - коэффициент наклона кривой опусканий; С0 - смещение начала кривой опусканий по оси с,-Переходя к реальным размерным переменным, которые соответствуют общепринятым обозначениям, получим:

Л(x) = Лп

1 +

Лп

-1

\Ло

• exp

-1

(24)

где ц(х), цт - опускание земной поверхности соответственно на расстоянии х от начала координат и в центре кривой опускания, м;

ц0 - оседание поверхности в начале координат х=0, м;

х0 - смещение начала координат по оси х.

Сравнивая выражения (17),(18) с полученными уравнениями (21) - (24), можно судить об их относительной сложности и удобстве практического применения, не говоря уже о достоверности прогнозных результатов.

На рисунке 10 показана типичные графики, воспроизводящие мульду сдвижения, линии наклонов, кривизны и рывка при полной подработке дневной поверхности по обе стороны от очистного забоя.

Для того, чтобы воспользоваться функциональными зависимостями (23, 24), необходимо для конкретных горногеологических условий установить присущие для них с помощью натурных наблюдений или накопленного производственного опыта на практике безразмерные значения постоянных С0, кц, С0 или их размерных аналогов цт, ц0, кЛ, х0.

Отметим, что набора этих постоянных достаточно, чтобы построить не только кривую оседаний, но и вычислить с помощью популярных вычислительных программ (MathLab, MathCad и пр.) все ее параметры, в том числе значения и координаты уг-

лов наклонов, радиусов кривизны, участков деформаций растяжения и сжатия и др.

— ; ; \

и.¿Г» / / t ! ! \ \ s s N ^

X X N N. / \ \\ 1 / / v S- / /

V/

н}. 5

Tl. -1J

1 - кривая оседаний с=ц/цт; 2 - наклоны ц^пМх; 3,4 - ц''(кривизна) и ц''' (рывок) производные оседаний с кц=2; с0=ц0/цт=0,05; х0=0

Рис. 10 - Результаты расчета мульды сдвижения по формулам (23, 24) геомеханической модели оседания подработанного массива пород одиночной лавой по восстанию (падению) пласта при значениях параметров

кц=2; С0=Л0/Цт=0,05; Х0=0.

Можно с достаточной долей вероятности ожидать, что эти эмпирические постоянные не будут существенно изменяться для всего горно-промышленного региона или даже бассейна, что позволит существенно упростить использование данного метода прогноза.

Таким образом, предлагаемая геомеханическая модель сдвижений вполне адекватно отражает поведение подработанного массива. Ее несложно обобщить и на более сложные горногеологические условия:

- наклонное падение пластов;

- наличие наносов и четвертичных отложений;

- неполная и кратная подработка горного массива;

- учет влияния фактора времени при равномерном движении очистного забоя;

- наличие целиков разных размеров и ориентации и др.

В то же время, следует обратить внимание на присущие предложенной модели ограничения и недостатки, для устранения которых необходимо проведение дальнейших исследований:

- теоретически не определены граничные углы сдвижения, зависимости показателей сдвижения от деформационно -прочностных, фильтрационных и гидродинамических параметров наклонно - слоистого горного массива;

- модель нуждается в учете реологических свойств массива для описания процессов сдвижения породной толщи во времени при неравномерном движении или остановке очистных работ;

- поскольку при управлении кровлей полным обрушением периодические осадки кровли могут инициировать и изменять сдвижение пород от плавных вплоть до динамических (горных ударов особенно в районах с углями при высокой степени метаморфизма), что неминуемо отражается на надежности охраны зданий и сооружений, модель должна это учитывать, оценивать и прогнозировать.

Следовательно, с целью дальнейшего совершенствования и дополнения, в модели необходимо учесть кроме указанных и другие недостатки, что может быть положено в основу программы для будущих задач исследования.

Выводы.

1. Изучение закономерностей поведения подработанного массива при добыче сырьевых ресурсов еще не получило своего завершения, а многочисленные предложенные методы расчета его параметров часто сложны и не всегда достаточно обоснованы и достоверны.

2. Геомеханическим процессам деформирования и разрушения горных пород при ведении очистных работ присущи цикличность, многостадийность развития и формоизмения возникающих зон смещений, а переход от стадии неполной подработки дневной поверхности к полной требует теоретико-экспериментального обоснования через коэффициент подработки Кп.

3. На основе аналогии деформирования защемленных пластин и породных слоев в зоне подработки показано, что максимальное опускание мульды сдвижения стабилизируется (без уче-

та деформаций ползучести) начиная с расстояния, превышающего 1.. .1,5 длины лавы.

4. Основную роль в процессе опускания подработанной дневной поверхности играет распределение по глубине межслоевой трещиноватости или пустотности, которая циклически распространяется снизу вверх по мере движения лавы и подчиняется дифференциальному уравнению (11)., что позволяет определить опускание породной тощи на произвольной глубине и при кусочно - неоднородном строении горного массива.

5. Из анализа закономерностей деформации подработанных толщ пород предложена геомеханическая модель сдвижения массива в виде дифференциального уравнения (21), подобного модели Ферхюльста роста населения. В результате получена теоретическая кривая опускания пластов горных пород по всей глубине подработки с возможностью обобщения на более сложные горногеологические условия.

Исследования выполнены в рамках комплексной госбюджетной научно-исследовательской работы «Геомеханические процессы горного производства» горного факультета (ФГБОУ ВО «Донбасский Государственный Технический Университет» (ДонГТУ) №ГР ГБ - О - 6357.

ЛИТЕРАТУРА

1. Авершин, С. Г. Сдвижение горных пород при подземных разработках. М.: Углетехиздат. - 1947. - 245 с.

2. Peng Syd S. (ed.) Surface Subsidence Engineering: Theory and Practice. - CRC Press. - 2020. - 216 p. - ISBN 9781486312542.

3. Tajdus K. Numerical simulation of underground mining exploitation influence upon terrain surface // Archives of Mining Sciences. 2013. Vol. 58. № 3. - pp. 605 - 616. D0I:10.2478/amsc - 2013 -0042.

4. Helmut Kratzsch. Mining Subsidence Engineering. - Springer - Verlag Berlin Heidelberg New York. - 1983. - 551 р.

5. Викторов С. Д., Гончаров С. А., Иофис М. А., Закалин-ский В. М. Механика сдвижения и разрушения горных пород. М.:

Институт проблем комплексного освоения недр им. академика Н. В. Мельникова РАН. - 2019. - 360 с.

6. Zhang L, Gao P, Gan Z, Wu W, Sun Y, Zhu C, Long S, Liu M, Peng H. Sensors (Basel) Surface Subsidence Monitoring of Mining Areas in Hunan Province Based on Sentinel - 1A and DS -InSAR. 2023 Sep 28;23(19):8146. doi: 10.3390/s23198146.

7. Juan José Gutiérrez Puertas. Estimating highway subsidence due to longwall mining. - Dissertation for the degree of Doctor of Philosophy. - University of Pittsburgh. - 2010. - 160 pp.

8. Alam AKMB, Fujii Y, Eidee SJ, Boeut S, Rahim AB. Prediction of mining - induced subsidence at Barapukuria longwall coal mine, Bangladesh. Sci Rep. 2022 Aug 30. - 2(1):14800. doi: 10.1038/s41598 - 022 - 19160 - 1.

9. Cao J, Huang Q, Guo L. Subsidence prediction of overburden strata and ground surface in shallow coal seam mining. Sci Rep. 2021 Sep 23. - 11(1):18972. doi: 10.1038/s41598 - 021 - 98520 - 9.

10. Jahanmiri S, Noorian - Bidgoli M. Environ Sci Pollut. Land subsidence prediction in coal mining using machine learning models and optimization techniques. Res Int. 2024 May. - 31(22):31942 -31966. doi: 10.1007/s11356 - 024 - 33300 - 2.

11. Kulibaba S., Miletenko N. Influence of the mining depth factor on accuracy of the forecast of the earth's surface subsidence in Kuzbass // E3S Web of Conferences. VIII International Scientific Conference «Problems of Complex Development of Georesources». -2020. Vol. 192. № 04009. DOI: 10.1051/e3sconf/202019204009.

12. Tajdus K., Misa R., Sroka A. Analysis of the surface horizontal displacement changes due to longwall panel advance // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. - 2018. -Vol. 104. - P. 119-125. - DOI: 10.1016/j.ijrmms.2018.02.005.

13. Knothe S. Prediction of mining influence // Katowice. - Poland. - 1984. - 214 pp.

14. Strzalkowski P., Scigala R., Szafulera K. Some aspects of forecasting the post-mining substratum deformation for evaluation of its influence on constructions // E3S Web of Conferences. - EDP Sciences. - 2018. - Т. 36. - С. 01008.

15. ГСТУ 101.00159226.001-2003. Отраслевой стандарт Украины. Правила подработки зданий, сооружений и природных

объектов при добыче угля подземным способом [Текст]. - Донецк: УкрНИМИ НАН Украины. - 2004. - 128 с.

16. Ларченко В. Г., Маталкина Ю. А., Коваленко Е. В Оперативный способ определения ожидаемых оседаний земной поверхности при добыче угля на больших глубинах // Сборник научных трудов ДонГТИ. - 2021. - № 22 (65). - С 29-34.

17. Тимошенко С. П., Войновский - Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Наука. - 209. - 640 с.

18. Всеволожский В.А. Основы гидрогеологии: Учебник. - 2

- е изд., перераб. и доп. — М.: Изд - во МГУ. - 2007. - 448 с. -ISBN 978 - 5 - 211 - 05403 - 5.

19. Verhulst, P. F. Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement. Correspondance mathématique et physique. -

- 1838. - pp. 13-121.

Литвинский Гарри Григорьевич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры геотехнологий и безопасности производств, ФГБОУ ВО «Донбасский Государственный Технический Университет» (ДонГТУ), пр. Ленина, 16, Алчевск, ЛНР, [email protected], [email protected].

GEOMECHANICAL MODELS OF SUBSIDENCE PROCESSES OF UNDERWORKED ROCK MASSIF

Simple models for the subsidence of the undermined rock mass have been proposed. The role of the distribution of voids in the thickness of underworked rocks is revealed. A new equation for determining the displacement curve is considered. The physical nature of the influencing factors is revealed. Possible ways of using and generalizing the models are shown.

Keywords: displacement, earth's surface, mathematical model, underworking, fracturing, void massif.

Litvinsky Garry G., Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of the Department of Geotechnology and Industrial Safety, Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education «Donbass State Technical University» (DonSTU), Lenin Ave., 16, Alchevsk, LPR, [email protected], [email protected].