CC BY
54
УДК 51(077)
Власова Светлана Александровна
Учитель математики МОУ «Гимназия № 5», olvi2006@mail.ru, Рязань
ГЕНЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ФОРМИРОВАНИЮ ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ПОНЯТИЙ ШКОЛЬНОГО КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ
Vlasova Svetlana Alexandrovna
Maths teacher, school № 5, olvi2006@mail.ru, Ryazan
APPLYING THE GENETIC APPROACH TO CONCEPT FORMATION IN PLANE GEOMETRY FOR SECONDARY SCHOOL
В современной педагогической литературе зачастую противопоставляется приоритет развития личности, провозглашаемый концепцией математического образования и получение математических знаний. Понимание процесса обучения как обучение деятельности позволяет примирить данные точки зрения на математическое образование. Подчеркивая необходимость соединения в обучении вышеупомянутых функций школьного образования, Г. И. Саранцев пишет, что «деятельностная природа знаний снимает все недоразумения, возникающие в связи с умалением их роли, и подчеркивает важность диалектики, в частности закона отрицания, в понимании педагогических явлений» [1, с. 60]. Показать школьнику математику в развитии и организовать обучение ей как обучение математической деятельности призван генетический подход к преподаванию.
В качестве определения генетического подхода к обучению примем определение доктора педагогических наук И. С. Сафуанова, данное им для высшей школы, которое мы считаем применимым и для средней школы: «Обучение математической дисциплине соответствует генетическому подходу, если оно следует естественным путям происхождения и применения математической теории. Обучение с помощью генетического подхода дает ответ на вопрос: как может быть объяснено развитие содержания математической теории?» [2, с. 120].
В данной статье мы рассмотрим организацию процесса формирования понятий как специфической деятельности, реализуемой при помощи генетического подхода к обучению на материале школьного курса планиметрии.
Основная идея генетического подхода к обучению геометрии - сделать детей самих участниками создания новой для них науки - геометрии, показать им геометрию в процессе ее возникновения. Для этого учащиеся должны видеть процесс образования понятий, участвовать в процессе создания их определений.
Первым этапом любого обучающего акта является мотивация. На этом этапе следует показать детям необходимость изучаемого понятия, сформиро-
вать внутреннюю потребность в нем и побудить учащихся к целенаправленной активной деятельности по конструированию понятия.
Согласно концепции генетического подхода к обучению геометрия возникает перед учениками как постепенно расширяющаяся система. Новое понятие должно появиться перед школьниками вследствие необходимости ее расширения. Так, после изучения прямой и точки учащиеся могут сами предложить учителю рассмотреть лучи, отрезки, углы опираясь на то, что новые фигуры уже появились на чертежах, а в нашей модели геометрии их нет.
После введения нового понятия естественно последовательно рассмотреть взаимосвязи этого понятия с ранее изученными, при этом возникают следующие новые понятия и новые теоремы, и, возможно, новые разделы курса.
Пример 1. После введения понятия «окружность» изучение взаимного расположения окружности и отрезка приведет к возникновению понятий «радиуса», «диаметра», «хорды»; окружности и прямой - «касательной», а окружности и треугольника - «вписанной в треугольник окружности» и «описанной около треугольника окружности».
Изучение строится по определенной схеме, позволяющей ученикам увидеть структуру материала, предугадать перспективы, последовательность дальнейшего построения курса. Известный американский психолог Джером Брунер писал, что хорошее преподавание должно начинаться с выделения структуры изучаемого [3]. В самом деле, готовность к восприятию и пониманию новой информации обеспечивается способностью антиципации, то есть опережающему отражению познаваемого, а эта способность возникает как результат “видения” структуры целого.
В начале изучения систематического курса геометрии школьники только учатся руководствоваться при рассуждении определением понятия, а не интуитивными представлениями о нем, поэтому необходимость введения определений некоторых понятий ускользает от внимания детей. Особенно это касается ионятий, которые используют в своем названии слова, употребляемые в названиях определенных ранее понятий, например, биссектриса треугольника (понятие биссектриса угла уже известно) или угол треугольника (учащиеся знают и определения угла и треугольника). Маловероятно, что, даже действуя интуитивно, учащийся ошибется при использовании понятия угол треугольника, но если мы ставим целью обучить ребенка думать, опираясь на определения, мы обязаны показать ученику необходимость введения таких понятий, иначе у него будет складываться привычка невнимательного отношения к употреблению терминов. Опишем проблемную ситуацию, показывающую необходимость введения понятия угол треугольника.
Пример 2. После введения определения треугольника учащимся предлагается ответить на вопрос: сколько углов у треугольника? Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки, а чтобы определить угол, нужна точка и два луча. Так как треугольник состоит не из лучей, а из отрезков, то у треугольника нет ни одного угла, и значит, название надо изменить - пусть
будет не треугольник, а триотрезник. Осознав необходимость продолжить стороны, и увидев огромное количество углов, появившихся на чертеже, которые можно было бы считать углами треугольника, школьники поймут важность введения понятия угол треугольника.
Второй этап работы с понятием - выделение свойств понятий, которые составят его определение. Изучение каждого понятия необходимо строить таким образом, чтобы школьники не только усваивали его объем и содержание, но и обучались самой деятельности по созданию новых определений.
В школьном курсе геометрии вводится множество понятий, интуитивно уже знакомых учащимся, объем которых они уже хорошо представляют, но возможно будут ошибаться в некоторых предельных случаях. Работа по введению определений таких понятий может происходить следующим образом. Школьники пытаются сформулировать определение нового понятия, а учитель приводит контрпримеры, которые заставляют детей уточнять данное ими ранее определение, показывая его ошибочность или недостаточность, до тех пор, пока формулировка не станет верной. Покажем, как происходит формирование нового определения на примере понятия отрезок. Учитывая возрастные особенности детей, изложение проводится в форме сказки, что также позволяет создать яркий, запоминающийся образ. На уроке почти все ответы персонажа «Отрезок» даются учениками (в сказке лишь приведены наиболее распространенные высказывания учащихся).
Пример 3. Однажды в воро га геометрического государства, где жили только точки и прямые, кто-то постучался.
- Кто там? - грозно спросили стражники, ведь им строго-настрого было приказано не впускать неизвестных в государство.
- Меня зовут отрезок, - ответил незнакомец, - и я хочу жить вместе с вами.
- Мы тебя не знаем, не представляем, как ты выглядишь, и пока ты не объяснишь нам, кто ты такой, мы тебя не можем пустить, - заявили стражники.
- Я - сказал отрезок - часть прямой.
- Это ты? - спросили стражники, просунув под ворота чертеж (рис. 1).
Рис. 1.
- Нет, это не я - послышался грустный голос, - Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками
- Мы не знаем такого слова - ограничены, мы знаем: лежит между, принадлежит, разделяет - возразили стражники.
- Отрезок - часть прямой, состоящая из точек этой прямой, лежащих между двумя данными - выкрутился отрезок.
- Это ты? - показали чертеж стражники (рис. 2).
Призадумался отрезок, посмотрел на рисунок и увидел, что он очень похож, просто стражники начертили не все его точки. Тогда он все понял: отрезком называется часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.
- Это ты? - спросили стражники (рис. 3).
Рис. 3.
- Это я! - радостно закричал он.
Вот так отрезок поселился в геометрическом государстве, а царь вписал его определение в книгу названий.
Необходимо отметить огромный интерес всех учащихся к подобной работе, независимо от их уровня знаний.
Для введения самых различных понятий можно применять прием классификации, ведь «классификация есть естественный для нашего ума повод для возникновения новых понятий» [4, с. 59]. Задание по самостоятельному разделению объектов, подлежащих изучению, на две (или более) группы проводится на специально подобранных для этого чертежах, благодаря вариативности решения, посильно для всех учащихся, способствует разви-
тию мышления и создает заинтересованную и комфортную атмосферу на уроке. Особенно хорошо работает этот прием при объяснении материала, характеризующегося структурой классификации обладающей не одним, а целым множеством предметно-функциональных характеристик, которые служат основаниями для делений на классы. Подобные темы обладают большим количеством новых для учащихся понятий, определения которых необходимо усвоить в достаточно короткий период времени (углы, образованные при пересечении двух прямых секущей; четырехугольники; ломаная). Если в сознании ученика понятие возникает вместе с противоположным, то он легко вспоминает те признаки, на основании которых данные понятия противопоставлялись друг другу. При объяснительно -иллюстративном подходе к объяснению материала учащиеся не понимают, почему объекты поделены на группы именно таким образом, объяснение становится навязанным, определение понятия теряет связь с интуитивным образом объекта.
Предлагая основания для деления объектов на группы и обосновывая свою точку зрения, ученики оттачивают математическую речь. В процессе этой работы часто проговариваются естественным образом термины, которые будут входить в определение формируемого учителем понятия. Способствуют творческой активности учащихся задания по придумыванию собственных терминов и обозначений для класса выделенных объектов.
Пример 4. Покажем, как происходит подобная работа на уроке на примере формирования понятий внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов.
Задание: раздели углы на две группы (рис. 4).
На уроке школьниками были предложены следующие варианты ответа.
1) ¿2, ^ 3, ^6, ¿1 - острые,
^ 1, ¿4, ¿5, 8 - тупые;
2) ^ 1, ^ 3, ^5, 7 - по одну сторону от секущей с, ^2, ^4, ^ 6,
^ 8 - по другую сторону от секущей с;
3) ^ 1, ^ 2 - в верхней полуплоскости относительно прямой а,
^ 5, ^ 6, ^ 3, ^ 4, ^ 7, ^ 8 - в нижней полуплоскости относительно прямой а;
4) ^ 1, ¿2, -¿7, ^ 8 - внешние относительно прямых а и Ь,
^3, ^4, ^5, ¿6- внутренние относительно прямых а и Ъ.
(Ученикам пришлось придумать новые слова, которые в точности совпали с общепринятыми). Разделяя на две группы углы 3, 4, 5, 6 учащиеся сразу предложили ввести термин «внутренние односторонние углы при прямых а и Ь и секущей с», а «внутренние накрест лежащие» углы 3 и 6 сначала появились как «внутренние напротив лежащие». Заметим, что генетический подход реализует некоторые принципы креативного обучения, побуждая учащихся к поиску собственных понятий и их определений, созданию терминов для их обозначения и символов для записи [5].
Опишем еще один прием введения нового понятия с использованием генетического подхода. Фройденталь, ставя в своей книге вопрос, можно ли рассуждать о чем-либо, пока это еще не определено, отвечает, что именно так и делает творчески работающий математик. При изучении нового материала иногда целесообразно подвести детей к открытию новой зависимости, но не выделять при этом новое понятие. Ученики, вынужденные при решении задач проговаривать каждый раз достаточно длинную фразу, содержащую определение необходимого для изучения данной зависимости понятия, с радостью воспримут предложение учителя ввести новое определение, как избавление от громоздкой формулировки.
Пример 5. Определение косинуса, синуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника может быть введено вышеуказанным способом. Традиционно изучение темы начинается с определений тригонометрических функций, далее доказывается теорема о том, что косинус острого угла зависит только от градусной меры угла. При таком подходе у школьников возникает масса вопросов. Зачем понадобилось рассматривать отношение двух отрезков? Откуда в названии отношения двух отрезков возникает острый угол? Зачем рассматривать зависимость между этими отношениями и острым углом треугольника? Возможность находить углы и стороны в прямоугольном треугольнике после подобного изучения воспринимается детьми как фокус, постичь суть которого они не в состоянии. Опишем методику введения этих понятий на основе генетического подхода подробно.
Перед изучением темы необходимо напомнить ученикам признаки равенства прямоугольных треугольников, а также обратить их внимание, что так как все прямоугольные треугольники с двумя, не считая прямого угла, заданными элементами (кроме двух углов) равны, то стороны и углы этих треугольников определяются однозначно, и поэтому должны существовать теоремы, позволяющие находить элементы такого треугольника по катету и острому углу, по гипотенузе и острому углу, по двум катетам, по катету и гипотенузе. Исходя из гипо-
тезы о том, что по катету и острому углу можно найти остальные стороны треугольника, учащиеся под руководством учителя приступают к поиску соответствующей зависимости, измеряя стороны различных прямоугольных треугольников, содержащих угол одной и той же градусной меры, например 30° (термин подобные треугольники пока незнаком учащимся). В результате учащиеся подводятся учителем к выводу, что, несмотря на то, что стороны прямоугольных треугольников разные, для данного угла отношение любых двух сторон сохраняется, а значит, составив таблицы соответствия острого угла и определенного отношения, мы сможем по острому углу и стороне (то есть по отношению и стороне) находить другую сторону прямоугольного треугольника. Так как сторон три, то можно составить шесть отношений, но мы оставляем три из них, мотивируя это тем, что численные значения других можно найти как числа, обратные данным. Подобное изложение материала позволяет школьникам, не зная самих терминов, для обозначения указанных отношений, самостоятельно вводить их определения. Решение задач, содержащих громоздкие формулировки, показывает учащимся необходимость использования новых терминов.
Третьим этапом формирования понятий является этап усвоения определения, на котором каждое существенное свойство, используемое в определении, делается специальным объектом изучения. Для его реализации могут быть использованы упражнения на выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию. Данный этап предполагает обучение школьников умениям разбивать текст определения понятия на отдельные части, соответствующие его свойствам, и самостоятельно анализировать данное определение, выявляя возможные ошибки при распознавании объектов, принадлежащих понятию, и при выведении следствий из факта принадлежности объекта понятию. Генетический подход обуславливает также обучение детей самостоятельному составлению заданий на подведение объекта под понятие.
Пример 6. Выделив, под руководством учителя, из определения два условия, которым должны удовлетворять два угла, чтобы быть смежными, учащиеся получили задание составить чертежи, на которых изображены углы, для которых:
- выполняется первое из этих условий, но не выполняется второе;
- выполняется второе из перечисленных в определении смежных углов условие, но не выполняется первое;
- не выполняются оба условия.
Систематическое выполнение подобной работы делает доступным для учащихся самостоятельное составление заданий по подведению объекта под понятие.
Отметим, что деятельность школьников по конструированию упражнений совсем не отменяет составления упражнений на распознавание фигур учителем, который должен предусмотреть в своих упражне-
ниях еще и вариативность расположения объектов, так как применение действия в одной ситуации не гарантирует успеха при его применении в другой ситуации, отличной от первой.
Этап систематизации материала, выяснения места данного понятия в системе других понятий при генетическом подходе осуществляется еще на первом этапе работы с понятием, так как понятия конструируются под руководством учителя самими учащимися из ранее изученных. Данный этап включает также поиск вопросов, которые порождает введение нового понятия. Так введение понятия параллелограмм порождает исследование зависимостей, существующих между его сторонами, углами и диагоналями.
Генетический подход предполагает обучение школьников различным компонентам математической деятельности через включение детей в деятельность, адекватную используемым мыслительным приемам. Так, генетический подход обуславливает обучение детей не только некоторому количеству определений, необходимых по программе, но и обучение их самой деятельности по созданию новых определений.
Данная работа позволяет ученику не только понять смысл определения понятия, но и развивает его математическую речь, формирует такие приемы мышления, как сравнение, анализ и др., приучает школьника ориентироваться на содержание определения при выполнении различных действий с объектами.
Пример 7. Запишите, какие фигуры на чертеже принадлежат данному понятию, а какие нет (рис. 5):
а) фигура, состоящая из трех лучей;
б) фигура, состоящая из трех лучей, выходящих из одной точки;
в) фигура, состоящая из трех лучей, два из которых являются дополнительными полупрямыми.
Пример 8. Какие из предложенных фигур соответствуют каждому из “определений” луча (рис. 6)? Учтите, что из четырех предложенных “определений” верно только одно. Чем отличаются данные “определения”?
Рис. 5
1. Лучом называется часть прямой.
2. Лучом называется часть прямой, которая состоит из точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки.
3. Лучом называется точка и часть прямой, которая состоит из точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки.
4. Лучом называется точка и часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки.
Применение генетического подхода к обучению позволило добиться следующих результатов. Качество знаний школьников возросло с 69% до 88%. Описывая свою деятельность на уроках геометрии, учащиеся экспериментальных классов отмечали как наиболее интересные виды деятельности: придумывание собственных понятий, их терминов и обозначений; самостоятельную работу по составлению задач и формулированию определений. При ранжировании предметов по принципу «нравится» дети ставили предметы математического цикла на первые места. Учащиеся экспериментальных классов ежегодно занимали призовые места на городских олимпиадах по математике и геометрии.
Генетический подход следует методической концепции формирования определяемых понятий как процесса вовлечения школьников в специфическую деятельность по созданию нового понятия, результатом чего является понимание детьми необходимости введения нового понятия, структуры его определения, знание существенных свойств понятия и возможных его применений, видение связей данного понятия с ранее изученными, вычленение вопросов, которые порождает изучаемое понятие.
Библиографический список
1. Саранцев, Г. И. Гуманитаризация математического образования и его состояние сегодня [Текст] / Г. И Саранцев // Математика в школе. - 2006. - № 4. -С. 57-62.
2. Сафуанов, И. С. Генетический подход к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе [Текст]: дис. д-ра нед. наук. / И. С Сафуанов. - Набережные Челны, 2000. - 410 с.
3. Брунер, Дж. Психология познания [Текст] / Дж Брунер. - М : Пресс, 1977. -418 с.
4. Бескин, Н. М. Методика геометрии [Текст] / Н. М Бескин. - М.- Л.: Учпедгиз, 1947. - 276 с.
5. Хуторской, А. В. Дидактическая эвристика. Теория и технология креативного обучения [Текст] / А. В. Хуторской - М.: Изд-во МГУ, 2003. - 416 с.
УДК 374
Макусева Татьяна Гавриловна
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и информатики Нижнекамского химико-технологического института, makuseva2008@yandex.ru, Нижнекамск
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ: ЭКСТЕРНАТ
Makuseva Tatyana Gavrilovna
The candidate ofpedagogikal sciences, docent of department of Mathematics and Informatics of Nizhnekamsk Technological Institute, makuseva2008@yandex.ru, Nizhnekamsk
ALTERNATIVE EDUCATIONAL SYSTEMS: EXTERNAL
В настоящее время, заметней, чем когда-либо, во многих системах образования активность и самостоятельность обучающихся признается в качестве важнейшей компоненты всесторонне развитой личности человека, в качестве важной цели образования. В условиях информатизации образования различные методы обучения, основанные на активных, самостоятельных формах приобретения знаний, все настойчивее вытесняют традиционные методы, ориентированные в основном на коллективное восприятие информации. На применении широкого спектра традиционных и новых информационных технологий и их технических средств, которые используются для доставки учебного материала, его самостоятельного изучения, организации диалогового обмена между преподавателем и студентов в высшей школе основано дистанционное обучение. В средней же школе самообразовательная познавательная деятельность является ведущим системообразующим фактором по отношению ко всей учебно-познавательной деятельности обучающихся при обучении экстерном. В последние годы интерес общества к экстернату повышается. В педагогической практике экстернат рассматривается в исследованиях В. Н. Вершинина, О. Д. Владимирской, Л. М. Павловской,
