CC BY
35
УДК 535
Д. В. Ковалевский, В. М. Детпкова, А. В. Курочкин
Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2006, вып. 4
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ С КВАЗИРЕГУЛЯРНОЙ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
Разработка и создание новых лазерных материалов, позволяющих эффективно генерировать и преобразовывать лазерное излучение, представляет собой одну из важнейших задач лазерной физики. Использование периодически неоднородных нелинейных и активно-нелинейных кристаллов, в которых путем выбора периода модуляции нелинейных восприим-чивостей можно осуществить квазисинхронные взаимодействия световых волн, дает возможность существенно расширить число практически реализуемых нелинейно-оптических процессов с высокой эффективностью.
Однако создание регулярной доменной структуры (РДС) в кристаллах сопряжено с рядом проблем. Главная из них состоит в том, что получить идеальную РДС (т. е. такую, в которой размер домена был бы постоянным по всей длине кристалла) очень трудно. В большинстве случаев используемые структуры не идеальны в большей или меньшей степени. Возникает вопрос - как подобная неидеальность влияет на эффективность излучения? Для ответа на него необходимо сравнить случай идеальной РДС (рисунок, а) со случаем квазиРДС (структуры, у которой доменные стенки «сдвинуты» от идеального положения - рисунок, б).
Рассмотрим полидоменную нелинейную среду (см. рисунок, а), в которой все доменные стенки перпендикулярны оси г. В приближении заданного поля генерация второй гармоники (ГВГ) описывается уравнением [1]
р шшу ЯШ
= — г<Т2(г)А1 ехр(гАкг). (1)
ах
В (1) А\ и Аг - амплитуды основного излучения и второй гармоники соответственно, 02(2) - зависящий от г коэффициент нелинейной связи, Ак -волновая расстройка. Предположим, что на вхо-
Доменная структура в кристалле. а - идеальная РДС (оптические оси в соседних доменах антипараллельны, период РДС постоянен по всей длине кристалла); б - квазиРДС (оптические оси в соседних доменах антипараллельны, однако положение доменных стенок сдвинуто от идеального).
де системы (г = 0) излучение второй гармоники отсутствует: Лг(0) = 0. Тогда на выходе (г = Ь) амплитуда второй гармоники дается интегралом
Ai{L) = — iAl J<72(z) exp(iAkz)dz.
(2)
Отсюда в условиях монодоменной среды (cr^iz) = const = а20) получаем хорошо известный результат для интенсивности второй гармоники
b(L) = \Al(L)\=4Aial0sin2{^L/2). (3)
При точном соблюдении условия фазового синхронизма (Ак = 0) из (3) следует, что
b(L) = A\olQL\ (4)
© Д. В. Ковалевский, В. М. Деткова, А. В. Курочкин, 2006
87
р
В условиях же полидоменной среды находим, используя (2) и производя усреднение по ансамблю реализаций полидоменной структуры,
ь £
12щ = А\ 11 (<Т2(х)<Т2(я/)) ехр({Ак(г - г'))йхМ (5)
о о
(см. аналогичный результат в [2]).
Предположим, что координаты доменных стенок {гт} есть случайные величины, и при переходе от домена к домену коэффициент нелинейной связи меняет свой знак, оставаясь неизменным по величине:
<Т3(г) = 1 ' 2т+1, (б)
~<Т20, ^2т+1 < 2 < ¿2т+2-
Рассмотрим две конкретные модели статистики координат доменных стенок.
Модель 1. Координаты доменных стенок порождены пуассоновским процессом со скоростью отсчетов 2/Л (тем самым Л равно удвоенной средней толщине домена или среднему периоду квазиРДС). В этом случае зависимость коэффициента нелинейной связи от координаты г является «случайной телеграфной волной», и корреляционная функция равна [3]
<<Т2(г)<Т2(2/)) = ^0ехр(-4|г-2/|/А). .. (7)
Подставляя (7) в (5) и учитывая, что корреляционная функция становится малой на расстояниях порядка Л, где Л <С находим в первом приближении
оо
I ехр (-4 |С| /Л-НД<К,
или
од
(12Щ) = А\а\йЬ ° (8)
16 + (ДАЛ)
(Выражение (8) записано для первого порядка квазисинхронизма. При точном расчете (5) появляются слагаемые, ответственные за высшие порядки квазисинхронизма, однако они пренебрежимо малы и не учитывались.)
Несложно видеть, что при заданной волновой расстройке Ак максимум выражения (8) достигается при АкА = 4, при этом он равен (^г(Ь))т{1х = А\сг10Ь/Ак.
Полученные результаты позволяют сделать ряд интересных выводов:
1. Максимум интенсивности второй гармоники в рассматриваемой среде с «пуассонов-ской» квазиРДС достигается не при классическом условии квазисинхронизма первого порядка АкА = 27г, как можно было бы ожидать, а при среднем периоде квазиРДС Л, отвечающем условию АкА = 4.
2. Интенсивность второй гармоники на выходе среды с квазиРДС оказывается более чем в АкЬ/4 раз (АкЬ 1) больше, чем в монодоменном кристалле с той же фазовой расстройкой Ак, хотя и в АкЬ раз меньше, чем в монодоменном кристалле при точном выполнении условия фазового квазисинхронизма Ак — 0.
Модель 2. КвазиРДС порождена «возмущением» РДС со статистически независимыми отклонениями стенок от своих средних положений. Иными словами, координата п-й доменной стенки дастся формулой
гп = — п + Сп- (9)
Считаем, что в (9) плотность распределения вероятностей <£>(£) случайного отклонения координаты доменной стенки ( от своего среднего положения известна и является четной функцией
С: </>(—О = <р(О- Предположим, что плотность распределения <р(() спадает до нуля с ростом достаточно быстро (на длине £о « Л/4), так что соседние доменные стенки не меняются местами. Вводя функцию распределения случайной величины по формуле
С
*«)= / ¥>«')<. (10) -Со
находим, что вероятность для некоторой точки среды с координатой z = Лп/2 + £ (где < (о) остаться после возмущения в своем (n-м) домене равна
р+«) = Ф«)Ф(Л/2-0, (И)
в то время как вероятность попасть в соседний ((п — 1)-й или (п + 1)-й) возмущенный домен есть
р-(0 = (1 - Ф(С))Ф(Л/2 - О + Ф(0(1 - Ф(Л/2 - О)- (12)
Вероятность попадания в более отдаленные домены, согласно вышесказанному, строго равна
нулю.
Формулы (11),(12) с учетом (6) позволяют рассчитать корреляционную функцию (<тг(г)<т2(г')). Предполагая, что
Л . , А и
Z = -771 +2 = -П + С ,
имеем
Ыг)ъ(г')) = <722o(-i)m+n [р+(С)Р+(С') +Р-(ОР-(С) -р+(ОР~(С) -Р-(0Р+(О] .
что может быть более кратко записано в виде
Ыг)ст2(г')) = (—1)т+псг|о(р+(С) -Р-(0)(Р+(С) -Р-О-Но, согласно (11), (12),
Р+(С) -Р-(0 = ЗФ(ОФ(А/2 - О - ф(0 - Ф(А/2 - О =
_ Г 2_Ф(0 - 1, _0«С«Л/4, 2Ф(Л/4 — I А/4 — С|) — 1 2Ф(А/2-0-1, Л/4 «С «Л/2 1Д/4 ^
Тогда
(<т2(г)Ы*')) = (-1)т+пст220(2Ф(Л/4 - |Л/4 -С|) - 1)(2Ф(Л/4 - |Л/4 — С|> - !)■
В данном случае общее вьфажение (5) факторизуется: если полное число доменов равно 2N = 2L/Á, то
2ЛГ-12ЛГ-1 Л/2 А/2
(/a(L)) = ^í¿ ¿ (-l)m+Va20 J J (2Ф(Л/4 — |Á/4 — £|) — l)x
m=0 n=0 q q
x (2Ф(Л/4 - |Л/4 - C'|) - 1) exp(tMÁ(m - n)/2 + С - 0<*С<*С' =
= ylícT22o|H|2|5|2, (13)
где
Л/2
S= J (2Ф(Л/4- |A/4-<|)-l)exp(tAfcC)dC,
2ЛГ-1
5= У (-1Гехр(гДМт/2) = (14)
; У ' ' 1 + ехр(гДАЛ/2) у ;
т=0
+ ехр(г ДАЛ/2)
Подставляя (14) в (13), получаем
сое2 ДАЛ/4
В данном случае интенсивность будет максимальной, когда знаменатель в (15) обращается в нуль, что соответствует в среднем классическому условию квазисинхронизма ДАЛ = 2пт, где т - нечетное число. Числитель дроби в (15) при этом тоже обращается в нуль, и, раскрывая неопределенность, находим
= |=|2 (х)2 " (16)
Учтем, что Н можно переписать в виде Н = у Но (ДА, Л), где введена безразмерная величина
1
Но (Ак, А ) = I (2Ф(Л/4(1 - |1 - 2ф) - 1) ехр(г(ДА;А/2)О^С1 (17)
о
и интегрирование осуществляется по безразмерной же координате £ = £/(Л/2). Принимая во внимание выражение (10) и интегрируя по частям, несложно получить, что
Но (ДА, Л) = ^¿(ехр(гДАЛ/2) - 1)хс(Д*0, (18)
здесь хс(Ак) - характеристическая функция случайной величины, равная, по определению,
оо
Хс(А*0 = (ехр(гДАО) = { ехр(гДАС)ги(С)с*С. (19)
— ОО
Подставляя (18) в (16), находим
(^(Ь))тлх = А^сг^о |Но|21/2, (20)
где
|Н0| = |вшс(ДАЛ/4)хс(ДА)| • (21)
Сравнивая (20) с (4), определяем, что при выполнении условия квазисинхронизма ДАЛ = 2-кт (т - нечетное число) ГВГ в данной модели будет в |Но|2 раз менее эффективной, чем в монодоменной среде при точном фазовом синхронизме (из (21) видно, что |Но|2 явно меньше
Случай идеальной РДС получается из уравнений (17), (20), если положить Ф(£) = 1, 0 < С < 1. Тогда
1
Но = [ ехр(г7гтСЖ = (22)
J гтгтп
о
Подставляя (22) в (20), получаем, что
тт^т*
Таким образом, эффективность ГВГ в первом порядке квазисинхронизма будет в данной модели в 7Г2/4 ~ 2, 5 раз меньше, чем при использовании монодоменной среды при точном выполнении условия квазисинхронизма. При неидеальной РДС необходимо производить детальный 90
расчет по формулам (19)—(21), и эффективность ГВГ будет ниже. Множитель (21) определяет уменьшение эффективности ГВГ за счет неидеальности РДС.
При выводе результата (20) использовалась факторизация корреляционной функции (a(z)a(z')) = (cr(z))(cr(z'))> которая, вообще говоря, не имеет места, если и z, и г' попадают в зону возможного расположения одной и той же доменной стенки, т. е. при |Лп/2 — z\ < £о,|Лтг/2 — z'\ < Со- Можно, однако, показать, что строгий учет данного эффекта приводит к поправочному члену в выражении для интенсивности выходного излучения, по порядку величины в L/A раз меньшему главного члена (20) (при выполнении в среднем классического условия квазисинхронизма). С учетом того что на длине кристалла укладывается большое число доменов (L/A 1), данной поправкой можно пренебречь.
При рассмотрении процесса ГВГ основные расчеты были сделаны для скалярного случая без учета направления волн, и вывод о меньшей эффективности ГВГ в кристалле с РДС по сравнению с монодоменным кристаллом (при точном выполнении условия синхронизма) справедлив лишь в рамках данной упрощенной модели. Сравнительный анализ ГВГ в кристалле ниобата лития с идеальной РДС и монодоменном кристалле [4] (с учетом поляризации и направления распространения взаимодействующих волн) показал, что степень эффективности преобразования в кристалле с идеальной РДС может быть на порядок выше. Из выполненных в настоящей работе расчетов вытекает, что в случае кристалла с неидеальной РДС ГВГ также может быть более эффективной, чем в случае монодоменного кристалла.
Уже после того, как данная статья была принята к публикации, нам стало известно о недавно опубликованных статьях [5, 6] аналогичной тематики. В работе [5] модель настоящей статьи (случайная телеграфная волна) использовалась для расчета эффективности ГВГ; формула для оптимального среднего периода квазиРДС, названная авторами [5] условием стохастического квазисинхронизма, совпадает с независимо полученной нами в данной статье. В [б] модель 2 настоящей статьи применялась для исследования иного нелинейно-оптического процесса - последовательного параметрического взаимодействия, включая параметрическое усиление.
Summary
Kovalevsky D. V., Detkova V. M., Kurochkin A. V. The second harmonic generation in a nonlinear medium with quasiregular domain structure.
A problem of influence of non-perfectness of regular domain structures (RDS) in nonlinear crystals on the jsecond harmonic generation (SHG) is considered. Cases of SHG in ideal RDS (i.e. in a structure with the domain size being constant throughout the crystal) and in quasiRDS (in which the domain walls are "shifted" from their ideal positions) are compared. Two concrete models of statistics of coordinates of domain walls are carefully treated. The efficiency of SHG in the first order of quasisynchronism for both models considered in the present paper will be lower than for ideal RDS with the condition of quasisynchronism exactly fulfilled.
Литература
1. Дмитриев В. Г., Тарасов Jl. В. Прикладная нелинейная оптика. М., 2004. 2. Чир-кин А. С. // Нелинейная оптика. Труды 2-го Всесоюз. симпозиума по нелинейной оптике. Новосибирск, 1968. С. 202-207. 3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Пер. с англ. И. Г. Арамановича, А. М. Березмана, И. А. Вайнштей-на и др.; Под ред. И. Г. Арамановича. М., 1974. 4. Голенищев-Кутузов А. В., Голенищев-Кутузов В. А., Калимуллин Р. И. Индуцированные доменные структуры в электро- и маг-нитоупорядоченных веществах. М., 2003. б. Морозов Е. Ю., Чиркин А. С. // Квант, электроника. 2004. Т. 34, № 3. С. 227-232. 6. Morozov Е. Yu., Chirkin A. S. // J. Russian Laser Research. 2004. Vol. 25, N 4. P. 299-314.
Статья поступила в редакцию 4 апреля 2006 г.
