CC BY
32
УДК 519.652 П.А. Ким
ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск
ГЕНЕРАЦИЯ ПРОФИЛЕЙ МАСШТАБИРУЕМОЙ МОДЕЛИ РЕЛЬЕФА
Рассмотрена задача генерации профилей вертикальных разрезов масштабируемой модели земного рельефа, являющейся интегральной гладкой аппроксимацией ступенчатой модели рельефа, определяемой дискретным множеством опорных точек, в которых задается усредненная высота ступенек, проекции которых задают разбиение-покрытие опорной горизонтальной плоскости. Искомые функции образуются полидугами, частным случаем которых являются известные полилинии. Для генерации фрагментов полидуг разработан аппарат площадных геометрических преобразований, сохраняющих площадь, естественно реализуемый в матричной среде ОКМД-процессоров. Представлен оригинальный алгоритм для перспективных суперкомпьютеров векторной или матричной архитектуры, разработанный в лаборатории Обработки изображений ИВМиМГ СО РАН. Массовые перемещения элементов разметки осуществляются в геометрии 6 или 8-соседства. Работа частично поддержана грантом РФФИ 10-07-00131.
P.A. Kim
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS 6, prospect Akademika Lavrentjeva, Novosibirsk, 630090, Russian Federation
PROFILES GENERATION IN THE SCALED MODEL OF RELIEF
The profiles generating problem is considered. The profiles are vertical sectional views of scaled model of the earth relief being integral smooth approximation of stepwise model of a relief, determined by discrete set of reference points with average altitude for plateaus which projections set cover splitting on the reference horizontal plane. Required functions are formed by polyarcs, which particular case is known as polylines. For generation of polyarc’s fragments the special technique is developed. There is the geometrical transformations keeping the area constantly and naturally oriented on the matrix environment of SIMD-PROCESSORS. Mass movings of elements is implemented in geometry of the 6 or 8-neighbourhood.
Космическая съемка является неотъемлемой частью современных технологий исследования Земли. Охват больших территорий осуществляется оптической аппаратурой. В обработке снимков необходимо скорректировать изображение, с учетом ракурса съемки с тем, чтобы привести его к картографическому стандарту. В аэрофотосъемке подобный процесс относится к этапу ортотрансформирования. Достижение большей точности и информативности изображения будет получаться, если учитывать также и рельеф снимаемой местности. Индивидуальность рельефа, исключающая разработку универсальных механизмов, в настоящее время, когда уже проведены измерения высот большей части земной поверхности, не должна служить помехой для этого процесса. Однако геометрический рост объема информации, при масштабной детализации рельефа и недостаточная адекватность используемых моделей аппроксимации реального земного рельефа по дискретному множеству высот не позволяет приблизиться к
практическому решению этой задачи. Одним из перспективных направлений исследования моделей земного рельефа является его функциональная аппроксимация, неприменимая в горных областях, где поверхность рельефа, может иметь отрицательный угол наклона. Разрабатываемая в ИВММГ СО РАН масштабируемая модель рельефа, будучи в достаточной степени оригинальной, связана с классическими уравнениями Лапласа и Пуассона. Исследование этой связи представляется самостоятельной перспективной математической задачей, возможным следствием решения которой могут быть новые способы численного решения этих уравнений. При построении масштабируемой модели рельефа под масштабируемостью понималась возможность целенаправленно и безконфликтно уточнять особенности рельефа при изменении масштаба его визуализации на устройствах отображения. Масштабируемая модель f(х, у) строится на основе ступенчатой модели рельефа, задаваемая высотами ступенек над участками разбиения. Когда поверхность задана уравнением z = f(x,y) , то площадь
поверхности вычисляется ПО формуле S = J{д/(./','.Г + (/' г + \clxcly . здесь G -
G
проекция поверхности S на плоскость xOy. Искомой поверхностью выберем решение, имеющее минимальную площадь всей поверхности, и удовлетворяющее граничным условиям по границе области. При этом на каждом участке разбиения должно сохраняться равенство объема над участком разбиения «объему соответствующей ступеньки». То есть, для каждого участка выполнено (Vi)j\f(x,y)dxdy=Saxha где, sa -площадь
G
соответствующего участка, а AG - усредненное значение высоты для данного
участка. Также и интеграл по всей территории, должен равняться сумме объемов конечного числа разбиений. при минимальности площади обтягивающей поверхности.
Яf(x,y)dxdy =X'S'g, xho,
G i
Искомая функция выбирается по минимальной площади поверхности из класса/семейства непрерывных функций, у которых объем (или интеграл по элементу разбиения равен объему соответствующей ступеньки.
Если рассмотреть вертикальный срез масштабируемой модели рельефа, то придем к двумерной модели, в которой, в отличие от классической задачи интерполяции дискретного множества значений ^, f (х)),...,(хп, f (хп ^
некоторой функции многочленами, рядами Фурье, и т. д. решением объявляется функция, обладающая минимальной длиной ее огибающей
Хп I----- Хп
L= jyjif')2 + Ых, сохраняющей площадь s= jf(x)dx, равной сумме площадей
Xj Xj
ступенек. Особо отметим, что при интегральной аппроксимации допускается несовпадение значений функции со значениями высот в опорных точках:
v?{(/О,) * f(xt))or(f(xt) = f(xt))} .
В работе [1] установлено, что для плоского случая искомая функция масштабируемой модели рельефа представляется полидугой -последовательностью гладко состыкованных дуг окружностей различных радиусов и выпуклостей/вогнутостей. Если, в частности, отрезок рассматривается как дуга окружности бесконечного радиуса, а точка сочленения отрезков, как окружность нулевого радиуса, то полидуга оказывается расширением понятия полилиния - последовательности примыкающих друг к другу отрезков.
Для последовательностей
(х,, X 2, X
где верхняя строчка задает последовательность примыкающих отрезков а вторая, нижняя строчка, задает площади прямоугольников над этими отрезками. Отыскиваемым решением является последовательность высот (к0, \, й2, й3...), задающих высоты на границах отрезков а. и обеспечивающих
построение последовательности дуг, окружностей, так, что в для функции рельефа в виде полидуги, первая производная непрерывна. Иначе, говоря в точках сопряжения касательная общая, как для левой, так и для правой дуги.
Космогонические теории создания вселенной предполагают, что звезды и планеты образовались в результате слипания частиц протовещества -результата первоначального взрыва. Моделирование этого процесса производится на самых мощных суперкомпьютерах с привлечением различных физических моделей. В интересах нашей задачи существенной характеристикой рассматриваемого процесса является «шарообразность» получаемых образований. Рассмотрим задачу моделирования несжимаемого «жидкого» слипания частиц, естественно распараллеливающуюся на суперкомпьютерах векторной архитектуры. Для простоты мы будем рассматривать плоскую модель на равномерной дискретной квадратной сетке, помеченные клетки, которой моделируют элементарные частицы. Если предположить некоторое случайное размещение частиц, которые в дальнейшем устремляются к некоторому центру, то конечный результат должен быть получен в виде круга с суммарной площадью всех частиц. Однако поэтапное преобразование общей картины таким образом получить не удается.
Если же на перемещения частиц наложить некоторые ограничения, то конечным результатом будут фрагменты круга. На рис. 1 представлен вариант ограничений позволяющие получать фрагменты круга разных форм, основным свойством которого является равенство их площадей, требуемое для построения масштабируемой модели рельефа. В представленном эксперименте точки движутся к центру, расположенному внизу-справа. Ограничивая их перемещение в горизонтальном и вертикальном направлениях, мы получаем фрагмент круга, фиксированной площади.
а ,а2,а3
Вогнутый фрагмент рельефа получается инвертированием задачи слипания (рис. 2), когда частицы разбегаются от выделенного центра, но пространство их перемещения ограничивается некоторыми условиями.
В этом случае центр от которого удаляются точки располагается вверху-слева. Особенностью алгоритма является его локальность. Точки перемещаются к указанному центру, если у них есть незанятая клетка, расположенная ближе, либо дальше от центра. Поскольку все точки считаются от единственного центра, то операция может быть исполнена независимо
Рис. 1. Выпуклый фрагмент дуги
Рис. 2. Вогнутый фрагмент дуги
Продвигаясь к выделенной пункту (х0, у0) возможно параллельно [3] для
всех точек вычислить декартово расстояние р = ^(х; -х0)2 + {у1 - v,,)2 . Таким
же образом, массовой операцией сравнения выделить те точки, свободные соседние клетки которых расположены ближе к выбранной точке. Трудности, возникающие с неопределенностью ближайшей точки в геометрии 8-соседства можно избежать перейдя к геометрии 6-соседства.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ким П.А. Полидуга как элемент конструирования профилей масштабируемой модели рельефа. // Труды Международного научного конгресса «ГЕО-Сибирь-2007», 2527 апреля 2007, Новосибирск, Россия, т. 3 «Дистанционные методы зондирования Земли и фотограмметрия, мониторинг окружающей среды, геоэкология», с. 188-192.
2. Ким П.А Порождение геометрических объектов итерационным способом. Труды 15 Международной конференции по компьютерной графике и ее приложениям ГрафиКон"2005. 20-24 июня 2005 года Россия Новосибирск Академгородок, ИВМиМГ СО РАН стр. 216-223
3. Shooman W. "Parallel Computing with Vertical Data". Proceedings of the Eastern Joint Computer Conference,Winter Session, 1960.
4. Kim P.A., Pyatkin V.P., Rusin E.V.Three Massively Parallel Algorithms for Solving Computational Geometry Problems by Using Euclidean Distance Transform // Pattern Recognition and Image Analysis. - 2004. - Vol. 14, No. 2. - P. 267-275.
© П.А. Ким, 2010
