Генерация некомбинационных частот при когерентном нестационарном параметрическом взаимодействии волн.(Часть II) Текст научной статьи по специальности «Физика»

Генерация некомбинационных частот при когерентном нестационарном параметрическом взаимодействии волн.(Часть II)

В.В. Слабко (slabko@kgtu.runnet.ru)

Институт физики им. Л.В.Киренского Со РАН, Красноярский государственный технический университет.

Часть1 данной статьи опубликована по адресу http://zhurnal.ape.relam.ru/articles/2001/062.pdf

1.Интерференционный механизм генерации некомбинационных частот.

Рассмотрим, вначале чисто качественно, процесс формирование спектра генерируемого излучения. Результатом сложения двух или нескольких монохроматических колебаний с одинаковой частотой, будет колебание с той же частотой, амплитуда и фаза которого определяется амплитудами и фазами (параметрами) слагаемых колебаний. Изменение со временем параметров слагаемых колебаний приводит к временной зависимости фазы суммарного колебания, а значит и к изменению его частоты. Очевидно, что к такому результату приводит как изменение со временем амплитуд и фаз имеющегося набора слагаемых колебаний, так и изменение этого набора, при неизменных параметрах каждого из слагаемых. Все сказанное выше справедливо как для дискретного, так непрерывного по амплитудам и фазам набора слагаемых колебаний.

Отличительной чертой рассмотренных выше процессов, в которых может возникать излучение на частотах отличных от комбинационных, является их нестационарность. Действительно, амплитуды полей Ат (г - утг), А(г - уг) , формирующих нелинейную поляризацию на комбинационных частотах, а, следовательно, и обусловленное ей генерируемое поле на частоте (06, зависят от времени. Кроме того, они перемещаются с групповыми скоростями. В первом случае осуществляется временная модуляция амплитуд набора непрерывно распределенных вдоль оси 2 нелинейно возбуждаемых на комбинационной частоте излучателей, и во втором случае, изменение этого набора. В соответствии со сказанным выше, оба этих фактора могут приводить к возникновению в спектре генерируемого излучения частот, отличных от комбинационных.

Для построения полуколичественной модели явления, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть в нелинейной среде существует область 2' в которой возбуждается, под действием полей Ет = Ат (г - утг) х в ((тг-ктг) и

Е = А(г - уг) х в1((' к) нелинейная поляризация с комбинационной частотой 0. = ют + (О, и волновым вектором К = кт + к . Фаза нелинейной поляризации в точке г" и в момент времени гравна Ф = Ш'-Кг'. Фаза генерируемого ею поля с частотой ( и волновым вектором к8, в произвольно выбранной на оси 2 точке г и в момент времени г выражается равенством:

Ф( г, г\ г, О = Ш - Кг (г - Г) - (г - г) (20)

Учитывая связь расстояния между точками (г-г^) временем (г-г) за которое фаза генерируемого поля переместится с фазовой скоростью из точки г" в точку г:

можно исключить из (20) ^. Тогда фаза поля в точке испущенного

нелинейно наведенным диполем, находящимся в точке 2\ равна.

Ф( г, г) = аг - (а/ ) 2 - [(к - а/ V „ Ж (21)

Выражение для суммарного поля в точке г, испущенного всеми нелинейно наведенными диполями, принадлежащими области 2", имеет вид.

Е, (г, г) = В | Лт ( 2-^0 А( )е'ф ((22)

Полагая, как и ранее, форму импульса Ат (г - vmt) прямоугольной, а поле на

частоте О непрерывным, можно записать это выражение в наиболее простой и удобной для дальнейшего анализа, форме

iB

Е (2 г) = "' е'[аг-(аЬу] _(22а)

(к) ' ;

Здесь: В = В'АтА; В,В" -коэффициенты пропорциональности; г \ и 2у - нижний

и верхний пределы интегрирования, соответствующие начальной и конечной точкам области 2 \ Отметим, что подобный интерференционный подход использовался ранее для анализа стационарной генерации второй гармоники для задачи с граничными условиями (см. например [4]).

Рассмотрим отдельно три обсуждавшихся выше случая соответствующие трем типам постановки начальных и граничных условий.

1.1. Стационарный случай. Задача с граничными условиями. Область X не зависит от времени, и г 0, 2у = ъ. Тогда для Е(г), с использованием (22а), получим

Е(2, г) = — е(к^ +к)г] - е'(]! (23)

Ак

выражение, с точностью до коэффициента пропорциональности, совпадающее с выражением (7). Здесь О , = а = от + О; Ак = К - к,; к, = .

1.2. Начальные условия. Среда бесконечна и все точки оси ъ эквивалентны. При включении постоянного поля в момент времени г =0 все точки среды начинают испускать излучение на комбинационной частоте а = ют + (О. В качестве верхнего предела интегрирования выбираем точку

наблюдения 2у = г. К моменту времени г точки наблюдения достигнет излучение нелинейно возбуждаемых диполей, расположенных на оси 2 на расстоянии не большем, чем vsf г. Поэтому, в качестве нижнего предела интегрирования

выбирается точка 2\=(2-vsft). Излучение, испущенное всеми остальными

точками, отстоящими от точки 2 дальше, чем 2\ , еще не успело достигнуть точки наблюдения за время г, прошедшее с момента включения постоянного поля. Подставляя значения пределов интегрирования 2у = 2 и 2\=(2-vsf г) в (22а), получим выражение для генерируемого поля в виде.

Е (2 г) =-^-1е'(аг-К2) -е'(кук2) ] = 1е'(аг-к) -е(-к'2) ] (24)

' (к^у-ау J ао1

Прежде чем сравнивать полученное выражение с выражением (11), описывающим тот же процесс, но полученным на основе решения дифференциального уравнения, уместно обсудить вопрос о том, какой частоте в диспергирующей среде соответствует V у. Приведенное выше расссмотрение основано на утверждении о том, что нелинейная поляризация испускает

-i (K_^vsj )г J _ ^-i (K_^vsj )г^

излучение на комбинационной частоте. Последнее предполагает, что у^ соответствует так же комбинационной частоте Ш = (т + (О . Тем не менее, это

не так. Действительно, в данном рассмотрении все точки среды идентичны. Произвольный выбор точки наблюдения z, позволяет утверждать, что в каждой точке оси 2 формируется волновое возмущение на частоте = Ку^,

1 (Ку,,г-Кг )

соответствующей сомножителю при времени в показателе экспоненты в выражения (24), и в диспергирующей среде эта частота не равна комбинационной. Естественно, что фаза этого возмущения будет перемещаться фазовой скоростью, соответствующей некомбинационной частоте. Отсюда следует, что у,г равна фазовой скорости волны с частотой (О,.

При учете сделанных замечаний, а так же равенств Ш = (т + (, и К = кт + к, выражение (24), с точностью до коэффициента пропорциональности, совпадает с (11). При этом, значение некомбинационной частоты генерируемого поля = Ку^ и некомбинационной расстройки

частоты Д( = Ш- Ку^ совпадают со значениями этих величин (9a) и (12), введенных в первой части этой статьи. Кроме того, значение волнового вектора генерируемого поля ks = = К, совпадает с введенным ранее значением

этой величины (9Ь).

1.3. Импульсное излучение накачки. Граничные условия типа Коши.

В этом случае область интегрирования (21) совпадает с областью, ограниченной движущимся с групповой скоростью импульсом Ат (г - утг),

имеющим длительность Т , а так же входной и выходной границей среды, длина которой вдоль оси 2 конечна и равна Ь. В этом случае возможны и физически различны ситуации при трех положениях импульса накачки относительно входной и выходной граней нелинейной среды.

а). Передний фронт импульса пересек входную грань среды.

б). Передний и задний фронты и импульса пересекли входную грань

в). Передний фронт импульса пересек выходную грань среды.

Рассмотрим их отдельно. Для качественного анализа рассмотрим только ситуацию, при которой фазовая и групповая скорости генерируемого излучения, а так же групповая скорость излучения накачки удовлетворяют условию: уs = у,у ! ут. Входную границу среды совместим с началом оси 2, а момент

пересечения передним фронтом импульса накачки входной границы примем за начальный отсчет времени. Отметим следующее, важное для дальнейшего рассмотрения обстоятельство. Как показывает предыдущий пример, несмотря на то, что нелинейная поляризация имеет комбинационную частоту, в каждой точке области параметрического взаимодействия формируется, в результате интерференции, излучение с частотой отличной от комбинационной. Естественно, что это излучение будет иметь соответствующую этой частоте фазовую скорость у^. Поэтому, при рассмотрении процессов связанных с

движущимся импульсом накачки, на первом этапе будет рассматриваться ситуация, при которой точка наблюдения лежит в области импульса накачки, с целью определения этой частоты, и соответствующей ей фазовой скорости. Как следует из (22а) у^ определяет спектр частот генерируемого излучения как в

области занятой импульсом накачки, так и вне нее.

а). Передний фронт импульса пересек входную грань среды. Если точка наблюдения z находится в области занятой импульсом накачки, то генерируемое поле будет описываться выражением (22а) при следующих, вполне очевидных пределах интегрирования: гу = г и г\,=0

Е (г, г) =---[в1 (Шг-Кг) - в1[Шг-(ШуУ)г] ] (25)

[(К-Ш/уу )]1 ' ' }

Как и следовало ожидать, при не зависящих от времени пределах интегрирования, в области занятой импульсом в каждой точке среды формируется излучение на комбинационной частоте Ш (сомножитель при времени в показателях экспонент). Этой частоте соответствует фазовая скорость у"У = с/и(Ш) и волновой вектор к\ =Ш/у\у . Тогда знаменатель в (25)

приобретает вид (К - к\) = Дк= Дк. Отметим, что генерируемое поле представляет собой сумму двух волн: а) волну нелинейной поляризации (первый член в 25)), не являющуюся собственной для данной среды и, б) собственную для данной среды волу, с комбинационной частотой и соответствующим ей волновым вектором (второй член в (25)).

В том случае, когда точка наблюдения находится вне области занятой импульсом, перед его передним фронтом, нижний предел интегрирования остается прежним и г",=0. Верхний предел интегрирования определяется как с учетом движения переднего фронта импульса с групповой скоростью ут , так и

времени запаздывания Т между моментом испускания излучения нелинейно возбуждаемыми диполями, находящимися на переднем фронте импульса и моментом достижения этим излучением точки наблюдения г. Время запаздывания Т равно времени, необходимому для того, чтобы это излучение, распространяясь с фазовой скоростью V у, достигло точки наблюдения г:

Т = (г- гу )/у"у .Таким образом верхний предел интегрирования соответствует

точке, в которой находился передний фронт импульса в момент времени (г-Т): гУ = ут (г-Т) = ут [г- (г- гу)/у у ]. Разрешая последнее равенство относительно гу имеем:

гу = [У у/ (У у у т )]ут (г - г/у у 1 (26)

Подставляя в (22a) значения верхнего и нижнего пределов интегрирования, после несложных преобразований получим.

Е (г г) =-—-[в1 (-к1*г) - в1 (Шг-Кг) ] (27)

[(К-Ш/уу )]1 ' ' '

Здесь введены следующие обозначения:

( = [у у/(у у-ут)](Ш-Кут) (28)

ки = (V у'у )(!, (29)

Как видно из приведенных соотношений, спектр генерируемого излучения, в этом случае, состоит из двух компонент с частотами Ш и (01,.

Генерируемое поле, соответственно, представляет собой сумму двух волн, одна из которых является собственной для данной среды волной с комбинационной частотой Ш и волновым вектором к= Ш/у у , другая имеет частоту (Ог, и волновой вектор, определяемый равенством (29) . Эта волна не является

собственной для данной среды волной, поскольку ее волновой вектор равен отношению частоты к фазовой скорости V у соответствующей частоте а .

б). Передний и задний фронты и импульса пересекли входную грань среды. Так же как и в предыдущем случае рассмотрим две физически различимых ситуации: точка наблюдения находится между передним и задним фронтом импульса, и точка наблюдения находится перед передним фронтом импульса. Математически эти ситуации отличаются верхним пределом интегрирования. В первом случае: 2/ = 2, а нижний предел интегрирования 2/ соответствует положению заднего фронта импульса накачки и отличается от (26) на величину задержки, равную длительности импульса Т. Таким образом, 2^=[V у/-Vт)^т (г-Т-у). Подставляя названные пределы

интегрирования в (22), получим.

Е (2 г) =-—-[е''(а-к2) - е'("-к2''+9)] (30)

' [(к -а/)]

Здесь так же введены обозначения аналогичные (28) и (29).

(2, = Vт )](а- КУт ) (31)

к 2, = (1 ^у (, (32)

9 = Ту" у/ (V-у -Vт )>т (К - а/ V" у) (33)

Отличие (30), (31), и (32) от (27), (28) и (29), соответственно, заключается в следующем. Предыдущие соотношения были получены для точки наблюдения, находящейся перед передним фронтом импульса сильного поля. Излучение в этой точке является результатом интерференции волн, сформированных внутри области занятой импульсом накачки. Как было показано выше, частота этих волн, при неподвижной границе 2 ,=0, равна комбинационной частоте а, а фазовая скорость V у = с/и(а). Соотношения (30), (31), и (32) получены для

точки наблюдения, находящейся в области занятой импульсом накачки, в которой формируется генерируемое излучение. Отличительной особенностью рассматриваемого случая является то, что граница области, соответствующая заднему фронту импульса, движется. Это является причиной формирования в каждой точке этой области излучения с частотой ( 2 , описываемой соотношением (30), и не равной комбинационной частоте а. Естественно, что фазовая скорость распространения этого излучения у"у = о2,/п(ю2,) ф Vу . Последнее означает, что генерируемое поле, как и в предыдущем случае состоит из двух компонент с различными частотами а и( 2 . При этом волна с

частотой а является не собственной, а волна с частотой ( 2 собственной для

рассматриваемой среды, поскольку ее волновой вектор равен отношению частоты к соответствующей ей фазовой скорости.

Рассмотрим случай, когда точка наблюдения находится перед передним фронтом импульса, а сам импульс полностью находится в нелинейной среде, и прошел в ней расстояние большее, чем групповая длина. В этом случае пределы интегрирования очевидны из предыдущего рассмотрения:

2У= [у,//(у/ - У т )]Ут (г - Ф/ ); 2/=[V,//(V,/ - У т )]Ут ^-Т-2/У/ ^

Подставляя их в (22а), получим выражение для генерируемого поля Е, (2, г) .

Е (г, г) =-—-в1 (щ/-к2)[в1(р -1] (34)

[(К -О/у" у)] 1 ' ' '

Обозначения (02з, к2ж ,р аналогичны (31), (32), (33). Для сопоставления

полученного здесь выражения с выражением (19), описывающим тот же процесс, но полученным путем решения дифференциального уравнения уместно преобразовать знаменатель (34), а так же выражения для (,к2!1 и р. В результате несложных преобразований получим.

К-Ш/у-у =(К-къ,)(уу -ут)/уу =Дк(уу -ут)/уу (35)

( = Ш- (К - къ К = Ш-Дкут (36)

р=тДкут (37)

Кроме того, необходимо учесть, что при выводе соотношения (34), за начальный отсчет времени принят момент пересечения передним фронтом импульса входной грани кристалла. Соотношение (19) было получено при граничных условиях на заднем фронте импульса. Поэтому для адекватного сопоставления этих выражений в (34) необходимо заменить г на г -Т . С учетом сделанных замечаний, а так же соотношений (35)-(37), выражения (34) и (19), с точностью до постоянного множителя совпадают. 2. Обсуждение результатов.

Проведенное выше рассмотрение процессов нестационарного параметрического взаимодействия когерентных волн, показывает, что в диспергирующих средах, в условиях, когда одновременно не выполняются законы сохранения импульса и энергии(3) (4), частота генерируемого излучения может быть отличной от комбинационной. Отличие частоты генерируемого излучения от комбинационной не связано с эффектами, обусловленными нестационарной нелинейной рефракцией, и не зависит от амплитуд взаимодействующих полей, а определяется линейными дисперсионными свойствами нелинейной среды. Этот эффект может быть рассмотрен на основе двух подходов:

- дифференциального, учитывающего граничные и начальные условия возникновения нелинейности в пространственно-временной области взаимодействия волн;

- интегрального, основанного на пространственно-временной нестационарной интерференции излучения, испускаемого нелинейной поляризацией.

Рассмотрение возможности генерации некомбинационных частот при нестационарном параметрическом взаимодействии волн на основе дифференциального и интегрального (интерференционного) подходов дает одинаковые результаты. Оба подхода взаимно дополняют друг друга, и позволяют дать, по крайней мере, два физически прозрачных, по мнению автора, объяснения возникновения в спектре генерируемого излучения некомбинационных частот:

-допплеровское смещение частоты, обусловленное движением границы области нелинейного взаимодействия в режиме ультракоротких импульсов;

- нестационарная интерференция.

Использование второго подхода позволяет дать ответы на два других вопроса, поставленных в первой части работы.

Величины Ж(23)(т,(,(), для генерации комбинационных и некомбинационных частот совпадают, поскольку в обоих случаях ответственной

за процесс является нелинейная поляризация на комбинационной частоте,

(2)

величина которой пропорциональна нелинейной восприимчивости. %

Кроме того этот подход дает возможность проследить динамику формирования спектра генерируемого излучения на выходе из нелинейной среды, на всех временных этапах распространения через нее ультракороткого импульса. Как и ранее будем считать, что групповые скорости распространения генерируемого излучения, на всех частотах больше, чем групповая скорость излучения накачки. Тогда, при прохождении передним фронтом входной грани среды перед ним формируется излучение на частоте равной (О1,, определяющейся соотношением (28) и а,передний фронт которого распространяется с групповой скоростью у1ж . На выходе из нелинейной среды,

будет вначале наблюдаться импульс с длительностью равной длительности импульса накачки Т, содержащий две названные спектральные компоненты. Дальнейшая динамика формирования спектра генерируемого излучения описана в конце первой части этой работы

Очевидно, что рассматриваемые процессы развиваются только в условиях, когда отсутствует пространственно-временной синхронизм между нелинейной поляризацией и генерируемым ей полем. Последнее означает, что пространственно-временного накопления эффективности преобразования по мощности не возникает, и коэффициент преобразования остается незначительным. Тем не менее эффект генерации излучения с некомбинационными частотами может иметь принципиальное значение, поскольку допускает только классическую интерпретацию, и описание его в терминах квантовой механики затруднительно, во всяком случае для автора этой работы. Поэтому важно экспериментальное подтверждение правильности приведенных соображений. Приведем оценки, подтверждающие возможность экспериментального наблюдения описанных выше эффектов.

Эксперимент может быть осуществлен в двух вариантах: Начальные условия. В первой части работы предполагалось, что нелинейная центросимметричная среда не ограничена. Реально эффект генерации излучения на некомбинационной частоте может наблюдаться и в ограниченной по длине среде при условии, что время включения постоянного напряжения будет меньше времени прохождения по ней генерируемого излучения. Время коммутации высокого напряжения с помощью газового разряда высокого давления может составлять величину порядка 10-9сек. При характерных значениях показателя преломления стекол порядка п=1,5, за это время свет в среде пройдет расстояние порядка 0,2метра. Следовательно, эффект может наблюдаться на длинах среды порядка нескольких десятков сантиметров.

Рассмотрим процесс генерации излучения на некомбинационной частоте при использовании в качестве накачки излучения неодимового лазера с Я1 = 1,06 мкм, работающего в режиме модулированной добротности в оптических стеклах ТФ-1, кварцевом и К-8. В этом случае некомбинационная частота должна лежать вблизи частоты второй гармоники Я2 =0,53мкм. (о = от). Тогда длина

волны генерируемого Я, излучения в соответствии с (9а) равна

Я, = Я21 - (п - п2)/п - Я2 Л/Х (38)

Здесь: п1 и п2 показатели преломления на частоте первой и второй гармоники, соответственно, ^ПсЯЯ' дисперсия показателя преломления среды в области

второй гармоники излучения неодимового лазера. Для стекла ТФ-1 показатели преломления на частоте первой и второй гармоник равны 1,63 и 1,66, соответственно, а дисперсия в области второй гармоники составляет величину 0,145(мкм)-1 [10]. Тогда длина волны генерируемого излучения составит величину близкую к 0,542 мкм. Аналогичные оценки, выполненные для кварцевого стекла и стекла К-8, дают значения длин волн генерируемого излучения 0.535мкм и 0,539мкм. Таким образом, разница длин волн генерируемого излучения на некомбинационной частоте ( и частоте второй

гармоники (комбинационной Ш = ат + (О = 2а ) составляет величину в несколько нанометров и может быть зафиксирована экспериментально с помощью стандартной спектральной аппаратуры.

Амплитуда генерируемого поля на некомбинационной частоте Ла (() определяется равенством (10) и (11). Для стационарного случая генерации второй гармоники в нецентросимметричных кристаллах, ее амплитуда Ла (2() дается равенством (6). Отношение величин амплитуд в этих процессах есть:

Лх (()/ = х(3) Е0 Дку/ (39)

А (2() /Х(1)Д( (39)

При характерных значениях Х(3)= 10-13 и х(2)=10-9 ед СГС, величине постоянного поля, равной предпробойной Е0 = 3105 В/см, Дкуа ~ Да, отношение амплитуд составляет величину порядка 10-1, или мощностей преобразуемого излучения 10 . Эффективность преобразования импульсного излучения с

92

интенсивностью порядка 1 09 Вт/см2 в нецентросимметричных кристаллах при отсутствии синхронизма составляет величину около 1 0-8 -1 0-6. Тогда эффективность генерации излучения с некомбинационной частотой будет на два порядка меньше. При мощности преобразуемого излучения порядка

10 Вт.,

-1 -3

мощность этого излучения составит величину около 10 - 10 " Вт., вполне доступную для регистрации.

Второй вариант эксперимента может состоять в использовании ультракоротких импульсов для генерации излучения с некомбинационными частотами в кристаллических средах с квадратичной нелинейностью. Здесь прежде всего необходимо отметить, что в соответствии с соотношением (17а) некомбинационная частота (может меняться в широких пределах: от комбинационной в условиях синхронизма (Дк = 0), до бесконечности при ут = уу = с/п(аа ). Естественно, что в последнем случае Дк так же стремиться к

бесконечности, и амплитуда генерируемого на частоте ( поля стремиться к нулю. Максимальная амплитуда генерируемого поля на некомбинационной частоте в соответствии с соотношением (19) определяется коэффициентом О у

--т-ЛтЛ, который имеет особенность при уа = ут. Этот случай

Дк (у - у )

V а т /

соответствует бесконечно большой групповой длине ^, и в данной работе не

рассматривается. Не останавливаясь здесь подробно на обсуждении случаев, в которых приведенное выше решение имеет особенности, оценим амплитуду генерируемого поля на некомбинационной частоте, так же как и в предыдущем случае по отношению к амплитуде поля на комбинационной частоте, генерируемого в отсутствии синхронизма (соотношение (6)), приняв величины

Ак в обоих случаях равными. Как показывают оценки этому условию можно удовлетворить, ориентируя оптическую ось кристалла относительно направления распространения преобразуемого излучения. При условии равенства амплитуд полей накачки в обоих случаях, отношение амплитуд

генерируемых полей равно As (®s/А (2„ч =-m- и для большинства сред

/ As (2WJ (v - v )

\ s m у

значительно больше единицы. Некомбинационная частота (Os отличается от

3 1

частоты второй гармоники 2ю, при характерных значениях Ак=10 см , на

13 1

величину около 2 10 сек- , что составляет около 0,5% от 2ю. Таким образом, оценки показывают, что как некомбинационная частота, так и амплитуда генерируемого на этой частоте поля доступны экспериментальному наблюдению.

Список литературы.

1. Сущинский М.М., Комбинационное рассеяние света и строение вещества, М., 1981.

2. Займан Дж., Принципы теории твердого тела., М., 1974.

3. Фабелинский И. Л., Молекулярное рассеяние света, М., 1965.

4. Дмитриев

5. Ахманов С.А., Вислоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов, М., 1988.

6.Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных произволдных математической физики, М., 1970.

7.Сущик М.М., Фортус В.М., Фрейдман Г.И. О «пленении» параметрически связанных волн импульсами и пучками излучения накачки. Изв. Вузов. Радиофизика,т. 12, №2, с.293, 1969г.

8. Фрейдман Г.И. Одноволновое приближение для параметрически усиливаемых волн. ЖЭТФ, т. 58, №6, 1970г.

9. Harris S.E. Proposed backward wave oscillator in the infrared. Appl. Phys. Lett. V.9, pp.114, 1969.

1 0. Малышев В. И. Введение в экспериментальную спектроскопию. М. «Наука» 1979г.