CC BY
49
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 152, кн. 2
Физико-математические пауки
2010
УДК 531:530.145-535.14
ГЕНЕРАЦИЯ ФОТОНОВ С КОНТРОЛИРУЕМОЙ ВРЕМЕННОЙ ФОРМОЙ В ПРОЦЕССЕ СПОНТАННОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯ ОТ ИМПУЛЬСНОЙ НАКАЧКИ
Ю.З. Фаттахова, A.A. Калачёв
Аннотация
Разработана схема источника одпофотоппых состояний па основе эффектов спонтанного параметрического рассеяния и медленного света, позволяющая контролировать временную форму одпофотоппого импульса за счет формы импульса накачки. Показано, что предлагаемая схема позволяет избежать дополнительных потерь, вносимых амплитудными модуляторами, что приводит к максимальной эффективности условного приготовления одпофотоппых состояний.
Ключевые слова: спонтанное параметрическое рассеяние, одпофотоппый волновой пакет, медленный свет.
Введение
Использование фотонов в качество носителей квантовой информации предполагает создание эффективных источников чистых одпофотоппых состояний электромагнитного поля. Одним из самых простых методов приготовления таких состояний является процесс спонтанного параметрического рассеяния света (СПР) в нелинейном кристалле [1 3]. Корреляция между фотонами рассеянного поля позволяет с высокой вероятностью предсказывать существование одного из рассеянных фотонов путем детектирования другого фотона в рождающихся парах. Однако простейшая схема однофотонного источника на основе СПР обладает ограниченными возможностями. Во-первых, типичная спектральная ширина поля СПР. определяемая условием фазового синхронизма, получается порядка нескольких ТГц. что приводит к низкой спектральной яркости одпофотоппого источника и снижает вероятность взаимодействия генерируемых фотонов с атомными системами (квантовой памятью), где требуется спектральная ширина порядка 10 100 МГц. Во-вторых, для некоторых приложений квантовой информатики желательна генерация одпофотоппых волновых пакетов с контролируемой временной формой. Например, гауссовы импульсы обладают оптимальной формой с точки зрения устойчивости оптической квантовой схемы к рассогласованию во времени [4]. возрастающие экспоненциальные импульсы и импульсы с более сложной формой являются оптимальными с точки зрения взаимодействия с атомными системами [5. 6] и т. д. Для сужения спектра СПР с одновременным увеличением скорости генерации фотонов в единицу спектрального интервала можно комбинировать СПР с эффектом электромагнитно-индуцированной прозрачности [7] или поместить нелинейную среду в резонатор, который действует как активный фильтр [8 10]. Что касается управления формой результирующих одпофотоппых импульсов, то одним из возможных способов является использование амплитудных и фазовых модуляторов
на выходе однофотонного источника [11]. Однако простая амплитудная модуляция приводит к дополнительным потерям на выходе, то есть к уменьшению эффективности условного приготовления однофотонных состояний или к увеличению эффективной скорости темповых фотоотсчетов используемого в схеме детектора. Проблема, в принципе, может быть решена, если амплитудную модуляцию выполнять за счет однофотонной интерференции в схеме Маха Цендера: амплитуда вероятности обнаружить фотон на одном из выходов интерферометра зависит от разности фаз между двумя путями, по которым фотон может пройти через интерферометр. Поэтому модуляция разности фаз во время прохождения фотона приводит к модуляции его временной формы на выходе. Предположим теперь, что на одном из выходов интерферометра установлен детектор. Если он не срабатывает в процессе модуляции, то можно утверждать, что фотон с требуемой временной формой появился на втором выходе (при условии, что сработал первый детектор, зарегистрировавший другой фотон). Однако теперь эффективность условного приготовления определяется эффективностью дополнительного детектора. Поскольку типичные значения эффективности порядка 75% для видимого диапазона и намного меньше для фотонов ПК-области спектра, мы опять получаем существенное снижение эффективности условного приготовления.
В настоящей работе предложена схема генерации однофотонных состояний в режиме СПР от импульсной накачки, позволяющая управлять временной формой результирующих фотонов без использования дополнительных модуляторов или детекторов. В основе разрабатываемого метода лежит сочетание эффектов СПР и замедления групповой скорости света. При этом, в отличие от схемы, использованной в работе [7], процессы параметрического рассеяния и замедления групповой скорости могут происходить не в одной пространственной области, а в разных, что существенно упрощает подбор сред и постановку эксперимента. В результате при выполнении определенных условий временная форма (как амплитуда, так и фаза) результирующего фотона однозначно задается формой импульса накачки.
1. Генерация фотонов с контролируемой временной формой
Процесс СПР наблюдается при прохождении излучения накачки через нелинейную среду, например через кристалл с квадратичной нелинейностью. Нелинейное взаимодействие различных мод электромагнитного поля внутри кристалла с вероятностью 10-11^10-7 приводит к уничтожению высокочастотного фотона накачки и одновременному рождению двух фотонов с меньшей энергией (бифотона). которые. как правило, называются сигнальным и холостым фотонами. В протяженном нелинейном кристалле этот спонтанный распад происходит эффективно только тогда, когда энергии и импульсы взаимодействующих фотонов удовлетворяют законам сохранения, которые в случае нелинейных эффектов принимают вид условий частотного и волнового синхронизма.
Рассмотрим СПР. при котором сигнальный и холостой фотоны поляризованы ортогонально друг другу (П-тип синхронизма). Пусть когерентный лазерный импульс накачки Ер(€) распространяется вдоль оси г и взаимодействует с нелинейным кристаллом, занимающим область [—Ь, 0]. Пары фотонов рождаются только тогда, когда импульс накачки находится внутри кристалла. Генерируемое двухфо-тонное состояние можно вычислить в рамках теории возмущения первого порядка [12. 13]. При определенной ориентации кристалла пары фотонов могут покидать кристалл коллпнеарно в направлении распространения импульса накачки и иметь центральные частоты вдвое меньше частоты накачки. Тогда вектор состояния
бифотонного поля может быть записан следующим образом [14 17]:
+оо
|Ф) = |0) + д JJ йиа йщ Ер(2^0 + и, + ч)а1(шо + Vе)a¡(íVо + и*)|0), (1)
— о
где |0) - вакуумное состояние поля; а, и а\ - операторы рождения сигнального и холостого фотонов соответственно; ¡м0 - центральная частота рассеиваемого поля, которая вдвое меньше частоты поля накачки; Ер(2и0 + vs + и^) - спектральная ам-
о0
плитуда поля накачки; Ф(и8,иг) = J йг ехр) - функция, описывающая
—ь
фазовый синхронизм, где А(и3, и^) = кр(2и0 + и, + и^) — к3(и0 + и,) — + -д
среды и другие величины, слабо зависящие от частоты.
Зная выражение для вектора состояния (1), можно вычислить амплитуду би-фотона на выходе из кристалла:
А(г8,и) = Л (0|а8(^0 + и8)а^(^0 + и<)|Ф), (2)
которая есть ни что иное как плотность вероятности зарегистрировать сигнальный и холостой фотоны в моменты времени Ь, и Ь^ соответственно. Результат удобно записать в следующем виде [16]:
Л(*+,*12) - Ер (1+ - ) П(*12), (3)
где Ь+ = (Ь, + и)/2, ¿12 = Ь, — и
. -!-, о < г < вь,
п [1) = {ВГ
0, в противном случае,
Ер(Ь) - огибающая импульса накачки на выходе из кристаяла в точке г = 0. Параметр В = и,-1 — щ — 1 есть разность обратных групповых скоростей сигнального
и холостого фотонов в нелинейной среде, а параметр В+ = — +гц-1) —
определяет разность обратных групповых скоростей центра бифотона и импульса накачки.
Анализируя формулу (3), нетрудно выяснить, насколько выходящий однофо-тонный импульс может быть близок к импульсу накачки и какие условия необходимы для максимальной степени соответствия формы выходного импульса и импульса накачки. На рис. 1 показаны четыре варианта временного распределения двухфотонной амплитуды, представляющие наибольший практический интерес. Во всех четырех случаях амплитуда бифотона вытянута вдоль одной из временных осей, что соответствует отсутствию частотных корреляций между фотонами. Именно такая ситуация является оптимальной для условного приготовления чистых однофотонных состояний [3]. Кроме того, если бифотонная амплитуда достаточно сильно вытянута вдоль одной из осей (время задержки одного из импульсов относительно других за счет уменьшения его групповой скорости превышает длительность импульса), то форма результирующего фотона может воспроизводить форму импульса накачки. Рассмотрим, например, случай замедления холостого фотона (рис. 1, а). Левая и правая границы заштрихованной
/
/
а/
/
ЬУ
У
В
В =--, В+> 0, В < 0
+ 2 +
Ь_„
/ а '
У
У
В = В, В+> 0, В > 0
+ 2 +
в У г .
А
V= уГ
В =-В, В+< 0, В > 0
+ 2 +
/
а
Ь
1 _
V ~ VI
В= В, В+< 0, В < 0
+ 2 +
Рис. 1. Амплитуда бифотоиа А(Ь8^г) на выходе из кристалла, соответствующая различным вариантам замедления света. Точки а и Ь — моменты начала и окончания импульса накачки па выходе из кристалла. Заштрихованные области соответствуют неравной пулю амплитуде, при этом темные области соответствуют ситуации, когда при детектировании одного из фотонов форма второго воспроизводит форму импульса пакачки
'
'
'
1
1
£
области (области, где амплитуда бифотоиа отлична от нуля) соответствуют хо-лотому фотону, испытавшему наименьшую и наибольшую задержку во времени, в зависимости от того, где родился бифотон внутри кристалла. При детектировании холостого фотона в момент времени = Т временная форма сигнального фотона будет задаваться сечением распределения Л(Ь3, Т) и определяться формой импульса накачки, то есть зависимостью Л(Ь+, 0). При этом если холостой фотон детектируется в пределах темной заштрихованной области, то есть области, лежащей между окончанием самого быстрого и началом самого медленного холостого фотона, то форма сигнального фотона полностью повторяет форму импульса накачки. Приведенные рассуждения справедливы при условии, что разрешение детектора существенно меньше длительности холостого фотона. Если же детектирование с такой точностью невозможно, то результирующее состояние сигнального фотона будет определяться сечением А(£8,Т), усредненным по всем возможным Т, что приводит к искажению формы фотона по сравнению с формой импульса накачки за счет вклада светлых заштрихованных областей на рис. 1. В таком случае, чтобы уменьшить искажение, длительность импульса накачки должна быть существенно меньше длительности холостого фотона. Другими словами, максимальное время задержки холостого фотона должно быть существенно больше длительности импульса. Пусть теперь наоборот, детектируется сигнальный фотон. В этом случае форма холостого фотона получается прямоугольной и не зависит от формы импульса накачки. Теперь можно воспользоваться амплитудным модулятором для создания нужной формы, поскольку сигнальный фотон детектируется раньше холостого. Аналогичным образом можно рассмотреть оставшиеся три случая. Следует отметить, что между режимами, где замедляется лишь один из рассеиваемых фотонов (рис. 1, о, б), и режимами, при которых наряду с замедлением
Замедление
Замедление сигнального
Цилиндрическая линза
Цилиндрическая линза
Накачка Холостой фотон
Рис. 2. Схема одпофотоппого источпика па основе СПР и эффекта замедления света, позволяющая контролировать временную форму одпофотоппого импульса за счет формы импульса пакачки
одного из фотонов замедляется также и импульс накачки (рис. 1. в. г), имеется существенное отличие. В первом случае результирующий фотон выходит из образца вместе с импульсом накачки и мы можем сделать вывод о его форме лишь спустя некоторое время после его выхода, когда зарегистрируем медленный фотон (постселекция). Во втором случае регистрируется быстрый фотон, так что к моменту появления второго медленного фотона на выходе из кристалла вместе с импульсом пакачки уже известно, имеет ли он необходимую форму. С другой стороны, поскольку во втором случае замедляется именно результирующий фотон. неизбежны дополнительные потери, сопровождающие уменьшение групповой скорости, что равносильно уменьшению эффективности условного приготовления одпофотоппого состояния.
Чтобы контролировать групповую скорость импульса накачки и рождающихся фотонов, можно воспользоваться эффектом замедления света в резонансной среде, обладающей частотным провалом в спектре поглощения [18. 19]. Теоретически для этого требуется внедрить в нелинейный кристалл примесные частицы двух сортов, одни из которых замедляет импульс пакачки. а другой сигнальные или холостые фотоны. Однако в этом случае система частиц, замедляющая импульс накачки, должна быть прозрачной для рождающихся фотонов, а система частиц, замедляющая рассеянные фотоны. для импульсов накачки, что достаточно сложно реализовать на практике. Гораздо проще окружить нелинейную среду двумя резонансными средами, первая из которых замедляет импульсы накачки (если это необходимо), а вторая сигнальные или холостые фотоны. В этом случае прозрачности каждой среды на обеих частотах не требуется. Необходимое растяжение во времени достигается переменной толщиной резонансных сред и расширением пучков в поперечном направлении с помощью цилиндрических линз (рис. 2). Импульс накачки при прохождении через резонансную среду испытывает разное замедление в зависимости от толщины среды, следовательно, от одного импульса накачки могут рождаться пары фотонов в разных точках кристалла в различные моменты времени. Аналогичным образом, возможна и разная задержка одного из фотонов относительно другого при прохождении второй среды. Складывая все амплитуды вероятности рождения бифотонов. соответствующие определенному моменту детектирования холостого фотона, мы получаем временное распределение второго фотона, соответствующее распределению импульса накачки. Если время детектирования холостого фотона соответствует тому, что в момент СПР весь импульс накачки находился в среде, то получается полное совпадение временной формы одпофотоппого импульса и импульса пакачки. Данный случай соответствует темной заштрихованной области распределения двухфотонной амплитуды на рис. 1. в или рис. 1. г.
Качественные рассуждения, приведенные выше, можно подтвердить расчетом степени совпадения генерируемого однофотонного состояния
|*> = У ^'У Ер{и' + v'')Ф(v^v'')a+s(v')a+i(v'')|0>,
где
Ф(г/ + Vй) = Ь й
51ПС
с тем идеальным состоянием |ФЯ> = J ¿V Е3(и)а+ 8(^)|0>, которое соответствует
импульсу накачки. Для этого необходимо сначала рассчитать матрицу плотности, соответствующую однофотонному состоянию, генерируемому при детектировании медленного фотона, а затем степень совпадения ^ по стандартным формулам [20]. Результат имеет следующий вид:
^ = (*в|ря|*в>
I ¿V I + )Е8(^)
¿V' / ¿V'' |Ер^' + v'')Ф(v',v''
(4)
Если Б+ иию:
В ~~2
Ф(v', V'') = вше
/ ¿v|Ф*(v)|2
то уравнение (4) сводится к выраже-
I ¿V' Ер> + V ')Е3^')
'''' \\2
¿V ' '|Ф*(к
¿V' |Ер^' + V
' ' \\2
В случае, когда Ер(V) ж Е3^), иолучаем ^ = 1 при пределе Б ^ то, то есть форма результирующего импульса полностью повторяет форму импульса накачки.
Заключение
В настоящей работе показано, что при определенном соотношении групповых скоростей импульсов накачки и рождающихся фотонов временная форма однофо-тонных состояний, генерируемых в процессе СПР, может повторять временную форму импульсов накачки. Разработана схема источника однофтонных состояний на основе СПР, в котором управление групповой скоростью осуществляется за пределами нелинейной среды. Предложенная схема позволяет приготавливать однофотонные импульсы с контролируемой временной формой без использования дополнительных амплитудных модуляторов, вносящих существенные потерн н снижающих эффективность условного приготовления требуемых однофотонных состояний.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ Л*1' 09-02-00206-а, гранта президента РФ НШ-2965.2008.2 и федеральной целевой программы «Научные н научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 2013 годы, ГК Л*1' 02.740.11.0428.
Summary
Yu.Z. FaUakhuva, A.A. Kalaehev. Generation of Single Photons with a Controllable Waveform in the Process of Spontaneous Pulse-Pumped Parametric Downconversion.
The scheme for a single-photon source based 011 the effects of spontaneous parametric downconversion and slow light is developed, which makes it possible to control the waveform of a single-photon impulse by that of the pump pulse. It is shown that the suggested scheme can prevent additional losses introduced by amplitude modulators thereby achieving the highest possible efficiency of the conditional preparation of single photons.
Key words: spontaneous parametric downconversion, single-photon wave packet, slow light.
Литература
1. Клышко Д. H. Об использовании вакуумных флуктуации в качестве репера яркости света // Квантовая электропика. 1977. Т. 4, Л' 5. С. 1056 1062.
2. Hong С.К., Mandai L. Experimental realization of a localized one-photon state // Pliys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 58 60.
3. U'Ren А.В., Silberhorn C., Banaszek K., Walmsley I.A., Erdmann R., Griee W.P., Raymer M.G. Generation of Pure-State Single-Photon Wavepacket.s by Conditional Preparation Based 011 Spontaneous Parametric Downconversion // Laser Pliys. 2005. V. 15. P. 146 161.
4. Rohde P.P., Ralph T.C., Nielsen M.A. Optimal photons for quantum-information processing // Pliys. Rev. A. 2005. V. 72, No 5. P. 052332-1 052332-6.
5. Gorshkov A.V., André A., Fleischhauer M., S0rensen A.S., Lukin M.D. Universal Approach to Optimal Photon Storage in Atomic Media // Pliys. Rev. Lett. 2007. V. 98, No 12. P. 123601-1 123601-4.
6. Gorshkov A. V., André A., Lukin M.D., S0rensen A.S. Photon storage in Л-type optically dense atomic media // Pliys. Rev. A. 2007. V. 76, No 3. P. 033804-1 033804-13.
7. Balié V., Braje D.A., Kolehin P., Yin G.Y., Harris S.E. Generation of Paired Photons with Controllable Waveforms // Pliys. Rev. Lett. 2005. V. 94, No 18. P. 183601-1 183601-4.
8. Lu Y.J., Ou Z.Y. Optical parametric oscillator far below threshold: Experiment versus theory // Pliys. Rev. A. 2000. V. 62, No 3. P. 033804-1 033804-11.
9. Neergaard-Nielsen J.S., Melholi Nielsen В., Takahashi H., Vistnes A.I., Polzik E.S. High purity bright single photon source // Opt. Express. 2007. V. 15, No 13. P. 7940 7949.
10. Seholz M., Wolfgramm F., Herzog U., Benson O. Narrow-band single photons from a single-resonant, optical parametric oscillator far below threshold // Appl. Pliys. Lett. 2007. V. 91, No 19. P. 191104-1 191104-3.
11. Kolehin P. , Belthangady C., Du S., Yin G. Y., Harris S.E. Electro-Optic Modulation of Single Photons // Pliys. Rev. Lett. 2008. V. 101, No 10. P. 103601-1 103601-4.
12. Клышко Д.H. Фотоны и нелинейная оптика. М.: Наука, 1980. 256 с.
13. Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. М.: Физмат-лит, 2000. 896 с.
14. Belinsky A.V., Klyshko D.N. Two-Photon Wave Packets // Laser Pliys. 1994. V. 4, No 4. P. 663 689.
15. Rubin M.H., Klyshko D.N., Shih Y.H., Sergienko A.V. Theory of two-plioton entanglement. in t.ype-II optical parametric down-conversion // Pliys. Rev. A. 1994. V. 50, No 6. P. 5122 5133.
16. Keller Т.Е., Rubin М.Н. Theory of t.wo-pliot.oii entanglement for spontaneous parametric down-conversion driven by a narrow pump pulse // Pliys. Rev. A. 1997. V. 56. P. 1534 1541.
17. Griee W.P., Walmsley I.A. Spectral information and distinguisliability in t.ype-II down-conversion with a broadband pump // Pliys. Rev. A. 1997. V. 56, No 2. P. 1627 1634.
18. Shakhmuratuv R.N., Rebane A., Megret P., Odours J. Slow light with persistent hole burning // Pliys. Rev. A. 2005. V. 71, No 5. P. 053811-1 053811-8.
19. Rebane A., Shakhmuratuv R.N., Megret P., Odeurs J. Slow light with persistent spectral hole burning in waveguides // J. Lumin. 2007. V. 127, No 1. P. 22 27.
20. Нильсен M., Чаиг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. М.: Мир, 2006. 824 с.
Поступила в редакцию 01.02.10
Фаттахова Юлия Зиннуровна аспирант Казанского физико-технического института им. Е.К. Завойского КазНЦ РАН.
E-mail: ulia__ffQmail. ru
Калачёв Алексей Алексеевич кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник Казанского физико-технического института им. Е.К. Завойского КазНЦ РАН.
E-mail: kalachevekftA.knc.ru
