Гармонический анализ импульсов, сформированных по способу широтной модуляции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.3.018

Г. Н. Цицикян, И. М. Васин, М. Ю. Антипов

ФГУП "ЦНИИ СЭТ"

I Гармонический анализ импульсов, сформированных по способу широтной модуляции

Представлены разложения в ряды Фурье однополярных и двуполярных импульсов с широтной модуляцией. Установлено, что на гармониках, номера которых близки к учетверенному числу импульсов на четверти периода основной частоты, имеются локальные экстремумы коэффициентов разложения, соизмеримые с коэффициентами разложения для первой гармоники, а также что увеличение числа импульсов может приводить к заметному снижению амплитуды первой гармоники, что должно быть учтено на практике.

Широтно-импульсная модуляция, гармонический анализ, однополярный и двуполярный импульсы

Для повышения доли основной гармоники в выходном напряжении инверторов напряжения применяется широтно-импульсная модуляция (ШИМ) [1], [2]. Различают одно-полярную и двуполярную модуляции, каждая из которых обладает своими преимуществами и недостатками [3]. В [4] получены выражения для n-й гармоники модулированного напряжения, но без указаний на конкретный характер модулирующего закона.

Рассмотрим случай однополярных импульсов. Определим гармонический состав ШИМ-мпульсов при законе модуляции напряжения, обладающем нечетной симметрией относительно точки перехода через ноль и четной относительно точки экстремума (максимума или минимума)*. Аналогичными свойствами должна обладать последовательность модулированных в соответствии с синусоидальным законом импульсов.

Напряжение u (t), изменяющееся с периодом T, запишем в виде разложения в ряд

Фурье u(t) = Uо + sin(кш + yk), где Uo - постоянная составляющая; k - номер

k=1

гармоники; Uk, Ук - действующее значение и начальная фаза k-й гармоники напряжения соответственно; ю - частота основной гармоники. Комплексы Uк = Uk^^ku, к = 1, 2, ...

• V2 t .

определяются интегральным представлением Uk = — j Ju (t)e~■jkmtdt.

T 0

При нечетности функции u (t) относительно момента времени T¡ 2 (фазового угла & = юТ/2 = п) для Uk получим:

íñ г , -Т/ 2

Ük =^ j[l -(-l)k ] J u(t)e~jk(ütdt, (1)

T 0

т. е. в этом случае разложение u (t) не содержит четных гармоник. Тогда, введя обозначение k = 2s +1, выражение (1) можно переписать в виде

* В частности, этими свойствами обладает синусоидальный закон модуляции. ©2Цицикян Г. Н., Васин И. М., Антипов М. Ю., 2011

U'

2л/2 .

2s+1

T

Т/ 2

j J u (t)e~j{2s+1)rotdt, s = 0

= 0, 1, 2,

(2)

Положим, без ограничения общности, равными единице амплитуды рассматриваемых импульсов. С учетом (2) последовательность импульсов с указанными ранее свойствами четности и нечетности (рис. 1, а, 1) описывается рядом

, ч 4 ® cosГ(2s +1)rot„ 1 . г, ч ,

u (t) = -X-Г-— sin [(2s +1) rot ].

7Ts=0 2s + 1

Совокупность пар прямоугольных импульсов длительностью tp - ta (рис. 1, а, 3, 4),

обладающих аналогичными свойствами четности и нечетности, порождается наложением двух прямоугольных импульсов, один из которых (рис. 1, а, 1) отстоит от начала отсчета времени на ta, а другой - с противоположным знаком (рис. 1, а, 2) - на tp. Разложение в

ряд такой последовательности имеет вид

(t) = ua (t) + up (t) = — £

4 ^ cos [(2s + 1)<»ta ]-cos [(2s + 1)co tp ]

ns=0

2s 1

sin [( 2s +1) rot ] =

= П Z sin [(22s+1rot] 2sin [(2s +1)Sep ] sin [(2s +1)(AS/2)] =

4 ^ sin [( 2s +1) rot ] n s=0 2s + 1

{cos [(2s +1) (scp-AS/2) - cos (2s +1) (Scp +AS/2) }, (3)

где &Ср = го (¿а + ¿р у2; АО = го (7р - ¿а). Фазовый угол вСр - Д&/2 соответствует переднему фронту импульса 3 на рис. 1, а, а фазовый угол вСр + Д&/2 - его заднему фронту.

Обобщим импульсную последовательность таким образом, что в каждой четверти периода основной частоты имеется N импульсов, а свойства четности и нечетности сохраняются прежними. Для формирования такой последовательности интервал времени, равный Т/4 (или, что то же самое, интервал фазовых углов 0 до п/2), делится на N равных отрезков, концы которых являются эквидистантными концами импульсов. В результате конец р-го импульса располагается на угловой оси $ в точке рп/(2 N), а его начало - в точке рп/(2 N) -АО р.

Указанная последовательность импульсов (рис. 2) описывается следующим образом:

( , 4 « sin [(2s +1) rot] N (

u(t)= — X-Z cos

7ls=0 2s +1 p=il

(2s + 1)(^cpp -ASp/2)"

cos

( 2s + 1) (Scp p +

/2)]}. (4)

""V

-7-7Г

<afa raip

и/ 2

n 3 0

V 1 1 3 Í 1 1 ^

A rnta raíp v 2 "3

2

. . . .

Рис. 1

u

u

u

1

3

4

2

6

a

0.6

Рассмотрим модуляцию ширины импульсов последовательности Адр по синусоидальному закону:

AS p = [ П ( 2N )] sin {[( p +1)/2] [п/ ( 2 N )]}. (5)

В этом случае при N = 1 и p = 1 ширина одного импульса будет заполнять весь угловой промежуток п/2, при p = 1 и N > 1 первый импульс имеет ширину, равную [п/(2N)]sin [п/(2N)], N-й импульс - [п/(2N)]sin [п/4 + п/(4N)]. Подстановкой (5) в (4) получим разложение в ряд Фурье в виде

-0.6

-1.2

N = 5

Рис. 2

( , 4 ® sin (2^ + 1) at N и(t) =- L--—:-L

ns=0

2s +1

P=1

cos i( 2s + 1)—

I 2N

p- sin

/л 2 2N,

cos

(2s + 1)JL p 2N

(6)

По полученному выражению с помощью программы Mathcad определены коэффициенты разложения с номерами гармоник до 31 включительно (табл. 1). Анализ таблицы показывает, что с увеличением числа импульсов наряду с существенным уменьшением веса гармоник низшего порядка заметно, но не столь существенно изменяется и первая гармоника. Вместе с тем для порядковых номеров гармоник, близких к 4N, как правило, наблюдается заметное увеличение коэффициентов разложения (выделены полужирным шрифтом).

Для определения различия между рассмотренным законом модуляции с эквидистантными окончаниями импульсов и модуляцией, которой в [5] приписаны термины "uniform sampling" и "natural sampling", проведем аналогичный анализ для импульсов с эквидистантными началами.

Представим элементарный импульс последовательности (рис. 1, б, 3) наложением двух прямоугольных импульсов, передние фронты которых расположены в нуле фазовой оси S

Таблица 1

л

Номер гармоники Количество импульсов на фазовом угле я/ 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Коэффициенты ряда Фурье по (6)

1 1.273 1.184 1.041 0.945 0.882 0.838 0.805 0.78 0.761 0.745

3 0.424 0.279 0.121 0.055 0.023 0.005 -0.007 -0.015 -0.02 -0.025

5 0.255 0.165 0.107 0.09 0.079 0.072 0.066 0.061 0.057 0.054

7 0.182 0.034 0.03 0.007 -0.001 -0.005 -0.008 -0.009 -0.01 -0.01

9 0.141 -0.133 0.066 0.051 0.047 0.043 0.04 0.037 0.034 0.032

11 0.116 -0.128 -0.113 -0.02 -0.017 -0.015 -0.014 -0.013 -0.013 -0.012

13 0.098 -0.028 -0.345 0.046 0.036 0.034 0.032 0.03 0.028 0.026

15 0.085 -0.057 -0.08 -0.164 -0.038 -0.026 -0.021 -0.018 -0.016 -0.014

17 0.075 -0.124 0.119 -0.385 0.042 0.031 0.028 0.026 0.024 0.023

19 0.067 -0.038 0.057 0.056 -0.185 -0.046 -0.03 -0.024 -0.02 -0.017

21 0.061 0.077 0.093 0.174 -0.381 0.043 0.028 0.025 0.023 0.022

23 0.055 0.037 -0.03 0.056 0.151 -0.169 -0.05 -0.032 -0.025 -0.021

25 0.051 -0.025 0.086 0.082 0.172 -0.367 0.045 0.027 0.024 0.021

27 0.047 0.049 0.135 0.015 0.047 0.213 -0.202 -0.051 -0.033 -0.025

29 0.044 0.107 0.083 0.077 0.066 0.155 -0.352 0.048 0.027 0.123

31 0.041 0.018 -0.059 -0.069 0.01 0.04 0.254 -0.205 -0.052 0.034

0.6

-0.6

-1.2

п 2

N = 5

0.6

3п 2

-0.6

-1.2

п 1

N = 5

3п 2

а

Ч

Рис. 3 Рис. 4

(рис. 1, б), а задние фронты - в позициях rotp и rota, причем второй импульс берется со знаком минус. Расположим N импульсов передними фронтами в эквидистантных точках (p -1) [я/ (2N)], p = 1, 2, ... и сохраним прежние свойства четности и нечетности. Модуляцию ширины импульса подчиним синусоидальным законам, первый из которых запишем как Д3р = [п/( 2 N)] sin [ рп/(2 N)], а второй - в виде ДЗр = [л/( 2N)] sin {[(p +1)/2] [n/(2N)]|.

На основании формулы (3) для первого закона модуляции получим (рис. 3):

4 да

u (t) = - I

n s=0

sin [( 2s + 1) fflt ]

2s +1

N

I

p=1

cos

V

( 2s + 1)

п (p-1)' 2N .

cos <

71

( 2s + 1)

2N

p

p- 1 + sin I ——

1 2N)

(7)

При втором законе модуляции (рис. 4) выражение записывается в виде

и (Г) =

X

s=0

sin [( 2s + 1) fflt ] 2s + 1

N

X

p=1

cos

( 2s + 1)

A. p-1)

2N .

-cos <

n ( 2s + 1)

2N

p 1 sin

p1 2 2N

(8)

Коэффициенты разложений в соответствии с выражениями (7) и (8) приведены в табл. 2 и 3 соответственно. Из сопоставления табл. 1-3 следует, что первая гармоника с уве-

Таблица 2

u

u

0

0

а

л

Номер гармоники Количество импульсов на фазовом угле я/ 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Коэффициенты ряда Фурье по (7)

1 1.273 1.092 1.07 1.058 1.05 1.044 1.039 1.035 1.031 1.029

3 0.424 0.165 0.115 0.099 0.086 0.076 0.068 0.061 0.055 0.051

5 0.255 0.312 0.052 0.057 0.054 0.049 0.045 0.041 0.038 0.035

7 0.182 0.444 0.08 0.019 0.028 0.029 0.027 0.026 0.024 0.023

9 0.141 0.202 0.214 -0.024 0.01 0.017 0.018 0.017 0.017 0.017

11 0.116 -0.08 0.414 -0.063 0.012 0.0061 0.01 0.012 0.012 0.012

13 0.098 -0.029 0.229 0.156 -0.058 -0.007 0.004 0.007 0.008 0.009

15 0.085 0.184 0.102 0.383 -0.105 -0.027 -0.04 0.002 0.005 0.006

17 0.075 0.203 0.113 0.2 0.118 -0.076 -0.015 -0.003 0.002 0.004

19 0.067 0.048 -0.039 0.048 0.361 -0.132 -0.034 -0.009 -0.002 0.001

21 0.061 -0.02 -0.037 0.076 0.186 0.092 -0.087 -0.019 -0.006 -0.001

23 0.055 0.04 0.127 0.112 0.028 0.347 -0.151 -0.038 -0.011 -0.004

25 0.051 0.074 0.033 0.134 0.042 0.177 0.073 -0.095 -0.021 -0.008

27 0.047 0.049 -0.048 -0.01 0.035 0.019 0.336 -0.164 -0.04 -0.013

29 0.044 0.053 0.06 -0.019 0.048 0.033 0.17 0.058 -0.099 -0.022

31 0.041 0.073 0.019 0.161 0.1 0.023 0.014 0.328 -0.174 -0.041

Таблица 3

Номер гармоники Количество импульсов на фазовом угле п/ 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Коэффициенты ряда Фурье по (8)

1 1.273 1.016 0.896 0.832 0.792 0.763 0.743 0.726 0.714 0.703

3 0.424 0.24 0.169 0.13 0.103 0.083 0.067 0.054 0.044 0.036

5 0.255 0.237 0.069 0.053 0.046 0.042 0.039 0.037 0.035 0.034

7 0.182 0.518 0.066 0.068 0.061 0.055 0.048 0.043 0.038 0.035

9 0.141 0.129 0.043 -0.013 -0.004 -0.003 0.002 0.0032 0.004 0.0046

11 0.116 -0.009 0.573 0.004 0.037 0.039 0.037 0.024 0.031 0.029

13 0.098 -0.098 0.192 -0.084 -0.044 -0.024 -0.015 -0.011 -0.008 -0.006

15 0.085 0.25 0.077 0.545 -0.025 0.023 0.028 0.028 0.027 0.025

17 0.075 0.139 0.063 0.21 -0.167 -0.057 -0.032 -0.022 -0.017 -0.013

19 0.067 0.109 0.11 0.058 0.504 -0.038 0.016 0.023 0.023 0.022

21 0.061 -0.077 -0.164 0.05 0.216 -0.223 -0.064 -0.036 -0.026 -0.02

23 0.055 0.095 0.14 0.082 0.038 0.467 -0.043 0.013 0.019 0.02

25 0.051 0.023 0.069 0.051 0.047 0.218 -0.261 -0.066 -0.038 -0.027

27 0.047 0.097 -0.014 0.19 0.054 0.021 0.437 -0.044 0.011 0.017

29 0.044 0.01 -0.054 -0.092 0.02 0.046 0.219 -0.287 -0.067 -0.039

31 0.041 0.112 0.105 0.12 0.065 0.038 0.009 0.411 -0.043 0.011

личением количества импульсов N в табл. 2 уменьшается в меньшей степени, чем при модуляции передних фронтов ((6), табл. 1) и задних фронтов по второму закону ((8), табл. 3).

Завершим рассмотрение анализом последовательности двуполярных импульсов, у которых изменяются как временной интервал, занимаемый верхним уровнем напряжения, так и интервал, занимаемый нижним уровнем (рис. 5). Примем для изменения верхнего уровня закон

= [ П (4 N )] (1 + sin {(p -1) [ П (2 N )]}).

С учетом постоянства временного (фазоуглового) промежутка, занимаемого каждым из импульсов (равного л/(2 N)), угловая ширина отрицательной части будет изменяться

по закону Зр-1 = [п/(2N)](l - sin {(p -1)[л/(2N)]}). Тогда выражение для совокупности

импульсов u (t) имеет вид

N (Л 8 ® sin (2s + 1)о>t N

u (t)= X Up (t) = - X-^^-X

P=1

n s=0

f

2s +1

p=1

cos

( 2s +1)— 4 N

cos

(2s +1) ( p JL -JL ' 2 N 4 N

cos

V

( 2s +1) U p -1) — + —+ — sin v ' V '2 N 4 N 4 N

( p -1)—

2N

(9)

Полученная импульсная последовательность при N = 5 показана на рис. 6. В табл. 4 даны коэффициенты ряда Фурье (9).

N = 5

i о(+) >-1 p = 1, 2, ... p [п/ (2N )] ^

(p -1) П (2N )] V1 -► с

0.6 0 -0.6 -1.2

3п 2

а

Рис. 5

Рис. 6

u

п

Таблица 4

Номер гармоники Количество импульсов на фазовом угле п/ 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Коэффициенты ряда Фурье по формуле (9)

1 -0.527 0.429 0.653 0.752 0.808 0.843 0.868 0.886 0.899 0.91

3 1.025 -0.214 -0.151 -0.127 -0.109 -0.095 -0.084 -0.076 -0.068 -0.062

5 0.615 -0.188 -0.086 -0.046 -0.03 -0.023 -0.018 -0.015 -0.013 -0.012

7 -0.075 1.037 -0.129 -0.05 -0.035 -0.029 -0.025 -0.022 -0.02 -0.018

9 -0.059 0.36 0.079 -0.057 -0.031 -0.022 -0.016 -0.013 -0.011 -0.01

11 0.279 0.261 0.926 -0.102 -0.035 -0.022 -0.017 -0.014 -0.012 -0.011

13 0.236 -0.311 0.313 0.198 -0.043 -0.023 -0.016 -0.012 0.01 0.008

15 -0.035 0.216 0.055 0.854 -0.078 -0.029 -0.017 -0.012 -0.01 -0.008

17 -0.031 -0.096 0.123 0.295 0.26 -0.035 -0.018 -0.013 0.01 -0.008

19 0.162 0.03 0.049 0.017 0.805 -0.059 -0.025 -0.014 -0.01 -0.08

21 0.146 -0.059 -0.34 0.051 0.284 0.297 -0.03 -0.015 -0.01 -0.008

23 -0.023 0.289 0.247 0.06 0.004 0.772 -0.044 -0.022 -0.012 -0.09

25 -0.021 0.19 0.075 0.095 0.038 0.275 0.32 -0.026 -0.013 -0.009

27 0.114 0.02 -0.124 -0.079 0.028 -0.003 0.747 -0.032 -0.02 -0.011

29 0.106 -0.035 -0.097 -0.297 0.035 0.032 0.269 0.336 -0.023 -0.012

31 -0.017 -0.011 0.186 0.257 0.051 0.018 -0.007 0.728 -0.021 -0.018

33 -0.016 0.069 -0.084 0.101 0.067 0.022 0.028 0.264 0.347 -0.021

35 0.088 -0.099 0.217 -0.06 -0.145 0.023 0.013 -0.009 0.713 -0.013

37 0.083 0.074 0.183 -0.034 -0.257 0.03 0.017 0.025 0.26 0.356

39 -0.014 0.076 0.102 -0.093 0.262 0.043 0.015 0.01 -0.011 0.7

41 -0.013 0.194 -0.099 0.025 0.011 0.044 0.017 0.014 0.023 0.257

43 0.071 -0.047 0.059 0.174 -0.049 -0.182 0.019 0.011 0.0083 -0.012

45 0.068 0.017 -0.073 -0.1 -0.021 -0.225 0.026 0.012 0.012 0.021

47 -0.011 -0.026 0.07 0.211 -0.035 0.265 0.037 0.013 0.009 0.007

49 -0.011 0.046 -0.036 0.128 -0.054 0.116 0.024 0.014 0.009 0.011

51 0.06 -0.05 0.035 0.036 -0.062 -0.043 -0.024 0.017 0.01 0.007

Из нее следует, что локальные экстремумы наблюдаются и вблизи частот, кратных частоте основной гармоники.

Спектральный анализ может быть с успехом применен и для широтно-импульсной модуляции при переменной частоте коммутации, т. е. с модуляцией частоты следования импульсов. Соответствующие выводы при сравнении спектров выходного напряжения, полученных моделированием автономных инверторов напряжения, даны в [6]. Выражения для гармоник тока ¡2,+1 (N) при подаче напряжений, описываемых (6)-(8) и (9), на активно-индуктивные сопротивления К, Ь, приведем к единообразному виду. Для сумм по р от 1 до N

в (6)-(8) введем обозначения ^28+1 (N), с22+1 (N), с2"5+1 (N) соответственно, а аналогичную сумму в (9) увеличим вдвое и обозначим через с24+1 (N). Тогда напряжения и (г) при единичной амплитуде импульсов во всех перечисленных случаях могут быть записаны в виде

и(к) (г) = 4 | втО^^ (N), к = 1~4.

П 5=0 28 + 1

Теперь можно записать гармонику тока ¡2^,+^ (N) в общем виде:

45+1( N) = ( 25 +1)-1( N) (1 + 1В2Ф2,+1 )-12в1и [( 2, +1) ш I-ф2,+1 ], (10) ПК

где

tg Ф25+1 =(2s +1) &L/R. (11)

По формуле (10) с учетом табл. 1-4, значения в которых соответствуют выражению (4/ п ) (2s +1) 1 z2s+1 (N), определим соотношения между амплитудами гармоник тока для различных значений aL/R. Например, из табл. 1 при N = 7 для первой гармоники напряжения имеем 0.805, а для 31-й - 0.254. Тогда при aL/ R = 1 получим соотношение для амплитуд 31-й и первой гармоник тока при N = 7 и выбранном tgq^ в виде:

(0.254/0.805)^(1 + tg2 ф1 )/(1 + tg2 ф31) = 0.0144.

Кривые изменения тока (при R = 1) получим суммированием выражений (10):

5 4^1(N) = - Z ( 2s +1)-1 z2ks+1 (N) (1 + tg2 Ф2 s+1 )-1/2sin [(2s +1) rot — Ф2 s+1 ], (12)

s=0 ns=0

где tg 92s+1 определяется через (11). При k = 1, N = 5 и tg q^ = л/ 6 на рис. 7-10 показаны кривые изменения тока, построенные в соответствии с формулой (12) для значений tg Ф1 = 1, 0.5, 0.2 и 0.1, иллюстрирующие влияние этого параметра на пульсации в кривых тока.

Отметим, что отсутствие конкретной привязки к инверторам с широтно-импульсной модуляцией не умаляет значения полученных в настоящей статье численных оценок для коэффициентов ряда Фурье на основе достаточно простых моделей. Можно показать, что эти результаты удовлетворительно соотносятся с примерами для спектров импульсов, приведенных в [7] и [8] при модуляции фронта (или среза) импульса. Отличительная черта данных моделей в том, что они достаточно просты при численной реализации. Примечательно и то, что здесь ширина импульса задается модулирующим законом в отличие от "natural sampling", где ширина импульса определяется через трансцендентное уравнение

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 6

[7]. В заключение заметим, что для симметричного трехфазного устройства, соединенного по схеме "звезда", на выходе преобразователя следует исключить из рассмотрения гармоники тока, кратные трем (3, 9, 15, ...).

Список литературы

1. Уильямс Б. Силовая электроника: приборы, применение, управление: справ. пособие / пер. с англ. Энергоатомиздат,1993. 239 с.

2. Hall J. K. Power quality // Power engineering journal. 1991. March. P.63-72.

3. Попков О. З. Основы преобразовательной техники. Автономные преобразователи: учеб. пособие. М.: Изд-во МЭИ, 2003 64 с.

4. Dewan S. B., Ziogas P. D. Optimum filter design for a single - phase solid-state UPS system // IEEE Trans. on Industry appl. 1979. Vol. IA-15, № 6. P. 664-669.

5. Sanchez M., Popert F. Über die Berechnung der Spektren modulierten Impulsfolgen // Archiv der Elektrischen Übertragung. 1955. Band 9. Heft 10. S. 441-452.

6. Чаплыгин Е. Е., Ан Нгуен Хоанг. Спектральные модели импульсных преобразователей с переменной частотой коммутации // Электричество. 2006. № 4. C. 39-46.

7. Bowes S. R., Clements R. R. Computer aided desing of PWM inverter systems // Proc. IEEE. 1982. Vol. 129, pt. B, № 1. P. 1-17.

8. Обухов С. Г., Чаплыгин Е. Е., Кондратьев Д. Е. Широтно-импульсная модуляция в трехфазных инверторах напряжения // Электричество. 2008. № 7. C. 23-31.

G. N. Tsitsikjan, I. M. Vasin, M. Ju. Antipov FGUP "CNII SET"

Harmonics analysis of impulses generated on a way in width modulations

Abstract decomposition in Fourier series of unipolar and bipolar impulses with width modulation are given. It is established, that local extremums are characteristic for the decomposition values which are comparable to the first harmonic coefficients of decomposition. The extremums are foundfor the harmonic factor with serial number are near to the quadruple value of the N pulse count on the basic frequency quarter-period. Also, the increasing of the N impulses can lead to the appreciable decrease of the first harmonic; it should be noticed on practice.

Pulse width modulation, harmonic analysis, unipolar and bipolar pulses

Статья поступила в редакцию 28 октября 2011 г.