CC BY
5
УДК 519.8
Гарантированные оценки предпочтительного директивного времени выполнения аварийно-спасательных работ
ISSN 1996-8493
© Технологии гражданской безопасности, 2021
М.И. Ломакин, А.В. Докукин, В.Б. Мошков, И.Ю. Олтян
Аннотация
Предложен подход к нахождению гарантированных оценок предпочтительного времени выполнения аварийно-спасательных работ, информация о технологических операциях которых представлена малыми выборками значений случайных величин из некоторого неизвестного распределения.
Ключевые слова: аварийно-спасательные работы; продолжительность технологических операций; случайная величина; функция распределения; моменты распределения.
Guaranteed Estimates of the Preferred Directive Time for the Emergency Rescue Operations
ISSN 1996-8493
© Civil Security Technology, 2021
M. I. Lomakin, A.V. Dokukin, V. B. Moshkov, I. Y. Oltyan
Abstact
An approach is proposed to find guaranteed estimates of emergency rescue operations preferred time, information about technological operations of which is represented by small samples of random variables from some unknown distribution.
Key words: emergency rescue operations; duration of technological operations; random variable; distribution function; distribution moments.
10.11.2021
Настоящая статья является продолжением статьи [1], которая посвящена вопросам использования стохастических гарантированных моделей при анализе и оптимизации процессов планирования аварийно-спасательных работ (АСР).
Рассмотрим комплекс аварийно-спасательных работ, включающий ряд технологических операций: Р.,Р., ...,Р.
«Каждая технологическая операция Р, i = 1, 2, п имеет ряд ограничений:
1) продолжительность выполнения — t ;
2) объем необходимых для ее реализации ресурсов: интенсивность, стоимость, объем расходных материалов и т.п.;
3) множество S непосредственно предшествующих ей видов работ» [1, 2].
Аналогично [1, 2] считаем, что по каждой технологической операции Р, i = 1, 2,., п имеется статистика:
(1)
где ^ = 1, 2, ..., k . есть одинаково распределенные в соответствии с неизвестным законом распределения F(t) случайные величины продолжительностей соответствующей технологической операции АСР.
Аналогично работе [2] считаем, что если технологическая операция Р. имеет непосредственно предшествующие ей работы, то наиболее раннее время
окончания t. технологической операции Р, i = 1, 2, ..., п равно сумме наибольшего из наиболее ранних времен окончания непосредственно предшествующих ей работ и продолжительности I данной технологической операции. Случайная величина наиболее раннего времени окончания %. технологической операции Р ,. = 1, 2, п равна сумме случайной величины наибольшего из наиболее ранних времен окончания непосредственно предшествующих ей работ и случайной продолжительности %. данной операции, т.е.:
4 = max (j) + &
(2)
Тогда случайная величина директивного времени выполнения комплекса аварийно-спасательных работ определится соотношением:
£ = X £ (3)
X Р^)
здесь суммирование идет по всем технологическим операциям, предшествующим, операции.
На основе статистики (1) в соответствии с соотношением (3) можно сформировать статистику для величины директивного времени выполнения комплекса АСР:
£ = (£ £
ьд "д1' д2
£ ),
(4)
где %д. = , = 1, 2, т есть одинаково распределенные в соответствии с неизвестным законом распределения F(t) случайные величины продолжительностей директивного времени выполнения комплекса АСР.
На основе выборки % также, как в [1], определим т выборочных моментов распределения по следующим соотношениям [3, 4]:
1 4L
Mi =—
т.
(5)
Определим также множество функций распределения F1, у которых моменты распределения равны выборочным моментам ц,, полученным на основе выборки % по соотношениям (10) [5, 6], т.е.:
F1 = {F (t): jVdF (t) = н, i = 1,2.....m}. (6)
Задача определения наиболее гарантированных оценок директивного времени выполнения АСР или предпочтительного директивного времени выполнения АСР может быть сформулирована следующим образом. Найти t такое, чтобы имело место соот-
г дг >
ношение:
min F ((ДГ ) = r.
F(t)eFj V ДГ > '
(7)
Общее решение и его конкретизация в аналитическом виде для двух моментов приведены в [1] и состоят в использовании двух утверждений [1]: одно утверждение об эквивалентности задач; второе о том, что минимум
функции распределения достигается на дискретных распределениях, удовлетворяющих определенным условиям.
Рассмотрим особенности ее конкретизации для большего (трех и более) числа моментов.
Пусть в нашем распоряжении имеется следующая малая выборка — всего три значения директивного времени выполнения комплекса АСР:
£ = (502,89; 483,49; 499,69).
(8)
Для этой выборки математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение директивного времени выполнения комплекса работ равны рассмотренным в [1, 2] (математическое ожидание времени М [Тд] = = 495,36 мин.; среднее квадратическое отклонение времени с [Тд] = 10, 40 мин.).
Пронормируем значения выборки %д относительно максимального значения и по соотношениям (5) найдем первые три момента распределения, получим:
цх = 0,9850; = 0б9705; ^3 = 0,9566.
В данном случае т = 3, следовательно, функция распределения директивного времени выполнения комплекса АСР имеет V = 3 точки роста, причем 0 = = tl < ^ < ^ < да (рис. 1), т. е. в точке t = tl = 0 величина роста функции распределения F(t) равнарх, в точке t = t — величина р2 в точке t = t3 — величина р3
т
i Pi
Pi
F1 -»
1-0
Рис. 1
Уравнения (16) из статьи [1] для трех моментов будут иметь следующий вид:
Pi + Р2 + Рз = РЛ + P2l2 + РзЧ =м; Pit2 + PlZ + Рз^ = Pit' + Р2123 + Рз^ =Мз-
(9)
Имеем четыре уравнения с пятью неизвестными
Рр РУ Ру^ t3•
С учетом того, что любая функция распределения является непрерывной слева, следует положить:
t = К;
дг 3'
F(tз - 0) = у.
Здесь также, как и в [1]:
/ — предпочтительное директивное время выполнения комплекса АСР;
у — величина вероятности — заданный уровень гарантии того, что комплекс АСР будет выполнен в течение времени (с вероятностью не ниже чем у).
Для нахождения t3 следует положить:
Р, + Р2 = У- (10)
В итоге приходим к системе уравнений:
Р + р2 + Рз = 1;
Р + Р2 = г; РЪ + Р2Ч + Рз1з = М (!!)
РЪ2 + Р2122 + Рз1з2 = м; РЛ3 + Р212 + Рз^ = Мз-
Выполнив соответствующие преобразования, можно получить следующее соотношение для определения
t = t3:
дг 3
и - (1 -г№ _ щ - (1 -УК
Щ-(1 -Х)гз И - (1 -У)\
2 '
(12)
Аналитическое решение последнего уравнения затруднительно, но численное нахождение решения может быть получено с помощью Microsoft Excel «Поиск решения» [7, 9]; результаты численного решения — нахождения гарантированных оценок директивного времени выполнения АСР или предпочтительного директивного времени выполнения АСР приведены в таблице (третья строка t (3)).
Далее рассмотрим случай, когда выборка директивного времени выполнения комплекса АСР представлена шестью значениями:
= (505,64; 491,80; 503,20; 488,30; 479,71; 503,500. (13)
Для этой выборки математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение директивного времени выполнения комплекса работ также равны рассмотренным выше (математическое ожидание времени М [Тд] = = 495,36 мин.; среднее квадратическое отклонение времени с [Тд] = 10, 40 мин.).
Аналогично пронормируем значения выборки £ относительно максимального значения и по соотношениям (5) найдем первые 6 моментов распределения, получим:
^ = 0,9855; = 0,9772; /и3_ = 0,9579; = 0,9445; /и5 = 0 ,9315; /и3 = 0 ,9189.
В данном случае m = 6, следовательно, функция распределения директивного времени выполнения комплекса АСР имеет v = 4 точки роста, причем 0 < t < t < t3 < t4 < ® (рис. 2), т. е. в точке t = t величина роста функции распределения F(t) равнар1, в точке t = t — величина p2, в точке t = t3 — величина р3, в точке t = t4 — величина р .
Рис. 2
Уравнения (16) из [1] для шести моментов будут иметь следующий вид:
Pi + Р2 + Рз + Р4 = 1
Pt + PJ-2 + Рз-6 + P4l4
. (14)
P- + PJ-6 + Р3136 + P4t6 =M6.
Далее аналогично случаю трех моментов полагаем,
что:
t = t„;
дг 4'
F(t. - 0) = у.
Здесь также обозначения имеют тот же смысл, что и выше.
Для нахождения t3 следует положить:
Pi + Рг + Р3 = Y В итоге приходим к системе уравнений:
Р + Р2 + Рз + Р4 = 1 Pi + Р2 + Рз = y
Pltl + Р212 + РзЧ + Р4*4
(15)
(16)
Р^ + Р212 + Рзгз6 + Р4г46 =Мб,-
Имеем систему восьми уравнений с восемью неизвестными p p2, p3, p4, t1, t2, t3, t4, шесть из них являются нелинейными. Для решения системы уравнений был использован метод обобщенного приведенного градиента из пакета Microsoft Excel: «Поиск решения» «Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ». Результаты численного решения — нахождения гарантированных оценок директивного времени выполнения АСР или предпочтительного директивного времени выполнения АСР приведены в таблице (четвертая строка t (6)).
Аналогично может быть рассмотрена задача нахождения гарантированных оценок директивного времени выполнения АСР или предпочтительного директивного
Предпочтительное время выполнения комплекса работ
Таблица
Y 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925
t (2) дгч ' 511,25 512,25 513,37 514,66 516,16 517,94 520,12 522,88 526,56 531,88
t (3) дЛ / 508,17 508,96 509,85 510,86 512,04 513,44 516,15 517,30 520,16 524,26
t (6) дЛ / 495,28 495,47 495,66 495,85 496,04 496,24 496,44 496,64 496,87 497,11
t (н) дг 500,81 501,58 502,37 503,22 504,11 505,08 506,14 507,32 508,69 510,33
времени выполнения АСР при произвольном числе моментов; при этом открытым остается вопрос о целесообразном числе используемых моментов. Согласно утверждению 1 из [1, 10] число моментов должно быть равно объему выборки, однако при числе моментов, большем десяти, существенно возрастает сложность численного решения задачи.
Для сравнения в пятой строке таблицы 1 представлены результаты определения гарантированных оценок директивного времени выполнения АСР или предпочтительного директивного времени выполнения АСР для случая, если имеющаяся выборка (13) — выборка из нормального распределения с указанными выше параметрами.
Таким образом, в настоящей статье предложен подход к нахождению гарантированных оценок предпочтительного времени выполнения аварийно-спасательных работ, базирующийся на использовании стохастических гарантированных моделей. В качестве примера использования предложенного подхода рассмотрены два случая нахождения упомянутых оценок в условиях малых данных, когда выборка директивного времени выполнения комплекса АСР представлена тремя и шестью значениями. Для каждого случая итоговые значения предпочтительного времени выполнения аварийно-спасательных работ находятся численно с использованием пакета Microsoft Excel: «Поиск решения», «Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ». Представлено сравнение
результатов определения предпочтительного времени выполнения аварийно-спасательных работ для двух, трех, шести моментов и нормального распределения при условии, что в каждом случае первые два момента распределения одинаковы.
Литература
1. Ломакин М.И., Докукин А.В., Мошков В.Б., Олтян И.Ю. Стохастические гарантированные модели в планировании аварийно-спасательных работ // Технологии гражданской безопасности. 2021. № 3.
2. Бахтиярова О.Н. Сравнительный анализ результатов детерминированного и стохастического подходов к планированию аварийно-спасательных работ // Технологии гражданской безопасности. 2018. № 2. С. 70-74.
3. Коган Е.А., Юрченко А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: НИЦ ИНФРА-М, 2020. 250 с.
4. Малугин В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Издательство Юрайт, 2019. 470 с.
5. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 553 с.
6. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с ней. М.: Физматгиз. 1961. 310 с.
7. Айзек М.П. Графика, формулы, анализ данных в Excel. Пошаговые примеры / М.П. Айзек. СПб.: Наука и техника, 2019. 384 c.
8. ФорманДж. Много цифр: Анализ больших данных при помощи Excel. М.: Альпина Паблишер, 2019. 461 с.
9. Симчера В.М. Методы многомерного анализа статистических данных. М.: Финансы и статистика, 2018. 400 с.
10. Lomakin M., Buryi A., Dokukin A., Strekha A., Niyazova J., Balvanovich A. Estimation of quality indicators based on sequential measurements analysis // International Journal for Quality Research. 2020. № 1. P. 147-162.
Сведения об авторах
Information about authors
Ломакин Михаил Иванович: д.т.н., д.э.н., проф., ФГБУ
ВНИИ ГОЧС (ФЦ), г. н. с. института.
Москва, Россия.
е-таН: lomakin@vniigoch.ru
SPIN-код: 4943-3724.
Докукин Александр Владимирович: д.э.н., ФГБУ ВНИИ
ГОЧС (ФЦ), г. н.с. науч.-исслед. центра.
Москва, Россия.
е-таН: dokukin@vniigoch.ru
SPIN-код: 6402-0280.
Мошков Владимир Борисович: к.э.н., доц., ФГБУ ВНИИ
ГОЧС (ФЦ), зам. начальника института.
Москва, Россия.
е-таН: vniigochs@vniigochs.ru
SPIN-код: 7792-2243.
Олтян Ирина Юрьевна: к.т.н., ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), учёный секретарь (в ранге заместителя начальника института).
Москва, Россия. е-таН: irenaoltyan@mail.ru SPIN-код: 3476-5213.
Lomakin Mikhail I.: ScD (Technical Sc., Economic Sc.),
Professor, All-Russian Research Institute for Civil Defense and
Emergencies, Chief Researcher of the Institute.
Moscow, Russia.
e-mail: lomakin@vniigoch.ru
SPIN-scientific: 4943-3724.
Dokukin Aleksandr V.: ScD (Economic Sc.), All-Russian
Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Chief
Researcher, Researcher Center.
Moscow, Russia.
e-mail: dokukin@vniigoch.ru
SPIN-scientific: 6402-0280.
Moshkov Vladimir B.: PhD (Economic Sc.), All-Russian
Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Deputy
Head of the Institute.
Moscow, Russia.
e-mail: vniigochs@vniigochs.ru
SPIN-scientific: 7792-2243.
Oltyan Irina Yu.: PhD (Technical Sc.), All-Russian Research
Institute for Civil Defense and Emergencies, Scientific
Secretary (in the rank of Deputy Head of the Institute).
Moscow, Russia.
e-mail: irenaoltyan@mail.ru
SPIN-scientific: 3476-5213.
