CC BY
10
УДК 519.8
Стохастические гарантированные модели в планировании аварийно-спасательных работ
ISSN 1996-8493
© Технологии гражданской безопасности, 2021
М.И. Ломакин, А.В. Докукин, В.Б. Мошков, И.Ю. Олтян
Аннотация
Рассматривается задача анализа и оптимизации аварийно-спасательных работ, информация о технологических операциях которых представлена выборками значений случайных величин из некоторого неизвестного распределения.
Ключевые слова: аварийно-спасательные работы; продолжительность технологических операций; случайная величина; функция распределения; моменты распределения.
Stochastic Guaranteed Models in Emergency Rescue Planning
ISSN 1996-8493
© Civil Security Technology, 2021
M. Lomakin, A. Dokukin, V. Moshkov, I. Oltyan
Abstact
The problem of analyzing and optimizing emergency rescue operations is considered, information about technological operations of which is represented by samples of random values from some unknown distribution.
Key words: emergency rescue operations; duration of technological operations; random variable; distribution function; distribution moments.
8.06.2021
Эффективность проведения мероприятий по ликвидации чрезвычайных ситуаций (ЧС) во многом определяется организацией выполнения аварийно-спасательных работ. «Аварийно-спасательные работы (АСР) — действия по спасению людей, материальных и культурных ценностей, защите природной среды в зоне ЧС, локализации ЧС и подавлению или доведению до минимально возможного уровня воздействия характерных для них опасных факторов. АСР характеризуются наличием факторов, угрожающих жизни и здоровью проводящих эти работы людей, и требуют специальной подготовки, экипировки и оснащения» [1]. Эти работы заранее планируются на всех уровнях, во всех подсистемах и звеньях единой государственной системы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций (РСЧС).
Основой планирования АСР является информация о времени выполнения соответствующих технологических операций, которая представлена в технологических картах выполнения конкретных работ. Например, в «Руководстве по ведению аварийно-спасательных работ при ликвидации последствий дорожно-транспортных происшествий с комплектом «типовых технологических карт разборки транспортных средств, деблокирования и извлечения пострадавших при ликвидации последствий ДТП». Данный документ описывает основные правила, приемы и способы разборки транспортных средств для различных видов ДТП, содержит типовые технологические карты по деблокированию и извлечению пострадавших, рекомендован к практическому применению, а также к применению в учебном процессе для различных категорий обучающихся. Руководство содержит временные нормативы по выполнению АСР при ликвидации последствий ДТП[2].
Эти временные нормативы являются фиксированными величинами. Они получены на основе обработки предыдущей статистики, результатов экспериментов и экспертных данных, как правило, путем усреднения последних.
В реальных условиях проведение АСР проходит далеко не всегда в условиях близких к некоторой расчетной ситуации, характеризуемой усредненными нормативами выполнения технологических операций. На АСР влияют многие недетерминированные факторы: погодные условия, географическое положение места ЧС, особенности ЧС (структура разрушений и др.), учесть которые с помощью системы поправочных коэффициентов не всегда представляется возможным.
Цель настоящей статьи продемонстрировать возможность и целесообразность использования стохастических гарантированных моделей при анализе и оптимизации процессов планирования АСР.
Возможность использования стохастического подхода к планированию аварийно-спасательных работ показана в статье О. Н. Бахтияровой [3]. В данной статье рассмотрена следующая задача. Рассматривается комплекс аварийно-спасательных работ, включающий ряд технологических операций Р Р ..., Р
«Каждая технологическая операция Р, i = 1, 2, ..., п имеет ряд ограничений:
1) продолжительность выполнения
2) объем необходимых для ее реализации ресурсов: интенсивность, стоимость, объем расходных материалов и т.п.;
3) множество непосредственно предшествующих ей видов работ» [3].
В работе [3] выполняется расчет наиболее раннего времени окончания технологических операций Р,. = 1, 2,., п для случая, когда продолжительности операций являются детерминированными величинами и для случая, когда продолжительности операций являются случайными величинами, имеющими бета-распределение с параметрами а = 1 и в = 2 и равны своим наиболее вероятным значениям. В качестве примера в статье рассмотрен комплекс АСР по устройству галереи в грунте под завалом для деблокирования пострадавшего. Технологической картой на проведение АСР предусматривается устройство галереи размером 1,0 х 1,0 м в немерзлом грунте II группы (супесчаный), естественной влажности, вручную, с установкой креплений, под завалом протяженностью 4 погонных метра на глубине более 2 метров. В качестве креплений используются 2 нормокомплекта крепи забойщицкой (6 стоек диаметром 10-12 см, 4 распила толщиной 5 см и длиной 2 м, 30-40 затяжек шириной 15-20 см и длиной 1 м)» [3].
В анализируемой статье приведены продолжительности технологических операций АСР в соответствии с технологической картой работ и определено директивное время выполнения комплекса работ на основе технологической карты, равное / = 464,40 мин.; представлены экспертные данные по минимальному и максимальному времени выполнения соответствующих операций, на основе которых определены параметры бета-распределений времени выполнения технологических операций. Далее в статье [3] также определены оценки для директивного времени выполнения технологических операций АСР:
наиболее вероятного времени /л [Тд] = 486, 91 мин.; математического ожидания времени М [Т ] = = 495,36 мин.;
среднего квадратического отклонения времени с [Тд] = 10, 40 мин.
На основе приведенных данных авторами этой статьи сделан вывод о том, что директивное время, определенное на основе нормативных оценок, является заниженным относительно оценки директивного времени, полученной при использовании оценок наиболее вероятных значений и математических ожиданий продолжительности технологических операций.
Рассмотрим задачу определения директивного времени выполнения комплекса аварийно-спасательных работ в общем случае. Сохраним в силе основные положения статьи [3], но при этом не будем использовать утверждение о том, что в качестве аппроксимирующего распределения продолжительностей выполнения технологических операций АСР целесообразно использовать бета-распределение с параметрами а = 1 и в = 2. В общем случае это распределение может быть любым, о котором известна только некоторая
статистика, полученная в ходе выполнения аналогичных (или примерно аналогичных) работ, а также статистика, полученная экспертным путем.
Пусть по каждой технологической операции Р, i = = 1, 2,..., п имеется статистика:
(¡1 ,^¡2' )
(1)
где у = 1, 2,., k. есть одинаково распределенные в соответствии с неизвестным законом распределения Е.ф случайные величины продолжительностей соответствующей технологической операции АСР.
Аналогично работе [3] считаем, что если технологическая операция Р. имеет непосредственно предшествующие ей работы, то наиболее раннее время окончания t . технологической операции Р ., . = 1, 2, ... п равно сумме наибольшего из наиболее ранних времен окончания непосредственно предшествующих ей работ и продолжительности t . данной технологической операции. Тогда случайная величина наиболее раннего времени окончания е . технологической операции Р , . = = 1, 2, ... правно сумме случайной величины наибольшего из наиболее ранних времен окончания непосредственно предшествующих ей работ и случайной продолжительности данной операции, т.е.:
= max ,
(2)
Тогда случайная величина директивного времени выполнения комплекса аварийно-спасательных работ определится соотношением:
f = I f
(3)
{PjtSj
здесь суммирование идет по всем технологическим операциям, предшествующим] операции.
На основе статистики (1) в соответствии с соотношением (3) можно сформировать статистику для величины директивного времени выполнения комплекса АСР:
(4)
где ^ ,у = 1, 2,., т есть одинаково распределенные в соответствии с неизвестным законом распределения случайные величины продолжительностей директивного времени выполнения комплекса АСР
В работе [3] закон распределения продолжительности директивного времени выполнения комплекса АСР использовался нормальный с параметрами:
математическое ожидание М [Тд] = 495,36 мин.; среднее квадратическое отклонение а [Тд] = 10,40 мин.
В общем случае закон распределения продолжительности директивного времени комплекса АСР не известен, известна только конечная статистика продолжительностей директивного времени комплекса АСР. Задача состоит в том, чтобы определить наиболее предпочтительное директивное время выполнения комплекса работ.
В качестве наиболее предпочтительного времени выполнения комплекса АСР целесообразно выбирать такое время, в течение которого с определенной гарантией АСР будут выполнены, т.е. необходимо определить такое tw, для которого имеет место соотношение:
Р = Р ( < V ) Y
(5)
Здесь — величина вероятности — заданный уровень гарантии.
Для нормального распределения tдI определится из соотношения:
0,5 + Ф
t* -м [T ]
= 7.
, ° [Tg ] ,
Здесь Ф(х) — функция Лапласса [4].
(6)
С помощью Microsoft Excel, задавая значение у, находим t используя функцию НОРМ.СТ.ОБР (у). Для данных работы [3] предпочтительное время выполнения комплекса АСР приведено в табл. 1.
t - m Г T 1
В табл. 1 z = дг г L д 1.
° Г Тд 1
Однако использование нормального распределения для оценки наиболее предпочтительного директивного времени выполнения АСР достаточно трудно обосновать.
Рассмотрим иной подход к оценке наиболее предпочтительного директивного времени выполнения АСР.
Соотношение (5) можно переписать в виде:
Р = Р( < V) = F(U * Y.
(7)
В последнем соотношении F(tm) — значение функции распределения директивного времени выполнения АСР в точке t .
дг
Определим множество Г как множество всех возможных функций распределения F(t), из которых могла быть получена выборка (4), т.е. множество функций распределения ^ определим в виде:
F0 = {F (t ): F - fa }.
Предпочтительное время выполнения комплекса работ
(8)
Таблица 1
Y 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925
Z 0,524 0,598 0,674 0,755 0,842 0,935 1,036 1,150 1,282 1,440
t дг 500,81 501,58 502,37 503,22 504,11 505,08 506,14 507,32 508,69 510,33
Запись V 1 следует понимать как решение
уравнения
* О-
а>1,
в котором т. есть реализация равномерно распределенной случайной величины т.на интервале [0,1].
Задача определения наиболее предпочтительного директивного времени выполнения АСР может быть сформулирована следующим образом. Найти / такое, чтобы имело место соотношение:
min F (t ) = y.
(9)
Левая часть соотношения (9) — это наименьшая (гарантированная) оценка значения функции распределения при t= t.
На основе выборки £д определим п выборочных моментов распределения по следующим соотношениям:
1
.
(10)
т /=1
Определим множество функций распределения у которых моменты распределения равны выборочным моментам, полученным на основе выборки £д по соотношениям (10), т.е.
го
Р = (Р (I): (I) = м, \ = 1,2.....п}. (11)
0
Рассмотрим следующие две задачи: первая задача: для заданного т найти наименьшую (гарантированную) оценку функции распределения Г(т) на множестве функций распределения Г0, т.е. найти
F0r = min F (т).
0Г F (t )eF0 V >
(12)
Вторая задача: для заданного т найти наименьшую (гарантированную) оценку функции распределения Г(т) на множестве функций распределения Г, т.е. найти
F = min F (г)
1 F (t)^ V >■
(13)
Имеет место утверждение [5].
Утверждение. Задачи, определяемые соотношениями (12) и (13) эквиваленты друг другу.
Следовательно, вместо первой задачи можно рассматривать вторую задачу и наиболее предпочтительное директивное время выполнения АСР может быть определено из решения следующей задачи: найти tw такое, чтобы имело место соотношение:
min F (t ) = y
F (t)eFi ^
(14)
Для определения наименьшей (гарантированной) оценки функции распределения на множестве
функций распределения у которых моменты распределения равны выборочным моментам у. (или на множестве функций распределения заданных до моментов), воспользуемся следующим результатом.
Утверждение [6, 7]. Наименьшее значение интеграла
j=ГQ (t) dF (1)
(15)
на множестве функций распределения достигается на единственном ступенчатом распределении у которого величины скачков в точках роста tjравныр и среди точек роста t1, t2,..., tvимеется точка;
при п нечетном число точек роста V функции распределения Е(Г) определяется соотношением V = (п + + 3)/2, причем, 0 = ^ < ^ < ... < tv < да;
при п четном число точек роста V функции распределения Е(Г) определяется соотношением V = п/2 + 1, причем, 0 < ^ < t < ... < t
числа р. и t . удовлетворяют системе уравнений
¿j ( = 0. п).
j =1
(16)
п + 1-я производная подинтегральной функции <2(1) должна быть неотрицательной.
В нашем случае <(() = 1 и, следовательно, п + 1-я ее производная неотрицательна. Тогда соотношение (15) можно записать в виде:
J =Г°() ^ ( ) = Г°() dF ( )= р (т-0).(17)
Пусть п = 2, т.е. известны первые два момента у1 и у2. Для задачи из работы [3] имеем у 1 = М[Тд], у2 = = у12 + (о-[Тд])2 = у12 + D, где D — дисперсия директивного времени выполнения АСР. Полагая, что t = т, получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
р + р2 = 1,
Р*1 + Р2Х = ^ (18)
Р^ + Р2Т2 = И2-
Выполнив преобразования, находим:
0т<
F (г-0) =
(ft -т) (ft -т)2 + D
(19)
т> ft.
Подставив значение Г(т - 0) при т > у1 в соотношение (14), получаем аналитическое выражение для нахождения предпочтительного директивного времени выполнения комплекса АСР:
Предпочтительное время выполнения комплекса работ
Таблица 2
Y 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925
t дг 511,25 512,25 513,37 514,66 516,16 517,94 520,12 522,88 526,56 531,88
YD
П-у'
(20)
Для данных работы [3] предпочтительное директивное время выполнения комплекса АСР, найденное с помощью стохастической гарантированной модели, приведено в табл. 2.
В связи с тем, что при определении предпочтительного директивного времени выполнения комплекса АСР использовалась наименьшая возможная оценка функции распределения, то и значения предпочтительного директивного времени будут больше, чем в случае использования нормального распределения, но при этом мы застрахованы от ошибок, связанных с необоснованным использованием результатов, получаемых
в предположении нормального распределения для статистики времени директивного выполнения комплекса АСР.
Более точная оценка наиболее предпочтительного директивного времени выполнения АСР может быть получена при использовании не двух, а большего числа моментов распределения, найденных на основе выборки £ при этом число используемых моментов должно быть не больше объема выборки [5]. Этой задаче будет посвящена следующая статья.
Таким образом, использование стохастических гарантированных моделей вида (9) позволяет определять наиболее предпочтительное директивное время выполнения АСР на основе использования реальных статистических данных, при этом не используется информация о законах распределения продолжитель-ностей выполнения технологических операций.
Литература
1. Наставление по организации управления и оперативного (экстренного) реагирования при ликвидации чрезвычайных ситуаций» (утв. протоколом заседания Правительственной комиссии по предупреждению и ликвидации чрезвычайных ситуаций и обеспечению пожарной безопасности от 10.03.2020 № 1). [Электронный ресурс]. // Законы, кодексы и нормативно-правовые акты Российской Федерации. URL: https://legalacts.ru/ doc/nastavleme-po-orgamzatsN-upravlemja-i-operativnogo-ekstrennogo-reagirovanija-pri/ (дата обращения: 20.05.2021).
2. Руководство по ведению аварийно-спасательных работ при ликвидации последствий дорожно-транспортных происшествий с комплектом «типовых технологических карт разборки транспортных средств, деблокирования и извлечения пострадавших при ликвидации последствий ДТП» [Электронный ресурс] // Законы, кодексы и нормативно-правовые акты Российской Федерации. URL: https://legalacts.ru/doc/ rukovodstvo-po-vedeniiu-avariino-spasatelnykh-rabot-pri-
Сведения об авторах
Ломакин Михаил Иванович: д.т.н., д.э.н., проф., ФГБУ
ВНИИ ГОЧС (ФЦ), г. н. с. института.
121352, Москва, ул. Давыдковская, 7.
е-таН: lomakin@vniigoch.ru
SPIN-код: 4943-3724.
Докукин Александр Владимирович: д.э.н., ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), г н.с. науч.-исслед. центра. 121352, Москва, ул. Давыдковская, 7. е-таН: dokukin@vniigoch.ru SPIN-код: 6402-0280.
Мошков Владимир Борисович: к.э.н., доц., ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), и.о. начальника института. 121352, Москва, ул. Давыдковская, 7. е-таН: vniigochs@vniigochs.ru SPIN-код: 7792-2243.
Олтян Ирина Юрьевна: к.т.н., ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), учёный секретарь (в ранге заместителя начальника института).
121352, Москва, ул. Давыдковская, 7. е-таН: irenaoltyan@mail.ru SPIN-код: 3476-5213.
Nkvidatsii-posledstvii-dorozhno-transportnykh/ (дата обращения: 20.05.2021).
3. Бахтиярова О. Н. Сравнительный анализ результатов детерминированного и стохастического подходов к планированию аварийно-спасательных работ // Технологии гражданской безопасности. 2018. № 2. С. 70-74.
4. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебн. М.: Физматгиз, 1988. 406 с.
5. Mikhail Lomakin, Alexey Buryi, Alexander Dokukin, Anatoly Strekha, Julia Niyazova, Alexander Balvanovich Estimation of quality indicators based on sequential measurements analysis // International Journal for Quality Research. 2020. № 1. P. 147-162.
6. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи: Идеи и проблемы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова и их дальнейшее развитие. М.: Наука, 1973. 551 с.
7. Ломакин М. И. Гарантированные оценки вероятности безотказной работы в классе распределений с фиксированными моментами // Известия АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1990. № 1. С. 154-161.
Information about authors
Lomakin Mikhail I.: ScD (Technical Sc., Economic Sc.), Professor, All-Russian Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Chief Researcher of the Institute. 7, Davydkovskaya st., Moscow, 121352, Russia. e-mail: lomakin@vniigoch.ru SPIN-scientific: 4943-3724.
Dokukin Aleksandr V.: ScD (Economic Sc.), All-Russian
Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Chief
Researcher, Researcher Center.
7, Davydkovskaya st., Moscow, 121352, Russia.
e-mail: dokukin@vniigoch.ru
SPIN-scientific: 6402-0280.
Moshkov Vladimir B.: PhD (Economic Sc.), All-Russian Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Acting Head of the Institute.
7, Davydkovskaya st., Moscow, 121352, Russia. e-mail: vniigochs@vniigochs.ru SPIN-scientific: 7792-2243.
Oltyan Irina Yu.: PhD (Technical Sc.), All-Russian Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Scientific Secretary (in the rank of Deputy Head of the Institute). 7, Davydkovskaya st., Moscow, 121352, Russia. e-mail: irenaoltyan@mail.ru SPIN-scientific: 3476-5213.
