ГАММА-ФУНКЦИЯ КАК ОСНОВА ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ОБОРОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Zagidullin Radmir Salimyanovich, postgraduate, design engineer of the first category, Zagidullin_Radmir@mail.ru, Russia, Samara, Samara National Research University, Joint Stock Company Space Rocket Centre Progress,

Filippova Tatiana Sergeevna, postgraduate, t.s.philippova@,gmail.com, Russia, Samara, Samara National Research University

УДК 658.562.012.7:519.22

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-2-208-214

ГАММА-ФУНКЦИЯ КАК ОСНОВА ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ ОБОРОННОЙ

ПРОМЫШЛЕННОСТИ

В.П. Рязанский, С.В. Юдин

Вопросы повышения качества изделий имеют важное значение во всех отраслях промышленности, в том числе оборонной. Важное значение имеет определение функции распределения и точность ее вычислений. Большое количество известных функций распределения включает в себя гамма-функцию, расчет которой имеет ряд сложностей. Известные и новые свойства гамма-функции изложены в статье элементарными методами. Получено представление значений гамма-функции для рациональных положительных чисел. Для этих чисел доказана формула умножения. Логарифмическая выпуклость гамма-функции показана без применения дифференциального исчисления. Для положительных чисел некоторого вида получено приближение для квадрата гамма-функции в замкнутой форме. Получена формула, которая связывает два значения гамма-функции при произвольных различных положительных действительных аргументах. Получено представление гамма-функции в виде бесконечного произведения и обладающего существенно большей скоростью сходимости по сравнению с определением по Эйлеру. При этом определение по Эйлеру является частным случаем полученного представления.

Ключевые слова: менеджмент качества, специальные функции, теория вероятностей, точность вычислений

Задача идентификации закона распределения случайной величины и повышения точности вычислений вероятностей является одной из важнейших для процессов управления качеством изделий, особенно в оборонной промышленности. Учитывая повышенные требования к надежности функционирования изделий, состоящих из сотен и тысяч комплектующих, нетрудно сделать вывод о необходимости применения более точных методов вычисления.

Малые вероятности отказов обуславливают необходимость работы на так называемых «хвостах распределений», где функция плотности вероятностей имеет крайне малые значения и относительные ошибки в вычислениях могут достигать сотен и тысяч процентов.

Частично эти вопросы затрагивались в монографии В.Г. Григоровича и др. [1]. Необходимость серьезного подхода к задачам идентификации закона распределения и точности вычислений отмечали многие авторы, например, в работах [2, 3, 4, 5]

В статье [6] был проведен анализ применения статистических методов контроля и управления качеством ряда изделий оборонной промышленности и был сделан вывод о том, что наиболее точные и надежные результаты, в ряде случаев, дает трёхпараметрическая функция распределения с плотностью вероятности:

( 1 ^ ' x V

X 18

а

f ( x) =

exp

а

где k, в, а -параметры распределения.

а9Г( k) 603

Как в данном распределении, так и во многих других распределениях, таких как распределение Стьюдента, хи-квадрат распределении, гамма распределение, бета распределении используется гамма-функция. Точность расчетов зачастую определяется точностью вычисления гамма-функции.

Рассмотрим методику проведения вычисления гамма-функции на основе представления ее в виде бесконечного произведения.

Определим функцию Н1(и, п) следующим образом для чисел вида и* / п, где и принимает натуральные значения п = 2Г,г = 0,1,2,3...При этом и достаточно брать только нечетные. Иначе, например, и /п = 2 / 4 = 1 /2, и /п = 6 /8 = 3 /4

Н1( и, п) = ^ )П - 0пк + и)2

11 ' и п =1 (пк + и)2

Произведение

т-гш (пк + и)2 - и2

И к=1 (пк + и)2 - (п - и)2

сходится к , поэтому определим функцию Н2(и,п) таким образом: 2и

,2 о,., , ,,,\2 /-,„ ,.,\2

п » (пк + и) - (п - и)

Н 2(и,п) = -2 Г(—к=г

и2 У п х ±к=1 (пк + и)2 Покажем, что функцииН1(и,п), Н2(и,п) равны Г(и[п)2.

По свойству дисперсии случайной величины ИХ > 0. Дисперсия случайной величины, имеющей функцию распределения

к-1 ( . .1 >

X )9

-1 ехр

. а)

I (х) = ■

X ]9

а ]

а0Г( к)

равна ИХ = а2(Г(к)Г(к + 20)-Г(к + 0)Г(к + 0))/Г(к)2, как показано в [6]. При ©^выражение Г( к )Г( к + 20) - Г( к + 0)Г( к + 0) также равно нулю. В результате приходим к нестрогому неравенству:

Г( к )Г( к + 20) >Г( к + 0)Г( к + 0) (1)

Используя рекуррентное уравнение для гамма-функции кГ(к) = Г( к +1) получаем известное выражение:

Г( к +1/2) = Г(1/2)

С учетом выражения для Г(к +1/2) при 0 = 1/2 неравенство (1) перепишется следующим образом

(к -1)!к!(4кк!)2 ,2 ((2к)!)2 1' }

Рассмотрим последовательность ск, стоящую в левой части данного неравенства. Последовательность ск после упрощения может быть записана в таком виде:

16к (к !)4

с =--—-—

к к (( 2к )!)2

И следовательно

Ск > Г(1/2)2

Предел последовательностиск, как известно, равен ж. Тем не менее, вычислим его другим способом, чтобы достичь заявленных целей. Последовательность ск является убывающей, так как отношение ск+1 /ск меньше 1:

с^ = (2к +1)2 -1 < 1 Ск (2к +1)2

Сверх того, ск > Г(1/2)2. По теореме Вейерштрасса об ограниченной и убывающей последовательности [7] предел ск равен Г(1/2)2. Полученное отношение для ск+1 /ск позволяет записать рекуррентное выражение для ск+1:

(2к +1)2 -1 4 к 12 ск+, = ск--'-г- где ¿1=4,к = 1,2,...

к+1 к (2к +1)2 1

Тогда предел можно переписать в таком виде:

(2к +1)2 -1

По

к _ к=1

к^ к Ни (2к +1)2 Это бесконечное произведение известно как формула Джона Валлиса и равно к. Таким

образом,

Г(1/2)2 = к.

Формула известная, но получена элементарными средствами, без привлечения интегрального исчисления и формулы дополнения. Используя аналогичные рассуждения, при помощи метода математической индукции, получим, что

Г( ^п )2 = — Г(2^п)П к=, ( , + )2

w X (пк + w)

Аналогично, можно показать, что

Г(2-г)2 «2И(г> -к2'-' (2),

, Ч V г-2 ' + 1 -1 „ „ „

где ш(г ) = £ г=0-^—, г = 2,3,4...

Относительная погрешность вычисления квадрата гамма-функции по формуле (2) при г = 10 составляет 0,065%, при г = 15 - 0,0002%. Примечательно, что данное приближение квадрата гамма-функции получено в замкнутой форме. Рассмотрим частичные произведения к[( w, п, t) и Н2 (w, п, t)

. 2п , .^-г: (пк + w)2 - w2 • , ( t) ( п У Г(2 , )ГТ: (пк + w)2 - (п - w)2

h1(w, n, 0= — Г(2^п)П ^ГТГ+Нт- ' к2 (w, п, t) = I - I Г(2^п)П к=1-( к + )2--

w х Хк=1 (пк + w)2 ^ w) к=1 (пк + w)

Определим относительные погрешности г1( w, п, t) и г2 (w, п, t) при вычислении значений гамма-функции с помощью данных частичных произведений таким образом:

( .) -Г(^п)| 100% . ( ,) \у/\(w,Щt) -Г(^п)|100%

г1(w, n, 1: ) = -2- -100%. Г2n, t ) = —--100%

1 (1 (^п)

На рис. 1 изображены относительные погрешности, выраженные в процентах, г^,п,t) и г2(w,п,t) при t = 1000, п = 128. При изменении 1 < w < 128 аргумент гамма-функции будет на интервале (0,1).

Данное представление гамма-функции для рассматриваемых чисел позволяет усмотреть известную формулу умножения.

Выдвинем гипотезу дляп = 2г, г = 0,1,2,3... о том, что

Я1(1,и)Я1(3,п)...Н1(п -1,п) = 2п2-1 кп/2 Эта гипотеза доказывается на основании метода математической индукции. Так как, функция Н1(w,п) равна квадрату гамма-функции, приходим к известной формуле умножения для гамма-функции [8]:

Г(1 / п)Г(3 / п)...Г((п -1) / п) = 2п 4-1/2 кп/4 Докажем теперь логарифмическую выпуклость гамма-функции. Гамма-функция не имеет нулей, поэтому неравенство (1) может быть переписано в виде:

Г( к + 9) Г( к + 29) Г(к) < Г(к + 9)

Сверх того, гамма-функция положительна при положительном аргументе. Логарифмируя обе части неравенства, получим:

1п Г(к + 0) - 1п Г(к) < 1п Г(к + 0 + 0) - 1п Г(к + 0).

тг 1 7 -.а х + у к + к + 20,^ Пусть х = к, у = к + 20, тогда-=-= к + 0.

2 2

Рассмотрим функцию ф(х) = 1п Г(х). С учетом введенных обозначений неравенство перепишется в таком виде:

,х + Уч , ч / ч ,х + Уч ,х + Уч фх) + фу)

ф(—тЧ - ф( х) < ф( У) - ф(—-Ч О ф(—-в '

Рис. 1. Относительные погрешности гх(м>,п^) и /;(и ,/7,/)

По одному из определений выпуклости функции, это неравенство означает выпуклость функции ф( х), а значит и выпуклость логарифма гамма-функции. Существует еще одно равносильное определение выпуклости функции. Из второго определения выпуклости логарифма гамма-функции следует, что для любых действительных а, Ь, таких, что для определенности 0 < а < Ь верно следующее неравенство:

1п Г(к + а) < —а 1п Г(к) + а 1п Г(к + Ь).

Ь Ь

Из монотонности логарифма неравенство перепишется следующим образом

[Г(к + а)]Ь <[Г(к)]Ь-а [Г(к + Ь)]а. Используя основное свойство, гамма-функции, можем записать:

Г(к + а) = а(1 + а)...(к + а - 1)Г(а); Г(к + Ь) = Ь(1 + Ь)...(к + Ь - 1)Г(Ь). С учетом этих соотношений неравенство (3) перепишется в виде:

[[к - 1)Г Пк=.(Ь+' -1)а >!Е!а)]].

П к=,(а +' -1)* [Г(Ь)]а

Обозначим левую часть неравенства через dk тогда отношение будет равно

кЬ-а (к + Ь)а

dk+1 : dk ='

(3)

(к + а)Ь

Покажем, что это отношение меньше единицы. Согласно обобщенному неравенству

Бернулли

(1 + а / к)Ь/а > 1 + -- = 1 + -; (1 + а / к)Ь > (1 + Ь / к)а. ак к

Тогда

кь-а (к + Ь)а =(1 + Ь / к )а

< 1

(к + а)ь (1 + а / к )Ь Здесь использован факт, что ранее приняли, что 0 < а < Ь. Последовательность убывает и ограничена снизу, а следовательно, имеет предел по теореме Вейерштрасса. Учиты-

Ьа

вая, что d = — приходим к следующей формуле:

1 аь

[Г( а )Г=Ьа [Г(Ь)Г п I1 ^

С учетом основного свойства гамма-функции эта формула может быть переписана таким образом:

[(а + »]Ь = [ + »Г' П1 1 ^ (4)

Эта формула связывает значения гамма-функции при различных положительных действительных аргументах а, Ь . Если положить Ь равным 1, и учитывая, что Г(2) = 1, то формула (4) примет вид:

Г( а)=а П

(1 +1 / к )а

(5)

+ а / к

Обозначим Ь через и, и пусть и принимает в качестве значений натуральные числа. Теперь выразим явно Г(а) из (4) и обозначим через Г( а +1, и)

а

Г(а +1, и ) = (и!) ^ П 1=1(6) к=1 1 + а / к

Данное представление гамма-функции позволяет раскладывать её относительно произвольного натурального числа и и выделяет «главный» компонент представления. Роль «глава

ного» компонента играет множитель (и!)и, бесконечное произведение - это «поправочный» коэффициент. При данном представлении, приняв а = и, равенство Г(и + 1, и) = и\ получается непосредственно из формулы (6), так как бесконечное произведение равно 1. Чего нельзя сказать про классическое определение гамма-функции по Эйлеру.

Рассмотрим влияние числа и на скорость сходимости приближения Г(а,и) частичными произведениями. Обозначим частичные произведения через hg(а,и,п) :

а а

, , ч (и!)и т~гп (1 + и / к)и ^ (с,и, п)=—п „-¡+07Т

На рис. 2 изображены частичные произведения hg(а,и,п) для а = 4,5 при различных значениях и = 2, и = 3, и = 4, и = 5 . Как следовало ожидать из рис.4 видно, что большей скоростью сходимости обладают два ближайших к аргументу а = 4,5 частичные произведения при и = 4, и = 5 .

Очевидно, для лучшей сходимости произведения правой части (6) необходимо использовать число и , являющееся ближайшим к аргументу а . Теперь рассмотрим вопрос, какое значение числа и лучше использовать для вычисления гамма-функции при изменении аргумента от 4 до 5. Поступим следующим образом. На интервале от 4 до 4,5 используем и = 4, на интервале от 4,5 до 5 использовать и = 5. Для этого положим и = [а + 0,5], где [с] -целая часть числа с. Обозначим частичные произведения, полученные из классического определения гамма-функции (5), через ке^а, п)

(1 +1 / к )а

ма п)=- П П=1 Я

а 1

+ а / к 607

Рассмотрим относительные погрешности при вычислении значений гамма-функции с помощью частичных произведений he(а,п) иhg(а,u,п):

п) = 1М ап) -Г( а)| 100%, г^а, п) = 1 Ъ(а,п,п) -Г(а)| Ю0% V ' Г(а) Г( а)

На рис. 3 изображены относительные погрешности, выраженные в процентах, ге(а, п) и ^(а,п) при u = [а +1 / 2] и п = 1000.

о 1о го зо к) 50

Г)

Рис. 2. Частичные произведения hg(4,5,п,п) при значениях u = 2, u = 3, u = 4, u = 5

Рис. 3. Относительные погрешности ге(а,п) (красная линия) и ^(а,п) (синяя линяя).

Классическое определение гамма-функции соответствует представлению (6) при п = 1 . При изменении аргумента на единицу относительная погрешность около 1% при числе сомножителей п = 1000 .При изменении аргумента от 1 до 40 получаем относительную погрешность примерно в 40 раз большую, то есть более 40% при том же числе сомножителей.

Используя те же соображения, рассмотрим еще одно представление гамма-функции. Для этого в формуле (4) положим Ь равным п +1 / 2 = [а +1 / 2] +1 / 2. Имеем:

Г(п +1/2) = <М Г(1/2) = .

' 4пп!. 4пп!

Тогда:

Г( а +1, п +1/2) =

(п +1 / 2)(2п)! Г

-V ж

4пп!

а

п+1/2

П.,-

1

п +1 / 2 1 п+и2

1 + а / к

(7)

а

Обозначим частичные произведения через Ш( а, и, п):

' и +1 / 2 ^ иТ!72

I1 +

п п

Ш(а,и,п) =

(и +1 / 2)(2и)! /--\1п

4ии!

I 1

и+1/2

и=1 1 + а / к

Относительные погрешности при вычислении значений гамма-функции с помощью частичных произведений И(а,и,п) равны:

г(а,п) = 1 Ш(а,и,п) -Г(а)| 100%. Г(а)

Величина и характер погрешностей г (а, п) аналогичен погрешностям гд{а, и, п).

Представление (6) и (7) имеют примерно равные погрешности, с точками максимума сдвинутыми на 0,5 по аргументу относительно друг друга. Примечательно, что во всех точках, где а принимает натуральные значения и значения типа и +1 / 2, получаем сразу точные значения по построению представлений (6) и (7).

Теперь положим Ь = [а] + т/п , где п = 2г,г = 1,2,... .Возьмем т такое, что [а] + т/п < а < [а] + т/п +1 / п . Тогда т может быть вычислено, например, как[(а - [а])п].

Использую, основное свойство гамма-функции, вычислим Г(Ь +1):

Г(Ь +1) = Г([а] + т/п +1) = Г(т/п)П!=0О' + т / п).

С учетом этого и применяя соотношением (3), получаем следующее представление гамма-функции:

Г(а) =1

(1 + ([а] + т / п)/ — )

а]+т/п

Г(т/«)п;:«+т / я)]«™"- п,+а/—— (8)

а

Формула для вычисления Г(т/п) для чисел вида т / п , где п = 2г,г = 1,2,..., получена выше:

Г( тп)2 = т Г( топ:. ■

Обозначим частичные произведения через Шм(а, п, N, К):

Ма,п,N,К) = 1 тп к)П[а]п + т / „)!й+^гГ (1 + ([а] + т/п)/ — )[а]+т/п а

Ы(т/п,к)П^ + т / п)][а*т/п Пм 1 + а —

где т/п, К) - частичное произведение

ытп, к )2 =Г(2^п)п К= (пк+т

т к= (пк + т)

Рассмотрим относительные погрешности при вычислении значений гамма-функции с помощью частичного произведения Шм(а,п,N,К) :

а = \М а, „,100,5000)-Г( „Ц . Г(а)

На рис. 4 представлены относительные погрешности гк(а,п) для а из интервала (10, 11) и п = 32 (вверху) и п = 64 (внизу).

При увеличении п в два раза с 32 до 64 относительная погрешность снижается примерно в два раза. Примечательно, что это увеличение п не требует дополнительных вычислительных затрат, так как не приводит к увеличению числа сомножителей в частичном произведении. Кроме того, частичное произведение Ш(т/п, К) не зависит от аргумента а и может

быть вычислено заранее с требуемой точностью.

На рис. 5 представлены относительные погрешности гв(а) вычисления значений гамма-функции в точках с натуральными значениями с помощью частичных сумм Ив(а,п) при том же п = 1000.

а

а

10,2 10.4 10.6 10.6 11.0

в

Рис. 4. Относительные погрешности гЬ(а,32) и гЬ(а,64).

Рис. 5. Относительные погрешности ге(а) при натуральных значениях аргумента.

Предел частичного произведения he(a,п) равен гамма-функции по определению. Но

при вычислении частичного произведения для п = 1000 имеем относительные погрешности, показанные на рис.10. Причины этого были рассмотрены выше и с ростом п погрешности

уменьшаются. Тем не менее, впечатляет отношение погрешностей re(a)/rg(a,n). Так при изменении аргумента гамма-функции от 1,5 до 39,5, отношение погрешностей изменяется от 1 до 54. И с увеличением аргумента это отношение только возрастает.

Выводы. Получено представление значений гамма-функции для рациональных положительных чисел со знаменателем равным степеням двойки. Вычислено значение гамма-функции в точки одна вторая без применения интегрального исчисления и формулы дополнения. Получена формула умножения для гамма-функции для рассматриваемых чисел. Показана

логарифмическая выпуклость гамма-функции. Для чисел вида 2 r получено приближение для квадрата гамма-функции в замкнутой форме. Получена формула, которая связывает два значения гамма-функции при произвольных различных положительных действительных аргументах. Из этой формулы получено представление гамма-функции в виде бесконечного произведения и обладающего существенно большей скоростью сходимости по сравнению с определением по Эйлеру. При этом определение по Эйлеру является частным случаем полученного представления.

Полученные результаты могут быть применены для повышения точности и надежности оценки параметров качества изделий оборонной промышленности, что позволит снизить количество несоответствий в производстве и интенсивность отказов при эксплуатации.

Список литературы

1. Григорович В.Г., Юдин С.В., Козлова Н.О., Шильдин В.В. Информационные методы в управлении качеством // Библиотека журнала "Стандарты и качество". Серия книг и брошюр "Дом качества"; под общ. ред. Григоровича В.Г. М.: Стандарты и качество, 2001. 206 с.

2. Якунина О.А. Порядок внедрения статистических методов на предприятиях оборонно-промышленного комплекса // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2021. Вып. 4. С. 235-240.

3. Плахотникова Е.В., Протасьев В.Б., Ямников А.С. Организация и методология научных исследований в машиностроении: учебник. Организация и методология научных исследований в машиностроении, 2024-08-12. М., Вологда: Инфра-Инженерия, 2019. 316 с.

4. Соловьев С.И., Белов Д.Б., Батова Н.Н. Математическое моделирование погрешностей (неопределенностей) как средство обеспечения достоверности поверки и калибровки средств измерений // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2021. Вып. 10. С. 479-483 - DOI: 10.24412/2071-6168-2021-10-479-484.

5. Басовский Л.Е., Протасьев В.Б. Управление качеством: учебник. 3-е изд., перераб. и доп. М.: ИНФРА-М, 2022. 231 с. DOI 10.12737/18003.

6. Афанасьев В.Б., Медведев В.М., Остапенко С.Н., Рязанский В.П. Совершенствование статистических методов исследования в системе управления качеством и надёжностью продукции предприятия. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2021. Вып. 6. С. 294-302.

7. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1. М.: Физматлит, 2005.

400 с.

8. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. 344 с.

Рязанский Валерий Павлович, ведущий инженер-математик отдела надёжности, kot-aldo@yandex.ru, Россия, Москва, АО «ГосНИИП»,

Юдин Сергей Владимирович, д-р техн. наук, профессор, svjudin@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский филиал «Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова»

GAMMA FUNCTION AS THE BASIS OF THREE-PARAMETER DISTRIBUTION OF PARAMETERS OF ACCURACY AND RELIABILITY OF DEFENSE INDUSTRY PRODUCTS

V.P. Ryazanskiy, S.V. Iudin

The issues of improving the quality of products are important in all industries, including defense. It is important to determine the distribution function and the accuracy of its calculations. A large number of known distribution functions include a gamma function, the calculation of which has

a number of difficulties. Known and new properties of the gamma function are described in the article by elementary methods. A representation of the values of the gamma function for rational positive numbers is obtained. The multiplication formula is proved for these numbers. The logarithmic convexity of the gamma function is shown without the use of differential calculus. A formula is obtained that connects two values of the gamma function with arbitrary different positive real arguments. A representation of the gamma function is obtained in the form of an infinite product and having a significantly higher convergence rate compared to the Euler definition. In this case, the definition by Euler is a special case of the resulting representation.

Key words: quality management, special functions, probability theory, calculation accuracy.

Ryazansky Valery Pavlovich, leading engineer-mathematician of the reliability department, kot-aldo@yandex.ru, Russia, Moscow, JSC «GosNIIP»,

Iudin Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, svjudin@rambler. ru, Russia, Tula, Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch

УДК 621.86

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-2-612-617

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА РАСЧЕТА ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ ЛИФТОВ НА ОСНОВЕ КВАЛИМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕГО ТОЧНОСТИ

В.Ю. Анцев, П.В. Витчук, Е.В. Славкина, НА. Витчук, Н.Д. Рейхерт

Показана целесообразность использования величины потребляемой лифтом электрической энергии как одного из критериев для обоснования технико-экономической эффективности лифта при его проектном расчете. Приведен обзор известных методов расчета электрической энергии, потребляемой лифтом. На основе методов квалиметрии произведено обоснование выбора метода расчета электрической энергии, потребляемой лифтом, предпочтительного для проектного расчета лифта. Проведена оценка точности выбранного метода расчета электрической энергии, потребляемой лифтом.

Ключевые слова: квалиметрия, лифт, расчет, электрическая энергия, энергетическая эффективность.

По данным [1] за последние 20 лет рост тарифов на электрическую энергию составил примерно 800 % (рис. 1). Учитывая, что назначенный срок службы лифта составляет 25 лет, то одним из критериев, используемых при проектировании лифта для оценки его технико-экономической эффективности, несомненно должна являться величина потребляемой электрической энергии.