Гамильтониан с точечными потенциалами и бесконечным числом собственных значений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

ГАМИЛЬТОНИАН С ТОЧЕЧНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ И БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СОБСТВЕННЫХ

ЗНАЧЕНИЙ

А. А. Бойцев, И. Ю. Попов, О. В. Соколов

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, Россия

[email protected]

PACS 02.30.Tb, 42.25.Fx

Построена бесконечная цепочка потенциалов нулевого радиуса, дающая гамильтониан с бесконечным числом собственных значений ниже границы непрерывного спектра. Модель основана на теории самосопряженных расширений симметрических операторов.

Ключевые слова: теория расширения операторов, сингулярные возмущения, точечный спектр. 1. Введение

Вопрос о существовании бесконечного количества различных собственных значений оператора Шредингера возникает в ряде физических задач. В частности, в трехча-стичной задаче это явление известно как эффект Ефимова [1], [2], [3], [4], который можно рассматривать как некоторую патологию трехчастичной системы. Другой пример был продемонстрирован Чапликом и Магариллом [5], которые обнаружили интересный факт, что гамильтониан Рашбы, возмиущенный короткодействующими отрицательными потенциалами с вращательной симметрией, имеет бесконечное число собственных значений ниже границы непрерывного спектра. Более общий класс спин-орбитальных гамильтонианов с подобным свойством, включающий в себя и предыдущий, был построен и строго математически исследован в [6]. Авторы использовали минимаксимальный признак в духе работы [7]. В настоящей статье мы строим другой пример оператора Шредингера, имеющий бесконечно много различных собственных значений ниже границы непрерывного спектра. А именно, мы строим специальным образом выбранную бесконечную цепочку потенциалов нулевого радиуса, дающую нам оператор Шредингера с требуемым свойством. Благодаря явной решаемости модели точечных потенциалов спектральное уравнение для оператора выписывается явно, что существенно упрощает спектральный анализ. Точечное взаимодействие вводится обычным образом [8], [9] на базе теории самосопряженных расширений симметрических операторов (этот подход восходит к классической работе Березина и Фаддеева [10]. Данный метод широко используется для описания различных квантовых и классических систем (см., например, [11], [12], [13]).

Опишем кратко конструкцию модели. Схема введения потенциала нулевого радиуса (в М3) такова. Исходным является самосопряженный оператор Лапласа в ). Сначала

данный оператор сужается на множество гладких функций, обращающихся в нуль в точке х0. Полученный оператор является лишь симметрическим, но не самосопряженным. Его индексы дефекта (1,1). Он имеет самосопряженные расширения, которые являются сужениями сопряженного оператора к данному симметричному. Для построения самосопряженного расширения удобно не расширять непосредственно исходный оператор, а сужать

сопряженный. Элементы из области определения сопряженного оператора имеют вид

1

ф(х) = ф0(х) + Ь + а-

4п \х — х0\

Здесь ф0 — элемент из области определения исходного симметрического оператора (ф0(х0) = 0). Построение искомого самосопряженного расширения сводится к сужению данной области определения на множество функций, у которых коэффициенты а и Ь линейно связаны (пропорциональны).

Опишем теперь более подробно модель цепочки из п потенциалов нулевого радиуса в К3 в точках хт. Сначала сужаем оператор Лапласа на множество гладких функций, за-нуляющихся в точках хт. Получаем симметрический оператор с индексами дефекта (п, п). Элемент из области определения сопряженного оператора имеет вид ( [14]):

п л е-1к0\х-хт\

■ф(х) = -0о(х) + 2_,ат -Г-Т, (1)

т=1

4п \х — хт\

Ь1 а1 0 0 . .0 (аЛ

Ь2 0 а2 0 . . 0 (12

Ь3 = 0 0 аз . . 0 аз

где ф0 принадлежит области определения расширения по Фридрихсу исходного симметрического оператора, ат — некоторые константы, к0 = л/\0, А0 — регулярное значение спектрального параметра (мы выбираем вещественное отрицательное значение А0, Ок0 > 0). Пусть ф0(хт) = Ьт,т = 1, 2...п. Для нашей цели не требуется описывать все возможные самосопряженные расширения. Мы выберем только одно, определяемое следующим соотношением между п— векторами:

(2)

\Ьп/ V 0 0 0 ... а.п) Кап)

Здесь матрица, параметризующая расширение, выбрана в диагональной форме, аз,] = 1,...п, — некоторые вещественные параметры, физический смысл которых —интенсивности соответствующих потенциалов.

Основной результат данной статьи приведен в следующей теореме.

Теорема. Оператор Лапласа в Ь2(К3), возмущенный цепочкой потенциалов нулевого радиуса в точках (0, 0,0), ...(хт, 0,0),...,

х1 = (0,0, 0) хт = хт-1 + (тт • 22т2, 0, 0),т = 2, 3,..., с интенсивностями, соответственно, ат,

= + _ к ат = 2т 4п 4п,

имеет бесконечное число собственных значений ниже границы непрерывного спектра. 2. Доказательство теоремы

Наша цель — построить бесконечную цепочку, приводящую к наличию бесконечного набора собственных значений. Для этого мы рассмотрим предельный переход (п ^ то) и осуществим специальный выбор положений потенциалов хт и их интенсивностей ат. Будем строить цепочку, последовательно добавляя новые центры и следя за положениями «старых» и появляющихся «новых» собственных значений (добавление нового потенциала приводит к появлению нового собственного значения и сдвигу старых). Положения и интенсивности добавляемых потенциалов выбираем так, чтобы избежать «склеивания»

собственных значений. Требуемый гамильтониан с бесконечной цепочкой потенциалов получается как сильный резольвентный предел построенной последовательности операторов. Доказательство теоремы естественным образом распадается на несколько частей.

Часть 1

Выберем следующие положения центров:

Х1 = (0,0, 0) хт = хт_1 + (тт • 22т?, 0, 0),т = 2, 3,...,

В соответствии с описанием области определения оператора, данной выше, ищем собственную функцию, отвечающую собственному значению Л в виде:

Е'

т=1

е_гк\х_хт\

4п \х - Хт\

(3)

к = у/Л. Определим параметры ат, Ьт из определения (1). Благодаря тому, что сингулярно-

е_гк\х_хт\ е_^ко\х_хт\

сти у--.-г и --.-г

4п \х — хт\ 4п \х — хт\

одинаковы, находим ат = ат. Для получения коэффициента

е_гко\х_хт\

Ьт следует вычесть сингулярный член —:-г. Выражение для Ьт получается таким:

4п \х — хт\

Ь1 Ь2

¿(к — к0 ) + 1 е_^\х1_х2\ е_Щх1_хз \ а1-:--+ а2-—;-г + аз-—;-г +

а1

а1

Ь

а1

4п

е_гк\х1- ■х2 \

4п \х1 — х2 \

е_гк\х1_ -хз\

4п \х1 — хз\

е_гк\х1 _ -хп\

' 4п \х1 — х2

¿(к — ко) + 1

+ аз

4п \х1 — х3\

е_гк\х2_хя \

4п \х2 — хз\

+

4п

_Щх2 _хз\ ¿(к — к0) + 1

+ аз-;--+

' 4п \х2 — хз\

е_гк\х2_х„\

4п

е_гк\х3_х„\

+ аз-—I-Г +

+ ап + ап + ап

е_гк\х1_хп\

4п \х1 — хп\

е_гк\х2_х„\

4п \х2 — хп\

е_гк\х3_х„\

4п \х1 — хп\ 4п \х2 — хп\ 4п \хз — хп\ Введем обозначения

¿к _

г = — г е М, г > 0

4п

+ ап

4п \хз — хп\

¿(к — ко) + 1

4п

Ае

г,]

е_4пЬ\х_хэ \

4п \хг — х]\

учитывая (5), (6) приводим систему (4) к форме

(г + зП Ае1,2 Ае1,з

Ь1 Ь2 Ьз

4п

Ае1,2 Ае1,з

е1,2

г + 4П Ае2,з

г + 4П

\Ьп/ \Ае1

Ае2,з

Ае2,п Аез,п

Ае1,п Ае2,п

Аез,п

г +. Ъ)

а1 а2 аз

ап

(4)

(5)

(6)

В соответствии с выбором расширения (2) имеем

т

е

Ь

з

/ЬЛ а1 0 0 . .0 а1

Ь2 0 а2 0 . . 0 а2

Ьз = 0 0 аз . . 0 аз

(8)

\Ьп/ \ 0 о 0 ... ап) \ап/ Выберем параметры расширений (интенсивности потенциалов а?) специальным образом

1

1

гкп

а 2? + 4п 4п

Вычитая (8) из (7), получаем

(г - в1 Де1,2 Де1 з . . Де1 , п\ а1

Де1,2 г - в2 Де2 з . . Де2,п а2

Де1,з Де2 з г - вз . . Дез,п аз = 0

\ Де1 ,п Де2 п Дез п . . г- вп) ап

(9)

где = 2?.

Эта система уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда

г - в Ле1,2 Де1,з Дб1)2 г - в2 Де2,з

Дб1)3 Дв2,з г - вз

Де1,га Де2,п Дез , п

г- вп

0

Де 1,п Де2 ,п Дез ,п Это уравнение (10) имеет не более, чем п корней.

Часть 2

Далее будем предполагать, что г € (0; 1). Введем обозначение

(10)

г - в1 Де1,2 Де1,2 t - в2

Де1,з

Де2,з

Де1,п Де2,п Дез,п

/п(1) = Де1,з Де2,з г - вз

Де Де2 Дез ,п • • • г - вп Раскладывая определитель по последнему столбцу, получаем

(11)

/п(г) = /п-1(г) • (г - вп) + <п(г)

(12)

где

= (-1)

п+1

Ав

1,п

Ав1,2 Ь - в2 Ав2,3 • • • Ав2,п-1 Ав 1,3 Ав2,3 Ь — /Зз • • • Ав3,п-1

Ав 1,п Ав2 ,п Ав3 ,п Ав п— 1,

Ь — в Ав1,2 Ав1,3 • • • Ав1,п-1

Ав

2,п

Ав1,3 Ав2,3 Ь — в3 Ав 1,п Ав2 ,п Ав3 ,п

Ав3,п-1 Авп 1,п

+

Ь — в1 Ав1,2 Ав1,3. • Ав1,п-1

Ав1,2 Ь — в2 Ав2,3. • Ав2,п-1

+ ••• ± Авп-1,п Ав1,3 Ав2,3 Ь — в3 • • Ав3,п-1

Ав1,п Ав2,п Ав3,п. Авп-1,п

(13)

Из (6) следует, что если \хг — х^\ ^ \Хк — х\ то Ав^ ^ Авк,г. Следовательно,

АвКп ^ Авп-1,п, к =1,—и — 1

Ав^ ^ Ав1,2 ^ 1

(14)

(15)

для всех г,], г = ]

Напомним, что мы рассматриваем 0 < Ь < 1. Более того, известно, что вк > 0 , тогда

Ь — вк ^ 1 к = 1..и — 1 (16)

В соответствии с неравенством Адамара абсолютная величина определителя оценивается сверху произведением длин соответствующих векторов:

\еп(Ь) \ ^ Авп-1,п Еп=7 Пп=-1 /12 + 12 + ••• + 12

п1

Авп-1,п(и — 1)(и — 1)"2 ^ Авп-1, Учитывая (14), (15) и (16), получаем

1

и

в-гк\х„-хп-!\ Авп,п— 1 ~ " <

1

4п \Хп Хп— 1 \ \Хп Хп— 1 \ ип ' 22п

Значит, приходим к следующей оценке

1

М*)\ <

Пусть

¿(и)

22г-

1

22г-

(17)

(18)

(19)

(20)

Замечание. Если /п(Ь) имеет и корней в случае, когда еп(Ь) = ¿(и), то он имеет и корней, когда \еп(Ь)\ < ¿(и).

Часть 3

Рассмотрим случай, когда еп(Ь) = ¿(и). Можно видеть, что

1

Л(Ь) = Ь —

2'

2 •

2

№ = 7п-1(г) • (г - ^ + ¿(п),

Следовательно,

Кг) = {...{{{г -2 ){г - {) + ВД) (г - ) + ¿(3)) (г- 20 +...) (г- 20 + ¿(п). Простые преобразования дают

п ( 1 \ п-1 п ( 1 \ /п(*) = П г - ^ + ^ ¿(г) • П V - ^ + ¿(п). (21)

к=1 ^ ' г=2 к=г+1 ^ '

Введем обозначение

п ( /. (г) = 1Т I г -

2к

т = П (г - 2к), (22)

к=1

п- 1 п

Яп(г) = х;¿(г) • Д (г - 2к) + ¿(п), (23)

г=2 к=г+1 ^ '

соответственно,

/п(г) = /п(г) + ^п (г). (24)

Функция /п(г) имеет п корней на (0; 1). Покажем, что /п(г) также имеет п корней на этом интервале.

( 1 1 .

Чтобы сделать это, докажем, что для любого интервала вида ( —, 2^—1 ) существует

г € ( ^ 1такое, что /п(г) • /п(г) >0. Здесь т =2,3, ...п.

11 2т 2п

Часть 3.1

Рассмотрим интервалы, на которых /п(г) > 0. Онитаковы ^ 22п+1; 22т((, т = 1,... [п/2] —

1. Покажем, что /п(г) > 0 на этих интервалах. Фиксируем т, тогда имеем г € ^^п+г ' Для всех к > 2т имеем

г - -1) > 0.

2к

Следовательно, для для последнего члена в (23) имеем

п- 1 п 1

5>(г) • П (г - 2к) + ¿(п) > 0 (25)

%=2т к=г+1 ^ '

Теперь рассмотрим начало суммы (23) (то есть слагаемые с номерами от г = 2 до г = 2т - 1). Объединим их в пары.

^к (г) = ¿(2к)(г - ^ ...(г - ¿) (г - ...(г - 2п) +

+ ¿(2к +1){г - хЦ ..\г - ¿) - ..\г - (26)

Поменяем знаки отрицательных множителей

(Ь) = ¿(2к)(221Г1— 22т — Ь) (Ь — •••(Ь — 2

— ¿(2к + — Ь)-( 2т —Ь) (Ь — •••(Ь — 2п) (27)

Теперь поделим оба слагаемых на их общую (положительную) часть и обозначим результат как в'к (Ь). Он имеет тот же знак, что и вк (Ь).

вк (Ь) = ¿(2к) — ^ — ¿(2к + 1) (28)

11

[у к +1 ^ т и -2

Благодаря неравенству

Имеем к < т, поэтому к +1 ^ т и —— ^ значит, Ь < —— в этом интервале.

у2( к+1)

1

Ь <

22(к+1)

имеем

и, соответственно,

1 1 1

— 2к+1 — 2(к+1)

(29)

22к+1 22к+1 22(к+1)

вк(Ь) > « ^ — ¿(2к + 1) = 2^2кГ2 — 28к2+5к+2 > (30)

для всех к ^ 1. Это дает вк(Ь) > 0 и, следовательно, Оп(Ь) > 0. Таким образом, приходим к неравенству /п(Ь) > 0.

Часть 3.2

Рассмотрим интервалы, где /п(Ь) < 0. Они таковы г), т = 1-\_и/2\

11 \ 11

Фиксируем m, тогда имеем Ь е ( . Пусть Ьо = ^^+^2^ - середины интерва-

лов. Покажем, что /п(Ьо) < 0 тем же путем, что и в предыдущей части (с естественными модификациями). Действительно,

2т-1 п / 1 ч

7п(Ьо) = /п(Ьо) ¿(г) • П (Ьо — 21) +

г=2 к=г+1 ^ '

п-1 п / 1\

]>] ¿(г) • П (Ьо — 2к) + ¿(и) (31)

%=2т к=г+1 ^ '

Объединим члены первой суммы в пары. Рассмотрим произвольную пару вк(Ь0). вк (Ьо) = ¿(2к) (Ьо— ••• (Ьо— 2тг) (Ьо— ¿) ••• (Ьо— 2п) +

+ ¿(2к + Ьо— ••• (Ьо— ^ (Ьо— 22т) ••• (Ьо— 2п) (32)

Поменяем знаки отрицательных множителей:

вк (г0) = -^(2к) - *„) ... (^ - *>) (г0 - ¿) ...(^0 - +

+ ¿(2к + ^ - *>) ^ - *>) (го - ¿) ..^го - (33)

Теперь поделим оба слагаемых на их общие (положительные) части, обозначим результат как (г0). Он имеет тот же знак, что и вк(г0).

4(¿0) = -¿(2^^ - ^ + ¿(2к + 1) (34)

1

Оценим 22к+1 - ^ для к < т.

a) к < т - 1.

1 1 1 В этом случае 2т - 1 ^ 2к + 2 и ^ , то есть ^ < 22к+г Таким образом,

1 1 22к+1 - > 22к+2

b) к = т - 1.

В этом случае, очевидно,

1 11111 - *0 =

22к+1 0 22т-1 22т 22т+1 22т+1 22к+з' Комбинируя а) и Ь), получаем

11

- *0 > 7^. (35)

22к+1 10 ^ 22к+з' Следовательно,

1 1 1 - 26к + 22

з'к (г0) ^ -^(2к)22к+з + ¿(2к + 1) = - 28к2+2к+з + 28к2+8к+1 = 28к2+8к+з ^ 0.

Значит,

вк (и) ^ 0 (36)

Заметим, что

п- 1 п 1 (-0

г=2т к=г+1

Рассмотрим сумму и покажем, что ее слагаемые убывают быстрее геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/2. Действительно,

^¡К(- Й ¿(г) / 1

г0 -

п- 1 п 1 Д(*0) ^ /п(*0) + ^ ¿(г) • Д (*, - 2к) + ¿(п) (37)

г = 2т к=г + 1 ^ /

ч п ( 14 ¿(г + 1) V 0 2г+1

¿(г + 1) • П К - ^

к

к=г+2 2

1 1 1 ^ 7^72 : „ОС,- I 1\2 • г0 -

22г2 ' 22(г+1)2 \ 0 22т+1 = 24г+2 • = 24г-2т+2 > 2 так как г ^ 2т. (38)

22т

Значит,

fn(to) <fn(to) + 2d(2m) Д ita - 1

k=2m+l ^

Обозначим правую часть как rm(ta):

,(ta) ^ П (ta -

k=l

1 2k

2d(2m) Д (ta -

k=2m+l

2k

(39)

(40)

Поделим оба слагаемых на их общую положительную часть и обозначим результат как г'т(¿о)- Он имеет тот же знак, что и гт(¿о).

r'm (ta)

ta -

ta -

1

22m-1

ta -

22m

Поменяем знаки отрицательных множителей

r'm(ta) = - (2 -ta) 2ml-ta) (ta - 2im)

2d(2m)

2d(2m).

(41)

Соответственно,

- rm (ta) >

1 1 1

1

1

1

22 23 24 22m-1 22m+l 22m+l 11

>

2 22+3+4+...+m+(m+l)

1

- 2d(2m) 1

>

22m2 +3m+2 28m2-l

- 2d(2m) >

_ 1

" 2(2m+2)(2m+l)/2+l 2&m2 _ 23m+3

> 0

28m

>

28m2+3m+2

так как 6m - 3m - 3 ^ 0,

для всех

m ^ 1 (42)

Значит, r'm(t) < 0 и rm(ta) < 0. Таким образом, fn(ta) < 0.

Часть 4

Мы уже доказали, что всякий интервал вида

11

2m 2m-1

содержит точки, в которых

• ¡п(к) > 0, где т =2, 3, ...п. Используем простую хорошо известную лемму Лемма 1. Пусть f е С([а,Ь]) и f (а) • f (Ь) < 0, тогда существует точка с Е (а,Ь) такая, что f (с) = 0.

Рассмотрим два случая: п нечетно и п четно. а) Случай четного п.

Пусть {¿к}'П=2 — последовательность точек из интервалов ( —,

, , (каждый ин-

2т 2т-1

тервал содержит только одну точку последовательности) таких, что ^(¿к) • ^(¿к) > 0. Тогда, согласно лемме 1, имеет по крайней мере один корень в каждом интервале (¿к,Ьк-1).

Поэтому имеется по крайней мере (п — 2) корней в интервале ( —, - ) (действительно,

имеем (n - 2) интервала (tn,tn-l), (tn-l,tn-2),... (t3,t2)).

2n 2

Более того, можно заметить, что lim fn(t) = lim fn(t) = Учитывая, что ф

— OD

t—> — OD

есть наименьший корень fn(t), ясно, что fn(tn) < 0. Поэтому, согласно лемме 1, имеем еще один корень rl, rl < tn. Аналогично, lim fn(t) = lim fn(t) = Как и в предыдущем

1

r

1

1

2

2

2

случае имеем /п(г2) < 0, и, следовательно, есть еще один корень г2, г2 > г2. Итак, мы доказали, что /п имеет по крайней мере п различных корней. Так как deg(/n(í)) = п, корней ровно п.

Ь) Случай нечетного п.

По тем же причинам, что и ( предыдущем случае, имеем по крайней мере (п - 2)

1 1. 1

корня, принадлежащих интервалу —,— и один корень r2, r2 > t2. Так как — есть

2n 2) 2n

минимальный корень fn(t) и lim fn(t) = lim fn(t) = — то, ясно, что fn(tn) > 0. Поэтому

t—^—^о t—^—^о

по лемме 1 есть корень ri, ri < tn. Таким образом, есть точно n различных корней.

Объединяя оба случая, получаем, что fn(t) имеет n различных корней, то есть соответствующий гамильтониан имеет n различных собственных значения.

Часть 5

Как результат, приходим к выводу, что построенный гамильтониан (с n потенциалами нулевого радиуса) имеет n различных собственных значения ниже границы непрерывного спектра для любого фиксированного n, и предельный переход (n ^ то) не приводит к «склеиванию» собственных значений (благодаря тому, что они находятся в непересекающихся интервалах). Требуемый гамильтониан получается как сильный резольвентный предел этой последовательности операторов. А именно, пусть

X = {х^ е R3,j е N},Xn = {xj е R3,j е N,j ^ n},

а : X ^ R.

Пусть —AX,a, —Ах„,а, — операторы Лапласа с потенциалами в точках из X (соответственно, Xn) с интенсивностями (параметрами расширения aj, см. (2)) определенными а (см. выше). Обозначим соответствующую резольвенту через R(A) (Rn(A)).

Лемма 2. Резольвента R(A) есть сильный предел последовательности операторов

Rn(A):

R(A) = s — lim Rn(A), A е C \ R.

n

Доказательство. Утверждение леммы следует из теоремы 3.1.1.1 [8] благодаря тому, что в нашем случае (при нашем выборе X и а)

т£ \х? - х\ = ¿> 0

3=3', 3,3'&Г ?

и а ограничена.

Следовательно, гамильтониан с построенной бесконечной цепочкой имеет бесконечное число различных собственных значений.

Таким образом, теорема доказана.

Можно заметить, что доказательство дает больше информации о собственных зна-ченииях. Пусть они пронумерованы в порядке возрастания. Тогда имеет место следующее утверждение.

Следствие. Собственные значения построенного гамильтониана с бесконечной цепочкой потенциалов нулевого радиуса имеет следующую асимптотику (по номеру собственного значения):

16п2

^т . (43)

Доказательство. Уже доказано, что собственное значение с фиксированным номером локализовано в фиксированном интервале, и различные интервалы из этого множества не пересекаются. Следовательно, получаем асимптотику собственного значения по номеру.

1 г • к^^ ,

А именно, получаем, что ¿т ~ —. Благодаря соотношениям ¿т = —— и кт = V Ат, Лт —

2т

т-е собственное значение, получаем асимптотику, о которой идет речь.

Работа частично поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (контракты Р689 N£-526?, 14.740.11.0879 и 16.740.11.0030, грант 2012-1.2.2-12-000-1001-047), грантом 11-08-00267 РФФИ, ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научного и технологического комплекса России 2007-2013» (контракт 07.514.11.4146).

Литература

V.N.Efimov. Bound states of three resonances of interacting particles // Nuclear Phys. — 1970. — V.12, №5. — P. 1080-1091.

Яфаев Д.Р. О теории дискретного спектра трехчастичного оператора Шредингера // Матем. сб. — 1974. — T.94, №4. — C. 567-593.

Tamura H. The Efimov effect of three-body Schrodinger operators. // J. Funct. Anal. — 1991. — V.95, №2. — P. 433-459.

Эшкабилов Ю. Х. О бесконечности дискретного спектра операторов в модели Фридрихса // Математические труды. —2011. —Т.14, №1. —C.195-211.

A.V.Chaplik, L.I.Magarill. Bound states in a two-dimensional short range potential induced by spin-orbit interaction // Phys. Rev. Lett. —2006. — V.96. — 126402.

J. Bruning, V.Geyler, K.Pankrashkin. On the number of bound states for weak perturbations of spin-orbit Hamiltonians//J. Phys. A: Math. Theor.—2007.—V.40. —P. F113-F117.

K.Yang, M.de Llano. Simple variational proof that any two-dimensional potential well supports at least one bound state // Am. J. Phys. — 1989. — V.57. — P.85-86.

S.Albeverio, F.Gesztesy, R.Hoegh-Krohn. and H.Holden with an appendix by P.Exner. Solvable Models in Quantum Mechanics:Second Edition. — AMS Chelsea Publishing, Providence, R.I., 2005. Павлов Б.С. Теория расширений и явнорешаемые модели // УМН. — 1987. — T.42, №6. —P.99-131. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом //Докл. АН СССР.—1961. —Т.137, № 5.—С. 1011-1014.

Martin G., Yafyasov A.M., Pavlov B.S. Resonance one-body scattering on a junction. // Наносистемы: физ., хим., мат.—2010.—V.1, №1.—P. 108-147.

Еремин Д.А., Попов И.Ю. Квантовое кольцо с проводником: модель двухчастичной задачи // Наносистемы: физ., хим., мат. — 2011. —T.2, №2. —P. 15-31.

Попов И.Ю. Теория расширений и локализация резонансов для областей ловушечного типа // Матем. сборник. — 1991. — Т.181, №10. — С. 1366-1390.

Бирман М.С., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — СПб.:Лань, 2010.

HAMILTONIAN WITH ZERO-RANGE POTENTIALS HAVING INFINITE NUMBER OF EIGENVALUES

A.A.Boitsev, I.Yu.Popov, O.V.Sokolov

Infinite chain of zero-range potentials having the Hamiltonian with infinite number of eigenvalues below the continuous spectrum is constructed. The model is based on the theory of self-adjoint extensions of symmetric operators.

Keywords: operator extensions theory, singular perturbation, point spectrum.

National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, St.

Petersburg, Russia, [email protected]

A.A.Boitsev - Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, student

I. Yu.Popov - Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, professor, D.Sc., [email protected] O.V.Sokolov - Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, student