G-СЕТЬ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЕТИ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.872

DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-2-7-15 Т.В. Русилко, Д.А. Сальников

G-сеть как математическая модель сети передачи данных

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы; Республика Беларусь, 230023, г. Гродно, ул. Ожешко, 22; rusilko@grsu.by, dima.saln.gr@gmail.com

В статье отмечено, что объектом исследования является сеть передачи данных. Задача моделирования и исследования сети передачи данных при учете воздействия вредоносного кода на ее узлы решается с использованием О-сети массового обслуживания. Стохастической моделью сети передачи данных служит замкнутая экспоненциальная О-сеть с положительными и отрицательными заявками, многолинейными узлами и ненадежными восстанавливаемыми линиями обслуживания. Состояние модели определяется процессом изменения числа исправных линий и процессом изменения числа пакетов в узлах модели. Цель - исследование сетевой стохастической модели в асимптотическом случае большого числа обрабатываемых пакетов данных.

Получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для вероятностей состояний процесса изменения числа исправных линий в узлах сети. Доказано, что плотность распределения вероятностей процесса изменения числа пакетов в узлах сети удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова. Результаты исследования позволяют: рассчитывать среднее и дисперсию числа пакетов в узлах сети и долю времени, в течение которой узлы исправны; исследовать корреляцию между числом пакетов в разных узлах; прогнозировать среднее число исправных линий в узлах сети как в стационарном, так и в переходном режимах.

Ключевые слова: G-сеть, сеть массового обслуживания, сеть передачи данных, асимптотический анализ.

Введение

О-сети представляют собой обобщенные сети массового обслуживания, отличающиеся от сетей Джексона и ВСМР-сетей тем, что в них циркулируют несколько классов заявок: положительные, отрицательные и в некоторых случаях триггеры. Отрицательные заявки и триггеры не обслуживаются. При поступлении отрицательной заявки в систему массового обслуживания (СМО, узел) одна или группа положительных заявок удаляется или «уничтожается» в непустой очереди. Триггер вытесняет заявки из очереди СМО и перемещает положительные заявки из одного узла в другой.

Впервые О-сети были введены Э. Джеленбе и изучались в стационарном режиме с 90-х годов [1-3]. О-сети представляют большой интерес для расширения мультипликативной теории СеМО [4]. Область их применения - моделирование вычислительных систем и сетей, оценка их производительности, моделирование биофизических нейронных сетей, задачи распознавания образов, задачи машинного обучения и др. [5-7]. В настоящее время изучению О-сетей посвящено множество научных работ. О-сети в переходном режиме изучались М. Маталыцким [8].

1. Постановка задачи. Рассмотрим сеть передачи данных, состоящую из оконечных устройств, являющихся источником и приемником, которые связаны устрой-

ствами маршрутизации и каналами передачи данных. Любой из каналов имеет по одному входу и выходу, которые подключены ко входам и выходам устройств. Каждое устройство имеет множество входов и выходов. Информация по сети передается дискретными порциями в виде пакетов. Пропускная способность каналов связи и скорость обработки пакетов узлами сети ограничены. Устройства сети могут выходить из строя, возможна потеря пакетов при прерывании передачи информации по каналам связи. В общем случае, по сетям может передаваться как полезная информация, так и вредоносный код - malware (сокр. от анг. «malicious software» - вредоносное программное обеспечение, имеющее своей целью в той или иной форме нанести ущерб компьютеру и его содержимому).

Значит, для моделирования сетей передачи данных можно использовать G-сети с ненадежными СМО [9]. Полезная информация - заявка положительного, malware - отрицательного класса. Все терминальные и маршрутизирующие устройства, каналы связи представим в виде ненадежных восстанавливаемых СМО St типа • / M /1, i = 1, п.

Цель исследования - асимптотический анализ сетевой стохастической модели в случае высокой нагрузки, т. е. при большом числе обрабатываемых пакетов данных. Такой подход позволяет рассчитывать характеристики сети как в стационарном, так и в переходном режиме.

Каждый из пакетов данных может находиться в одном из состояний: S0 - за

пределами сети, s - в i -той СМО сети (в определенном устройстве или канале), i = 1, n . Переход заявки из состояния S0 в St соотносится с поступлением пакета в сеть. Входящий поток пакетов моделируется простейшим потоком заявок с интенсивностью Л0 . Этот поток разделяется на поток положительных и отрицательных заявок: вероятность поступления обычного пакета на интервале времени [t, t + At] равна Л0p+wAt + o(At),

_ n

вредоносного - Л0p_ At + o(at), i = 1, n, ^ (p+. + p_.) = 1. Обычный пакет из st с вероят-

i=1

^ _

ностью p направляется в Sj без модификации, с вероятностью pj - как пакет, со-

держащий вредоносный код, либо с вероятностью р о = 1 р+ р- ) покидает сеть,

3=1

г, 3 = 1, п .

Время обслуживания пакетов в состоянии Si имеет показательное распределение с параметром г = 1,п, число мест для ожидания бесконечное. Пакеты обслуживаются в порядке поступления. Пакет с вредоносным кодом, перешедший в некоторый узел, уничтожает обычный пакет, находящийся в этом же узле, и немедленно покидает сеть. Все одноканальные СМО являются ненадежными восстанавливаемыми [10];

время исправной работы и восстановления линии в Si имеет показательное распределение с параметрами а1 и р соответственно, г = 1,п. Допустим, что времена обслуживания заявок линиями, длительности исправной работы линий и времена восстановления линий обслуживания являются независимыми случайными величинами. Поломки и восстановление линий в разных СМО происходят независимо от числа заявок в них. Состояние сети передачи данных в момент времени ? -вектор

(7(0; к(ф = (^(0,72(0,...,^(0; МО,*2(0,...,К(0), (1)

где zi (t) - число исправных линий; 0 < zi (t) < 1, kt (t) - число пакетов в состоянии St, 0 < ki (t) < K, i = 1, n, в момент времени t, t е[ 0, +да). Очевидно, что число пакетов

n

в сети составляет £ki(t) = K — k0(t). Функционирование сети определяется двумя од-

i=i

новременно протекающими процессами - z(t) и k(t).

2. Вывод математических уравнений. Процесс изменения числа исправных линий в узлах сети - это случайный процесс z(t) = (z1(t),z2(t),...,zn(t)). Поломки и восстановление линий в системе S, происходят независимо от числа исправных линий в системе s., i, j = 1, n. Значит zi (t) - независимые случайные процессы, i = 1, n. Процесс zt (t) может быть рассмотрен как процесс гибели и размножения с множеством состояний Zi = {0, 1}, i = 1, n. Пусть p^) (t) = P(zi (t) = zi) - вероятность того, что в момент времени t в системе S, исправны zi линий, zt е {0, 1}, i = 1, n.

Вероятности состояний процесса zt (t), протекающего в системе St, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (ДУ):

p°'(t) = —Ap°(t) + at(1 — p°(t)), i = im, (2)

при начальном условии p0)(0) = P(zt (0) = 0) = 1 — p[')(0) = 0, которое означает, что в начальный момент времени единственная линия СМО St исправна, i = 1, n.

На основе вычисленных вероятностей р(')(t) = 1 — p0')(t) имеем возможность получить соотношения для математического ожидания и дисперсии процесса zt (t)

MZi (t) = M(zt(t)) = p(l)(t), ^2(t) = D(z,(t)) = р1')(t) — (pi')(t))2, i = ^. (3) Процесс k(t) = (k1(t),k2(t),...,kn(t)), описывающий изменение числа пакетов в узлах сети, связан с их обработкой, воздействием вредоносного кода и перемещением пакетов между узлами сети. В силу предположений k(t) - цепь Маркова с непрерывным временем. Пусть I. обозначает n -вектор, все компоненты которого нулевые, за исключением i -той, равной единице, i = 1, n; в(х) - функция Хевисайда, доопределенная при х = 0 значением 0. Очевидно, что за малое время At марковский процесс k (t) = (k, t) может совершить один из следующих переходов в состояние

(k, t + At):

- из состояния (k + L — Ij, t) можно попасть в (k, t + At) с вероятностью

£ Ht min (L (t) +1, z. (t)) pl) (t)p ; At + o ( At),

zi = 0

что возможно при переходе пакета из состояния St в состояние Sj, l, j = 1,n;

- из состояния (k +1. +1., t) с вероятностью

£ min (k, (t) +1, z, (t)) p«}(t)pjAt + o (At)

z, =0

при переходе пакета из состояния Sj в состояние как вредоносного, г, у = 1,п; - из состояния (к + ^, I) можно попасть в (к, t + Дt) с вероятностью

(

\р01 K— X k (t) +1

V ¿=1 )

At +

+x a min (kt (t) +1, z, (t)) \t) ( pt 0 + p- (1 - 0(kj (t))) )At + o (At),

Z; =0

что соответствует переходу пакета из St во внешнюю среду S0, поступлению в St вредоносного пакета из S0 либо переходу вредоносного пакета из состояния St в состояние Sj, в котором пакеты отсутствуют, i, j = 1, n;

- из состояния (k — L, t) можно попасть в (k, t + At) с вероятностью

f n Л

K — Xk(t) +1 At + o(At), V i=1 J

что соответствует поступлению пакета из внешней среды в St, i = 1, n;

- из состояния (k, t) - с вероятностью

f n i n \ n i n \

= 1

XAp+, K —Xki(t) +XAPi K — Xki(t)

V ¿=1 V i=1 J i=1 V i=1 j

+ X X A min (kt (t), z, (t)) p«) (t)pj (1 — e(kj (t))) +

i, j=1 z, =0

+

n 1

Л

+XXamin(k(t), Z,(t))^(t) At + o(At),

¿=1 z(=0

что соответствует сохранению размещения пакетов по узлам сети; - из остальных состояний - с вероятностью О (Дt) .

Путем несложных преобразований получаем систему разностно-дифферен-циальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

dP(k, t)

+

^ =£ д p+ —£k, (t)^(p(k—i, t)—P(k, t))+£ —i, t)+

dt i=1 v '=1 у '=1

£ Дp—1 fк — £ kl (t)| + £ £ a min (kt (t), z, (t)) pl)(t) (p, + p— (1 — 0(kj (t))))

v '=1 v '=1 у ', j=1 z, =0

x( P(k+it, t)—P(k, t) )+^£ Д p1 +

+ £ £a ( min (h (t) +1, z, (t) ) — min (k (t), z, (t) )) p\(' 0

££a (min (ki (t) +1, z, (t) ) — min (ki (t), z, (t))) p« )(t) (p, 0 + p (1 — d(k} (t)))) Ix

=1 z=0 У

P(k + Ii, t) + £ £ a min (kl (t), z, (t)) p^(t)p;(P(k + Ii — Ij, t) — P(k, t)) +

', j=1 z =0

££ Ap' )(t) pj (min ( k (t) +1, zi (t) ) — min ( k (t), z (t) )) P(k +11 —1}, t) £ £ A min (kl (t), z, (t))^\t)p~ (P(k +11 +13, t) — P(k, t))

', j=1 z =0

n 1

xP(k + Ii, t) + ££a min (k (t), z (t) ) ^ )(t) p +

', j=1 z =0

n1

+££ap(' )(t) p„+l min (k, (t) +1, z, (t)) — min (k, (t), z, (t))) P(k +1, — I,, t) +

', j=1 Z. =0

n1

+££a min (k' (t), z, (t)) pl\t) pj (P(k + L +1,, t) — P(k, t)) +

', j=1 zi =0

+££a (min (ki (t) +1, z, (t)) — min (k, (t), z, (t))) p« }(t)p^^P(k + It +1}, t).

', j=1 z =0

Последнее уравнение не поддается аналитическому решению при большом числе n . Поэтому далее осуществим предельный переход в асимптотическом случае большого числа пакетов K >> 1 от цепи Маркова k(t) к непрерывному марковскому процессу £(t) = k(t)/ K с плотностью распределения p(x, t) и множеством состояний

X = х = (х1, х2,..., xn ) : xt > 0, ' = 1, n, £ х, < 1 j. Плотность распределения

p(x, t) непрерывного процесса ¿f(t) удовлетворяет асимптотическому соотношению KnP(k, t) = KnP(xK, t) K^oo > p(x, t), x е X .

Реализуя асимптотический переход при K ^го от вероятностей состояний P(k, t) к плотности распределения p( х, t), получим:

x

dpjx» = kJЛp+oi| jх_ |(р(х_^,0_р(х,t))+

1=1 V 1=1

n (

+z4)Ро+/Р(х_et,t) + K jA,р0_,-11 _zх 1 + i=i

0i

V i=1 V i=1

ZZ/ min(х,,ez,)p«(t)(р,о + p_ (1 _9(Xj))) l(p(x + e,,t) _p(x,t)) +

i,j=1 z, =0 |

z Л po_i + z z /^^^^х^! ¿i )(t) (Pt о + p__ (1 _0(х. )))l p( х + e,, t) +

,-=1 =1 z, =0 0х,. |

n1

+K z z / min (х. ^) p® (t) p j (p( х+e _ e.t) _ p( хt))+

zi

=1 z, =0

+ z j ^ 0min,szt) p^ (t)p jp(х + ^ _ ^, t) +

=1 z, =0 0х,

n1

+k zz/min (х ,szi) p®(t) pj (p(х+ei+ej. t) _ t))+

=1 z, =0

0 min (х ,ez.)

z/———-

,,j=1 z, =0

+z z/-0xr~^P^(t)+ ^ + ej' t).

Если ^(х, г) дважды непрерывно дифференцируема по X, то справедливы разложения в ряд Тейлора функций р(х±,г), р(х + е. -е. ,г), р(х + е. + е.,г), . = 1,и.

У ' > ' г V ' 3 '

Подставляя эти разложения с точностью до членов порядка малости £2 в последнее уравнение и сгруппировав члены в правой части полученного уравнения, как описано в [11-13], мы приходим к следующей компактной записи:

Щ^1 = -Е^(А(х, 0р(х, г))+1 ± -^-(В.(х, г)р(х, г)), где (4) дг дх. 2 г~з=1 дх.дх. х 7

и Л и 1

1X ' ^ - 4

V '=1 У 3=1=0

1

4 (х. t) = Л 1 _ Z х, (p0 _ ) + Z Z / ™n (хз' ) p{j) (t)(pj, _ p_ _ Зз) _

1 | j=1 z- =0

1 n

_Z / min(х, w) pl) (t)Z p_ (1 _ 0(х-)),

z, =0 j=1

(х. t) = Л0 (1 _ Z х, l (p+, _ ^0,) + Z Z /j min(х- . wj) ^zj> (i)(p + _ p_ + ^j ) +

j=1 z, =0

х

V ,=1 I 1

+Z / min (х,, w,) pz,> (t)Z pj (1 _ х, )),

z, =0 j=1

1

вз (х, t) = _Z /г min (xt, w,)^zf (t)(_p+). , ^ j. 5з - символ Кронекера.

z, = 0

Уравнение (4) является многомерным уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. К сожалению, точное аналитическое решение такого уравнения получить не удается. Используя в (4) переход от плотности распределения к характеристической функции, выведем системы обыкновенных ДУ для определения начальных моментов первых двух порядков вектора ^(t) [14]:

+

dv(\t) _ ам ($ (())

Д (у(1)(1)), I _ 1,п;

(5)

а а

) _ ам(£ (t)& (t))

(6)

в

общем случае - детерминированные функции времени, определяющие среднюю траекторию процесса (t) и рассеяние вокруг нее, / _ 1, п.

3. Пример. Рассмотрим сеть с маршрутизатором, к которому по двум каналам связи подсоединены два конечных устройства. Математической моделью будет вышеописанная О-сеть из четырех СМО (£ и £2 - каналы связи, £3 и £ 4 - устройства) и

внешней среды (маршрутизатор). Пусть К _ 100 000, Л0 _ 400К1, а1 _ 0.000138,

а2 _ (10800)"1, а3 _0.00001, а4 _0.00002, Д _ (300)"1, Д2 _ (240)"1, Д _ 0.00028,

Д4 _ 0.0003. Структура сети определяется матрицей вероятностей передач, ненулевые элементы - _ 0.45, р" _ 0.05, р2 _ 0.48, р"2 _ 0.02, р3 _ 0.57, р3 _ 0.05, р10 _ 0.33, р4 _0.65, р4 _0.02, р20 _0.25, р3+1 _0.34, р" _0.01, р0 _0.65, р4+2 _0.39, р2 _0.01, Р0 _ 0.6. Параметры обслуживания - _ 9, а2 _ 30, ¿и3 _ 10, _ 10.

Решая систему (2), находим вероятности состояний 21 ^), i _ 1,4 как функции времени. Установлено, что существует стационарное распределение вероятностей состояний 21 ^), которое определяет среднее относительное время пребывания процесса 21 ^) в каждом из состояний Zi _ {0, 1}, i _ 1,4. Например, линия обслуживания узла £1 исправна 0,9602, неисправна 0,0398 всего времени. Затем по (3) рассчитываются среднее и вариации числа исправных линий СМО.

Решая системы (5), (6), определяем среднее относительное число пакетов данных в узлах сети, его вариацию и корреляцию между числом пакетов в разных узлах. Например, на рис. 1 представлена средняя траектория относительного числа пакетов (сплошная линия) и его вариация (пунктирная линия) в узле £1.

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.20.1

0--т . Т ' ■

10000 20000 30000 40000 t

Рис. 1. Среднее относительное число пакетов в узле S1 и его вариация

Можно сделать вывод, что производительность сети передачи данных ограничена пропускной способностью канала, моделируемого СМО S] Рекомендуется расширение этого канала передачи данных.

Литература

1. Gelenbe E. G-networks with triggered customer movement // Journal of Applied Probability. 1993. Ш. 30, № 3. - P. 742-748.

2. Gelenbe E. Product form queueing networks with negative and positive customers // Journal of Applied Probability. 1991. Ш. 28, № 3. - P. 656-663.

3. Gelenbe E. G-networks with signals and batch removal // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 1993. Vоl. 7, № 3. - P. 335-343.

4. Gelenbe E. Random neural networks with negative and positive signals and product form solution // Neural computation. 1989. Ш. 1, № 4. - P. 502-510.

5. Gelenbe E. Stability of the random neural network model // Neural computation. 1990. Ш. 2, № 2. - P. 239-247.

6. Caglayan M.U. G-networks and their applications to machine learning, energy packet networks and routing: introduction to the special issue // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2017. ^l. 31. - P. 381-395.

7. Zhang Y. Optimal energy distribution with energy packet networks // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2021. Vоl. 35, № 1. - P. 75-91.

8. Matalytski M., Naumenko V. Analysis of the queueing network with a random bounded waiting time of positive and negative customers at a non-stationary regime // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics. 2017. Vоl. 16, № 1. - P. 97-108.

9. Fourneau J.M. G-networks of unreliable nodes // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2016. ^l. 30, № 3. - P. 361-378.

10. Русилко Т.В. Асимптотическое исследование марковской сети массового обслуживания с ненадежными восстанавливаемыми приборами // Весшк ГрДУ iмя Яню Купалы. Сер. 2: Матэматыка. Фiзiка. 1нфарматыка, вьгшчальная тэхшка i юраванне. 2021. Т. 11, № 3. - С. 102-114.

11. Медведев Г.А. Замкнутые системы массового обслуживания и их оптимизация // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. № 6. - С. 199-203.

12. Русилко Т.В. Асимптотический анализ открытой сети массового обслуживания с ограниченным числом однотипных заявок двух классов // Весшк ГрДУ iмя Яню Купалы. Сер. 2: Матэматыка. Фiзiка. 1нфарматыка, вылiчальная тэхшка i кiраванне. 2016. № 2. - С. 136-143.

13. Rusilko T.V. Network Stochastic Call Center Model // CEUR workshop proceedings. Vol. 3057: selected papers of the 6th International scientific and practical conference "Distance learning technologies" (Yalta, Crimea, 22-25 September 2021). - Yalta, 2021. -P. 91-101.

14. Русилко Т.В. Метод определения моментов первых двух порядков для вектора состояния сети массового обслуживания в асимптотическом случае // Весшк ГрДУ iмя Яню Купалы. Сер. 2: Матэматыка. Фiзiка. 1нфарматыка, вь!шчальная тэхшка i юраван-не. 2021. Т. 11, № 2. - С. 152-161.

Поступила в редакцию 3 марта 2022 г.

UDK 519.872

DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-2-7-15

G-network as a Mathematical Model of the Data Network T. V. Rusilko, D.A. Salnikov

Yanka Kupala State University of Grodno; Belarus, 230023, Grodno, Ozheshko st., 22; rusilko@grsu.by, dima.saln.gr@gmail.com

The data network is the study object of the given article. The task of modeling and data network researching with regard to the impact of malicious code on its nodes, is solved using the G-network (generalized queuing network). The stochastic model of the data network is a closed exponential G-network with positive and negative requests, multi-server nodes and unreliable repairable servers. The state of the model is determined by the process of changing in the number of fault-free lines and the process of changing in the number of data packets in the model nodes. The purpose is to study the network stochastic model in the asymptotic case of a large number of processed data packets.

The system of ordinary differential equations for the state probabilities in the process of changing the number of fault-free lines in the network nodes was obtained. It was proved that the probability density function in the process of changing the number of data packets in the network nodes satisfies the Fokker-Planck-Kolmogorov equation. The results of the study make it possible to calculate the mathematical expectation and variability in the number of data packets in the network nodes and the amount of time during which the nodes are functional, to investigate the correlative correspondence between the number of packets in nodes, to predict the average number of fault-free lines in the network nodes in both transient and steady state.

Keywords: G-network, queueing network, data network, asymptotic analysis.

Received 3 March 2022