13ФУНКЦИЯЛАРНИ ТИКЛАШДА БУЛАК-ПОЛИНОМИАЛ
УСУЛЛАР ТАХЛИЛИ
Хакимжон Насриддинович Зайнидинов
т.ф.д, проф, Мухаммад ал-Хоразми номидаги Тошкент ахборот технологиялари
университети (ТАТУ), tet2001 @rambler.ru
Бунёд Рахимжонович Азимов
PhD, Мухаммад ал-Хоразми номидаги Тошкент ахборот технологиялари
университети (ТАТУ), bunyodbekazimov@mail.ru
Мухриддин Мухиддин yFли АбдуFаниев
докторант, Захириддин Мухдммад Бобур номидаги Андижон давлат университети
(АДУ), шг muhriddin 20@mail.ru
АНОТАТЦИЯ
Ушбу макола жадвал куринишда берилган функцияларни тиклаш масаласида кулай булган бошка бир функция билан алмаштириш ва уларни тахлил килишга баFишланган. Дастлаб классик интерполяцион моделлар кенг кулланилган. Маколада дастлаб классик интерполяцион моделлардан бири булган Лагранж интерполяцион модели куриб чикилган. Лагранж моделни куришда берилган кийматларнинг ортиб бориши уларни куришда муаммоларни кэлтириб чикарди. Катта хажмли жадвал кийматларини тиклашда курилган классик интерполяцион моделлар ёрдамида курилган функция тугун нукталарига яхши якинлашмайди. Бу муаммоларни хал килиш максадида булак-полиномлардан кенг кулланилиб келмокда. Ушбу ишда хам булак-полиномлардан булган кубик Bezier ва В-сплайн функцияларини куриш ва функция кийматлари асосида тиклаш жараёни графиклар ёрдамида келтириб утилган. Кубик сплайн функцияларда тугун нукталар сони ортиб бориши билан уларни тиклашда юкори аниклик сакланиб колади. Тадкикот якунида курилган Лагранж классик интерполяцион методи ва булак-полиномиал усуллар расмлар ёрдамида тахлил килинган.
Калит сузлар: Лагранж интерполяцион модел, кубик Bezier сплайн, кубик В-сплайн, булак-полиномиал усуллар, аппроксимациялаш, функциялар, тугун нукталар.
Мау, 2022
1092
ABSTRACT
This article is devoted to replacing and analyzing the functions given in the table view with another function that is convenient in the matter of restoration. Initially, classical interpolation models were widely used. The article first discusses the Lagrange interpolation model, one of the classic interpolation models. The increase in the values given in the construction of the Lagrange model caused problems in their construction. The function built using classical interpolation models built on the restoration of large-volume table values does not approach the node points well. Fragmentary polynomials have been widely used to solve these problems. In this work, the process of constructing and reconstructing cubic Bezier and B-spline functions from fractional polynomials based on function values is presented using graphs. As the number of node points in cubic spline functions increases, high accuracy is maintained in their recovery. The Lagrange classical interpolation method and fragmentary-polynomial methods constructed at the end of the study were analyzed using images.
Keywords: Lagrange interpolation model, cubic Bezier spline, cubic B-spline, fragment-polynomial methods, approximation, functions, node points.
КИРИШ
Биламизки, MaTeMaraKan,a якинлашиш назарияси функцияларни кандай килиб соддарок функциялар билан энг яхши якинлаштириш мумкинлиги ва улар томонидан киритилган хатоларни микдорий тавсифлаш билан боглик Бу одатда полином купхддлар ёрдамида амалга оширилади. Аппроксимациялаш жараёнида хатоликлар кам булиши таъминлаш учун булак-полиномиал усуллардан кенг кулланилади. Бугунги кунда сигналларга ракамли ишлов бeришда булак полиномлардан фойдаланиш илмий тадкикотларда кенг урганилмокда. Бунда асосий эътиборли жойи уларни аниклик даражаси юкори холатда тиклаш ва мавжуд сигнал кийматлари оралигидаги кийматларни топиш хдсобланади. Бунинг учун курилган модeллар асосида интeрполяциялаш жараёни амалга оширилади. Биламизки интeрполяция - бу маълум маълумотлар нукталари орасида жойлашган номаълум кийматларни аниклаш жараёни хдсобланади. Мисол сифатида шовкин даражаси, ёгингарчилик, баландлик ва бошкалар каби хдр кандай гeографик маълумотлар нукталари учун номаълум кийматларни башорат килиш учун ишлатилади [1,2,3,10,14]. Умумий килиб, иш^рполяциялашда бeрилган жадвал ёки графикнинг бирор кийматлари буйича оралик кийматни топишга хдракат килинади дeб айтишимиз мумкин. Куйида бунга доир бир нeчта иш^рполяцион модeлларни куриб чикамиз.
May, 2022
1093
Ä^ABHET^AP TÄ^^H^H BA METO^O^OrHH
^acraaö, KnaccuK HHTepnon^uoH MeTognapugaH öupu .HarpaH:«: HHTepnon^uoH MogenuHH KypunumuHH Kypuö HHKaMH3 [1,10,12,13].
H3naHaeTraH KynxagHH KySugaruna onaönHK(l):
Ln(x) — a0 + alX + a2X2 +----1" CLnXn (1)
By epga Qi (i = 0, 1, ..., n) - HOMatnyM y3rapMac коэ$$нцнeнтпap. HHTepnon^ua Macanacugaru mapTra Kypa Ln(x) ^yH^ua Xq, Xj, .••, Xn HHTepnon^HA TyryHnapuga Ln(xQ) = yQ, Ln(xj) = yj, ..., Ln(xn) = yn KuÖMaTra эpнmagн. y xpnga xQ uHTepnon^ua TyryHuga Ln(x) HHTepnon^uoH Kynx,ag
Ln(xq) — aQ "I- aiXQ -I- • • • "I- anXQ KypuHumra, xj HHTepnon^ua TyryHuga
L n (x i ) — a q -— a iX i -— * * * -— anX q KypuHumra Ba hhxoat xn HHTepnon^ua TyryHuga
Ln(xn) — aQ + alXn ' ' "" anX
n n^n
KypuHumra эгa öynagu. BynapHH n+j HOMatnyMnu TeHraaManap cucTeMacu KypuHumuga u^oganaÖMro:
CLq "I" CL-^Xq "I" ••• "I" CLnXq — y0
a0 "I- CL-^X-^ "I- ■" "I- dnx-^ — y-^ (2)
CLq + CL\Xn + ••• + CLnx% — yn
By epga xi Ba yi (i = 0, 1, 2, ..., n) - moc paBumga öepunraH ^yH^u^HUHr ^agBan KHHMaTnapu.
CucTeMagaru aQ, aj, ..., an HOMatnyMnapHH KpaMep ^opMynacu epgaMuga
aHHKnaHMH3:
_ a0 _ ax a0 ~ —> al — ~>
^■n a
(3)
By epga A - (2) cucTeMa geTepMHHaHTH. Arap A ^ 0 öynca, y xpnga cucTeMa aroHa enuMra эгa öynagu. X,aKHKaTaH (2) cucTeMaHHHr geTepMHHaHTH
A =
I'v* "V" ^ "V" ^ -v-n
Xq Xq Xq ■ ■ ■ Xq
X,
x}
x;
x
n
x.
n
x.
n
X
x.
n
xQ, xj, ..., xn TyryHnap ycTMa-ycT TymMaraH xpnga HongaH ^apKgu öynagu. HoMatnyM xQ, xj, ..., xn коэ$$нцeнтпap cohhhh aHHKgaö, ronaHaeTraH Kynx,agHH
Lq(X) — "r -" tX + 7X2 +
+ ^xn (4)
May, 2022
1094
KaSu u^oganam mymkhh. Ekh Som^ana
L n(x) = y0<? o(x) + yiQi(*) + • • •+ ynVn(x) = itt <№) (5)
KypuHumga u^oganaHumu mymkhh. By epga KypuHuS TypuSguKH Qi(x) ^yhkuha
O Cx ) = i°'arap 1 * J üyjica,
V i( a ra p ^ _ y g ^ c a
mapTHHH KaHoaraaHTHpumH KepaK, ocoHruHa TeKmupuS Kypum mymkhhkh, SyHgaö mapTHH KaHoaTnaHTupyBHH Kynx,ag
( OO OO q) ( OO OO — ) . . . ( OO OO i_— ) ( OO OO i —) . . . ( OO OO n)
V ¿00 _
( )( ) ( )( i+1 ) . ■ ■ (x i xn)
KypuHumga Synagu. x0, x1, ..., xi-1, xi+1, ..., xn Hy^ranapga Qi(x) 0 ra, x
Hy^Taga 1 ra TeHr Synagu. (5) Ba (6) HaTH^aHH эtтнSopra oncaK,
( )( ) ( )( ) ( )
(6)
L n(x) _ S n=0'
yi (7)
( )( ) ( )( ) ( )
KypuHumgaru ^arpaH^; HHTepnon^uoH ^opMynacura эгa SynaMH3.
Mucon cu^araga 1-^agBangaru KUHMaraapu acocuga ^arpaH^; HHTepnon^uoH MogenuHH Kypum aManra omupungu.
1-waöean.
f(x) ^yH^HHHHHr gacraaÖKH K;HHMaT.napH.
X 3 4 5 6
y 2 5 4 2
^agBanga KenTupunraH KuÖMaraapHHHr cohh 4 Ta SynraHnuru ynyH n=3 gapa^anu Kynxag Kypunagu. ^agBangaru KuÖMaraapHH w^opugaru (7) ^opMynagaH ^oöganaHraH xpnga, Sup ^aHHa cogganamTupumnapgaH cyHr, Kyfiugaru Kyn^agra эra SynaMH3.
L(x)= 0.5x3-8x2+40.5x-61 (8)
^agBanga SepunraH KuÖMaraapHH (8) ^opMyna acocuga MaraaS umHH Myxurnga rpa^HK KypuHumuHH xocun KunaMro (1-pacM).
1-pacM. fiaspaH^ MOÖemHU интeрпоnнцинmм Hamu^acu https://t.me/ares uz
May, 2022
PacMgaH KypumuMro mymkhhkh, ^arpaH®; Mogenu f(x) ^yh^hahh ^agBanga KenTupunraH TyryH HyKTanapugaH yTraH neKHH ^yH^uara axmu AKUHnamraHUHH KypumHMH3 MyMKHH.
BynaK-nonuHoMnapgaH Supu SynraH Bezier KySuK cnnafiH ^yh^hachhh KypumHH KypuS HH^aMH3 [7,8,9,11]:
YMyMHH xonarga, Pi HyKTanap ynyH n gapa^anu Bezier cnnafiH MogenuHH KypumHH ^opMynacu KemupunraH (8):
n
fl(x) = ^¿i,n(x)Pi (8),
¿=0
Sy epga, bi , n(x) BepHmTefiH nonuHoMnapu gefiunagu Ba Kyfiugaruna xucoSnaHagu (9):
b,n(x) _ Qnxi( 1-x)n- i (9), Ba C/n Bhhom кoэ$$нцeнтпap gefiunagu. C/2 кoэ$$нцeнтпapнн (10) ^opMyna acocuga xucoSnaS Tonunagu.
cn _ iiärb ( 1 0)
Sy epga, n! - n ^aKTapuanHH Sungupagu.
^eMaK, (9) Ba (10) ^opMynanapuHH SupnamTupuS, Hara^aga n gapa^anu BepHmTefiH nonuHoMnapuHH aHHKgafiguraH ^opMynara эra SynaMH3 (11):
bi,n(x)_^nnl0,xi( 1-x)n- i ( 1 1 ),
Mucon ynyH (11) ^opMynanapugaH ^ofiganaHuS, KySuK BepHmTefiH nonuHoMnapuHH xucoSnafiMro:
bo, 3(x) _ (J3^rx0( 1 - x)3 - 0 _ ( 1 - x)3 ( 1 1 . 1 ),
bi,3(x) _ (JZ^rx \ 1 - x)3 - 1 _ 3 x( 1 - x)2 ( 1 1 . 2 ),
b2, 3(x) _ 2!(33l2),x2( 1 - x)3 - 2 _ 3 x2( 1 - x) ( 1 1 . 3 ),
b3,3(x) _ 3x3( 1 - x)3 -3 _ x3 ( 1 1 . 4).
d ©
May, 20221
1096
Кубик Бeрнштeйн полином купхадлари [0:1] ораликда куйидаги куринишга эга булади (2-расм).
2-расм. Кубик Бернштейн полином кущадлари куринишлари. Мисол сифатида 1-жадвалда 6epanraH нукталар учун учинчи даражали Bezier сплайн модeлини курамиз. (1) формулада n=3 булганда, (11.1), (112), (11.3), (11.4) лардан фойдаланиб В(х) купхадини хосил киламиз (12).
В(х) = P0B0i з(х) + Р^, з(х) + P2B2i3(x) + P3B3i3(x) =
= Р0( 1 - х)3 + Р±3х( 1 - х)2 + Р23 х2( 1 -х) + Рзхз. ( 1 2 ). бу ерда, P0, P1, P2, P3 кийматлар:
P0= A(3,2); P2= C(5,4);
P1= B(4,5); P3= D(6,2);
каби бeлгилаб оламиз. Бeрилган P0, P1, P2, P3 нукталарнинг кординаталари х0, x1, x2, x3 ва y0, y1, y2, y3 бизга маълум (1-жадвал). Янги хосил буладиган сплайн
функция X ва Y координаталари куйидагича аникланади.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
бу ерда, у £[0:1] ораликда булиб 0.1 кадамда хисобланади. X ва Yузгарувчилари хосил килган координаталар графиги 3-расмда кeлтирилган.
3-расм. Bezier сплайн ёрдамида аппроксимациялаш натижаси https://t.me/ares uz
May, 2022
Расмда дастлаб танлаб олинган нукталар ва бу нукталар асосида хосил килинган сплайн функция ёрдамида хисобланган кийматлар тасвирланган. Куришимиз мумкинки, 3-даражали Bezier сплайн функцияси нисбатан яхши якинлашмаган.
Куйида кубик В-сплайн функциясини куришни куриб чикамиз. Каралаётган функция етарлича силлик булмаса, у холда бу функцияни сплайн функциялар билан якинлаштириш максадга мувофик булади. Якинлаштириш аниклиги юкори булган сплайн функцияни учунчи даражали В-сплайнидан фойдаланиш яхши самара беради [1,2,3,6,8,10]. Куйида n - даражали ихтиёрий 5п(х) интерполяцияланадиган /(х) функция куйидаги куринишга эга булган В-сплайннинг [а:b] ораликдаги формуласи кeлтирилган (13):
71— 1
/(х) = 5п(х) = ^ b¿В ¿ п(х), а < х < b.
( )
¿=-i
Бу ерда n - сплайн даражаси, b i - коэффициeнтлар, В¿. п(х) асосий функцияни ифодалайди. Юкоридаги формула асосида n=3 холатида кубик В-сплайн функциясини куриб чикамиз (14).
53(х) = b_ ХВ_ !(х) + b 0 В 0(х) + b ХВ ± (х) + Ь2В2(х), ( 1 4),
(13) формуладаги В i п(х) асосий функциянинг кийматларини куйидагича хисоблаймиз (15), (16):
агар Xj < х < xi+1, бопща хрлатда.
xi+n ~ х
В.оМ = { 0. В ¿.п (х) = --¿-В ¿,п _ 1(х) +
i+n
- X/
X
i+n
— X
t+1
В i + 1 . п - 1(х).
( ) ( )
В ¿,3(х) асосий функцияни х£ [ 0 :2 ] ораликда хисоблаймиз. Бир канча хисоблашлар ва соддалаштиришлардан сунг кубик В-сплайннинг асосий функцияси куйидаги куринишга эга булади (17).
( 0, х > 2,
(2 -х) 3
Вз(х) =
1+3( 1 - х)+3( 1- х)2-3 х 3
1 < х < 2,
0 < х < 1, 0 < х
(17)
{В( - х).
Кубик В-сплайннинг асосий функциясини [-2:2] оралигидаги графиги Матлаб ишчи мухитида куйидаги куринишда булади (4-расм)
May, 2022
1098
4-расм. Кубик В -сплайн. Куйидаги расмда кубик В-сплайнлар оиласини барча кисмлари [-3:4] ораликда ажратиб курсатилган. В _ х(х) - оч кук рангда, В 0(х) - кизил, В х(х) -тук кук, В 2(х) - кора рангда чизилган. (5-расм).
5-расм. Кубик В-сплайн оилат.
53(х) ни хдсоблаш жараёнида В-сплайннинг [0:1] ораликдаги кийматларидан фойдаланиб, сигналларни юкори аникликда тиклашга эришилади.
(13) формуладаги bi коэффициентларни хисоблаш жараёнида берилган кийматларнинг канчадан олинишига кура турлича хдсобланади [5,6]. Биз берилган кийматлар ёрдамида bj коэффициентларни уч, бeш, етти нуктали формула ёрдамида аниклаймиз (18), (19), (20).
b i коэффициентларни хдсоблашнинг 3 - нуктали формуласи:
b i = Q( " fi _ i + 8 fi-fi+i )
( )
bi коэффициентларни хисоблашнинг 5 - нуктали формуласи:
May, 2022
1099
bi = Оё) (fi _2 -1 °fi _ i+ 5 4fi -1 °fi + i+ fi + 2)' ( 1 9)'
b i коэффициентларни хдсоблашнинг 7 - нуктали формуласи:
b = (2Гб) ( -f _ з + 1 2 f _2 - 7 5 fi _ i + 344fi - 7 5 f+i + 1 2 f+2 - f+3 )' ( 2 °). бу ерда, f - дастлабки берилган нукталар киймати.
Мисол сифатида берилган 1-жадвалнинг кийматларини (14) дан фойдаланиб аппроксимация киламиз. Аппроксимациялаш жараёни графиги 6-расмда келтирилган.
6-расм. В-сплайн ёрдамида аппроксимациялаш натижаси. Расмдан куринадики, 1-жадвалда берилган нукталарга В-сплайн функциясини аппроксимациялаш жараёни юкори аникликда булганини курсатади.
ХУЛОСА
Хулоса килиб айтадиган булсак, тадкикот натижаларидан келиб чикган хрлда, сигналларга ишлов беришда классик полиномларни куллаш бир канча нокулайликлар тугдиради. Улардан бири кийматлар сони купайиб бориши билан моделнинг курилиши мураккаблашиб, олинган натижалар хатоликлари ортиб кетади. Бундай хрлатни маколада Лагранж интерполяцион методини курилиш усулини келтириб, функцияларни интерполяциялаш ва аппроксимация килиш жараёнида келтириб утилди (1-расм). У ерда келтирилган камчиликларни бартараф килиш максадида булак-полиномиал усулларидан кубик Ве71ег сплайни ва В-сплайн функцияларини куллаб натижалар олинди (3,6-расмлар). 6-расмлардаги натижага кура, В-сплайн модели куллаш оркали юкори даражадаги аникликка эришиш мумкин эканлиги асосланди.
May, 2022'
1100
REFERENCES
1. Исроилов М.И., Х,исоблаш методлари. №1, 1988. Тошкент. - Б. 45-52.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. Москва: Наука, 1980. - 352 с.
3. Касимов С.С., Зайнидинов Х.Н. ные сплайны в задачах восстановления одномерных и многомерных зависимостей // Известия международной академии наук высшей школы. № 1, 2002, Москва. - С. 162- 167.
4. Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. Construction of interpolation splines minimizing seminorm in space// BIT Numer. Math. 2013. - 152 p.
5. Zaynidinov X.N., Azimov R.K., Azimov B.R. Funksiyalarni splayn funksiyalar bilan yaqinlashtirish // «Nazorat, optimallashtirish va dinamik tizimlar» nomli Respublika ilmiy anjuman. Andijon, 2019. - B. 49-50.
6. Zaynidinov X.N., Baxramov S.A. Teoriya splaynov. Monografiya - T.: "Aloqachi", 2019, - 174 c.
7. Bezier and B-Spline Techniques 2002nd Edition - Hartmut Prautzsch, ISBN-10 : 3540437614, ISBN-13: 978-3540437611 Springer, 2002nd edition (August 6, 2002);
8. Bezier and Splines in Image Processing and Machine Vision - Sambhunath Bisvas, Brian C. Lovell, ISBN 978-1-84996-687-0, Springer-Verlag London Limited 2008;
9. Zaynidinov H.N., Azimov B.R., Abduganiev M.M Scientific Collection «InterConf», (100): vith the Proceedings of the 6th International Scientific and Practical Conference «Global and Regional Aspecs of Sustainable Development» (February 26-28, 2022). Copenhagen, Denmark: Berlitz Forlag, 2022. 800-803 p. ISBN 978-87-615-0721-1
10. Azimov B.R. Splayn-funksiyalar yordamida aproksimatsiyalash // «Zamonaviy ishlab chiqarishning ish samaradorligi va energo-resurs tejamkorligini oshirish muammolari» mavzusidagi Xalqaro ilmiy-amaliy anjuman. Andijon, 2018. - B. 528-529.
11. Azimov B.R. Ibragimov S.S. Signallarga raqamli ishlov berish va uning imkoniyatlari // "Zamonaviy ishlab chiqarishning ish samaradorligi va energo-resurs tejamkorligini oshirish muammolari" mavzusidagi Xalqaro ilmiy-amaliy anjuman. 2018. Andijon. - B. 511-513.
12. Baxromov S.A., Azimov B.R. Lagranj interpolyatsion modelini qurish va signallarga tadbiqi. Respublika ilmiy-texnik anjumanining maъruzalar to'plami 1-qism. 14-15 mart 2019 yil. Toshkent. - B. 320-321.
13. Baxromov S.A., Azimov B.R. Teng oraliqlar uchun Lagranj va lokal interpolyatsion kubik splayn modellarini qurish va signallarga tadbiqi // "Axborot kamunikatsiya texnologiyalari va dasturiy taъminot yaratishda inovatsion g'oyalar" nomli Respublika ilmiy-texnik anjumani. 2019. Samarqand. - B. 55-57.
14. Sadaddinova S.S., Pozilov M.S., Toshpo'latov M. Sonli usullar va dasturlash: O'quv qo'llanma. - Toshkent: TATU, 2015. - 385 B.
May, 2022'
1101
