CC BY
239
неидентичность, хотя и родственность терминов «проекции вектора» в курсе физики и «координаты вектора» в курсе математики. Следует при решении задач по механике повторять учащимся утверждение из геометрии: «Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов». В противном случае алгоритмы решения задач по указанным темам будут применяться учащимися формально, не достигая полного понимания математического обоснования решения.
Таким образом, учебный процесс преподавания требует использования межпредметных связей физики и математики, а именно: сочетания теоретических методов изучения физики с
экспериментальными методами на основе доступных понятий элементарной математики. Этот подход обеспечивает одновременно достижение высокого уровня усвоения математики, формирует критическое и логическое мышление учеников, а также способствует пониманию единства материального мира. У учащихся появляется понимание того, что математические формулы и уравнения реально воплощаются в жизнь в физических процессах.
Т. В. Крылова
Функциональная пропедевтика в пятом классе
Изучение понятия функции в школьном курсе имеет несколько уровней. Первый уровень - пропедевтический, его можно разделить на два этапа. Первый этап пропедевтического уровня реализуется в начальной школе. При изучении различных тем учащимся разъясняется, что такое зависимости между величинами. При решении задач они рассматривают зависимости изменения одной величины от другой, например стоимости от цены, пути от времени. Второй этап пропедевтического уровня относится к 5-6 классам. Отличается от первого содержанием деятельности учащихся. Составляются таблицы значений переменных, наглядно представленных зависимостей. Рассматриваются диаграммы, в которых наглядно представлены зависимости между дискретными величинами, графики температуры и т. д.
Вспомним, что функция - это математическое понятие, обладающее следующими характеристиками: областью определения, множеством значений, способом задания, свойствами.
Понятие функции вводится в курсе алгебры 7 класса, затем это понятие постепенно развивается вплоть до конца 11 класса.
211
В настоящей работе мы рассмотрим, как можно подготовить школьников в процессе изучения математики в пятом классе к осмысленному восприятию понятия функции в старших классах.
В работе мы предлагаем серию задач, знакомящих учащихся пятых классов с основными идеями функции: изменением, зависимостью, соответствием.
Знакомство это осуществляется с помощью понятия величины, решения текстовых задач, изменения результатов арифметических действий при изменении компонентов и др.
I. Функция - это зависимость между величинами. Понятие функциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке, поэтому мы более подробно остановимся на задачах, раскрывающих зависимость между величинами.
В пятом классе рассматриваются зависимости между временем движения, скоростью движения и изменением скорости движения. При решении задач можно составить таблицы. Например:
1. Автомобиль проезжает за час 60 км. Какой путь он пройдет за 2 ч? За 3 ч? За 5 ч? За х ч?
В отношении функциональной пропедевтики здесь существенно следующее: установлена зависимость между величинами; сделана табличная запись зависимости; в таблице время и путь выступают как переменные величины, а скорость - постоянная.
2. Автомобиль проехал за некоторое время 100 км. Сколько километров он проехал бы, если он ехал бы в 2 раза быстрее? В 4 раза быстрее? В 5 раз быстрее? В 2 раза медленнее? В 4 раза медленнее?
Выполнение таких упражнений и повторение время от времени различных функциональных зависимостей формируют представления учащихся о том, что есть величины, которые могут менять своё значение, причём в зависимости от изменения одной величины другая величина принимает определённое значение.
В пятом классе учащиеся знакомятся с буквенной символикой. К буквенной символике учащиеся подходят на основании простой аналогии: сначала буква была конкретным числом в уравнении, любым в записи обобщающих положений (арифметических законов, общего правила изменения компонентов и результатов действия). Затем буква стала применяться в формуле, для выражения соответствия между переменными, то есть она стала символизировать переменную. Формировать понимание переменной необходимо вместе с областью её определения.
Упражнения для введения буквенной символики.
1. Пешеход идет со скоростью 4 км в час. Какое расстояние он пройдет за 2 ч? За 3 ч? За 4 ч? За х ч? Обозначить путь, пройден-
212
ный пешеходом, буквой S и вычислить его для каждого случая. Какое значение может принимать х в формуле S = 5х?
2. На покупку тетрадей имеется 200 р. Сколько можно купить тетрадей, если одна тетрадь стоит 2 р, 8 р, 25 р, 200 р, n рублей?
В первой задаче х не может быть очень большим числом (х = 1000 часов - нереальное значение) и не может быть отрицательным числом.
Во второй задаче сама математическая операция (деление) накладывает ограничение на выбор n. Прежде всего n не может быть равно нулю. Учитывая реальный смысл задачи, n не может быть отрицательным числом.
В приведенных примерах буква уже не любое произвольное число и не одно определенное число, буква есть символ переменной. Это новое понятие довольно трудное для понимания учащихся
5 класса, поэтому надо приложить максимум усилий для доступного изложения этого понятия.
Приведем еще несколько примеров, с помощью которых можно подводить учащихся к пониманию понятия функции, к области определения допустимых значений величин.
1. Брату р лет, а сестра на 4 года моложе. Сколько лет сестре? Какое значение может принимать р?
2. Цена одной розы 50 рублей. Маша купила n роз. Сколько стоит Машин букет роз? Какое значение может принимать n?
3. Маша заплатила за букет роз 120 рублей. Сколько роз купила Маша, если одна роза стоит m рублей? Какое значение может принимать m?
4. В вазе 10 яблок. Сколько яблок останется, если возьмут 2 яблока? 3 яблока? 5 яблок? m яблок? От чего зависит результат? На сколько единиц он изменяется? Почему? Какое значение может принимать m?
5. Турист, пройдя деревню Простоквашино, в настоящее время находится на расстоянии 5 км от нее. На каком расстоянии от этой деревни будет находиться турист через 3 ч (через 4 ч, 2 ч тому назад, через t часов), если он идет со скоростью 3,5 км в час? Написать общую формулу расстояния.
6. Петя проехал на велосипеде 20 км, а затем прошел пешком
6 км. Сколько часов он находился в пути, если на велосипеде он ехал со скоростью х км в час, а пешком шел со скоростью у км в час? Записать формулу и по ней вычислить время при: а) х = 10, у = 3; б) х = 12,5, у = 4. Какие значения могут принимать указанные в задаче буквы?
7. Записать частное от деления произведения чисел t и 5 на число k. Вычислить при t = 1,2, k = 1,5. Какие значения могут принимать указанные в задаче буквы?
213
Хочется еще раз подчеркнуть всю важность формирования у учащихся сознательного использования буквенной символики. Учащиеся должны отчетливо представлять, что буква как символ переменной в уравнениях принимает одно определенное значение; в тождестве это любое число; в формуле, устанавливающей соответствие между переменными, это определенное значение из области допустимых значений.
В работе с математическими величинами и числовыми значениями необходимо выработать навык осмысленного отношения к значениям реальных величин. Если это не будет сделано в 56 классах, то и в старших классах при решении задач методом составления уравнения мы будем получать от учащихся ответы вида: 33,5 коровы или - 57 км.
При решении арифметических примеров необходимо обращать внимание учащихся на допустимые значения уменьшаемого, вычитаемого, делителя в области тех чисел, с которыми учащиеся знакомы. Например:
Каким может быть число х в области целых положительных чисел, чтобы можно было выполнить указанные действия:
а) х + 5, б) х - 5, в) ~х,г) х«5.
В начальной школе учащиеся знакомились с изменением величин и закономерностями этого изменения на числовых выражениях. Они выявляли закономерности изменения компонентов действия и полученных результатов для действий сложения, вычитания, умножения и деления. В V классе эта работа продолжается. Приведем пример вывода закономерностей изменения компонентов действий и полученных результатов для действия сложения.
1. Как изменится сумма двух чисел, если второе слагаемое увеличить на 1, 2, 3, 10, 100, п?
При записи решения подобных заданий удобно использовать таблицы.
Вывод: если a + b= c, то (a + п)+ b= c + n.
2. Как изменится сумма двух чисел, если первое слагаемое увеличить на 1 (на 3, на 5, на 17, на п), а второе на 2 (на 4, на 6, на 28, на р)?
Вывод: если a +. b= c, то (a + n)+(b + m) = c +( n + m).
3. Как изменится сумма двух чисел, если второе слагаемое уменьшить на 1, 2, 3, 10, 100, п?
4. Как изменится сумма двух чисел, если первое слагаемое уменьшить на 1 (на 3, на 5, на17, на п), а второе на 2 ( на 4, на 6, на 28, на p)?
5. Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 10 (на 30, на 50), а второе уменьшить на 5 (на 15, на 25)?
214
Аналогичные упражнения можно предложить и на изменение разности, произведения, частного.
II. В 7 классе рассматриваются несколько способов задания функции, в том числе: а) с помощью формулы, б) таблицей, в) графически.
Решение задач методом составления таблиц служит хорошей основой для пропедевтики идеи функции.
1. В кафе ежедневно продают а пирожных по 60 р. Объясните, что обозначает выражение 60а Заполните таблицу:
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
a
60^ а
2. Сторона квадрата а см. Вычислите периметр и площадь квадрата. Заполните таблицу:
a 2 10 15 22 64 100
P=4a
S=a2
В 5 классе изучается координатный луч, в 6 классе он будет дополнен до координатной прямой, которая в свою очередь является важной составляющей координатной плоскости.
Изобразите на координатном луче точки А(2), В(8), С(12). Найдите середины отрезков АВ, ВС, АС.
III. В 7 классе ставится задача отыскания аргумента по известному значению функции. Ответ на этот вопрос решается посредством линейного уравнения, теоретические основы которого закладываются в 5 классе. Решая уравнение 2х+4=10, мы отвечаем на вопрос «При каком значении аргумента значение функции у=2х+4 равно 10?». Учащимся можно предложить решить задачи: Найти сторону квадрата, зная его периметр (площадь). Найти ребро куба, зная его объем.
К концу пятого класса учащиеся овладевают техническими действиями, необходимыми для выполнения упражнений по теме «Функция» в 7 классе, и у них закладывается база для успешного прохождения данной темы.
Е. В. Лаврентьева
Организация проектно-исследовательской деятельности старших школьников по межпредметной тематике
В современных условиях проектно-исследовательские работы становятся важной частью образовательного процесса в средней общеобразовательной школе. Это объясняется тем, что данный вид деятельности обладает большим потенциалом для реализации индивидуального и личностно ориентированного подходов к каждому ученику.
215
