Фундаментальные задачи трибофатики и их практическое применение в машиностроении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТРИБОФАТИКИ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В МАШИНОСТРОЕНИИ

© 2011 М.А. Журавков, С.С. Щербаков Белорусский государственный университет, г. Минск, Беларусь Поступила в редакцию 10.11.2011

Рассмотрены некоторые основные задачи взаимодействия в трибофатических системах. Приведены результаты расчетов, показывающие влияние объемных (неконтактных) нагрузок на контактное давление. Рассмотрены напряженно-деформированное состояние и состояние поврежденности типичной трибофатической системы.

Ключевые слова: трибофатическая система, пространственное напряженно-деформированное состояние, контактное взаимодействие, неконтактные нагрузки. состояние поврежденности, опасный объем.

Объектами исследования в трибофатике являются механические системы, в которых одновременно реализуется контактное взаимодействие с трением (качения, скольжения) между деформируемыми твердыми телами и неконтактное (объемное) деформирование по крайней мере одного из элементов системы [1-4].

Характерными примерами трибофатических систем являются системы ролик/вал, ролик/кольцо, труба/поток вязкой жидкости. Эти системы представляют собой модели таких практически важных систем, как зубчатые зацепления, колесо/рельс, участок магистрального трубопровода и мн. др. Применительно к трибофатическим системам изучаются как их напряженно-деформированное состояние, так и состояние поврежденности

1. Обобщенная трибофатическая система В качестве трибофатической системы обычно рассматривается пара элементов (ролик/вал, ролик/кольцо, труба/поток жидкости и т.д.), в которой по крайней мере один из них подвержен действию как контактной, так и неконтактной нагрузок. Здесь рассмотрим систему, состоящую из более чем двух элементов [5,6], и изучим общий случай взаимодействия п тел.

Движение каждого из п тел может быть описано следующим образом:

г*=е*|1\^аг = 1..и, (1)

k т%k

где г и К - векторы, определяющие положение частицы ^го тела в пространственной (эйлеровой) и связанной с телом (лагранжевой) системах координат, t -

время, ак - отображение, связывающее начальную (недеформированную) для момента времени ^ и те-

Журавков Михаил Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор, первый проректор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика». E-mail: tribo-fatique@sail.ru

Щербаков Сергей Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика», ученый секретарь механико-математического факультета. E-mail: tribo-fatique@sail.ru

кущую (деформированную) конфигурации ^го тела для момента времени t.

К уравнениям, определяющим механическое состояние частицы каждого из элементов систем, добавляют граничные условия первого типа, т.е. если

Т7к* V

заданы перемещения и. ^ на поверхности Ъи

упругого тела:

м*=й;*Ч\Г (2)

и/или второго типа, если на поверхности тела S0■ задано распределение усилий р

(3)

где I. - направляющие косинусы.

Помимо этого могут быть заданы начальные усло-

вия

к\ к О

U ~U: .

1 \t=о '

■к I -кО

u: =и: .

1 1*=о '

(4)

(5)

Взаимодействие п движущихся деформируемых тел можно описать с помощью контактных граничных условий, определяемых следующими соотношениями:

U i , t йя Г " , t

s vm

=«2'«'.rvL.- r'<L.+r-<t

ЫШ)

SU

ll u

-l„ u

р/ ^

■p a\t

(6)

(7)

' h(lm)

= 0,

где S>'lm) - поверхность контакта тел l и

m g(lm) g(lm) g(lm) g(lm)

—к —к

J к —к —к 1 Jk к — -4к 1 ,Р2>Рз J A>Pz . И ик = Щ

р к = Ё

векторы усилий и перемещений на поверхности ^го тела, Рп и рх — нормальная и касательная компоненты вектора усилий, {¡^ - вектор сближения двух

s

тел,

вектор, компонентами ко-

торого являются интегральные операторы, определяющие поверхностные усилия. Так, в упругой постановке данные операторы имеют следующий вид:

Ц + + и,Л • (8)

где 5.. - дельта Кронекера, ц и X - постоянные Ламе.

Если между телами I и т реализуется случай неконформного контактного взаимодействия, то контактная поверхность $'(т) является изначально неизвестной. В этом случае размеры и формы областей контакта, а также распределение контактных усилий

можно наити, воспользовавшись вариационными методами или методом обращения матрицы .

2. Система разрешающих уравнений для двух тел Анализ сложных трибофатических систем, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов, требует построения особой системы разрешающих уравнений. В первом приближении подобная система на примере двух взаимодействующих тел I и т для случая упругого деформирования может быть записана с использованием аппарата интегральных уравнений [5,6] в следующей символической форме:

PS)

u( S)

f(8) flm

P ( S )

m

u(S)

m ,

Xtß

L

О

0 0

_LaLf^J iPj

где

pi = й1,р'2,р'з ,и, = А

L «

и

0 о

^ г

L L^J

Pm

ю

L L°J

L ^

и

0 0

0 0

-L L

а > м

-L«

Ltß

-i

(9)

и I, = т^Л^Лз ~ векторы усилий, перемещений на поверхности и

О 7-С,О

из интегральных операторов для действия поверхностных и объемных сил:

объемных сил внутри /-го тела, ffi" ^ /.f'" ] I.f" ^ и L* " ^ /.f "

векторы, состоящие

s^Ail v^iAiAbl

(10)

(11)

В операторах (10) и (11) , , G'"'p\ пряжениях, р/" - неизвестные «фиктивные» гра-

G

1>.9 )

представляют собой соответствующие функ-

ции влияния из фундаментальных решений [5] для полупространства при действии на него нормальной (верхний индекс р) и касательной к поверхности сил (верхний индекс q) в перемещениях (верхний индекс и) и напряжениях (верхний индекс о ).

Решение системы (10) заключается в определении р

— — (г) — (/) — (S) — (Im) — (/)

Pi=Pi +Pi =Р, + Р, +Р, ,

(12)

_ (г) — (S) — (Im) ,

где рг = рг + рг - приложенные (контактные и неконтактные) граничные условия в на-

ничные условия в напряжениях, соответствующие приложенным граничным условиям в перемещени-

—( S ) —

ях U( ) и Ulm •

После расчета на поверхности тела рг с помощью (9) и (12) напряженно-деформированное состояние в точке М ^, х2, х3 тела / может быть

определено из следующих соотношений для поверхностных и объемных сил

(13)

Аналогичным способом строится система для более чем двух взаимодействующих тел.

0

3. Расчет взаимодействия двух тел с учетом объемного деформирования

Рассмотрим пример реализации системы (13) в ее более простом варианте (12) для двух тел применительно к исследованию обратного эффекта [1-3]. В качестве объекта исследования возьмем систему ролик/вал, на которую действуют контактная Ем и неконтактная Еь силы (рис. 1,а). Данная модель используется, в частности? при износоусталостных испытаниях на контактно-механическую усталость.

Для этой модели будем решать задачу о влиянии величины неконтактной нагрузки на изменение контактного давления.

Из рис. 1,6 видно, что поверхности контактирующих тел являются поверхностями второго порядка и для определения контактного давления можно было бы ограничиться теорией Герца. Однако, поскольку при решении системы (12) более вероятны случаи контакта тел с поверхностями произвольной формы, предпочтительнее пользоваться при расчете контактного давления более общими методами численного моделирования. В нашем расчете будет использоваться метод обращения матрицы, описание которого можно найти, например в [7].

а)

б)

Рис. 1. Схемы а) износоусталостных испытаний, б) трибофатической системы ролик/вал.

Упругие перемещения соответствующих точек двух поверхностей удовлетворяют соотношению

+ йг1+ | с, уУг2 С, =

[^(х,;/)^, (14)

1>0,(х,у)е8,

где 5 - сближение контактирующих тел, 2](х. у) и 22(х, у) - уравнения поверхностей тел, 5" - область контакта.

Проведем равномерное разбиение плоской области 5 на квадратные элементы, на каждый из ко-

= иг1+ ил+ Ь^ у

торых действует подлежащий определению элемент давления постоянной величины ру. Сформируем матрицу коэффициентов влияния которая оп-

ределяет перемещение в точке (хР, уч) под действием единичного элемента давления с центром в точке

и

рч _

I

■г тУу (15)

где кЕ - коэффициент упругих свойств контактирующих тел.

В свою очередь, контактная сила Ем связана с узловыми значениями элементов давления формулой

(16)

р

где к5 - коэффициент, определяемый формой и размерами элементов давления.

Подставляя (15) в (14), получим

(17)

у ке

Задавая сближение тел 8, имеем значения неизвестных ру, умножив обе части уравнения (17) на

Если задана контактная нагрузка /•'•,■. а 8 неизвестно, то (17) решается совместно с (16).

В системе ролик/вал реализуется случай неконформного контакта, поэтому в первом решении системы (17) в окрестности границ контактной области могут появиться точки, где ру < 0. Это означает, что для поддержания контакта на всей расчетной области в таких точках сетки необходимо приложить растягивающие усилия.

Данные элементы разбиения исключаются из предполагаемой области контакта (давления в них полагаются равными нулю) и уравнение (17) решается для обновленной сетки. Описанный процесс повторяется до тех пор, пока на некотором шаге полученные ру становятся неотрицательными.

Численное моделирование контактного взаимодействия двух тел проводилось при следующих параметрах: г'1=г'2 = 0,3, Е\ = Е2 = 2,01-10 Па, Яи = 0,005 м, Яи = 0,05 м, Я21 = 0,01 м, Я22 = -0,01 м (см. рис. 1,6).

Контактная нагрузка задавалась а) силой Еы = 2000 Н и б) сближением 8 = 2,723-10-5 м, соответствующим по теории Герца указанному значению Ем. Соотношение полуосей эллипса контакта а/Ъ=0.89. Размеры расчетной области: -1,5(7 < х,у < 1,5(7, где а = 5,296-Ю-1 м. Область разбивалась на 21x21 квадратных элементов.

Полученное в результате итерационного решения системы (17) распределение контактного давления (рис. 2) сравнивали с аналитическим решением по Герцу для эллиптического распределения вида. Погрешности оценивались по следующим формулам:

Таблица 1. Интегральные показатели погрешности

где верхний индекс Н означает решение по Герцу.

Из рис. 2,б и 3 видно, что при контактной нагрузке, заданной ^ на краях области контакта, погрешность численного моделирования наибольшая. При контактной нагрузке, заданной 5, распределение погрешности практически не отличается от представленного на рис. 3.

Кроме контактной нагрузки, которую будем задавать сближением б = 2,723-10~э м, к валу также будем прикладывать растягивающую (сжимающую) или изгибающую нагрузку.

Перемещения области контакта в результате действия ¥ъ имеют вид:

и

(19)

а)

6>Г

Рис. 2. Распределение контактного давления, отнесенного кр0 = 3,844-109 Па а) по области контакта, б) вдоль оси х в сравнении с аналитическим решением (сплошная кривая).

Рис. 3. Распределение погрешности г, по области несогласованного контакта.

Из табл. 1 видно, что погрешности при контактной нагрузке, заданной Т7^, незначительно меньше, чем при заданной 5.

Вид Вид контактного

нагружения

погрешности 5

^тах 4,929-10-2 5,9-10-2

3,871-Ю"3 4-Ю"3

В системе координат, показанной на рис. 1,б, перемещения (15) при растяжении-сжатии составляют

2 (20)

а при изгибе

V, 0 2 Е2 12\ (21)

Из рис. 4,а видно, что максимальное контактное давление р0, отнесенное к р{0с) = 3,844-109 Па, в зависимости от неконтактных напряжений в центре области контакта ста, отнесенных к

о

= 6,4-10 Па, изменяется примерно от +17% до -20% при растяжении-сжатии и примерно от +9% до -9% при изгибе.Из рис. 4, б следует, что контактная сила

отнесенная к ) = 2000 Н, в зависимости от

неконтактных напряжений в центре области контакта

ст0, отнесенных к = 6,4-108 Па, изменяется

примерно от +60% до -50% при растяжении-сжатии и примерно от +27% до -25% при изгибе.Из рис. 5 видно, что при испытаниях на контактно-механическую усталость изменение коэффициента сопротивления качению несколько больше в зоне сжатия, чем в зоне растяжения. Это в качественном отношении соответствует результатам приведенных расчетов (см. рис. 4 и 5).Рассмотрим результаты численного расчета пространственного напряженно-деформированного состояния [2, 3, 8, 9] системы ролик/вал в соответствии с выражением (6). Из распределений, представленных на рис. 6, хорошо видно, что напряженно-деформированное состояние трибофатической системы значительно отличается (качественно и количественно) от таковых при традиционно отдельно изучаемых контакте и изгибе.

а)

б)

Рис. 4. Зависимость а) максимального контактного давления б) контактной нагрузки от уровня неконтактных напряжений.

г„ L Конин

0.06К я ш ■ "

о.оы сжатия я о <0 Трение качения /= 0,0026

О.ОоО юна / А растяжеичя Кон

0.056

О SO 160 24U 320 +00 4S0 +<т„ МПа

Рис. 5. Экспериментальная зависимость между параметрами трения в системе ролик/вал и неконтактными напряжениями в области контакта (р0 = 200МПа = const).

Рис. 6. Распределение напряжений: а - с1,,"*1; б - ; в - <з{"х] + а<? > 0); г - а<? -(О < 0) отнесенных к максимальному ро, в окрестности площадки контакта (у = 0, а/Ь = 0.5).

4. Состояние поврежденности

Состояние поврежденности при контактном взаимодействии будем оценивать с помощью окта-эдрирческого опасного объема [9-Ошибка! Источник ссылки не найден.]

V- =

v nit

vk (22)

в качестве интегральной характеристики поврежденности и относительной величины интенсивности напряжений

gы=°ыl°<2r) (23)

для анализа локальных повреждений внутри опасного объема.

Максимальное давление в центре контакта и максимальная интенсивность напряжений при Ыа = 0,5 связаны следующим соотношением

аГах) = 0,62^ =0,62^

1;г=0,;у=0,г=0

Тогда для предела контактной усталости

Г/шш У0 ^

предельная интенсивность напряжений будет

(24)

(25)

а

,(*lim) _

0,62 р

f min •

(26)

На рис. 7, 8 показаны опасные объемы и повреж-денность для ст[п11|т' = 0,3р() при действии только

нормальной контактной нагрузки р^у (рис. 7) и совместном действии нормальной и касательной с/ ^Ро^У ^ (Рис- 8) контактных нагрузок.

Рис. 7. Опасный объем УП"" и распределение локальных повреждений в его сечениях

Кроме того, на рис. 7, 8 приведены значения средней поврежденности опасного объема, вычисляемые по следующей формуле:

¡^У (27)

а

Из рис. 8 видно, что в направлении действия касательных усилий видны характерные изменения формы октаэдрического опасного объема по сравнению со случаем чистого контакта (рис. 7).

Рис. 8. Опасный объем и распределение

локальных повреждений в его сечениях.

Также видно, что наибольший опасный объем и средняя поврежденность формируются при одновременном действии нормальных р(х,у) и касательно?) 4 ~~~ ных д усилии.

На рис. 9, 10 показаны опасные объемы и повре-

.—С *Нт)

жденность в вале для сты при совместном действии нормальной контактной нагрузки и неконтактной изгибающей силы ¥ъ.

Из данных рисунков видно изменение формы и

величины

К.

вследствие действия неконтактной

силы по сравнению со случаем чистого контакта (рис. 7).

Из сравнения рисунков рис. 9, 10 видно, что в области растяжения (рис. 9) окрестности контакта

силой поврежденность будет наибольшей.

5. Заключение

Представлены решения задачи определения механических состояний трибофатических систем, с учетом контактного взаимодействия элементов системы и действия неконтактной нагрузки.

Построена система интегральных уравнений для системы твердых тел, к которым приложены смешанные граничные условия. Решение предложенной системы уравнений для поверхностей, взаимодействующих тел (т.е. определение граничных условий) позволяют моделировать обратный эффект в трибо-фатике, а решение для внутренней области тела -прямой.

Приведено решение задачи о состоянии повреж-денности трибофатической системы, которое построено на базе представления об объемной мере поврежденности, называемой опасным объемом.

Рис. 9. Опасный объем } и распределение локальных повреждений в его сечениях.

Рис. 10. Опасный объем У^ Ь]}

и распределение локальных повреждений в его сечениях.

Показано, что как напряженно-деформированное состояние, так и состояние поврежден-ности может значительно изменяться при одновременном действии контактных и неконтактных нагрузок.

Данные изменения предоставляют возможность управления поврежденностью, а, следовательно, и долговечностью трибофатических систем, соотношением нагрузок различной природы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сосновский, Л.А. Основы трибофатики/ Л. А. Соснов-ский. - Гомель: БелГУТ, 2003. - Т. 1. - 246 с.; - Т. 2. -234с.

2. Sosnovskiy, L.A. Tribo-Fatigue. Wear-fatigue damage and its prediction (Foundations of engineering mechanics)/ L.A. Sosnovskiy. - Springer, 2004. - 424 pp.

3. Сосновский, Л.А. Механика износоусталостного повреждения / Л. А. Сосновский. - Гомель: БелГУТ, 2007. - 434 с.

4. Журавков, М.А. Математическое моделирование в трибо-фатике / М.А. Журавков, Л.А. Сосновский, С.С. Щербаков // Х Белорусская математическая конференция: Тез. Докл. Междунар. науч. конф. Минск, 3-7 ноября 2008 г. -Часть 2. - Мн.: институт математики НАН Беларуси, 2008. - С. 120-121.

5. Бенерджи, П., Баттерфилд, Р. "Методы граничных элементов в прикладных науках," М., Мир, 1984, 494 с

6. Журавков, М.А. Математическое моделирование деформационных процессов в твердых деформируемых средах (на примере задач механики горных пород и массивов): курс лекций / М. А. Журавков. - Минск: БГУ, 2002. - 456 с.

7. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. - М.: Мир, 1989. - 510 с.

8. Щербаков С.С. Исследование напряженного состояния силовой системы для испытаний на контактно-механическую усталость / Динамжа, мщтсть i надшшстъ сшьскогосподарсьюх машин: тр. I Междунар. науч.-техн. конф., Тернополь, Украина, 4-7 октября 2004 г. С. 400407.

9. Sosnovskiy, L.A. Vibro-impact in rolling contact / L.A.

Sosnovskiy, S.S. Sherbakov // Journal of Sound and Vibration. - 2007. -Vol.308, Issues 3-5, - С. 489-503.

10. Журавков, М.А. Расчет опасных объемов при контактном нагружении / М. А. Журавков, С.С. Щербаков // Вестн. БГУ Сер. 1. 2007. - № 1. - С. 117-122.

11. Журавков М.А., Щербаков С.С. Исследование опасных объемов при решении контактной задачи для системы ролик/кольцо // Тр. V Междунар. симпозиума по трибо-фатике (ISTF 2005), Иркутск, Россия, 3-7 октября 2005 г. Т. 1. С. 375-390.

12. Трощенко, В.Т. Сопротивление усталости металлов и сплавов: справочник в 2 т. / В.Т. Трощенко, Л. А. Сосновский. - Киев: Наукова думка, 1987. - Т. 1. - 508 с.

13. Сосновский, Л.А. Статистическая механика усталостного разрушения / Л. А. Сосновский. - Минск: Наука и техника, 1987. 288 с.

FUNDAMENTAL AND APPLIED PROBLEMS OF TRIBO-FATIGUE AND THEIR PRACTICAL APPLICATIONS IN MACHINE BUILDING

© 2011 M.A. Zhuravkov, S.S. Sherbakov

Belarusian State University, Minsk, Belarus

Main some problems of interaction in tribo-fatigue systems are considered. The results of calculations showing influence of volume (non-contact) loads on contact pressure are presented. Stress-strain state and state of damage of typical tribo-fatigue system are considered.

Key words: tribo-fatigue system, spatial stress-strain state , contact interaction, non-contact loads, state of damage, dangerous volume

Michail Anatolievich Zhuravkov, Doctor of Physws and Mathematics, Professor, first pro-rector, Head of managing chair «Theoretical and applied mechanics». E-mail: tribo-fatique@sail.ru

Sergei Sergeevitch Sherbakov, Cand.Tech.Sci., Docent of chair «Theoretical and applied mechanics». E-mail: tribo-fatique@sail.ru