CC BY
45
УДК 539.3.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТРИБОФАТИКИ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В МАШИНОСТРОЕНИИ
© 2011 М.А. Журавков, С.С. Щербаков Белорусский государственный университет, г. Минск, Беларусь Поступила в редакцию 10.11.2011
Рассмотрены некоторые основные задачи взаимодействия в трибофатических системах. Приведены результаты расчетов, показывающие влияние объемных (неконтактных) нагрузок на контактное давление. Рассмотрены напряженно-деформированное состояние и состояние поврежденности типичной трибофатической системы.
Ключевые слова: трибофатическая система, пространственное напряженно-деформированное состояние, контактное взаимодействие, неконтактные нагрузки. состояние поврежденности, опасный объем.
Объектами исследования в трибофатике являются механические системы, в которых одновременно реализуется контактное взаимодействие с трением (качения, скольжения) между деформируемыми твердыми телами и неконтактное (объемное) деформирование по крайней мере одного из элементов системы [1-4].
Характерными примерами трибофатических систем являются системы ролик/вал, ролик/кольцо, труба/поток вязкой жидкости. Эти системы представляют собой модели таких практически важных систем, как зубчатые зацепления, колесо/рельс, участок магистрального трубопровода и мн. др. Применительно к трибофатическим системам изучаются как их напряженно-деформированное состояние, так и состояние поврежденности
1. Обобщенная трибофатическая система В качестве трибофатической системы обычно рассматривается пара элементов (ролик/вал, ролик/кольцо, труба/поток жидкости и т.д.), в которой по крайней мере один из них подвержен действию как контактной, так и неконтактной нагрузок. Здесь рассмотрим систему, состоящую из более чем двух элементов [5,6], и изучим общий случай взаимодействия п тел.
Движение каждого из п тел может быть описано следующим образом:
г*=е*|1\^аг = 1..и, (1)
k т%k
где г и К - векторы, определяющие положение частицы ^го тела в пространственной (эйлеровой) и связанной с телом (лагранжевой) системах координат, t -
время, ак - отображение, связывающее начальную (недеформированную) для момента времени ^ и те-
Журавков Михаил Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор, первый проректор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика». E-mail: [email protected]
Щербаков Сергей Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика», ученый секретарь механико-математического факультета. E-mail: [email protected]
кущую (деформированную) конфигурации ^го тела для момента времени t.
К уравнениям, определяющим механическое состояние частицы каждого из элементов систем, добавляют граничные условия первого типа, т.е. если
Т7к* V
заданы перемещения и. ^ на поверхности Ъи
упругого тела:
м*=й;*Ч\Г (2)
и/или второго типа, если на поверхности тела S0■ задано распределение усилий р
(3)
где I. - направляющие косинусы.
Помимо этого могут быть заданы начальные усло-
вия
к\ к О
U ~U: .
1 \t=о '
■к I -кО
u: =и: .
1 1*=о '
(4)
(5)
Взаимодействие п движущихся деформируемых тел можно описать с помощью контактных граничных условий, определяемых следующими соотношениями:
U i , t йя Г " , t
s vm
=«2'«'.rvL.- r'<L.+r-<t
ЫШ)
SU
ll u
-l„ u
р/ ^
■p a\t
(6)
(7)
' h(lm)
= 0,
где S>'lm) - поверхность контакта тел l и
m g(lm) g(lm) g(lm) g(lm)
—к —к
J к —к —к 1 Jk к — -4к 1 ,Р2>Рз J A>Pz . И ик = Щ
р к = Ё
векторы усилий и перемещений на поверхности ^го тела, Рп и рх — нормальная и касательная компоненты вектора усилий, {¡^ - вектор сближения двух
s
тел,
вектор, компонентами ко-
торого являются интегральные операторы, определяющие поверхностные усилия. Так, в упругой постановке данные операторы имеют следующий вид:
Ц + + и,Л • (8)
где 5.. - дельта Кронекера, ц и X - постоянные Ламе.
Если между телами I и т реализуется случай неконформного контактного взаимодействия, то контактная поверхность $'(т) является изначально неизвестной. В этом случае размеры и формы областей контакта, а также распределение контактных усилий
можно наити, воспользовавшись вариационными методами или методом обращения матрицы .
2. Система разрешающих уравнений для двух тел Анализ сложных трибофатических систем, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов, требует построения особой системы разрешающих уравнений. В первом приближении подобная система на примере двух взаимодействующих тел I и т для случая упругого деформирования может быть записана с использованием аппарата интегральных уравнений [5,6] в следующей символической форме:
PS)
u( S)
f(8) flm
P ( S )
m
u(S)
m ,
Xtß
L
О
0 0
_LaLf^J iPj
где
pi = й1,р'2,р'з ,и, = А
L «
и
0 о
^ г
L L^J
Pm
ю
L L°J
L ^
и
0 0
0 0
-L L
а > м
-L«
Ltß
-i
(9)
и I, = т^Л^Лз ~ векторы усилий, перемещений на поверхности и
О 7-С,О
из интегральных операторов для действия поверхностных и объемных сил:
объемных сил внутри /-го тела, ffi" ^ /.f'" ] I.f" ^ и L* " ^ /.f "
векторы, состоящие
s^Ail v^iAiAbl
(10)
(11)
В операторах (10) и (11) , , G'"'p\ пряжениях, р/" - неизвестные «фиктивные» гра-
G
1>.9 )
представляют собой соответствующие функ-
ции влияния из фундаментальных решений [5] для полупространства при действии на него нормальной (верхний индекс р) и касательной к поверхности сил (верхний индекс q) в перемещениях (верхний индекс и) и напряжениях (верхний индекс о ).
Решение системы (10) заключается в определении р
— — (г) — (/) — (S) — (Im) — (/)
Pi=Pi +Pi =Р, + Р, +Р, ,
(12)
_ (г) — (S) — (Im) ,
где рг = рг + рг - приложенные (контактные и неконтактные) граничные условия в на-
ничные условия в напряжениях, соответствующие приложенным граничным условиям в перемещени-
—( S ) —
ях U( ) и Ulm •
После расчета на поверхности тела рг с помощью (9) и (12) напряженно-деформированное состояние в точке М ^, х2, х3 тела / может быть
определено из следующих соотношений для поверхностных и объемных сил
(13)
Аналогичным способом строится система для более чем двух взаимодействующих тел.
0
3. Расчет взаимодействия двух тел с учетом объемного деформирования
Рассмотрим пример реализации системы (13) в ее более простом варианте (12) для двух тел применительно к исследованию обратного эффекта [1-3]. В качестве объекта исследования возьмем систему ролик/вал, на которую действуют контактная Ем и неконтактная Еь силы (рис. 1,а). Данная модель используется, в частности? при износоусталостных испытаниях на контактно-механическую усталость.
Для этой модели будем решать задачу о влиянии величины неконтактной нагрузки на изменение контактного давления.
Из рис. 1,6 видно, что поверхности контактирующих тел являются поверхностями второго порядка и для определения контактного давления можно было бы ограничиться теорией Герца. Однако, поскольку при решении системы (12) более вероятны случаи контакта тел с поверхностями произвольной формы, предпочтительнее пользоваться при расчете контактного давления более общими методами численного моделирования. В нашем расчете будет использоваться метод обращения матрицы, описание которого можно найти, например в [7].
а)
б)
Рис. 1. Схемы а) износоусталостных испытаний, б) трибофатической системы ролик/вал.
Упругие перемещения соответствующих точек двух поверхностей удовлетворяют соотношению
+ йг1+ | с, уУг2 С, =
[^(х,;/)^, (14)
1>0,(х,у)е8,
где 5 - сближение контактирующих тел, 2](х. у) и 22(х, у) - уравнения поверхностей тел, 5" - область контакта.
Проведем равномерное разбиение плоской области 5 на квадратные элементы, на каждый из ко-
= иг1+ ил+ Ь^ у
торых действует подлежащий определению элемент давления постоянной величины ру. Сформируем матрицу коэффициентов влияния которая оп-
ределяет перемещение в точке (хР, уч) под действием единичного элемента давления с центром в точке
и
рч _
I
■г тУу (15)
где кЕ - коэффициент упругих свойств контактирующих тел.
В свою очередь, контактная сила Ем связана с узловыми значениями элементов давления формулой
(16)
р
где к5 - коэффициент, определяемый формой и размерами элементов давления.
Подставляя (15) в (14), получим
(17)
у ке
Задавая сближение тел 8, имеем значения неизвестных ру, умножив обе части уравнения (17) на
Если задана контактная нагрузка /•'•,■. а 8 неизвестно, то (17) решается совместно с (16).
В системе ролик/вал реализуется случай неконформного контакта, поэтому в первом решении системы (17) в окрестности границ контактной области могут появиться точки, где ру < 0. Это означает, что для поддержания контакта на всей расчетной области в таких точках сетки необходимо приложить растягивающие усилия.
Данные элементы разбиения исключаются из предполагаемой области контакта (давления в них полагаются равными нулю) и уравнение (17) решается для обновленной сетки. Описанный процесс повторяется до тех пор, пока на некотором шаге полученные ру становятся неотрицательными.
Численное моделирование контактного взаимодействия двух тел проводилось при следующих параметрах: г'1=г'2 = 0,3, Е\ = Е2 = 2,01-10 Па, Яи = 0,005 м, Яи = 0,05 м, Я21 = 0,01 м, Я22 = -0,01 м (см. рис. 1,6).
Контактная нагрузка задавалась а) силой Еы = 2000 Н и б) сближением 8 = 2,723-10-5 м, соответствующим по теории Герца указанному значению Ем. Соотношение полуосей эллипса контакта а/Ъ=0.89. Размеры расчетной области: -1,5(7 < х,у < 1,5(7, где а = 5,296-Ю-1 м. Область разбивалась на 21x21 квадратных элементов.
Полученное в результате итерационного решения системы (17) распределение контактного давления (рис. 2) сравнивали с аналитическим решением по Герцу для эллиптического распределения вида. Погрешности оценивались по следующим формулам:
Таблица 1. Интегральные показатели погрешности
где верхний индекс Н означает решение по Герцу.
Из рис. 2,б и 3 видно, что при контактной нагрузке, заданной ^ на краях области контакта, погрешность численного моделирования наибольшая. При контактной нагрузке, заданной 5, распределение погрешности практически не отличается от представленного на рис. 3.
Кроме контактной нагрузки, которую будем задавать сближением б = 2,723-10~э м, к валу также будем прикладывать растягивающую (сжимающую) или изгибающую нагрузку.
Перемещения области контакта в результате действия ¥ъ имеют вид:
и
(19)
а)
6>Г
Рис. 2. Распределение контактного давления, отнесенного кр0 = 3,844-109 Па а) по области контакта, б) вдоль оси х в сравнении с аналитическим решением (сплошная кривая).
Рис. 3. Распределение погрешности г, по области несогласованного контакта.
Из табл. 1 видно, что погрешности при контактной нагрузке, заданной Т7^, незначительно меньше, чем при заданной 5.
Вид Вид контактного
нагружения
погрешности 5
^тах 4,929-10-2 5,9-10-2
3,871-Ю"3 4-Ю"3
В системе координат, показанной на рис. 1,б, перемещения (15) при растяжении-сжатии составляют
2 (20)
а при изгибе
V, 0 2 Е2 12\ (21)
Из рис. 4,а видно, что максимальное контактное давление р0, отнесенное к р{0с) = 3,844-109 Па, в зависимости от неконтактных напряжений в центре области контакта ста, отнесенных к
о
= 6,4-10 Па, изменяется примерно от +17% до -20% при растяжении-сжатии и примерно от +9% до -9% при изгибе.Из рис. 4, б следует, что контактная сила
отнесенная к ) = 2000 Н, в зависимости от
неконтактных напряжений в центре области контакта
ст0, отнесенных к = 6,4-108 Па, изменяется
примерно от +60% до -50% при растяжении-сжатии и примерно от +27% до -25% при изгибе.Из рис. 5 видно, что при испытаниях на контактно-механическую усталость изменение коэффициента сопротивления качению несколько больше в зоне сжатия, чем в зоне растяжения. Это в качественном отношении соответствует результатам приведенных расчетов (см. рис. 4 и 5).Рассмотрим результаты численного расчета пространственного напряженно-деформированного состояния [2, 3, 8, 9] системы ролик/вал в соответствии с выражением (6). Из распределений, представленных на рис. 6, хорошо видно, что напряженно-деформированное состояние трибофатической системы значительно отличается (качественно и количественно) от таковых при традиционно отдельно изучаемых контакте и изгибе.
а)
б)
Рис. 4. Зависимость а) максимального контактного давления б) контактной нагрузки от уровня неконтактных напряжений.
г„ L Конин
0.06К я ш ■ "
о.оы сжатия я о <0 Трение качения /= 0,0026
О.ОоО юна / А растяжеичя Кон
0.056
О SO 160 24U 320 +00 4S0 +<т„ МПа
Рис. 5. Экспериментальная зависимость между параметрами трения в системе ролик/вал и неконтактными напряжениями в области контакта (р0 = 200МПа = const).
Рис. 6. Распределение напряжений: а - с1,,"*1; б - ; в - <з{"х] + а<? > 0); г - а<? -(О < 0) отнесенных к максимальному ро, в окрестности площадки контакта (у = 0, а/Ь = 0.5).
4. Состояние поврежденности
Состояние поврежденности при контактном взаимодействии будем оценивать с помощью окта-эдрирческого опасного объема [9-Ошибка! Источник ссылки не найден.]
V- =
v nit
vk (22)
в качестве интегральной характеристики поврежденности и относительной величины интенсивности напряжений
gы=°ыl°<2r) (23)
для анализа локальных повреждений внутри опасного объема.
Максимальное давление в центре контакта и максимальная интенсивность напряжений при Ыа = 0,5 связаны следующим соотношением
аГах) = 0,62^ =0,62^
1;г=0,;у=0,г=0
Тогда для предела контактной усталости
Г/шш У0 ^
предельная интенсивность напряжений будет
(24)
(25)
а
,(*lim) _
0,62 р
f min •
(26)
На рис. 7, 8 показаны опасные объемы и повреж-денность для ст[п11|т' = 0,3р() при действии только
нормальной контактной нагрузки р^у (рис. 7) и совместном действии нормальной и касательной с/ ^Ро^У ^ (Рис- 8) контактных нагрузок.
Рис. 7. Опасный объем УП"" и распределение локальных повреждений в его сечениях
Кроме того, на рис. 7, 8 приведены значения средней поврежденности опасного объема, вычисляемые по следующей формуле:
¡^У (27)
а
Из рис. 8 видно, что в направлении действия касательных усилий видны характерные изменения формы октаэдрического опасного объема по сравнению со случаем чистого контакта (рис. 7).
Рис. 8. Опасный объем и распределение
локальных повреждений в его сечениях.
Также видно, что наибольший опасный объем и средняя поврежденность формируются при одновременном действии нормальных р(х,у) и касательно?) 4 ~~~ ных д усилии.
На рис. 9, 10 показаны опасные объемы и повре-
.—С *Нт)
жденность в вале для сты при совместном действии нормальной контактной нагрузки и неконтактной изгибающей силы ¥ъ.
Из данных рисунков видно изменение формы и
величины
К.
вследствие действия неконтактной
силы по сравнению со случаем чистого контакта (рис. 7).
Из сравнения рисунков рис. 9, 10 видно, что в области растяжения (рис. 9) окрестности контакта
силой поврежденность будет наибольшей.
5. Заключение
Представлены решения задачи определения механических состояний трибофатических систем, с учетом контактного взаимодействия элементов системы и действия неконтактной нагрузки.
Построена система интегральных уравнений для системы твердых тел, к которым приложены смешанные граничные условия. Решение предложенной системы уравнений для поверхностей, взаимодействующих тел (т.е. определение граничных условий) позволяют моделировать обратный эффект в трибо-фатике, а решение для внутренней области тела -прямой.
Приведено решение задачи о состоянии повреж-денности трибофатической системы, которое построено на базе представления об объемной мере поврежденности, называемой опасным объемом.
Рис. 9. Опасный объем } и распределение локальных повреждений в его сечениях.
Рис. 10. Опасный объем У^ Ь]}
и распределение локальных повреждений в его сечениях.
Показано, что как напряженно-деформированное состояние, так и состояние поврежден-ности может значительно изменяться при одновременном действии контактных и неконтактных нагрузок.
Данные изменения предоставляют возможность управления поврежденностью, а, следовательно, и долговечностью трибофатических систем, соотношением нагрузок различной природы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сосновский, Л.А. Основы трибофатики/ Л. А. Соснов-ский. - Гомель: БелГУТ, 2003. - Т. 1. - 246 с.; - Т. 2. -234с.
2. Sosnovskiy, L.A. Tribo-Fatigue. Wear-fatigue damage and its prediction (Foundations of engineering mechanics)/ L.A. Sosnovskiy. - Springer, 2004. - 424 pp.
3. Сосновский, Л.А. Механика износоусталостного повреждения / Л. А. Сосновский. - Гомель: БелГУТ, 2007. - 434 с.
4. Журавков, М.А. Математическое моделирование в трибо-фатике / М.А. Журавков, Л.А. Сосновский, С.С. Щербаков // Х Белорусская математическая конференция: Тез. Докл. Междунар. науч. конф. Минск, 3-7 ноября 2008 г. -Часть 2. - Мн.: институт математики НАН Беларуси, 2008. - С. 120-121.
5. Бенерджи, П., Баттерфилд, Р. "Методы граничных элементов в прикладных науках," М., Мир, 1984, 494 с
6. Журавков, М.А. Математическое моделирование деформационных процессов в твердых деформируемых средах (на примере задач механики горных пород и массивов): курс лекций / М. А. Журавков. - Минск: БГУ, 2002. - 456 с.
7. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. - М.: Мир, 1989. - 510 с.
8. Щербаков С.С. Исследование напряженного состояния силовой системы для испытаний на контактно-механическую усталость / Динамжа, мщтсть i надшшстъ сшьскогосподарсьюх машин: тр. I Междунар. науч.-техн. конф., Тернополь, Украина, 4-7 октября 2004 г. С. 400407.
9. Sosnovskiy, L.A. Vibro-impact in rolling contact / L.A.
Sosnovskiy, S.S. Sherbakov // Journal of Sound and Vibration. - 2007. -Vol.308, Issues 3-5, - С. 489-503.
10. Журавков, М.А. Расчет опасных объемов при контактном нагружении / М. А. Журавков, С.С. Щербаков // Вестн. БГУ Сер. 1. 2007. - № 1. - С. 117-122.
11. Журавков М.А., Щербаков С.С. Исследование опасных объемов при решении контактной задачи для системы ролик/кольцо // Тр. V Междунар. симпозиума по трибо-фатике (ISTF 2005), Иркутск, Россия, 3-7 октября 2005 г. Т. 1. С. 375-390.
12. Трощенко, В.Т. Сопротивление усталости металлов и сплавов: справочник в 2 т. / В.Т. Трощенко, Л. А. Сосновский. - Киев: Наукова думка, 1987. - Т. 1. - 508 с.
13. Сосновский, Л.А. Статистическая механика усталостного разрушения / Л. А. Сосновский. - Минск: Наука и техника, 1987. 288 с.
FUNDAMENTAL AND APPLIED PROBLEMS OF TRIBO-FATIGUE AND THEIR PRACTICAL APPLICATIONS IN MACHINE BUILDING
© 2011 M.A. Zhuravkov, S.S. Sherbakov
Belarusian State University, Minsk, Belarus
Main some problems of interaction in tribo-fatigue systems are considered. The results of calculations showing influence of volume (non-contact) loads on contact pressure are presented. Stress-strain state and state of damage of typical tribo-fatigue system are considered.
Key words: tribo-fatigue system, spatial stress-strain state , contact interaction, non-contact loads, state of damage, dangerous volume
Michail Anatolievich Zhuravkov, Doctor of Physws and Mathematics, Professor, first pro-rector, Head of managing chair «Theoretical and applied mechanics». E-mail: [email protected]
Sergei Sergeevitch Sherbakov, Cand.Tech.Sci., Docent of chair «Theoretical and applied mechanics». E-mail: [email protected]
