Научная статья на тему 'Фундаментальные решения в двумерных задачах электроупругости при движущихся осциллирующих источниках'

Фундаментальные решения в двумерных задачах электроупругости при движущихся осциллирующих источниках Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
70
24
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЭЛЕКТРОУПРУГОСТЬ / ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ / FUNDAMENTAL SOLUTIONS / ДВИЖУЩИЙСЯ ИСТОЧНИК / MOVING OSCILLATING SOURCE / ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ / FAR FIELD / ЭНЕРГИЯ ВОЛН / WAVE ENERGY / PIEZOELECTRICITY

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Калинина Тамара Ипполитовна, Наседкин Андрей Викторович

Изучены задачи о движении с постоянной скоростью осциллирующего источника в электроупругих средах для антиплоской и плоской задач. Для выделения единственного решения используется принцип предельного поглощения. С использованием техники преобразования Фурье получены фундаментальные решения в интегральных формах, пригодных для различных режимов движения, выделены квазистатические и динамические составляющие решений. Построены асимптотики дальних полей, проведен кинематический и энергетический анализ решений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Калинина Тамара Ипполитовна, Наседкин Андрей Викторович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Fundamental Solutions in Two-Dimensional Electroelastic Problems under Moving Oscillating Sources

The plane and antiplane problems of concentrated point sources oscillating and moving with constant velocity in piezoelectric media are studied. The explicit representations of fundamental solutions are obtained by using Fourier integral transform techniques for all rates of source motion. The dynamic and quasistatic components of the solutions are extracted. The stationary phase method is applied to derive an asymptotic at the far wave field. The kinematic and energetic analyses are presented too.

Текст научной работы на тему «Фундаментальные решения в двумерных задачах электроупругости при движущихся осциллирующих источниках»

УДК 539.3

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ПРИ ДВИЖУЩИХСЯ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИСТОЧНИКАХ

© 2014 г. Т.И. Калинина, А.В. Наседкин

Калинина Тамара Ипполитовна - ассистент, кафедра высшей математики, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, ул. Просвещения, 132, г. Новочеркасск, Ростовская обл. 346428, e-mail: kalinina-toma@yandex.ru.

Kalinina Tamara Ippolitovna - Assistant, Department of Higher Mathematics, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Prosveschenie St., 132, Novocherkassk, Rostov Region, 346428, Russia, e-mail: kalinina-toma@yandex.ru.

Наседкин Андрей Викторович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: nasedkin @math.sfedu.ru.

Nasedkin Andrey Viktorovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Mathematical Modelling, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: nasedkin@math.sfedu.ru.

Изучены задачи о движении с постоянной скоростью осциллирующего источника в электроупругих средах для антиплоской и плоской задач. Для выделения единственного решения используется принцип предельного поглощения. С использованием техники преобразования Фурье получены фундаментальные решения в интегральных формах, пригодных для различных режимов движения, выделены квазистатические и динамические составляющие решений. Построены асимптотики дальних полей, проведен кинематический и энергетический анализ решений.

Ключевые слова: электроупругость, фундаментальные решения, движущийся источник, дальнее поле, энергия волн.

The plane and antiplane problems of concentrated point sources oscillating and moving with constant velocity in piezoelectric media are studied. The explicit representations of fundamental solutions are obtained by using Fourier integral transform techniques for all rates of source motion. The dynamic and quasistatic components of the solutions are extracted. The stationary phase method is applied to derive an asymptotic at the far wave field. The kinematic and energetic analyses are presented too.

Keywords: piezoelectricity, fundamental solutions, moving oscillating source, far field, wave energy.

В работе изучаются фундаментальные решения (ФР) и энергетика волн для плоских задач электроупругости (пьезоэлектричества) при подвижных осциллирующих источниках. Предполагается, что в подвижной системе координат, связанной с движущимся источником, существует режим установившихся колебаний. Данная работа является существенно расширенным вариантом заметки [1] и продолжает исследования [2-5], где в [2, 3] были рассмотрены антиплоские и плоские задачи теории упругости при подвижных осциллирующих источниках, в [4] - установившиеся задачи электроупругости

без движения источника, а в [5] - антиплоские задачи теории электроупругости при подвижных источниках.

Следуя [6], в дальнейшем будем использовать следующую терминологию. Задачи, в которых источник волн движется с постоянной скоростью w и одновременно осциллирует с частотой а , будем называть задачами В. Если же w = 0, а ф 0, то имеем классические задачи об установившихся колебаниях, которые будем называть задачами А. Наконец, задачи с только движущимся источником при w ф 0, а = 0 назовем задачами Б.

Задачи А исследованы для различных сред гораздо более подробно, чем задачи В. Так, ранее для задач А теории электроупругости ФР были

2 2 построены в [7, 8] для Я и в [4, 9-11] для Я и

Я3. В [11] можно найти достаточно подробную библиографию по ФР статических и динамических задач электроупругости. Контактная задача Б о движении жесткого штампа по границе электроупругой полуплоскости недавно была изучена в [12]. Между тем задачи В для электроупругих сред, кроме [5], ранее не рассматривались. Отметим, что формы ФР могут существенно отличаться в зависимости от выбираемых интегральных представлений. ФР плоских и антиплоских задач электроупругости, представленные ниже, имеют интегральные представления, во многом аналогичные ФР анизотропной упругой среды [2, 3]. Некоторые особенности ФР задач электроупругости обусловлены связанностью механических и электрических полей и наличием отдельного квазистатического электрического потенциала.

Постановка задачи

Обозначим через неподвижную сис-

тему координат, отнесенную к рассматриваемой анизотропной электроупругой среде. Пусть т -время; и(§1,^2,^3,т) - вектор перемещений;

ф(^1,^2,^3,т) - электрический потенциал; с^р -упругие модули, измеренные при постоянном электрическом поле; 5гу - диэлектрические проницаемости, измеренные при постоянных деформациях; вш - пьезомодули электроупругой среды в этой системе координат (г,у = 1, 2, 3 ,а,р = 1, 2, . ..,6). При этом предполагается, что система координат необязательно является кристаллографической для модулей пьезоэлектрического материала.

Будем считать, что в плоскости Осуще-ствует возможность постановки плоской или антиплоской задач электроупругости, что, как известно [13], налагает условия равенства нулю некоторых модулей среды. Для плоской задачи вектор перемещений будем считать двумерным, и = {щ, и2}, иу- = иу(#1,#2,т) , у = 1, 2,

— wyt£2 — w2 т)ги

(1)

ф = ф(£1,£2,т), а для антиплоской - одномерным, и = {и3}, и3 = и3(^1,^2,т) , ф = ф(%1,%2,т) .

Предположим, что источники колебаний являются сосредоточенными в плоскости , двигаются в этой же плоскости с постоянной скоростью -те = {^, } и одновременно осциллируют с частотой а , т.е.

{' НЛ11

Ы I %

где f - массовая сила (f = {/1,/2} для плоской задачи; f = {/3} - для антиплоской); q - электрический заряд; /0, q0 - константы; 1 - направляющий вектор силы f .

Введем в рассмотрение подвижную систему координат {х1, х2, х3}, движущуюся относительно неподвижной системы координат в плоскости со скоростью источника — . Время в подвижной системе координат обозначим через ?. Эти две системы координат связаны между собой следующим образом:

х] =$} - w]т, у = 1 2, х3 =^3, I = т , (2) 5 / д4к = д / 5 Хк, к = 1, 2, 3, дт=д( - — -У2, (3) Vх ={д / д х, д / д х2 }.

Пусть также при действии источников (1) для перемещений и и электрического потенциала ф в подвижной системе координат (2) существует режим установившихся колебаний:

и = у(х,^)еш, ф = у{хх,х2)еш . (4)

Переходя в классических уравнениях электроупругости [13] к подвижной системе координат (2) и используя соотношения (3), для амплитудных функций V и из (4) будем иметь следующие дифференциальные уравнения:

p(irn — w • V2 )2 v — A(V2 ) • v — y(V2 ) v = f0lS(x1, x2) ,

2) • v Ky 2)

Y*(V2 ) • v — s(V2 ) v = — q<S(Xi, x2) ,

(5)

где A(V2) = L*(V2) • eE • L(V2);

72);

Y(V2) = L*(V2) • e* • V2; *(V2) = Vf • гS • V

причем для плоских задач v = {vl5 v2},

VJ = Vj (Xi,X2), j = 1, 2 , y/ = vx,x2) ,

"3i 0 " Vi c12 cE'

L(V 2) = 0 5 2 , еE = cE c12 cE c22 cE c26

2 5i _ 4 cE c26 cE c66

*

e =

e11 e21 e12 e22

£ 5 =

= 11

= 12

= 12 s22.

для антиплоских -

¥ = ¥(*1,Х2) ,

v = V3 = Уэ(^1, Х2),

L(V 2) =

д*

*

e =

e14 e24

С E =

£ 5 =

„E „E

c45 c55.

J12 s22.

s^+0

s^+0

n = {cose,sine}, x = {x, x2 } = Г ~ , n = {cos в, sin в} ,

,■ 2 л/2+в

—i— £ f -

¥0 J 4л2 pa j=1-ni2+o cA„,(9) 1 I Ff

1 -/0 lFUde.

n +? 4. a i ~ i Л

10 = f (a+-\ „ -a

1 f 1 i +\2,2 1 , -ч2 .

0 (aj) +Г) (a-) +Л

aj -i~q

1 f (a1 , + ч2 , 2 ajt -\2 , 2 '

)e-'n x4V,

+

a =—7

а

Для выделения единственного решения системы (5) используем принцип предельного поглощения [6], согласно которому перейдем к s-задаче, заменив в (5) а на ае=а-is, 0 < s << 1, v на vs и ¥ на ¥s ■ По принципу предельного поглощения под решением { v, ¥ } будем понимать предел решения { vs, ¥s } системы уравнений (5) для е-задачи при s ^ +0 : v = lim vs, у = lim ys.

(+4- ип)

п 2л АО 1

¥« =~~т°2 1 1 е .

4л2 0 э(п) 0 а Здесь при суммировании по ] индекс j = 1,2 для плоских задач и j = 1 - для антиплоских задач; сА (9) = сА (п(9)) - фазовые скорости в зада-

Фундаментальные решения

Применяя интегральное преобразование Фурье по х1, х2 для е-задачи, принцип предельного поглощения и методы контурного интегрирования при вычислении обратного преобразования Фурье, после ряда преобразований, аналогичных [2, 3], можно получить следующие интегральные представления для амплитуд ФР V и ¥ :

V = vd + ^, ¥=¥а +¥0 + ¥т,

че А; сВк)(9) = сВк)(п(9)) = (~1)ксАи (п(9)) - и -

фазовые скорости в задаче В (w ф 0); р j (п) -

собственные векторы задачи А на собственные значения для плоских волн:

7(п)у*(п) е(п) .

A(n) • p j (n) = (cj )2 • p j (n), A(n) = A(n) +

Аналогично [1-3] будем считать фазовую скорость в задаче В неотрицательной, что позволяет определить ее для фиксированного п следующим образом в зависимости от соотношения между фазовой скоростью сА (п) задачи А и и<п:

(4(п) > и) А(4(п) >-ип) ^ сВ(п) = сА(п) - ип, (8)

cAp] (n) < - wn ^ cj (n) = (-\)kcAp] (n) - wn, (9) к = 0, 1,

¥ d J 4лР j к [1*к j

К 1-Х R' F le'

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

>•-„- de,

Rjk =

H[(-1)ксАИ(в) - wn]

сРву! )(в)

FV = Pj (n) • (f 0I + q0 ^^ s(n)

F¥ = Pj

Y (n)•F

s(n)

L

B(k) _

j

cj )(в)

P j (n) = p j (n)p* (n) ,

в(к) ~ cos(e-e) L • n -

„B(k )

(в)

(6)

(7)

(10)

сА.(п) < ип ^Л .

Случаи (8), (9) можно обозначить единым образом: сВк] (п) = (-1)ксР(п) - ип, (к = 0) V (к = 0, 1), т.е. для (9) сВ = сВр(]0); а в случае (10) прямые

плоские волны для направления п отсутствуют.

В соответствии с возможностями (8)-(10), реализующимися в зависимости от режима движения, знак £ к означает наличие или отсутствие суммирования по к .

Формулы (6), (7) и последующие определяют ФР плоских и антиплоских динамических задач теории электроупругости при подвижных осциллирующих источников и пригодны для различных режимов движения.

S

S

5

5

ee

6 26

44 45

E

E

5

5

5

s

s

12

5

5

e

15 25

n

В полученных выражениях для амплитуд { V, у }, как и в [4, 5], содержатся динамические составляющие { V ё, уё }, статические - { V 0, у0} и несвязанный квазиэлектростатический потенциал у т.

Кинематика и энергетика дальнего поля

Поскольку полученные выражения для динамических составляющих { vd, ул } по структуре полностью идентичны соответствующим составляющим ФР для плоских и антиплоских задач теории упругости [2, 3], то полученные в [2, 3] асимптотики дальних полей и их анализ с учетом необходимых изменений будут справедливы и для плоских и антиплоских задач электроупругости.

Именно по классическому методу перевала вклад от седловой точки вв в интеграл

¡Ф(в)е'д(в)аёв при а г >> 1 дается выражением

i q(es signq"^ )

ТФ(0,)e L 4

r\q\0s )|

(11)

Ф(в) =

h[(-i)kcAPJ(ß)-w„] Гf; ]

cA{в)сВк\в) \Ff I

(12)

q(ß) = -LB(k) • n .

,B(k )

(0)|П • Lf V)| = П

B(k) _ ^j

д а

из дисперсионного уравнения задачи В D(a,Q(a)) = det[A(a) - ptf (a)E] = 0 ,

(14)

где Е - единичная матрица размера 2х 2 для плоских задач и 1х 1 - для антиплоских, ЗДа) = а + — • а.

Заметим, что формулы (14), (15) определяют групповую скорость как функцию от а, а при вычислении групповой скорости от п(в) нужно использовать формулу

с ^к)(п(в)) = (-1)к с А у (п(в)) -—, где с А у - вектор

групповой скорости в задаче А, определяемый из (14), (15) при - = 0 .

Вычисляя выражение (11) для Ф(в) и q(в) из (12), после ряда преобразований получим

d

Nj )i v (k ) I

, 2 (Z)' Z \ d

Wd J j k m=lW}m I

cor >> 1 ,

v

(k) ]

iGB(k) ^ ;(k) 1

W

;

jm 1=(-1) k+1 iGjm J Fjm \e (k) I ( 1) 42^p\fw(k) |e

rB(i) 4 cgjm

jm J

GB(k) = Gjm

с

rnp JF jm

B(k)

Pjm

2 CB(k) С A

2\Cgjm rjmVkpjm

(16)

(17)

(18)

где вж - седловая точка, являющаяся корнем уравнения q'(в) = 0 .

В данной задаче для интегралов (7) при фиксированных у , к имеем

где с

B(k ) _ B(k )(„(k )

= С

(n j2)|

gjm |= ус gjm (n jm ^ моДУль вектоРа

B(k) = CB(k)(n(k)) . pjm c pjm (n im ) ?

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

A As _ (k )

С = С (n pjm pjm\ jm -

(n(

F ;(k) = F ;(k )(n(k)) .

F jm F jm (n jm ) .

точке; j = sign kj). n(k)

Непосредственными вычислениями можно показать, что для заданного направления п в физической плоскости х = гп седловая (стационарная) точка в является корнем уравнения

(13)

при условии п • Ь®(к}(в) >0 , т.е. соз(в-в) > 0 . В (13) с В(к )(в) - вектор групповой скорости в

задаче В, который определяется стандартным образом

дав(к )(а)

групповой скорости;

(n(к}) •

FW(k) - Fw(k)(n(k)) • кв(к) - кв(к)(n(к)) - кри-

А jm А jm vn jm / : pjm pjm vn jm J J^p^i

визна кривой медленности LB(k) в стационарной

jm - кpJm , n j) - стаЦионарные

точки; N(k) - число стационарных точек.

По (16)-(18) в дальней зоне имеем разделение волнового поля по кинематике на отдельные цилиндрические волны v(k, yf2 . Важно отметить,

что число волн v(k, yf2 в дальней зоне определяется числом седловых точек или стационарных значений njm (x). Как и в задачах В для упругих

сред, здесь для стационарных значений nj2(x) вектор групповой скорости c jЧп) направлен

вдоль вектора x физической плоскости. В связи с этим для фиксированного направления x число волн можно вычислить как число пересечений луча Ox с кривой групповых скоростей. Число волн может существенно меняться в зависимости

от режима движения. Так, для антиплоских задач электроупругости, как и для антиплоских задач теории упругости [2], в зависимости от режима движения число распространяющихся волн может изменяться от 0 до 2, а для плоских задач электроупругости, как и для плоских задач теории упругости [3], число распространяющихся волн может изменяться от 0 до 8. Кроме того, при транс- и сверхзвуковых режимах движения существуют зоны распространения быстрых и медленных волн, ограниченные конусами Маха.

В полярной системе координат (г, 9) компоненты вектора групповой скорости в стационарной точке определяются формулами: = 0. Следовательно, цилиндри-

cB = СB gjmr gjm

" gjme

ческие волны (17) в дальней зоне удовлетворяют общим условиям для однородных цилиндрических волн [14]. Поэтому для волн (18) справедливы общие энергетические соотношения [14], а групповая скорость сВт является скоростью переноса энергии как для неподвижного, так и для подвижного наблюдателей.

Используем формулы [14] для осредненных

энергий цилиндрических волн (е^ и в

подвижной системе координат для неподвижного и подвижного наблюдателей соответственно и формулы для векторов переноса энергии

(

Jf( x))

(E*) = 1Q 2(a)pv • v*, (Ex} =1 aQ(a)pv

>v • v

(19)

(J?(x)) = cBg\E*(x)),

Т 1

где (..) = |-(...)&, Т = 2л/а .

0 Т

Подставляя (17), (18) в (19), получаем выражения для векторов потока энергии отдельных цилиндрических волн в дальней зоне

(

J *х(к )\ =

J rjm I

ljx(k )\ у rjm I

а2 |F

v(k) jm

16 лрГcbrjm \kpjm

(20)

а

Qj

rjm I .

При сверхзвуковом движении ) < 0, и по

(20) (^Х]т)<0, т е. медленные волны переносят

отрицательную энергию, измеренную подвижным наблюдателем. Данное свойство является общим для медленных волн в задачах В при транс- и сверхзвуковых движениях.

Численные примеры

В качестве иллюстрации изложенного выше рассмотрим кривые медленности (кривые рефракции) и кривые групповых скоростей ФР для ниобата лития (Ь1№03) с материальными модулями, приведенными в [15]. Для этого материала, принадлежащего кристаллографическому классу 3т тригональной системы, можно поставить задачу электроупругости о плоской деформации в плоскости 0x2Х3 . На рисунке приведены кривые рефракции (слева) и кривые групповых скоростей (справа) ФР ниобата лития для w = 2,5 км/с (задача В, дозвуковой режим движения источника) - а; w = 5,5 км/с (трансзвуковой режим) - б; w = 8 км/с (сверхзвуковой режим) - в; пунктирные кривые относятся к тому же материалу, но без учета пьезоэффекта, а в случаях, когда в выбранных масштабах значения групповых и фазовых скоростей при учете и без учета пьезоэффек-та различаются слабо, пунктирные кривые не приводятся (б, в).

Как видно из рисунка, учет пьезоэффекта приводит к достаточно заметному изменению кривых групповых скоростей и рефракции (медленности), причем как к количественному, так и к качественному. Так, для задачи В при дозвуковом движении источника (рис. а) учет пьезоэф-фекта существенно меняет формы кривых групповых скоростей и рефракции, в результате кроме обычного случая двух волн появляется узкая зона существования четырех волн. Кроме того, из рис. б и в видно, что характер движения источника не только меняет число распространяющихся волн в разных зонах, но и сильно деформирует кривые рефракции (слева), которые при дозвуковых скоростях увеличиваются в зонах в направлениях движения источника, а при транс-и сверхзвуковых скоростях становятся неограниченными.

2

в

Кривые рефракции (слева) и групповых скоростей (справа) для дозвукового режима движения - а;

трансзвукового - б; сверхзвукового - в

Заключение

Как было показано, для вычислений ФР, асимптотик дальнего поля и энергетических характеристик цилиндрических волн для двумерных задач B электроупругости может быть использована техника, применяемая для аналогичных задач B теории упругости. При этом для ФР в задачах электроупругости движение источника вносит дополнительную анизотропию в кинематические и энергетические картины волновых полей. Например, появляются различия в волновых картинах впереди и позади источника, обнаруживаются зоны с различным числом распространяющихся волн, быстрые и медленные волны и т.д. Здесь, как и в других задачах с подвижными источниками, при транс- и сверхзвуковом движениях медленные волны переносят отрицательную энергию, измеренную подвижным наблюдателем.

Литература

1. Калинина Т.И., Наседкин А.В. Фундаментальные решения в плоских и антиплоских задачах для электроупругих сред при подвижных осциллирующих источниках // Современные проблемы механики сплошной среды : тр. XIV междунар. конф., г. Ростов н/Д Азов, 19-24 июня 2010 г. Т. 2. Ростов н/Д., 2010. С. 142-146.

2. lovane G., Nasedkin A.V., Passarella F. Fundamental solutions in antiplane elastodynamic problem for anisotropic medium under moving oscillating source // Eur. J. Mech. A. Solids. 2004. Vol. 23. P. 935-943.

3. lovane G., Nasedkin A.V., Passarella F. Moving oscillating loads in 2D anisotropic elastic medium: plane waves and fundamental solutions // Wave Motion. 2005. Vol. 43, № 1. P. 51-66.

4. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Фундаментальные решения в задачах электроупругости при установившихся колебаниях // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. С. 23-25.

5. Калинина Т.И., Наседкин А.В. Фундаментальные решения антиплоской задачи электроупругости при движущемся осциллирующем источнике // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Владикавказ, 2008. С. 103-113.

6. Белоконь А.В. Колебания упругой неоднородной полосы, вызванные движущимися нагрузками // ПММ. 1982. Т. 46, № 2. C. 296-302.

7. Ватульян А.О., Кубликов В.Л. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. Т. 53, № 6. С. 1037-1041.

8. Wang X., Zhong Z. Two-dimensional time-harmonic dynamic Green's functions in transversely iso-

tropic piezoelectric solids // Mech. Res. Commun. 2003. Vol. 30. P. 589-593.

9. Norris A.N. Dynamic Green's functions in anisotropic piezoelectric, thermoelastic and poroelectric solids // Proc. Roy. Sos. London. A. 1994. Vol. 447, № 1929. P. 175-188.

10. Khutoryansky N.M., Sosa H. Dynamic representation formulas and fundamental solutions for piezoelectricity // Int. J. Solids Struct. 1995. Vol. 32. P. 3307-3325.

11. Wang C.-Y., Zhang Ch. 3-D and 2-D Dynamic Green's functions and time-domain BIEs for piezoelectric solids // Eng. Anal. Bound. Elem. 2005. Vol. 29. P. 454-465.

12. Zhou Y.-T., Lee K.Y. Theory of moving contact of anisotropic piezoelectric materials via real fundamental solutions approach // Eur. J. Mech. A. Solids. 2012. Vol. 35. P. 22-36.

13. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнито-упругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М., 1988. 472 с.

14. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Энергетика волн, генерируемых подвижными источниками // Акуст. журн. 1993. Т. 39, № 3. С. 421-427.

15. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. М., 1982. 424 с.

References

1. Kalinina T.I., Nasedkin A.V. Fundamental'nye reshe-niia v ploskikh i antiploskikh zadachakh dlia elektrouprugikh sred pri podvizhnykh ostsilliruiushchikh istochnikakh [Fundamental solutions in plane and antiplanar problems for electroelastic media at moving oscillating sources] // Sovremennye problemy mekhaniki sploshnoi sredy : tr. XIV mezhdunar. konf., g. Rostov n/D, Azov, 19-24 iiunia 2010 g. T. 2. Rostov n/D., 2010. S. 142-146.

2. lovane G., Nasedkin A.V., Passarella F. Fundamental solutions in antiplane elastodynamic problem for ani-sotropic medium under moving oscillating source // Eur. J. Mech. A. Solids. 2004. Vol. 23. P. 935-943.

3. lovane G., Nasedkin A.V., Passarella F. Moving oscillating loads in 2D anisotropic elastic medium: plane waves and fundamental solutions // Wave Motion. 2005. Vol. 43, № 1. P. 51-66.

4. Belokon' A.V., Nasedkin A.V. Fundamental'nye resheniia v zadachakh elektrouprugosti pri ustanovivshikhsia kolebaniiakh [Fundamental solutions in problems of electrodynamics at steady-state oscillations] // Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2001. Spetsvypusk. S. 23-25.

5. Kalinina T.I., Nasedkin A.V. Fundamental'nye resheniia antiploskoi zadachi elektrouprugosti pri dvizhushchemsia ostsilliruiushchem istochnike [Fundamental solutions of the antiplane electrodynamics problem when moving oscillating source] // Issledovaniia po differentsial'nym uravneniiam i matematicheskomu modelirovaniiu. Vladikavkaz, 2008. S. 103-113.

6. Belokon' A.V. Kolebaniia uprugoi neodnorodnoi polosy, vyzvannye dvizhushchimisia nagruzkami [Fluctuations in inhomogeneous elastic bands caused by moving loads] // PMM. 1982. T. 46, № 2. S. 296-302.

7. Vatul'ian A.O., Kublikov V.L. O granichnykh integral'nykh uravneniiakh v elektrouprugosti [Boundary integral equations in electrodynamics] // PMM. 1989. T. 53, № 6. S. 1037-1041.

8. Wang X., Zhong Z. Two-dimensional time-harmonic dynamic Green's functions in transversely iso-tropic piezoelectric solids // Mech. Res. Commun. 2003. Vol. 30. P. 589-593.

9. Norris A.N. Dynamic Green's functions in aniso-tropic piezoelectric, thermoelastic and poroelectric solids // Proc. Roy. Sos. London. A. 1994. Vol. 447, № 1929. P. 175-188.

10. Khutoryansky N.M., Sosa H. Dynamic representation formulas and fundamental solutions for piezoelectricity // Int. J. Solids Struct. 1995. Vol. 32. P. 3307-3325.

11. Wang C.-Y., Zhang Ch. 3-D and 2-D Dynamic Green's functions and time-domain BIEs for piezoelectric solids // Eng. Anal. Bound. Elem. 2005. Vol. 29. P. 454-465.

12. Zhou Y.-T., Lee K.Y. Theory of moving contact of anisotropic piezoelectric materials via real fundamental solutions approach // Eur. J. Mech. A. Solids. 2012. Vol. 35. P. 22-36.

13. Parton V.Z., Kudriavtsev B.A. Elektromagnitouprugost' p'ezoelektricheskikh i elektroprovodnykh tel [Electromagnetoelasticity of the piezoelectric and conductive bodies]. M., 1988. 472 s.

14. Belokon' A.V., Nasedkin A.V. Energetika voln, generiruemykh podvizhnymi istochnikami [Waves energy generated by mobile sources] // Akust. zhurn. 1993. T. 39, № 3. S. 421-427.

15. D'elesan E., Ruaie D. Uprugie volny v tverdykh telakh. Primenenie dlia obrabotki signalov [Elastic waves in solids. Application of the signal processing]. M., 1982. 424 s.

Поступила в редакцию_29 октября 2014 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.