CC BY
5_ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_
2014 Математика. Механика. Информатика Вып. 4(27)
МЕХАНИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.988
Фрактальные и механические свойства кристаллов поваренной соли в нанодиапазоне
В. Н. Аптуков1, В. Ю. Митин1
1Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35
И. А. Морозов1, 2
2Институт механики сплошных сред УрО РАН (ИМСС УрО РАН) Россия, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1
Получены значения индекса фрактальности отдельных участков искусственных кристаллов поваренной соли. Обнаружены эффекты анизотропии фрактальных характеристик. Определены значения твердости и модуля упругости и сопоставлены с результатами других исследований. Рассмотрен вопрос о корреляции между фрактальными параметрами и механическими характеристиками.
Ключевые слова: поваренная соль (галит); нанодиапазон; фрактальная размерность; твердость; модуль упругости.
Введение
В ряде современных научных публикаций (например, [1]) устанавливается зависимость между фрактальными и механическими свойствами определенных материалов. Естественно предположить, что механические свойства поверхности кристаллов соляных пород в нанодиапазоне в некоторой мере связаны со структурными особенностями микрорельефа поверхности кристаллов, которые могут быть установлены методами фрактального анализа.
В качестве образца для исследования выбраны искусственные мелкие кристаллы поваренной соли (№С1), полученные при медленном остывании нагретого насыщенного водного раствора. Поваренная соль представляет собой измельченный и очищенный галит, минерал класса галогенидов, обладаю© Аптуков В.Н., Митин В.Ю., Морозов И.А., 2014
щий следующими характеристиками: кубическая сингония (Fm3m), совершенная спайность, раковистый излом, стеклянный блеск, твердость по Моосу - 2, плотность 2,1-2,2 г/см3, показатель преломления - 1,54 [2].
Эксперименты по исследованию геометрических и механических свойств изучаемых кристаллов осуществлялись на зондовом силовом микроскопе Dimension Icon. Выполнено сканирование шести участков поверхности кристаллов поваренной соли и серия на-ноиндентирований в различные точки одного из данных участков.
1. Описание экспериментов и методика их обработки
В табл. 1 приведены параметры сканирования квадратных областей ПС1-ПС6 кристаллов поваренной соли (количество точек во всех случаях составляет 512x512).
Таблица 1. Параметры сканирования кристаллов поваренной соли
Обозначение Размер области Шаг сканирования
ПС1 10x10 мкм 19,5 нм
ПС2 10x10 мкм 19,5 нм
ПС3 25x25 мкм 48,8 нм
ПС4 25x25 мкм 48,8 нм
ПС5 25x25 мкм 48,8 нм
ПС6 20x20 мкм 39,1 нм
Рельеф сканированных областей поверхности кристаллов поваренной соли приведен на рис. 1.
ПС4 ПС5 ПС6
Рис. 1. Микрорельеф областей ПС1 - ПС6
В области ПС6 выполнено 100 однократных индентирований в узлы квадратной сетки (следы от внедрения индентора видны на рис. 1), расстояние между соседними точками ин-дентирования в вертикальных и горизонтальных рядах составляет 2 мкм. Максимальное усилие индентирования изменялось с постоянным шагом по столбцам в пределах одной строки, на одном столбце это усилие было одинаковым. Для самой левой колонки максимальное усилие 22 мкН (максимальный изгиб балки кантилевера - 50 нм), для самой правой колонки - 4,4 мкН (соответственно 10 нм).
Для исследования степени изрезанности микрорельефа поверхности использовались оценки фрактальной размерности с помощью метода минимального покрытия [3], обладающего быстрой сходимостью и высокой практической эффективностью, и его двумерного обобщения [4]. Для двумерных массивов экспериментальных данных, полученных при сканировании поверхностей, использовалась методика вычисления индекса фрактальности, описанная в статье [5] и включающая оценку индекса фрактальности для одномерных рядов вдоль
различных направлений: вертикальных, горизонтальных, диагональных и промежуточных.
Для исследования механических свойств кристаллов: твердости Н и эффективного модуля упругости Е разработана и зарегистрирована в ОФЭРНИО программа NanoSearch Н&Е, алгоритм которой основан на методике, описанной в статье [6], состоящей из двух этапов. На первом этапе на основе данных инден-тирования строится график зависимости Р(Ь) ("усилие - глубина проникания индентора"). На втором этапе вычисляются твердость (по Мейеру) и эффективный модуль упругости. Начальная точка для диаграммы "усилие-глубина проникания", точка для вычисления твердости, границы участка, на котором определяется модуль упругости, геометрические параметры наконечника индентора, значение коэффициента Пуассона и другие параметры расчета в программе можно варьировать. Имеется возможность обработки серий повторных индентирований в одну точку. Основное окно программы представлено на рис. 2.
Рис. 2. Вид основного окна программы Ыа-noSearch Н&Е
2. Индекс фрактальности поверхности кристаллов поваренной соли
Средние значения индекса фрактально-сти по основным направлениям представлены в табл. 2.
Таблица 2. Средние индексы фрактальности для вертикальных и горизонтальных одномерных рядов областей ПС1-ПС6
Средние значения ^ Столбцы Строки
ПС1 0,137 0,043
ПС2 0,210 0,048
ПС3 0,104 0,049
ПС4 0,131 0,056
ПС5 0,168 0,045
ПС6 0,312 0,072
Из данных табл. 2 следует, что для фрактальных свойств данных поверхностей имеет место эффект анизотропии, который в большей мере проявляется для областей ПС2 и ПС6. Значения индекса фрактальности в целом малы и свидетельствуют о невысокой степени изрезанности по сравнению с исследованными в статье [7] поверхностями кристаллов карналлита, сильвина, шпатовой соли (гладкая область).
Область ПС6 (Столбцы)
0,5
о 0,4 л
| 0,3 п
0,2
-е-
и X 01 Ч
ш 0,1
0,0
■^сп^сотсотг^гч!^ НН^Г^гога^Г!-Номер линии
Рис. 4. Средние, максимальные, минимальные величины и абсолютные размахи значений индекса фрактальности для областей ПС1-ПС6
Из приведенной диаграммы видно, что для горизонтальных направлений индексы фрактальности могут превышать 0,1 только на отдельных рядах и притом не во всех областях, для вертикального направления также характерны сравнительно высокие максимумы и абсолютные размахи.
Рис. 3. Зависимость индекса фрактально-сти от порядкового номера линии (область ПС6, столбцы)
Величина перепадов значений индекса фрактальности для исследованных областей различна, но во всех случаях достаточно высока. Абсолютные размахи индекса фрактальности в области ПС6 превышают 0,25 (рис. 3), в ее пределах имеется также несколько крупных локальных перепадов, в связи с этим данную область можно считать показательным примером для исследования корреляции между индексом фрактальности и механическими параметрами.
Статистические данные по индексу фрактальности представлены на рис. 4.
Рис. 5. Распределение индекса фрактально-сти по направлениям
Графики зависимости индекса фракталь-ности от направления в полярной системе координат, где длина радиус-вектора равна значению индекса фрактальности в заданном направлении для исследованных участков поверхности кристалла, могут напоминать сильно вытянутый эллипс или даже "восьмерку", что свидетельствует о значительной степени анизотропии фрактальных свойств. Аналогичный результат в статье [6] был получен для шпатового галита Верхнекамского месторождения калийно-магниевых солей.
Рис. 6. Зависимость индекса фрактально-сти от градусной меры угла
При исследовании зависимости от направления можно исследовать не только вер-
тикальные, горизонтальные и диагональные направления, но также и произвольные, если строить ряды по лучам, исходящим из центра области, принимая за значение ряда в промежуточных точках значения интерполяционной функции первого порядка. На рис. 6 построена зависимость индекса фрактальности от угла направления (в градусах). Внешнее сходство первой и второй половин графика свидетельствует о том, что, как правило, индексы фрактальности на противоположных направлениях различаются слабо, т.е. наблюдается именно анизотропия, а не просто неустойчивый характер индекса фрактальности.
Значения двумерного индекса фрактальности приведены в табл. 3.
Таблица 3. Величины двумерного индекса фрактальности для областей ПС1-ПС6
Область Двумерный индекс фрактальности
ПС1 1,082
ПС2 1,118
ПС3 1,068
ПС4 1,087
ПС5 1,091
ПС6 1,191
Среднее значение фрактальной размерности, вычисленное на основе двумерного индекса фрактальности - 2,106.
3. Механические свойства кристаллов поваренной соли
Разделим область ПС6, в которой проведена серия индентаций на 10 вертикальных и 10 горизонтальных полос так, чтобы точки индентирования располагались в центре полученных клеток.
В табл. 4 представлены средние значения твердости по Мейеру при максимальном усилии по столбцам и строкам (приведены данные только для пяти столбцов с наибольшей глубиной проникания).
Таблица 4. Значения твердости по Мейеру
при максимальном усилии
Н, ГПа I II III IV V
Р(тах), мкН 22 20 18 16 14
Стр.1 1,168 1,368 1,029 0,611 0,871
Стр.2 1,272 1,305 1,275 1,367 0,894
Стр.3 1,082 0,990 1,012 0,991 0,819
Стр.4 1,904 1,343 1,079 1,215 0,842
Стр.5 1,920 1,444 0,578 0,970 2,361
Стр.6 1,749 1,196 1,455 1,320 1,215
Стр.7 1,844 1,083 1,671 1,540 1,148
Стр.8 1,852 1,441 1,143 1,225 1,422
Стр.9 1,212 1,546 1,196 1,477 1,604
Стр.10 0,998 0,969 1,007 1,322 1,076
В табл. 5 приведены аналогичные значения твердости при постоянной глубине проникания наконечника кантилевера ¿=150 нм.
Таблица 5. Значения твердости по Мейеру при ¿=150 нм.
Н, ГПа I II III IV V
Стр.1 1,055 0,973 0,946 0,851 0,865
Стр.2 1,036 0,959 0,955 1,08 0,78
Стр.3 0,579 0,854 0,842 0,417 0,55
Стр.4 0,841 0,923 0,612 0,491 0,528
Стр.5 0,649 1,028 0,975 0,618 0,649
Стр.6 0,977 1,708 0,872 0,591 0,544
Стр.7 0,905 0,931 0,741 0,788 0,756
Стр.8 0,791 1,084 0,935 0,849 0,867
Стр.9 1,048 1,031 0,784 0,844 0,676
Стр.10 0,959 1,006 0,412 0,685 0,475
Среднее значение твердости по Мейеру по данным табл. 4 составляет 1,27 ГПа, по данным табл. 5 - соответственно 0,83 ГПа.
В статье [6] для шпатовой соли были получены более высокие значения твердости: Н=2,85 ГПа при максимальном усилии Р=22 мкН и Н=2,96 ГПа при максимальном усилии Р=4,4 мкН для однократного индентирования, однако если рассматривать суммарное перемещение при трех повторных индентированиях в одну точку, значения твердости по Мейеру понижались соответственно до 1,34 ГПа и 0,8 ГПа.
В монографии [8] при значительно большем усилии индентирования Р=500мН исследованы некоторые фракции галита: прозрачная (Н=0,34±0,08), прозрачная с голубым окрасом (Н=0,35±0,08) - в составе сильвина; прозрачная (н=0,29±0,05), темно-серая (Н=0,36±0,08). Полученные значения твердости близки между собой, но несколько ниже величин, полученных для поваренной соли при меньшем усилии инденти-рования. Эта закономерность, по-видимому, связана с масштабным эффектом [9].
Таблица 6. Значения модуля упругости
Е, ГПа I II III IV V
Стр.1 6,82 30,17 35,10 10,73 5,392
Стр.2 9,74 29,40 10,73 12,50 23,57
Стр.3 16,24 27,14 10,22 8,28 22,09
Стр.4 17,20 25,65 12,84 20,52 11,46
Стр.5 28,74 19,88 33,94 15,45 26,35
Стр.6 20,18 21,88 6,815 8,56 34,81
Стр.7 15,20 16,33 16,92 15,11 23,02
Стр.8 7,72 17,87 7,901 17,45 8,38
Стр.9 39,06 23,19 10,38 16,84 9,54
Стр10 17,77 12,21 7,93 13,58 16,98
В табл. 6 приведены рассчитанные значения модуля упругости. Они носят достаточ-
но приближенный характер, что обусловливается: 1) сильной зависимостью от выбора начала прямого хода и границ участков упругой разгрузки; 2) малым количеством точек в участке упругой разгрузки и его слабой выраженностью (характерный график зависимости "усилие-глубина проникания" представлен на рис. 7).
График зависимости Р(1_)
Глубина проникания нм
Рис. 7. График зависимости Р(Ь) для одной из силовых линий области ПС6
Значения модуля упругости, рассчитанные для шпатовой соли при усилии инденти-рования Р=22мкН и для вышеописанных фракций галита при Р=500 мН, несколько выше, чем в данном эксперименте и находятся в диапазоне 50-60 ГПа.
Графики зависимости твердости от глубины проникания индентора, построенные по различным точкам одной диаграммы "усилие-глубина проникания" могут иметь различный вид, хотя для большого диапазона значений Ь наиболее характерно убывание функции Н(Ь), обусловленное масштабным эффектом (рис. 8).
Зависимость Н(1.):Р=22мкН
2,3 -,-
40 140 240
Перемещение I., нм
Рис. 8. Зависимость твердости по Мейеру от глубины проникания индентора
2. Корреляция между индексом фрактальности и механическими свойствами кристалла поваренной соли
Для определения корреляции между механическими и фрактальными параметрами 512 строк и 512 столбцов матрицы, определяющей рельеф области ПС6 разбиты на 10 групп: 9 групп по 51 ряду, в десятой группе 53 ряда. Границы этих групп линий образуют сетку, в которой точки индентирования находятся примерно в центре ячеек. Рассчитаны средние значения индекса фрактальности в каждой группе строк и столбцов и вычислены коэффициенты линейной корреляции между ними и средними значениями механических параметров в соответствующих полосах, а также коэффициенты корреляции между твердостью по Мейеру и модулем упругости.
Для столбцов матрицы рельефа (при одинаковой максимальной нагрузке) получена выраженная обратная корреляция между индексом фрактальности и механическими параметрами: г= -0,81 для пары (^,Н) и г= -0,64 для пары (р,Е) и прямая корреляция средней степени выраженности (г=0,43) для пары (НЕ). Для строк (при переменной максимальной нагрузке) коэффициенты корреляции близки к нулю. Таким образом, корреляционные зависимости проявляются более выраженно при одинаковом уровне максимальной нагрузки.
Заключение
Данное исследование представляет собой попытку установления корреляционной зависимости на основе одного конкретного примера, в котором обнаружена обратная корреляция между фрактальной размерностью и механическими характеристиками. Для получения общих выводов о характере зависимости между рассматриваемыми параметрами необходимо провести большое количество различных экспериментов. Характер взаимосвязи между механическими характеристиками и фрактальными свойствами поверхности может зависеть от вида соляной породы, максимального уровня нагружения, структурных особенностей кристаллов, методов оценки параметров и т.п.
Анизотропия фрактальных свойств поверхности кристаллов поваренной соли обу-
словлена свойствами кристаллов (наличие плоскостей спайности).
Для исследованных поверхностей характерны невысокие значения фрактальной размерности (2,0-2,2), соответствующие слабой степени изрезанности.
Значения твердости в основном расположены в диапазоне 0,5-2 ГПа. Значения модуля упругости определяются с высокой степенью погрешности и варьируются от 5 до 40 ГПа. Масштабный эффект для твердости проявляется уменьшением значений H с ростом максимальной глубины проникания наконечника кантилевера L.
Список литературы
1. Барахтин Б.К., Мещеряков Ю.И., Савенков. Г.Г. Динамические и фрактальные свойства стали СП-28 в условиях высокоскоростного нагружения // Журнал технической физики. 1998. Т. 68. № 10.
2. Поваренных А.С. Кристаллохимическая классификация минеральных видов. Киев: Наукова думка, 1966.
3. Дубовиков М.М., Крянев А.В., Старченко Н.В. Размерность минимального покрытия и локальный анализ фрактальных временных рядов // Вестник РУДН. 2004. Т. 3, №1. С. 81-95.
4. Митин В.Ю. Метод минимального покрытия и другие методы фрактального анализа изрезанности рельефа поверхностей // Вестник Пермского университета. Сер. Механика. Математика. Информатика. 2013. Вып.2(21). С. 16-21.
5. Аптуков В.Н., Митин В.Ю. Исследование шероховатости поверхности кристаллов шпатового галита // Вестник Пермского университета. Сер. Механика. Математика. Информатика. 2014. Вып. 1(24). С. 25-30.
6. Аптуков В.Н., Константинова С.А., Митин
B.Ю. и др. Механические характеристики зерна сильвина в нано- и микродиапазоне // ФТПРПИ. 2012. № 3.
7. Аптуков В.Н., Митин В.Ю. Сравнительные характеристики изрезанности рельефа поверхности зерен сильвина, шпатовой соли и карналлита в нанодиапазоне // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2013. № 1. С. 51-60.
8. Константинова С.А., Аптуков В.Н. Некоторые задачи механики разрушения соляных пород / ОАО "Галургия". Новосибирск: Наука, 2013.
9. Андриевский Р.А. и др. Наноиндентирова-ние и деформационные характеристики на-ноструктурных боридонитридных пленок // Физика твердого тела. 2000. Т. 42, вып. 9.
C.1624-1627.
Fractal and mechanical nanoscale properties of cooking salt crystals
V. N. Aptukov1, V. Ju. Mitin1
:Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15 victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35
I. A. Morosov1, 2
2Institute of continuous media mechanics UB RAS Russia, 614013, Perm, St. Academ. Koroleva, 1
The values of fractal index of certain parts of cooking salt artificial crystals are obtained. The ani-sotropy effects of fractal characteristics are discovered. The values of hardness and elastic modulus are calculated and compared with the results of other similar investigations. The problem of correlation between fractal parameters and mechanical characteristics is discussed.
Key words: cooking salt (halite); nanoscale; fractal dimension; hardness; elastic modulus.
