Фрактальное моделирование социально-политических феноменов и процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ПРАКТИКИ

Д. С. Жуков, С. К. Лямин

ФРАКТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-

ПОЛИТИЧЕСКИХ ФЕНОМЕНОВ И ПРОЦЕССОВ*

Вслед за естественными и точными науками в социальных дисциплинах активно развиваются синергетические представления: теория хаоса вторгается в гуманитарную сферу1. Фрактальная геометрия позволяет создавать модели, эвристически продуктивные именно для имитации нелинейности, парадоксальности процессов и структур. Несмотря на это, опыт использования фракталов в исторических и политологических исследованиях ограничен лишь теоретической констатацией фрак-тальности некоторых социальных феноменов. В рамках деятельности Центра фрактального моделирования (ЦФМ, сайт: www. ineternum. ru) предпринята попытка создания полнофункциональных фрактальных моделей для целей общественно-политических исследований. В этой статье мы обозначим подходы к построению моделей и некоторые результаты адаптации средств фрактальной геометрии к специфике гуманитарных изысканий.

Фрактальная геометрия появилась в 1977 г. после публикации книги Бенуа Мандельброта «Fractals: Form, Chance, and Dimension»2. Переработанная вторая редакция этой монографии стала классическим основополагающим трудом по фрактальной

* Исследование выполнено при финансовой поддержки Российского фонда фундаментальных исследований в рамках проекта РФФИ № 10-06-00250-а «Компьютерное моделирование модернизационных процессов средствами фрактальной геометрии».

1 Бородкин Л. И. Методология анализа неустойчивых состояний в политико-исторических процессах // Международные процессы. 2005. № 1.

2 Mandelbrot, B. B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. San Francisco CA and Reading UK: W. H. Freeman & Co, 1977.

геометрии - «The Fractal Geometry of Nature»1 (русский перевод -«Фрактальная геометрия природы»2). Фрактал - это особый тип геометрической фигуры, а «фрактальный» - это характеристика структуры, явления или процесса, обладающих свойствами фрактала. Определение фрактала, данное самим Б. Мандельбро-том, выглядит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Главным свойством фракталов является, таким образом, самоподобие: «небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале». Это явление обуславливает так называемую масштабную инвариантность фрактала. В каком бы приближении мы не рассматривали фрактал, мы всегда видим одно и то же или, во всяком случае, нечто подобное3. На рисунке 1 в качестве иллюстрации масштабной инвариантности представлены несколько масштабов фрактала Решето Серпински.

Рис. 1. Решето Серпински

Самоподобие может быть частичным или закономерно изменяющимся (это результат сложнейшего характера внутренней структуры фрактала). Рисунок 2 демонстрирует фрагменты самого известного фрактала - Построения Мандельброта. В данном случае самоподобие трансформируется в разных масштабах, но на каждом уровне сложности (в каждом масштабе) возникает сплав индивидуальных характеристик элемента и общих черт всей системы.

1 Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. New York US and Oxford UK: W. H. Freeman and Company. 1982.

2 См. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия Природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

3 Жиков В. В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. Математика. - 1996. - № 12. С. 109.

Рис. 2. Фрактал Мандельброта

Способность виртуальных компьютерных фракталов имитировать реальные объекты живого и неживого мира делает фрактальную геометрию удобным способом моделирования реальности. Более того, Б. Мондельброт полагает, что для природы характерен именно фрактальный способ самоорганизации. Фрактальная методология, таким образом, позволяет создавать конкретные математические модели социальных и политических явлений и процессов. С помощью программ-фрактало-построителей мы получаем возможность проводить компьютерные эксперименты, симулирующие такие явления и процессы, с которыми невозможно экспериментировать в «невиртульном» мире.

В монографии «Fractals, Graphics and Mathematical Education» Б. Мандельброт помещает размышление об истории (и социально-гуманитарных науках в целом) и фрактальной геометрии: «Позвольте мне в этой точке моих размышлений признаться Вам в зависти, испытываемой мной в юности, когда я наблюдал то влияние на умы людей, которое является привилегией психологии и социологии; позвольте мне признаться в моих юношеских мечтах о некоей отрасли точной науки, которая могла бы так или иначе преуспеть в достижении подобного влияния. Еще несколько десятилетий назад природа самих точных наук делала все эти мечты бесполезными. Люди (не все, что и говорить, но достаточное число из них) рассматривают историю, психологию, социологию как науки живые, ясно понимающие, действенные... Астрономия не рассматривалась как живая и действенная наука; Солнце и Луна сверхчеловечны, поскольку из-за своей правильности подобны богам.

В настоящее время острый контраст между астрономией и историей исчез. Мы являемся свидетелями возникновения не просто новой разновидности науки или нового рода наук, но намного более глубоких изменений... Начиная с 1960-х гг. изучение истинной сложности и неупорядоченности вышло на сцену. Здесь можно произнести два ключевых слова - хаос и фракталы, - но я остановлюсь на фракталах. Снова и снова в процессе моей работы обнаруживались случаи, где простота порождает сложность, которая кажется невероятно жизнеподобной...

Астрономия описывала простые правила и их простые результаты и эффекты, в то время как история описывала сложные правила и их сложные результаты и эффекты. Фрактальная геометрия обнаруживает простые правила и их сложные результаты и эффекты..

Фрактальные модели позволяют обнаружить закономерность и стройную упорядоченность в таких системах, где, казалось бы, царит абсолютный хаос разнонаправленных человеческих устремлений и многообразных эмпирических фактов - фрактальная геометрия объединяет их, не укладывая, вместе с тем, в прокрустово ложе простейших схем. В рамках фрактальной методологии мы выделим несколько способов моделирования, применимых к социальным и политическим процессам и явлениям.

Во-первых, построение алгебраического фрактала можно рассматривать как исследование поведения нелинейной динамической системы в фазовом пространстве. Итерируемая формула (своего рода «генетический код» фрактала) генерирует череду чисел и, тем самым, задает траекторию точки, т. е. поведение системы, в фазовом пространстве. Совокупность некоторых точек фазового пространства, которые являются стартовыми позициями (начальными состояниями), из которых система «втягивается» в тот или иной аттрактор, обычно обозначается как бассейн аттрактора. Аттракторы и их бассейны в фазовом пространстве во многих случаях имеют вид фрактала. Таким обра-

1 Frame, M. L. & Mandelbrot, B. B. Fractals, Graphics and Mathematical Education. Washington DC: Mathematical Association of America & Cambridge UK: The University Press, 2002. P. 25-26.

зом, сделав математическое описание взаимодействия ряда факторов системы, можно с высокой долей вероятности, предсказывать возможные итоги ее развития1. Компьютерная программа-фракталопостроитель в этом случае может генерировать изображения аттракторов системы (мы условно называем эти изображения «пространством перспектив») и бассейнов («пространство потенциалов»).

В ходе исследований в Центре фрактального моделирования авторами были разработаны математическая модель, описывающая процессы модернизации городской социальной среды и менталитета горожан в пореформенной России («Менталофрак-тал»), а также модель демографического поведения аграрного населения Центральной России второй половины XIX - начала XX в. («Демофрактал»). Обе модели используют схожий математический аппарат, поскольку должны имитировать типологически схожие процессы форсированной модернизации. В обоих случаях итерируемая формула аналогична той, которая используется для построения Фрактала Мандельброта, однако алгоритм генерирования значительно отличается. «Многофункциональность» формулы Мандельброта объясняется ее относительной простотой и, очевидно, универсальностью как инструмента описания процессов самоорганизации.

Математический аппарат «Менталофрактала» и «Демофрак-тала» содержит итерируемую формулу 2п+1 = А + С (где 2 и С - комплексные числа), а также ряд математических условий, которые позволяют отождествить геометрический смысл операций над комплексными числами с результатами нуклеарных взаимодействий факторов модели. Таким образом, модель в целом приобретает способность симулировать линейные и нелинейные процессы, возникающие в результате краткого и (или) долгосрочного взаимодействия ряда факторов.

Во-вторых, построение стохастических фракталов посредством введения элементов случайности позволяет имити-

1 Жуков Д. С., Лямин С. К. Моделирование исторических явлений и процессов средствами фрактальной геометрии // Информационный бюллетень Ассоциации «История и компьютер». 2006. № 34. С. 52.

ровать реальные феномены. Подобные фракталы будут отображать результаты процессов, которые сочетают в себе элементы закономерности и случайности. К числу таких процессов относятся практически все социальные процессы, описываемые статистическими законами. Стохастические фракталы отличаются от детерминированных именно способностью симулировать индивидуальность и неповторимость каждого элемента системы. Однако внесение случайных отклонений в процедуры построения фракталов не отменяет определенных закономерностей для групп элементов «в среднем».

Мы применили подобный метод моделирования для изучения формирования модернизированных социальных слоев под воздействием результатов модернизационного давления государства на городские общества во второй половине XIX в. Компьютерная программа «Имитация» формировала фрактальный кластер, конфигурация которого имитировала взаимодействие следующих факторов: сила модернизационного нажима, инерция (сила сопротивления) традиционного общества, величина объекта модернизационного нажима, количество модернизаци-онных мероприятий. Графические результаты работы программы могут быть интерпретированы как некоторые итоги исторического процесса модернизации. Стохастическая природа этой модели приводит к тому, что при разных запусках программы с одними и теми же параметрами вид получившегося фрактала может быть различным. Но качественные характеристики (величина, «степень разветвленности» и др.) одинаковы, поскольку выражают статистические закономерности.

В чем эвристическая ценность имитационной модели? Такая модель позволяет выявить потенциал развития ситуации. Вводя разные значения параметров, мы получаем разные результаты. Каждый конкретный кластер, взятый изолированно, практически не содержит нового знания, однако в этом кластере демонстрируется взаимосвязь исследуемых факторов, и поэтому череда кластеров позволяет сравнить результаты изменения как одного, так и нескольких факторов. Вид получившегося фрактала изменяется в зависимости от комбинации численных выра-

жений факторов и свидетельствует, в частности, об эффективности модернизационного нажима и о степени целостности и связанности модернизирующегося общества. Причем степень эффективности модернизационного нажима может быть определена путем сопоставления ряда полученных изображений.

Программное обеспечение для реализации моделей «Мен-талофрактал», «Демофрактал», «Имитация» и некоторых других создано сотрудником ЦФМ Ю. Мовчко. Некоторые результаты исследований, связанных с построением алгебраических и стохастических фракталов, представлены на рисунке 3. В рамках этой статьи, мы стремимся лишь обозначить подходы к моделированию и не имеем возможности обсудить интерпретации приведенных изображений.

Рис. 3. Некоторые результаты работы фракталопостроителей «Менталофрактал», «Демофрактал», «Имитиция»

В-третьих, геометрические фракталы являются удобной эвристической метафорой для описания самоподобных социальных и политических структур, а также логики их развития. Геометрическими фракталами называют фигуры, возникающие в результате повторения одного и того же графического элемента (так называемого генератора фрактала) бесконечное количество раз во все уменьшающемся масштабе. Примером такой фигуры может служить фрактал Решето Серпински (рисунок 1) или Снежинка Коха (рисунок 4). Поскольку генератор фрактала повторяется бесконечное число раз, то, теоретически, Решето Серпински, состоящее из треугольных «вырезок» из базового треугольника, имеет нулевую площадь; а Снежинка Коха, которая формируется «пристраиванием» треугольных «наростов»

к каждой грани, имеет бесконечную длину периметра в ограниченном пространстве.

Рис. 4. Начальные этапы построения Снежинки Коха

Метафора фрактала, которому свойственна масштабная инвариантность, позволяет свести все многообразие фактов независимо от их масштаба к определенной закономерности, которую можно представить как генератор фрактала. При этом качественное единообразие базовой закономерности не противоречит количественному разнообразию исследуемых фактов.

Использование метафор фракталов в исследовательском дискурсе во многих случаях является не просто изменением иллюстративного ряда, но сменой представлений о существе тех или иных явлений. Новая метафора позволяет иначе обобщить имеющиеся данные, иначе представляет функциональные связи между фактами, иначе описывает динамику процессов.

Вот как Дж. Глейк в своей книге «Хаос: создание новой науки» описывает экспансию фрактальных метафор: «.В системе кровообращения поверхность с огромной площадью должна вместиться в ограниченный объем. Человеческое тело полно подобных хитросплетений. В тканях пищеварительного тракта одна волнистая поверхность «встроена» в другую. Легкие также являют пример того, как большая площадь «втиснута» в довольно маленькое пространство. Фрактальный подход,. предполагает рассмотрение структуры как целого через разветвления разного масштаба. Фрактальная организация лежит в основе устройства всего человеческого тела. Выяснилось, что и мочевыделительная система фрактальна по своей природе, равно как желчные протоки в печени, а также сеть специальных мышечных волокон, которые проводят электрические импульсы

к сократимым мышечным клеткам сердца... С точки зрения Мандельброта,... фракталы, разветвляющиеся структуры, до прозрачности просты и могут быть описаны с помощью небольшого объема информации. Возможно, несложные преобразования, которые формируют [фрактальные] фигуры, заложены в генетическом коде человека. ДНК, конечно же, не может во всех подробностях определять строение бронхов, бронхиол, альвеол или пространственную структуру дыхательного «древа», однако она в состоянии запрограммировать повторяющийся процесс расширения и разветвления - а ведь именно таким путем природа достигает своих целей. Мандельброт естественным образом переключился с изучения «древа» дыхательного и сосудистого на исследование самых настоящих деревьев, которые ловят солнце и противостоят ветрам, деревьев с фрактальными ветвями и листьями. А биологи-теоретики начали подумывать о том, что фрактальное масштабирование не просто широко распространенный, но универсальный принцип морфогенеза. Они утверждали, что проникновение в механизмы кодирования и воспроизводства фрактальных моделей станет настоящим вызовом традиционной биологии»1.

Наконец, в-четвертых, средства фрактальной геометрии позволяют анализировать событийные ряды. Многие процессы имеют фрактальный характер. Самый простой пример фрактального процесса - волна, покрытая рябью, т. е. более мелкими волнами, которые, в свою очередь, также покрыты рябью и т. д. Волнообразный вид графиков ключевых процессов в социально-политической сфере, естественным образом, наводит на мысль о цикличности этих процессов. Можно предположить, что (в пространстве) фрактальным структурам соответствуют (во времени) фрактальные процессы их жизнедеятельности - многомерные, сложные многоволновые циклы, спирали в фазовом пространстве и т. п. Фрактальность процессов становления и эволюции тех или иных систем можно трактовать как следствие (или, возможно, - причину) фрактального устройства самих систем.

1 Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб.: Амфора, 2001. С. 142-146.

Обратим внимание, что процесс, моделируемый в фазовом пространстве как совокупность результатов итераций «фрактальной» формулы, будет, как правило, иметь вид закручивающейся спирали, сходящейся к аттрактору (если моделируемый процесс имеет аттрактор в каких-то видимых пределах, а не в бесконечности) (см. рисунок 5).

Любопытен в данном случае не только тот факт, что сама спираль является фракталом. Заучивающимся спиралям в фазовом пространстве соответствуют в реальной жизни затухающие колебательные процессы. Как известно, многие социально-политические процессы имеют именно такой характер в том случае, если социальная (или политическая) система стабилизируется. «Раскручивающейся» спирали с аттрактором в бесконечности (в фазовом пространстве) соответствуют (в реальном мире) колебательные процессы с увеличивающейся амплитудой, которые приводят к паталогической дестабилизации и разрушению системы.

аттрактор

Рис. 5. Один из результатов итераций формулы Мандельброта

Приведенные выше модели представляют собой «не столько точное отображение всей исторической действительности, сколько функциональное (и функционирующее в качестве

компьютерной модели) обобщение нескольких факторов -обобщение, которое в таком виде может использоваться в обобщениях более высокого порядка»1. Если модель хорошо калибрована и верифицирована, то возникает возможность проводить компьютерные эксперименты с виртуальными копиями реальных объектов и процессов. Поскольку, как правило, мы не имеем возможности произвольно экспериментировать с социальными и политическими явлениями, то их модели можно использовать как своего рода «эвристическую машину» для производства гипотез, выявления потенциалов и для прогнозирования. Кроме того, помимо собственно математического моделирования, фрактальная геометрия предоставляет прекрасный понятийный аппарат для развития некоторых концептуальных представлений о социальных и политических феноменах.

С. А. Ивченко

РОЛЬ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ

В РАЗВИТИИ РЕГИОНА (НА ПРИМЕРЕ ТАМБОВСКОЙ ОБЛАСТИ)

В 1960-1990 гг. в Тамбовской области произошло сокращение темпов естественного прироста населения, обусловленное общим снижением рождаемости в связи с переходом к новой модели репродуктивного поведения с преимущественной ориентацией на малодетную семью.

По данным статистики в 1989 г. по сравнению с 1959 г. уровень рождаемости (в промилле) в области сократился в 1,9 раза, с 24,3 до 12,2, а смертности увеличился на 97,7 %. В свою очередь, снижение коэффициента рождаемости населения области в 1,9 раза при увеличении коэффициента смертности в аналогич-

1 Жуков Д. С., Лямин С. К. Моделирование исторических явлений и процессов средствами фрактальной геометрии // Информационный бюллетень Ассоциации «История и компьютер». 2006. № 34. С. 52.