Фрактальная размерность как термодинамический параметр Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

УДК 538.22

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ КАК ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТР

© 2006 г. Х.Ш. Борлаков, П.А. Кочкарова

The fractal properties of the ordered phases in a vicinity of the Curie point are analyzed. The dependence df = df (n) is determined, where df - is the fractal dimension, 77- the module of the order-parameter.

В физике фазовых переходов давно используются понятия и методы теории перколяции [1]. Перколирующие системы обладают фрактальными свойствами - являются однородными фракталами [2]. В последнее время А.В. Миловановым доказана так называемая теорема суперуниверсальности [3, 4] теории перколяции в размерностях объемлющего пространства 1 < n < 6. Он обнаружил, что на пороге перколяции значение так называемой спектральной фрактальной размерности ds равно одному и тому же числу C и 1,327 (константа Милованова) для любых перколирующих систем, помещенных в евклидово пространство с указанными выше размерностями. Для размерностей n > 5 теорема о суперуниверсальности была доказана еще раньше Александером и Орбахом [5] на основе приближения

среднего поля, причем для этих размерностей с = 4 Таким образом, в

3

окрестности геометрического фазового перехода в перколирующей системе величина 4 = ds - C весьма мала, а в точке перехода обращается в нуль. Но именно таким поведением обладает модуль параметра порядка п в термодинамической теории Ландау. Следовательно, если отождествить фазовый переход в кристалле с геометрическим фазовым переходом в духе теории перколяции, то между П и 4 должна существовать функциональная связь. Феноменологической разработке этой идеи и посвящена данная работа.

Фазообразование в кристалле можно рассматривать как процесс флук-туационного возникновения ячеек новой фазы в недрах старой. При этом по мере приближения к точке Кюри доля ячеек новой фазы увеличивается и в точке Кюри достигает критического значения. Считая ячейку новой фазы «проводящей», а точно такую же ячейку с иными свойствами «непроводящей», мы сводим задачу о фазовом переходе в точке Кюри к задаче узлов теории перколяции [6, 7]. Итак, если отождествить фазовый переход в кристалле с геометрическим фазовым переходом в духе теории перколяции, то очевидно, что вблизи точки Кюри существует регулярная зависимость |П| = n = f (4), причем f (0) = 0. Ограничиваясь первым неис-

чезающим членов разложения этой функции в ряд, мы имеем = -С = ЯП, где Я = ,'(0). Так как в теории Ландау ц2 ~ Тс - Т, ясно, что и ~ Тс - Т. Чтобы определить зависимость флуктуаций спектральной размерности от термодинамических переменных, представим параметр порядка в виде суммы термодинамической средней и флуктуационной составляющей п = П + Дп Очевидно, что = Дё* = ЯАц. Возводя это соотношение в квадрат, имеем

(Дё)2 = Я2(Дп)2 (1)

Из теории фазовых переходов хорошо известно, что флуктуации параметра порядка имеют в точке фазового перехода особенность

ч2 (Тс - Т)-1. Следовательно, флуктуации спектральной фракталь-

(И)2)'

ной размерности имеют ту же особенность. Хаусдорфова (фрактальная) размерность перколирующей сети связана со спектральной соотношением 2ё, = ё*(2 + 6), где 9 - индекс связности фрактала. Индекс связности в нашем случае может быть положительной величиной, не превышающей единицы даже с учетом флуктуаций [3, 4]. Таким образом, имеем (Дёу)2 = (Дё*)2. Для температурной зависимости фрактальной размерности вблизи точки Кюри получается следующая простая формула:

ё, =(А^Т~-Т + С ))1 + 6 (2)

где 9 следует считать равным его значению в точке Кюри; А - положительная константа.

Интересно сравнить температурную зависимость фрактальной размерности (2) с зависимостью, предложенной в [8]. В [8] была определена формула для топологической энтропии перколяционной сети

Б, =1 - -к (3)

аГ

Дифференцируя (3) по температуре, получаем

dSf 1 ddf

(4)

Следовательно, в силу того, что энтропия возрастает с ростом температуры, должна возрастать и величина фрактальной размерности. Между тем, согласно (2), фрактальная размерность растет при убывании температуры (при 9 = const), в противоположность (4). На самом деле индекс связности также является убывающей функцией температуры. Нам представляется, что формула для топологической энтропии имеет ограниченную область применимости, и рассуждения о температурной зависимости фрактальной размерности на основе этой формулы уступают в своей общности рассуждениям на основе статистической термодинамики.

Таким образом, мы видим, что фрактальная размерность является термодинамическим параметром, вполне равноправным с величиной пара-

метра порядка. Использование фрактального языка и обычной терминологии теории фазовых переходов отражает своеобразный дуализм в описании свойств упорядоченной фазы.

Литература

1. Чабан И.А. // ФТТ. 1978. Т. 20. Вып. 5. С. 1497-1504.

2. СоколовИ.М. // УФН. 1986. Т. 150. Вып. 2. С. 221-255.

3. Милованов А.В. Фрактальная топология и дробная кинетика в проблемах теории турбулентности. Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 2003.

4. Зеленый Л.М., Милованов А.В. // УФН. 2004. Т. 174. Вып. 8. С. 809-852.

5. Alexander S., Orbach R.L. // J. de Physique Lettres (France). 1982. Vol. 43. P. 625.

6. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М., 2002.

7. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А., Каитова П.С. // Препринт № 152Т. САО РАН. Н. Архыз, 2005. С. 13-16.

8. Milovanov A.V., Rasmussen J.J. // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 1-11.

Карачаево- Черкесская государственная технологическая академия 15 марта 2006 г.

УДК 589.2

КВАНТОВО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЕССА ЭПИТАКСИАЛЬНОГО ВЫРАЩИВАНИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛЁНОК

© 2006 г. В.И. Лебедев, В.В. Мизина, А.А. Баранник, О.В. Слуцкая

The new quantum-statistical approach to the description of thin films formation kinetics is developed. A films formation process is considered as a result of gas or liquid phase epitaxy on a crystal substrate as an original Bose-condensation. Spinodals and phase diagrams of film structures origin at various intensity of nuclear interactions in films and with a substrate are received.

Развитие тонкоплёночных технологий привело к прогрессу в микро- и оптоэлектронике, определяющему лицо современной информационной цивилизации. При выращивании плёнок со сложным составом и структурой приходится (в отсутствии общепризнанных теоретических моделей) экспериментально подбирать как материал и структуру подложек, так и технологические параметры процесса эпитаксии [1, 2]. Возникает проблема фундаментального подхода к построению моделей кинетики фазовых переходов первого рода в двухфазных системах, свободных от неконтролируемого использования, неприменимых к наноструктурам, размером ~ 10 нм макроскопических характеристик. Необходима разработка новых квантово-статистических подходов к описанию кинетики образования тонких плёнок, исследованию возможных фаз и структурных фазовых переходов, а также свойств метастабильных фаз, позволяющих описать процессы кластерообразования [3].