CC BY
12
метра порядка. Использование фрактального языка и обычной терминологии теории фазовых переходов отражает своеобразный дуализм в описании свойств упорядоченной фазы.
Литература
1. Чабан И.А. // ФТТ. 1978. Т. 20. Вып. 5. С. 1497-1504.
2. СоколовИ.М. // УФН. 1986. Т. 150. Вып. 2. С. 221-255.
3. Милованов А.В. Фрактальная топология и дробная кинетика в проблемах теории турбулентности. Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 2003.
4. Зеленый Л.М., Милованов А.В. // УФН. 2004. Т. 174. Вып. 8. С. 809-852.
5. Alexander S., Orbach R.L. // J. de Physique Lettres (France). 1982. Vol. 43. P. 625.
6. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М., 2002.
7. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А., Каитова П.С. // Препринт № 152Т. САО РАН. Н. Архыз, 2005. С. 13-16.
8. MilovanovA.V., Rasmussen J.J. // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 1-11.
Карачаево- Черкесская государственная технологическая академия 15 марта 2006 г.
УДК 589.2
КВАНТОВО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЕССА ЭПИТАКСИАЛЬНОГО ВЫРАЩИВАНИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛЁНОК
© 2006 г. В.И. Лебедев, В.В. Мизина, А.А. Баранник, О.В. Слуцкая
The new quantum-statistical approach to the description of thin films formation kinetics is developed. A films formation process is considered as a result of gas or liquid phase epitaxy on a crystal substrate as an original Bose-condensation. Spinodals and phase diagrams of film structures origin at various intensity of nuclear interactions in films and with a substrate are received.
Развитие тонкоплёночных технологий привело к прогрессу в микро- и оптоэлектронике, определяющему лицо современной информационной цивилизации. При выращивании плёнок со сложным составом и структурой приходится (в отсутствии общепризнанных теоретических моделей) экспериментально подбирать как материал и структуру подложек, так и технологические параметры процесса эпитаксии [1, 2]. Возникает проблема фундаментального подхода к построению моделей кинетики фазовых переходов первого рода в двухфазных системах, свободных от неконтролируемого использования, неприменимых к наноструктурам, размером ~ 10 нм макроскопических характеристик. Необходима разработка новых квантово-статистических подходов к описанию кинетики образования тонких плёнок, исследованию возможных фаз и структурных фазовых переходов, а также свойств метастабильных фаз, позволяющих описать процессы кластерообразования [3].
Кинетика образования тонкоплёночных структур
Рассмотрим процесс образования пленки в результате газовой или жидкостной эпитаксии на кристаллической подложке. Совокупность частиц неупорядоченной фазы можно рассматривать как динамическую систему бесспиновых частиц, распределенных в пространстве случайным образом и находящихся в состоянии термодинамического равновесия с кристаллической подложкой. Частицы могут находиться в сколь угодно большом количестве в одном состоянии, для них не существует запрета Паули, т.е. такую систему можно рассматривать как ансамбль бозе-частиц. При температурах ниже некоторой критической происходит осаждение части частиц системы на подложку в состоянии с нулевым импульсом (своеобразная бозе-конденсация в поле псевдопотенциала подложки). В результате на кристаллической поверхности образуются зародыши новой фазы, происходит фазовый переход первого рода.
Для исследования процесса осаждения вещества на подложку воспользуемся гамильтонианом общего вида с парным взаимодействием:
Н = —— | Т+ (г) ДТ (г) ёг - Т+ (г) Т (г)с1г +
2m и и (1)
+21Ф(х - г2)Т+ (х)Т+ (х) Т(х )Т(х)йг1йг2 +1U(г)Т+ (г) Т(г)йг,
2 и и
где Т+(г) и Т(г) - полевые операторы; т - масса частиц; X - химический потенциал$ и - объем системы; Ф( | г |) - потенциал парного взаимодействия; и(г) - псевдопотенциал поля подложки.
Введение химического потенциала учитывает несохранение числа частиц системы за счет стохастических процессов осаждения и возгонки. Последнее слагаемое суммы в (1) описывает взаимодействие системы с полем подложки, обладающим симметрией решетки и зависящим от температуры подложки.
Рассмотрение процесса бозе-конденсации удобно производить в терминах вторичного квантования. Полевые операторы Т+(г) и Т(г) связаны с операторами рождения и уничтожения частиц а+и ак (в импульсном представлении) обычными соотношениями
Т(г) = -^ X ак ехР (гкг)
^ к (2)
Т+ (г ) = -= X а+ ехр (-¿кг),
ЫУ к
в которых операторы а+ и ак удовлетворяют перестановочным соотношениям Бозе: аа + - а+а= 5 .
С учетом (2) гамильтониан (1) можно записать в виде
' 21V
2m
v У
н = 2
k
a+k ak +-Ц- 2 V (ki - k1) a+ a+ a. a^ + 2 Uoa+akj-, (3)
2u k1,k2,k1 k2 12 Y,k
где У(к) = |ф(|х| )ехр(-/кг)йХ - Фурье-образ потенциальной энергии взаи-
и
модействия Ф( | г |) пары частиц; ] - номер узла.
Несохранение числа частиц системы, связанное с наличием поля подложки, приводит к появлению отличных от нуля средних (а^а^), определяющих концентрацию частиц в газовой фазе, а также аномальных средних (акак), которые при к = 0 определяют концентрацию конденсата. Для
определения концентрации конденсата воспользуемся методом двухвре-менных функций Грина и методом квазисредних [2].
Запаздывающая функция Грина (ФГ), составленная из операторов рождения и уничтожения частиц в гейзенберговском представлении, запишется в виде
ад = ((аА)а;(У)).
Рассмотрим уравнение движения для ФГ (4)
('2) ч с1ак (') .
- ^ } =8( -'2) + а+ (/2))),
где уравнение движения для оператора ак(') имеет вид
idak (t) = dt1
( ,.2
2m
- —l
- 2 v(ki-k;Wakakug%--
u k1,k2, k1,k2 12 Y
Уравнение движения для временной функции Грина примет вид
'2) .Г к2 ^
- = - '2 )+ — -Я
dt1
2m
Gkk' ( t2 ) +
+U 2, V (k1 - k1)a+2 (^(^ (l)/ak+(2)» +
^ ki,k2,kk
+2Ug{{ak (l)a+ (2)»;.
Y
Уравнение движения для Фурье-образа ФГ
ад
Gkk>WGkk'(t У*.
—ад
примет вид
G (®)=1+(2m~l) Gkk' (®)+UGkkи+
+U 2, ,v(ki — kl)«ak+2 (1)ak1(1)ak2 (1)/a+ (2)»ю.
u k1,k2, k1,k-2
Обозначая
(Ü 2m
\
—i
= sk, приведем последнее уравнение к виду
(4)
(5)
(6)
°кк П[а-ек-и] =
= 1 + и Ъ ( - к;)««+2 (^(^ (1)/а+,(2 (7)
ад
где ПОкк'((ю}== | ПаОкк:(- член, описывающий влияние поля
-ад
подложки на распределение частиц в неупорядоченной фазе.
В приближении среднего поля произведем расцепление четырехопера-торной функции Грина, означающее замену истинного взаимодействия частиц через соответствующее среднее поле. Учитывая только парные взаимодействия, имеем
<4 (1)ак1 (1)ак2 (1)/а+ (2)>>а = «а+ (1)а+ (2)>><а^ (1)ак2 (1)> +
(8)
+<<ак1 (1)а+ (2)>><а+2 (^ «Н^ (1)а+ (2^^ 2 (1)>. С учетом (8) уравнение движения для функции Грина примет вид
Окк'(®)[-ек - и\ = 1 + 1 Ъ У (к: - к1)х
к1, к2,к1, к2 (9)
х{<<ак1 (1)а++ (2)>><а+2 (1)ак2 (1)> + <<а+2 (1)а++ (^ (1)ак2 (1)>>}.
Выражение (8) содержит как нормальные <ак+ак2>, так и аномальные
<ак ак> корреляционные функции. Первое слагаемое в фигурных скобках
(9) - произведение нормальной ФГ на нормальную корреляционную функцию - это интеграл столкновения, описывающий взаимодействие частиц в неупорядоченной фазе. Второе слагаемое в фигурных скобках (9) - произведение аномальной функции Грина вида
Г^а) = <<а+ (11)а^2)>>а (Ш)
на аномальную корреляционную функцию - учитывает взаимодействие частиц в плёнке. Появление ненулевых аномальных корреляционных функций, которые при к = 0 описывают концентрацию конденсата, свидетельствует о выпадении кристаллического осадка на подложку. Уравнение (9) перепишем в виде
Скк»[-*к -и]= 1 + и Ъ,, {У(к1 -^Г .(аХа^а. ()> +
и к1,к2, к1к2 ^ 12
+2F( -(^ (!)>}•
Каждое из слагаемых в фигурных скобках можно представить как действие некоторого оператора на соответствующую ФГ:
^кк»=и Ъ, (к1 - к1 )^к1к' (а)< ак+2 (1)ак2 (О^Л^кк,); " к1,к2,к[,к2
¿2Га,(а) = и I /(к-»^(^О)^*»
и кь¿2
где Д1 и Д - собственные значения операторов / и Ь2. Уравнение движения для нормальной ФГ примет вид Сж(ю)[ю - ек - и- Д1] = 1 + ДГкк,(ю)
или
Окк(Ю)[Ю - 6] = 1 + ДГ^св), (11)
где 6 = бк + и + Д1 - перенормированная энергия возбуждений системы.
Таким образом, появление Д Ф 0 является критерием началом конденсации неупорядоченной фазы на подложке. С энергетической точки зрения это означает наличие некоторого барьера (щели), преодоление которого необходимо для начала конденсации. Для определения щели Д в энергетическом спектре системы построим уравнение движения для аномальной ФГ (9):
дГ , (/2) / ч с1а+и) +/ . ' ккд1 } = *(( -^2) + <<<^ра+(/2))).
Уравнение движения для Фурье-образа аномальной ФГ имеет вид
аГкк Й = Г0 -6кГкк Н-
-ик I , V(к1 -*0«а+ (1)а+ (1)ак. (1)/а+ (2)))„ -I
или, полагая, что в начальный момент времени отсутствует конденсат и Г0 = 0, имеем
Гкк (а)[а + 6к + и] =
= -и I V( -к;)«а+1 (1)а+2 (1)ак. (1)/а+. (2)))„-I. °к1,к2, к1, к2 1 ] По аналогии с (7) представим 4-операторные ФГ через 2-операторные в виде
<<а+ (1) а^ (1) ак1(1) / а+(2)))ю =
1 (12) = <К (1)а+ (2)))<а+2 (1)ак1 (^«а^ (1)а+ (2)))<а+ (^ (1)). Уравнение движения для аномальной ФГ примет вид Гкк (а)[а + 6к + и] =
= -и I. ( - к1)Гк1к'<а+2 (0 ак1(0) + V ( - ^Кк'К« ак+2(1)}<
ик1,к2,к1,к2 ^ ^ '
или
Гкк. (ф)[(0 + 5к +Aj + U} = -~ £ V(( -k)^ (l)ak2 (l)>.
u kj,k2,kj,k2
Рассматривая выражение под знаком суммы как действие некоторого оператора с собственным значением Д+, получим
Г№(ю)[ю + е] = Д+Окк,(ю), (13)
где
Д+ = -ик Д 2 V(к1 -к1)< (1)< (1)>. (14)
Решая совместно систему уравнений (11) и (13), находим
О (с) = С + е2, Г (с) = Д+ 2, (15)
К } С - Е2 К } со2 - Е
1/2
где E = (2 +|д|2) .
Спектральные представления для ФГ и соотношения (11) и (15) позволяют получить интегральное уравнение для определения щели в спектре возбуждений конденсата:
Д е+-
Д = -УК (кк ) , -. (16)
Уравнение (16) внешне похоже на обычное уравнение для щели в спектре возбуждений бозе-конденсата, однако в данном случае это щель в спектре возбуждений монослоя кристаллического конденсата на кристаллической подложке. Кроме парного взаимодействия частиц конденсата У(кк) в спектре возбуждений е содержится псевдопотенциал взаимодействия частиц конденсата с подложкой, зависящий от температуры подложки.
Процессы самоорганизации структур должны описываться кинетическими уравнениями для неравновесных ФГ, в которых кинетические уравнения связывают неравновесные потоки вещества, импульса и энергии с градиентами параметров и учитываются нелинейными членами [3]. Самоорганизация при этом носит пороговый характер и новые структуры возникают из неустойчивого состояния в результате развития флуктуаций. В докритиче-ском режиме флуктуации затухают, а выше порога они усиливаются и делают устойчивым новый режим, в котором возникает кооперативное поведение микропроцессов системы, приводящий к появлению новых структур. Такой фазовый переход сопровождается появлением структуры с понижением порядка симметрии. В этом смысле соотношение (16) нужно рассматривать как предельное соотношение для пороговых параметров в отрелаксировавшей новой фазе в виде тонких плёнок на поверхности подложки.
Расчёт спинодалей образования наноструктур
Спонтанное возникновение наноструктур принадлежит к широкому классу фундаментальных явлений самоорганизации в конденсированных средах. Упорядоченные наноструктуры могут возникать в открытых системах в процессе роста кристалла. Выделяют четыре большие класса
Д
спонтанно упорядоченных наноструктур: структуры с периодической модуляцией состава в эпитаксиальных пленках твердых растворов, периодически фасетированные поверхности, периодические структуры плоских доменов (например, островков монослойной высоты), упорядоченные массивы трехмерных когерентно напряженных островков в гетероэпитак-сиальных рассогласованных системах [1]. В настоящем сообщении будут рассматриваться механизмы формирования упорядоченных массивов плоских доменов и структуры с периодической модуляцией состава.
Проведём расчёт критических температур возникновения щели в спектре возбуждений конденсата на подложке из (16) в зависимости от потенциалов парного взаимодействия атомов внутри конденсата, потенциалов взаимодействия атомов конденсата с подложкой, а также температуры подложки. В эпитаксиальных системах, согласованных по постоянной решетки конденсата и подложки, режим роста определяется только соотношением двух вышеуказанных энергий. Если сумма поверхностной энергии эпитак-сиального слоя у2 и энергии границы раздела у12 меньше, чем энергия поверхности подложки, у2 + у12 < уь т.е. если осаждаемый материал 2 смачивает подложку, то реализуется режим послойного двумерного роста. В системе при наличии рассогласования по постоянной решетки между осаждаемым материалом и подложкой, первоначальный рост может происходить послойно, но с образованием «несоразмерной» поверхностной структуры.
Численный расчет (16) произведен для роста пленки Хх на поверхности кристалла Хх с использованием силовых констант, приведенных в [5] с помощью пакета программ МаШса^ Решение уравнения (16) относительно момента возникновения щели позволяет исследовать зависимость критической температуры появления монослоя кристаллической фазы на подложке от интенсивности взаимодействия атомов в пленке и от интенсивности взаимодействия подложки и пленки.
Из рис. 1а, б видно, как меняется температура расчётного появления плёночной фазы в зависимости от вариации параметров интенсивности взаимодействия атомов внутри плёнки и плёнки с подложкой А и В.
Для получения своеобразной спинодали или фазовой диаграммы появления плёночной структуры при различных интенсивно стях межатомных взаимодействий построим график критической температуры в плоскости А и В при температуре подложки 700 К.
Рис. 2 позволяет оценить влияние внутриплокостных и межплоскостных взаимодействий на критическую температуру появления зародышей плёночных структур. Естественно, что оценка «реальных» бинодальных фазовых диаграмм требует расчёта параметров типа свободной энергии возникающих структур, и только после этого результаты расчётов могут сопоставляться с экспериментальными данными. Приводимые расчёты дают предельные характеристики фазовых диаграмм появления плёночных структур на кристаллических подложках и лишь качественно соответствуют существующим экспериментальным данным [1, 2]. Фундаментальные исследования явлений
самоорганизации при фазовых переходах играют в настоящее время ключевую роль в развитии теории и технологии новых материалов электронной техники - низкоразмерных многокомпонентных полупроводниковых гетеро-структур, получаемых в различных методах жидкофазной эпитаксии [6, 7].
T
1500 -, 1000 500 0
0
Т(А), V = 1000
Т
1500 1000 500 0
T(B), V = 1700
1000
2000
3000
7760 7770 7780 7790 7800 7810
б
Рис. 1. Фазовые диаграммы зависимости температуры появления плёнки от констант взаимодействия атомов внутри плёнки (а) и с подложкой (б)
А А(В), Т = 700 К
4000
10000 20000 30000 40000
50000
60000 B
Рис. 2. Связь критической температуры, с силовыми константами
Литература
1. Леденцов Н.Н. и др. // Физика и техника полупроводников. 1998. Т. 32. № 4. С. 385-409; Бимберг Д. и др. // УФН. 1997. Т. 167. С. 552.
2. Децик В.Н. и др. // ФТТ. 1997. Т. 39. № 1. С. 121-126; Кукушкин С.А., Осипов А.В. // УФН. 1998. Т. 168. № 10. С. 1083-1116.
3. Лебедев В.И. // Вестн. Ставропольского госуниверситета. Физ.-мат науки. 1997. Вып. 11. С. 80-85.
4. Боголюбов Н.Н., Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистической механики. М., 1975.
5. Лебедев В.И., Косова Е.Н. // Сб. науч. тр. СевКавГТУ. Сер. физ.-хим. Ставрополь, 2001. Вып. 5. С. 111-120; Лебедев В.И., Косова Е.Н. // Сб. науч. тр. СевКавГТУ Сер. физ.-хим. Ставрополь, 2002. Вып. 6. С. 74-84.
6. Благин А.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2000. № 2. С. 78-80.
7. Лозовский В.Н., Лунин Л.С., Благин А.В. Градиентная жидкофазная кристаллизация многокомпонентных полупроводниковых материалов. Ростов н/Д, 2003.
Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь, Южный научный центр Российской академии наук, г. Ростов-на-Дону, Южно-Российский государственный
технический университет, г. Новочеркасск 26 февраля 2006 г.
а
8000
6000
2000
0
0
