CC BY
66
УДК «1.396 в. Ю. КОБЕНКО
Омский государственный технический университет
ФРАКТАЛЬНАЯ
ИДЕНТИФИКАЦИОННАЯ ШКАЛА
Представлены результаты исследования возможности создания порядковой идентификационной шкалы, основанной на фрактальных свойствах исследуемых процессов и явлений. Под фрактальными понимаются такие свойства объектов, которые присущи как целому, так и его части. В основе идентификационной шкалы лежит метод, выявляющий и измеряющий фрактальные свойства процессов, что позволяет упорядочить их по этим свойствам. Технологии фрактальных идентификационных шкап позволяют решать задачи автоматического распознавания, объективной классификации и идентификации процессов и явлений.
Ключевые слова: фрактал, распознавание, идентификация, классификация, сигнал, шкала.
Задачи анализа и классификации возникают при контроле и диагностике п областях медицины и техники, при изучении физических явлений и процессов, сложных нелинейных динамических систем иобъек топ. При решении таких задач в основном используются ме тоды математической статистики, спек тральною и корреляционногоанализов, которые выявляют характеристики сложного процесса, не дающие полной информации о нем. При этом сами характеристики описываются достаточ!юсложными выражениями с множеством влияющих параметров.
С возникновением в 1975 году фрактальной геометрии, связанной с именем Б. Мандельброта [1|, стало возможным описание, упорядочивание и представление сложных процессов фрактальными моделями в достаточно простом и наглядном виде. Фрактальный подход в последнее время псе больше применяется для решения задач идентификации процессов и объектов, отличающихся наличием компонент хаотического, детерминированного и периодического характера |2 —3|.
Описание метода
Метод основан па ста тистическом анализе одномерных временных рядов. 11усть имеется ряд наблюдений {хг ху хл/ некоторой величины X. Л'—объем выборки, X — среднее арифметическое ряда иаблю-
1
дений, определяе тся но формуле: Хп, - £л,.
/V !„|
— накопленное отклонение ряда X от среднего Ху1, определяется выражением: =£(х, -Хф),
Г-1
где 1<и<,\'. К — размах накопленного отклонения, определяется по формуле: Я=таф:и}-ппг(2и}. К.,—
К*лЛГ
размах ряда наблюдений, который определяется выражением: кр - та^х,-[-ттпфе,}.
ним хит
На основан и и этих данных определяется параметр V, отношение размаха накопленного отклонения И к размаху ряда К(1— при разных объемах выборки Л/:
(1)
Полученная зависимость строится в двой-
ном логарифмическом масштабе (рис. I).
Данный метод тестировался стационарными случайными эртодиче.скими, фрактальными, детерминированными и колебательными процессами.
Тестирование Ук-метода фрактальными
и стационарными случайными процессами
Программными генераторами случайных чисел будем моделировать несколько реализаций выборок Родинакового объема Л/одного и того же случайного процесса (с одним законом распределения для стационарных случайных процессов и с одним значением показателя Херста /7 для фрактального |-1|). Затем вычисляется среднее по реализациям значение
(Уі),= рХК' 2<г< N. (2)
г і=і
Полученные значения <У,> строятся на фрактальной плоскости метода (рис. I). После этого программой подбирается модель для описания
зависимости Ід< >—{{1дЫ). Количество реализаций Р— 1000, объем выборки Л/= 1000. На рис.2 показаны -функции для фрактальных процессов с показателем Херста /7=0, /7=0.5, П—1 и для случайных стационарных процессов с двумодальным (2МОД), аркси-нусным (АРКС), равномерным (РАВН), Симпсона (СИМП), Релея (РЕЛЕ), нормальным (НОРМ), Лапласа (ЛЛПЛ), экспоненциальным (ЭКСП) и Коши (КОШИ) распределениями. Видно, что построенные точки в первом приближении хорошо аппроксимируются прямой, угловой коэффициент (К) которой является классифицирующим для данных процессов. Таким образом, зависимость Vt=f(N) на логарифмической плоскости описывается уравнением:
1д(Ук)~ЛЛ-К')д(Ы), (3)
і де Л — некоторая постоянная для конкретною процесса. Принимая А=К'1д(а), в линейных координатах эта зависимость имеет вид:
У=(а^\ (4)
Протестируем аналитическую модель (3) в зависимости от объема выборки исследуемого процесса.
205
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ КСІНИК № 3 <И) 2009 ЛМЮРОСТКХНИС. МПЮЛ<ХИ« и ИНФОРМЛНИОИНО-ИЗМІРИиЛЬИЬІС ПРИЮТЫ И СИСГЕМЫ
Ig2 l.g.?
LgjV
Рис. I. Фрактальная плоскость ^-метода с построенными на ней экспериментальными точками
1 1 Н-1 ( K-0.9S>
1 j Н”0.5 11-0 ■ К-0.77) 08М
1 2MOJ APk'f (КЧ) 54J (К-0 5Й
.•у'
; ; ! 1 0?»
1 1' * • ,
1.1 Ji ш 3 i 1
I I РЛВН / PFJ1E /X СИМ1 <K0.S2) K-0.43) (K-«.47> (К-0.42) К-0.41) К-0.37)
s' — yy •. • I*1: НОРМ ЛАПЛ ЭКСП
« (К—0.02)
• 1 • • I К011Л
1 1 5 2 7 1 >5
а|
б)
Рис. 2. У4-функцни и значения К для фрактальных процессов с показателем Херсга И=0,11=0.5, НВ1 и для случайных стационарных процессов с 2МОА- ЛРКС, РЛ1ЯI, СИМП. РЕЛЕ. НОРМ, ЛАПЛ, ЭКСП и КОШИ раенрелелениями
О 1----- 1 Ч ...
100 200 500 1000 8000
N
Рис. 4. Сравнительный график зависимости случайной погрешности показателя К от объема выборки /V для разнородных процессов
Рис. 5. Реализации детерминированных процессов: линейно возрастающий (а), линейно убывающий (GJ, нелинейно возрастающий |в), нелинейно убывающий (г)
100 20Э ЬОО 1000 ODCO
N
Рис. 3. Сравнительный график зависимости покупателя К от объема выборки IV для разнородных процессов
11=1,11-0.5. Н-0. 2МОЛ. ЛРКС, PABII. СИМП, PFJIE.HOPM. ЛЛПЛ, ОКСП
Погрешности У,-МПТПДП ОТ ИЭМФНеНИП объема выборки случайных процессов
Тип Коэф Объем выборки <л> Ул <К> К д.. У..
процесса 100 200 500 1000 8000 % %
И— 1 л •0.79 •0.81 -0.85 •0.89 -0.87 •0.84 5.6
к 0.01 0.92 0.96 0.98 0.97 0.94 0,95 0.034 3.5
И «0.5 А -0.81 •0.78 -0.86 -0.88 -0.92 -o.es 8.1
к 0.87 0.86 0.91 0.92 0.95 0.90 0.90 0.050 5.5
11=0 л -0.71 -0.09 -0.76 -0.81 •0.84 -0.76 9.8
к 0.72 0.70 0.76 0.77 0,80 0.75 0.75 0.051 6.8
2МОД л -0.-11 -0,12 •0.39 0.35 •0.33 •0.39 14.1
к о.г.о 0,58 0.57 0.54 0.53 0.56 0.57 0.036 6.3
ЛРКС л -0.56 -0.53 •0,5x1 •0.51 •0,46 -0.51 9.5
к 0.515 0.% 0.55 0,51 0.52 0.55 0,55 0.036 6.5
РЛВ11 А -0.51 •0,54 -0.54 -0.54 -0.52 -0.53 2.9
к 0.51 0.5?. 0.52 0.52 0.51 0.52 0.52 0,008 1.5
СИМП л -0.49 -0.4 -0,51 -0.52 •0.55 -0.48 15.8
к 0.45 0.45 0.46 0.47 0,48 0.47 0.4? 0,016 3.4
РЕЛЕ л •0.415 -0.47 •0.45 •0.49 0.4В -0.47 4.0
к 0.41 0.42 0.41 0.43 0.43 0.42 0,42 0.013 3.0
НОРМ А •0.45 -0.46 •0.46 •0.46 0.48 •0.47 3.1
к 0.40 0,40 0,40 0.41 0.42 0.41 0,41 0.014 3.4
ЛАПЛ А •0.32 -0.32 -0.29 •0.3 -0.28 •0.3 8.0
к 0.38 0.39 0.40 0.41 0.41 0.39 0.40 0.018 4.5
ЭКСП Л о.4а -0.41 -0.4 •0,4 -0.42 •0.41 3.8
к 0.38 0.37 0.36 0.36 0.37 0.37 0,37 0.014 3.7
КОШИ А •0,16 •0.15 •0.12 •о.оз 0.06 -0.11 43.7
к 0.07 0,07 0.05 0,02 0.01 0,04 0,05 0.032 64
Таблица 2
Сигтематическам |у,| и случайная |у,,| погрешности отметок шкалы К. при разных объемах выборки
Тип процегса к. Погр. Объем выборки Макс. У. % Макс. Уел % Макс. У. %
100 200 500 1000 8000
Н-1 0.95 У..% •2 -1.1 -0.3 0.5 2.3 2.3 1.4 3.8
У,..% 1.4 1.0 0.7 0.6 0.3
И “0.5 0.90 У. Л •4.6 -2.4 0.6 2,3 5.8 5.8 1.7 7.6
У„.% 1.7 1.4 0.9 0.8 0.5
11 = 0 0.75 У..% •4.2 •1.5 •0.1 2,1 4.5 •4.5 2,3 6.9
УгЛ 2.3 1.7 1.3 1.2 0.7
2МОД 0,57 У«.% 3.6 2.6 •0,7 -3.6 -3.8 -3.8 2.8 6.7
г„.% 2.8 2.0 1.3 1.1 0,7
АРКС 0.55 г.% 1.0 1.6 0.3 0.5 •3.4 -3.4 2.7 6.2
г,.-% 2.7 2.2 1.4 1,2 0.7
РЛВ! 1 0.52 г,.% 2,5 •0.1 -0.9 1.1 •1.1 2.5 2.9 5.4
у,.-% 2.9 2.1 1.5 1.3 0.8
СИМП у..% -4.0 -1.4 1.1 0.6 2.9 •4.0 3.0 7.1
0,47 у,.л 3.0 2.4 1.7 1.4 0,9
РИА Р. 0.42 у,.% -0.2 2.6 1.6 1.9 4.0 4.0 3.5 7.5
у...% 3,5 2.9 1.9 1.5 1.0
НОРМ 0,41 у,.% -0.4 0.2 1.7 2.1 4.1 4.1 3.5 7.6
У. .л 3.5 2.9 1.9 1.7 1.0
ЛАПА 0,40 У..% 4.9 4.9 4.7 3,7 2.7 4.9 3.0 7.9
у,,.% 2.9 3 2.7 2.4 1.3
:жсп 0,37 У..% -2.1 0.5 -1.1 -1.1 2.4 2.4 3.1 5.6
у...% 3.1 3.1 2.5 2.1 1.3
коши 0.05 Ус% 46 28 -18 -16 -58 -58 27 85
у„.~ 27 20 14 14 8.2
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ КСГККК ►# 3 «3> 2009 ПЖЮКХЛРОСНИЕ. МПРОЛСХИ9 И ИНвОРМАШОЯНО-ИЭМЕРКТГЛЬНЫС а»МЬОРЫ и системы
ПРИ5СРОСТРО{ММГ. МПРОЛОШ* И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОР!» И СИСЧМЫ
Список аналитических моделей, нанлучшнм обризом описывающих У^-функций коллбитпльных процессов
N2 СКО УРАВНЕНИЕ
1 0.1(47496502 у=а-Ье"':
2 0.1018207774 у-а + Ье'
3 0.1043691485 уи1*в 1 Ьл"
■1 0.11168820011 у‘4=л + Ь/х2
5 0.1094635841 у-а+о/х7
6 0.1095615723 у —а + Ь/х"
7 0.1096941547 у“-а+Ь/1пх
8 0.1115236146 у* = а + Ыпх/х}
9 0.1132057458 1 ну - о + Ь/х'
10 0.1153172012 у^-д+Ь/х'*
... ... ...
33 0.1513009936 у - а + Ьх'
... ... ...
45 0.1861125293 у=а + Ьх/«|г1{1 + (х/с}7|
... Г*.- ...
•18 0.1880763840 у—а + Ьх
Таблица 4
Погрешность метода при оценке кназнпернода колебательных процессов
Период Л.' КвазаперпоА Ош. погрешность,%
50 51 2.3
100 105 4.5
2(К» 212 5.7
500 486 •2.9
ВОО 709 -1.4
1000 997 -0,3
2000 1848 •5.9
5000 4623 8.1
8000 7809 •2,4
10000 9141 •9,3
Таблица 5
Распределение погрешности по шкале У,-мотода
Неколебптелы 1 ыГ» процесс с /ЦЦЫ^>6.2 Колебательный процесс с/^ЛЛ. 2
Тип процесса Отмотка школы К°Ъ/с. Систематическая относительно» погрешность,% Случайная огпосйТельная П01'Р<.‘Ш110СП>,% Параметр Относительная погрешность, %
Макс Ср. квад Макс. Ср. клад Макс. Ср. квад
Линейный 1 * - • • о 1 С 1
Н-1 0,95 2.3 1.4 1,4 0,9 / у>'1 *7*и 1
н-о.л 0,9 5.8 3.6 1,7 1.1
н=о 0,75 4.5 3.5 2.3 1.5
2МОД 0,57 3,8 3.1 2.8 1.8
АРКС 0,55 3,4 1.8 2,7 1.8
РАН! 1 0.52 2.5 1.4 2.9 1.9
СИМИ 0,47 4.1 2.4 3.1 2.0
РЕЛЕ 0,42 4.1 2.4 3.5 2,3
1ЮРМ 0,41 4.1 2.2 3.5 2.4
ЛАПА 0.4 7.2 5.4 3 2.5
ЭКСП 0,37 2.4 1.6 3,1 2.5
КОШИ 0,05 5К 36 27 18
Постоянный 0 • • •
а) б»
Рис. 6. У4-функции и значення Кдл я детерминированных процессе». Линейный (<|) и нелинейный |б)
л) б)
Рис. 7. Аддитипнмс смссн случайного процесса слинейным (а) и нелинейным (б) процессами
а! б)
Рис.!). График реализации постоянного по промони процесса (а) и его ^-функция (б) с показателем К
а) б)
Рис. 8. Ук-функцнн и значения К для детерминированных процессоп (линейного (а) и нелинейного (6)1 и их аддитивных смесей со случайными процессами
Рис. 10. Графики колебательных процессоп в виде аддитивных смесей: СИНУС (а), ОСШ“1 (б). ОСШ'О.! (в)
209
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МС1НИК № 3 (83) 200» ПРИЮРОСТРО«МИЇ. МЕІРОЛОГИЇ И ИИООТМАиИОННОИЗЫЕРНТЕЛЬНЫС ПРИЮТЫ И СИСГЕМЫ
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. МИРОЛОГИ9 И ИНФОРМАЦИОММО-ИЗМ<РИ«ЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
Рис. II. Графики -функций колебательных процессов: СИНУС. ОСШ=1, ОСШ=0.1 и их уровни насыщения (УН)
Рис. 12. ^-функции колебательных процессов п виде аддитивных смесей: сОСШ=5 и периодами 100, 500 и 1000 точек.
Покапаны кпазипериоды IV и уровни насыщения (УН)
Рис. 13. Оценка квл:ишериода /V Ук-методом.
Линия А- — аппроксимирующая экспоненциальная папненмоегь, ш — аппроксимирующая линейная зависимость, й — касательная к к
Процессы усредняютсяпо 1000 реализаций. В табл. 1 представлены результаты тестирования метода и погрешности от изменения объема выборки, где <К> и <Д> — средние значения коэффициентов, К„ — округленное значение (отметка шкалы), Ака и уЛ1)— максимальная абсолютная и относительная погрешности отметки шкалы, ул — максимальная относительная погрешность А. На рис. Я прииодсны сравнительные трофики изменения К в зависимости от обьема ныборки. 11а основании табл. I, можно сделать следующие выводы:
1) наиболее определяющим при классификации является параметр К, поэтому шкала ме тода градуируется и значениях этого коэффициента;
2) максимальная относи тельная погрешность отметок шкалы не превышает? %,адляКОШИ—6-1 %;
3) коэффициент А — отрицателен.
Т. к анализируемые процессы имеют случайный харак тер, то необходимо оценить систематическую и случайную погрешности отметок шкалы К, при разных об1>оме1х выборки. В табл. 2 представлены резуль-
таты исследований, усредненные по 100 реализаций: ус, усл — относительные систематическая и случайная погрешности, у — суммарная погрешность. Выводы:
1) для большинства отметок максимальная систематическая погрешность составляет 7 %, а максимальная суммарная погрешность не превосходит 8 %;
2) для ЛАПЛ и КОШИ доминирующей является систематическая погрешность, которая составляет
7 %и58 % соответственно;
3) с увеличением объема выборки случайная погрешность уменьшается (рис. 4).
Тестирование Уь-метода детерминированными процессами и их смесями
со случайными стационарными процессами
Проанализировав табл. 1, можно отметить: чем меньше флуктуации и четче выражена трендовая составляющая процесса, т.е. чем больше показатель Херста Н, тем выше значение К. Исходя из этого, можно предположить, что наибольшее значение К
Классификации по; Область Оімегки _________ по К
Типичные формы процессов
01МСІКИ
ММ.
ПОСТОЯННАЯ
КОШИ
ГЖСІ ІОНІіНТА
ЭКСП
ЛЛПЛ
НОРМ
РЕЛЕ
ВНЛЫЙ ШУМ
симп
РАВН
0.55— - АРКС 0.57- - 2МОД
»
< 6.25
—-—>6.25
/*<лг_>
пнпериола
ДГ* =
ИМПУЛЬСНАЯ
Д1ІТИ-
ППРСИСТЕКГІІЛЯ
ПЕРСИСТЕНТНАЯ
монотонно
ЛИНЕЙНАЯ
УЛЬТРА-МО! ЮТОННО НЕЛИНЕЙНАЯ
Определение кип
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ІІРОЦЕСС
1 0"‘ _ Ьа-уі'ЛОВОЙ коэффициент линейной регрессии.
НЕКОЛПЬАТЕЛЫ1ЫЙ ПРОЦЕСС
Рис. >4. Фрлктлльнли шкала на основе V*-метода. Приведены типичные формы процессов, упорядоченные У„-методом
будут и мои. процессы, не имеющие флуктуаций. Для проверки этого предположения анализировались детерминированные процессы с линейной (возраста* ющий — рис. 5а, убынающий — рис. 56) и нелинейной (возрастающий рис. 5в, уСыпающий — рис. 5г) зависимостью и определялось знамения К. На рис. 6 представлены К4-функции и значении К для линейных (а) и нелинейных (б) процессом.
Графики 1^.-функций для возрастающих и убыва-ющих процессов совпали. Таким образом, можно сказать, ч то дли идеальных линейно возрастающих или линейноубынающих процессов К= I. Процессы, возрастающие (убыншощие) монотонно нелинейно имеют значение К. большее 1.
Выясним, как будет изменяться значение К, если детерминированный процесс смешать со случайным (рис. 7). На рис. 8 представлены У^-фупкции детерминированных линейного {а) и нелинейного (б) процесса и их смесей со случайными процессами. Таким образом, можно сдела1ъ вывод, что увеличен не «дребезга»
процесса ведет к уменьшению значения К. Монотонно возрастающие нелинейные процессы и их смеси со слу-чайпыми процессами имеют значение К, большее 1.
Наименьшее значение /< = 0,05 имеет процесс с распределением КОШИ, у которого трендовая составляющая практически отсутствует. Поэтому можно предположить, что процесс, вообще не имеющий тренда, — постоянный, не изменяющийся во времени процесс — имеет наименьшее значение К. На рис. 9 показан график такого процесса (а) и его ^-функция (б). Значение К близко к пулю, что подтверждает паше предположение. Таким образом, нижнюю границу изменения К можно принять за нуль, ч то соот-ветствует постоянному во времени процессу.
Тестирование У^-мстода колебатедьн ымип роцесса ми
Колебательными будем называть такие процессы, которые находятся в ограниченном диапазоне значе-
ПРИЮ?ОСТРОІНИ£, МГТЮЛОПИ И ИМФОРМАЩОИНОШМІРИТІЛЬНЬи ПРИБОРЫ
пни, т.е. колеблются в заданных пределах. Найдем положениефрактальныхлиний колебательных процессов на Ук-плоскости и подберем модель, наилуч-шим образом описывающую эти зависимости. Д\я моделирования колебательных процессов будем использовать аддитивную смесь синусоидального и случайного стационарной) (далее шум) процессов с различным отношением сигнал-шум (ОСШ): синусоида без шума (СИНУС) (рис. 10а). ОСШ=1 (рис. 106). ОСШ=0,1 (рис. 10в). Графики У,-функций для таких процессов нелинейные и имеют уровень насыщения (рис. 11), В табл. 3 представлен список, аналитических моделей, наилучшим образом описывающих зависимости на рис. 11. Список отсортирован по минимуму среднехвадратического отклонении. Как видно из габл. 3, линейная модель занимает далеко не первое место в списке и не может описать особенностей колебательных процессов. Поэтому уравнение (4), достаточно полно описывающее фрактальные и стационарные случайные процессы, не приемлемо для описания фрактальных свойств колебательных процессов. Наиболее простыми и точными моделями являются:
1) экспоненциальная
ід[Ук )~а,- Ь,е '• '•
2) степенная
3) апериодическая
1
(5)
(61
(7)
где а, Ь, с коэффициенты моделей.
Из рис. 11 видно, что V,-функции колеба тельного процесса нелинейные и имеют уровни насыщения, поэтому аналитическая модель должна характеризовать эту особенность, т.е. иметь некоторую асимптоту. Степенная модель (0) не имеет асимптоты и не может быть принята в качестве описывающей модели. Экспоненциальная модель (5) имеет асимптоту апериодическая (7) — 1д(У1)=а<1+Ьаса. Модель (5) более точна, т.к. ее среднеквадратическая погрешность примерно в 2 раза меньше, чем у модели (7). Отличительную особенность колебательных процессов — уровень насыщения Уд-функции — можно охарактеризова ть одним коэффициентом ау а не тремя. Поэтому для описания колебательных процессов на \\ плоскости наилучшим образом подходит модель (5).
Выясним, можноли оцепить некоторую периодичность (назовем ее кванипериодпчность N') колебательного процесса. Для этого проанализируем Ук-функции процессов с заранее известными периодами. Возьмем процессы с ОСШ = 5 и периодами 100, 500, 1000 точек. На рис. 12, ко торый демонстрирует сравнительные графики -функций этих процессов, видно, что кривые отличаются значениями /V*. при которых они переходит в насыщение. Для процесса с периодом 100 /V* 120. для 500 N‘*,„«=510, дли 1000
N‘„„„*1151. Таким образом, квазипериодичностьпро* цесса можно оценивать по точке перехода Ук функции в насыщение.
Выясним, каким образом можно с помощью экспоненциальной модели(5| оценить квАзипериодич-ность. Задача сводится к вычислению Л/\ Практи-
чески в нервом приближении Л/‘ можно вычислить следующим образом (рис. 13):
— полученные экспериментальные точки -функции аппроксимируются экспоненциальной зависимостью (5) —линия к:
— полученные эксперимен тальные точки ^-функции аппроксимируются линейной зависимостью 1д(Ук)=ал+Ьл1д(Н) — линия т;
— проводится касательная Л к Л параллельно пг,
— т.к. угловой коэффициент касательной к функции вточке есть производная этой функции в точке, то
Х.9ІЛГ-І
с.
— решив это уравнение относи тельно /V*, найдем значениекказинериода:
Л/* = ] о'
(8)
Протестируем этот алгоритм. Будем находи ть Л/* для синусоидальных процессов с известными значениями периода Л/г. В табл. 4 представлены результаты исследований. О тносительная погрешность не превышает 10 %.
Таким образом, с помощью модели (5) можно оценить квазипериод /V* колебательного процесса по формуле (8) с погрешностью 10 %.
Обобщим модель (5) на линейные ^-функции, характеризующие фрактальные, детерминирован!н.іе и случайные стационарные процессы. Функция (5) раскладывается в степенной ряд Маклореиа и при с -*оз имеет вид:
) = а,»ь.+ - ідім),
Є ■
(9)
Принимая а —Ь.—А и Ь./с=К,уравнение(9) приводится к виду (3). Т.к. практически с, не может быть равным сю, то найдем условие, при котором экспоненциальное уравнение (5) приводится клииейпому виду (3) с некоторой погрешностью. Пусть у=а—Ье~л/Г — исходная функция, которая раскладывается в степенной ряд Маклореиа, й — заданная погрешность, Яп — остаточный член ряда, тогда исходную функцию можно представить суммой первых двух членов ряда а-Ь+Ьх/с с погрешностью 6 при условии:
6-.* Ж..
т.е.
Ь а
-----V*
2с2
Учитывая, что 5 — погрешность взятая по модулю, знак минус в правой части последнего неравенства можно не учитывать. При решении этого неравенства получается
£
7>28*
Заменяя х на 1~д(М) и с на с,, получаем требуемое условие для уравнения (5):
I
1.д(Ы) 2Й'
110)
Принимая 5-8 % — максимальная суммарная погрешность отме ток шкалы К (табл. 2) и учитывая, что максимальная погрешность достигается при N. равном полному объему выборки (Л^,). получаем условие перехода экспоненциальной модели (5) в линейную (3):
с,
>6.2.
(II)
Если это уело»ир выполняется, то классификацию можно проводить но шкало линейной модели, при этом К=Ь/с\ с погрешност ью В %.
Фрактальная шкала Ук-метода и ее метрологические характеристики
В табл. 5 представлен характер распределения погрешности по шкале. Максимальная модельная погрешность (систематическая) не превосходит 8 % (кроме КОШИ), уровень случайной погрешности зависит от количества реализаций исследуемого процесса (в табл. 5 приведено дли '00 реализаций). Погрешность при определении периода у колебательных процессов не превосходит 10 %.
На рис. М представлены фрактальная шкала Ук-метода и упорядоченные типичные формы процессов. По значению с, из (5) оценивается колебательность процесса. Если с/ід(Ь'тіА)>6.2, то процесс не является колебательным и классификация идет по линейной шкале К=Ь/с,. в противном случае оценивается квазииериод колебательного процесса по формуле (0). Для иеколебательных процессов весь диапазон шкалы разбивается на четыре области: стационарную, кпаиистационарную, (1>ракпюлі-ііую и улитрафракталі.ную, Процессы в стационарной области не имеюттрендовой составляющей. Во фрактальной области процессы характеризуются наличием трендовой составляющей с переменным (0.75<К<0.9) и постоянным (0.0<ЛГ<0.95) трендом. Ультрафрак гальную область (/<>0.95) занимают процессы, имеющие нелинейный, ультрамопотонно возрастающий (убывающий) тренд. Квазистационарная область совмещает свойства стационарной и фрактальной областей, поэтому процессы в этой области имеют «скрытый» переменный тренд.
Заключение
1. Разработан фрактальный методи на его основе создана фрактальная идентификационная наряд-копая шкала, классифицирующая процессы по их
форме (рис. И).
2. Физический смысл шкалы заключае тся в том, что она отображает форму процесса.
3. Предложенная аналитическая модель (5) способна обобщить и классифицировать постоянные, стационарные случайные, фрактальные и детерминированные процессы, позволяет выделить класс колебательных процессов и оценить их квазипериодич-ность. Таким образом, решается задача фрактального анализа.
<1. Для иеколебательных процессов максимальная систематическая погрешность школы не превосходит
8 % (для КОШИ — 58 %), уровень случайной погрешности зависит от количества реализаций исследуемого процесса. Максимальная погрешность определения квазинериода у колебательных процессов не превосходит 10 %.
5. Главным достоинством разработанного метода перед традиционными (метод Хорста и Ворроу) является то, что он способен выделить класс колебательных процессов, оценить их периодичность и классифицировать стационарные случайные процессы по их закону распределения.
Библиографический список
1. Маидельброг, В. Фрлктллыми геометрии природы — М.: Институт компьютерных исследований. 2002. - 656 с.
2. ПаГггген, Х.-О.. Рихтер. П.Х. Красота фракталов. Обраам комилексныхАНИЛми'1«>гких систем :пер.сангл. - М.:Мир, 1993. 176 с.
3. Федор. Li. Фракт<1.\ы: пер. с англ. - М.: Мир. 1991. - 254 с
4. Fractals and Chaos / Crilly AJ., Carnshaw R.A., Jones II.. editors. • New York: Spnnger-Verlag, 1991. — 277 p.
КОБЕНКО Вадим Юрьевич, кандида т технических наук, доцент кафедры информационно-измерительной техники.
Адрес переписки: e-mail: kohra vad@rambler.ni
Статья поступила и редакцию 09.10.2009 г.
© В. Ю. Кобенко
Книжная полка
Земцов, Л. F.. Планирование эксперимента [Текст]: конспект лекций / А. Е. Земцов ; ОмГТУ. — Омск, 2009. — 52 с.: рис., табл. — Библногр.: с. 52.
Изложены основы планирования эксперимента. Приведены сведения о регрессионном анализе, выборочном методе, полном и дробном факторных эксперимен тах и основные понятия ма тематической ста тистики, используемые в планировании эксперимента. Рассмотрены математические методы обработки экспериментальных данных, методы поиска экспериментальных данных, методы поиска экстремума функции отклика и исследования области экстремума с помощью планов второго порядка.
Бирюков, С. В. Метрология, стандартизация и сертификация [ Текст]: конспект лекций / С. В. Бирюков ; ОмГТУ. — Омск, 2009. — 114 с.: рис., табл. — Библиогр.: с. 111. — ISBN 970-5-8149-0G52-6.
Конспект лекций соответствует утвержденной программе дисциплины «Метрология, стандартизация и сертификация» для студентов электротехнических, радиотехнических и информационных специальностей и направлений.
Рассматриваются основные вопросы метрологии, стандартизации и сертификации, необходимые студентам для освоения дисциплины «Метрология, стандар тизация и сертификация» в рамках учебного плана.
По иоиросам приобретении (3812) 65-23-69 Е mail: libdireclor® oinytu.ru
пгшоиэ и ruosHdu їкнчуии<виг»і-оннокїі»’и<)о<!>ни и вихтмізи чимкмю040$ши 400ї «И «Лі WKioM WWMVH иияэио
