Научная статья на тему 'Фрактализация деревьев1'

Фрактализация деревьев1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
197
18
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФРАКТАЛЬНЫЙ И ПРЕДФРАКТАЛЬНЫЙ ГРАФ / СТЕПЕНЬ ФРАКТАЛИЗАЦИИ / FRACTAL AND PREDEFACTAL GRAPH / DEGREE OF FRACTALIZATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кочкаров Ахмат Магомедович, Кочкарова Асият Нерчуковна

В работе исследуются свойства предфрактальных графов, порожденных затравкой, представляющей собой дерево. Для определения явления исследуемого объекта с фрактальной структурой вводится понятие степень фрактализации. Степень фрактализации позволит оценить структуру относительно принадлежности последней к предфрактальным графам

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кочкаров Ахмат Магомедович, Кочкарова Асият Нерчуковна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

FRACTALIZATION OF TREES

In this article, the properties of prefractal graphs generated by a seed representing a tree are investigated. To determine the phenomenon of the object under investigation with a fractal structure, we present a concept which is the degree of fractalization. The degree of fractalization will allow us to evaluate the structure relative to its belonging to the prefractal graphs

Текст научной работы на тему «Фрактализация деревьев1»

УДК 519.1

01.00.0 Физико-математические науки

ФРАКТАЛИЗАЦИЯ ДЕРЕВЬЕВ1

Кочкаров Ахмат Магомедович д.ф.-м.н, профессор РИНЦ SPIN-код 8363-0831

Кочкарова Асият Нерчуковна

Северо-Кавказская государственная гуманитарно-технологическая академия, Черкесск, Россия

В работе исследуются свойства предфрактальных графов, порожденных затравкой, представляющей собой дерево. Для определения явления исследуемого объекта с фрактальной структурой вводится понятие - степень фрактализации. Степень фрактализации позволит оценить структуру относительно принадлежности последней к предфрактальным графам

Ключевые слова: ФРАКТАЛЬНЫЙ И ПРЕДФРАКТАЛЬНЫЙ ГРАФ, СТЕПЕНЬ ФРАКТАЛИЗАЦИИ

Бок 10.21515/1990-4665-134-013

UDC 519.1

Physics and mathematics

FRACTALIZATION OF TREES

Kochkarov Ahmat Magomedovich Doctor of Physics and Mathematics, Professor RSCI SPIN code 8363-0831

Kochkarova Asiyat Nerchukovna

North Caucasus State Humanitarian-Technological

Academy, Cherkessk, Russia

In this article, the properties of prefractal graphs generated by a seed representing a tree are investigated. To determine the phenomenon of the object under investigation with a fractal structure, we present a concept which is the degree of fractalization. The degree of fractalization will allow us to evaluate the structure relative to its belonging to the prefractal graphs

Keywords: FRACTAL AND PREDEFACTAL GRAPH, DEGREE OF FRACTALIZATION

При исследовании сложных систем встречаются процессы: экономические, технические, политические структура связей взаимоотношений, которых меняются во времени. Для построения моделей таких структур наиболее адекватным инструментом являются предфрактальные графы [1]

В этой работе исследуются свойства предфратальных графов порожденных одним ребром и вводиться понятия степень фрактализации для определения явления исследуемого объекта предфрактальной и фрактальной структурой.

Фрактальные и предфрактальные графы

Напомним, что для определения фрактального (предфрактального) [1,3,4,7] графа необходимо ввести следующие понятия:

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16 - 07 - 00231а.

Затравка - любой связный граф [5,6], обозначаемый Н = (Ш, Операцию замены вершины затравкой (ЗВЗ), суть которой состоит в следующем: в данном графе й = (V, Е) намеченная

вершина V 6 ^заменяется графом - затравкой Н = (Ж, при этом каждое инцидентное вершине V ребро соединяется с одной из вершин затравки Н. Это происходит произвольно (случайным образом) или по определенному правилу. Полученная новая структура называется предфрактальный граф.

Предфрактальный граф будем обозначать = Еь), гдеУ^ - множество вершин графа, а Еь- множество его ребер. Предфрактальный граф [1,9] определим рекуррентно, поэтапно, заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе I = 1,2, ...,£-1графе = (1^,Е{) каждую его вершину затравкой Н = (И^, (}). На этапе I = 1 предфрактальному графу соответствует сама затравка = Н. О данном процессе говорят, что предфрактальный граф ^ = (Уь, Еь) порожден затравкой Н = (Ж, (}). Процесс порождения предфрактального графа по существу, есть процесс построения последовательности предфрактальных графов ••• называемой траекторией [11]. Фрактальный граф в = (7, £"), порожденный затравкой Н = (14/", О), определяется бесконечной траекторией.

Для предфрактального графа ^ ребра, появившимся на I - ом, I £ {1,2,..., ¿}, этапе порождения, будем называть ребрами ранга I.

Рассмотрим модель развития структур происходящих на основе алгоритма замены вершины затравкой (ЗВЗ), когда предфрактальные графы порождены простейший затравкой Н = (14^, представляющей собой простейшее двухвершинное дерево (Более простого связного графа имеющего одно ребро не существует). Очевидно, = 2, = 1

Обозначим эту заставку Нь Предфрактальные графы, образованные по правилам ЗВЗ и порождаемые данной затравкой назовем простейшими и будем обозначать ТGL. При это, в соответствии с определением предфрактальных графив TGг = Нь Далее, TG2 - будет представлять с собой простую четырех вершинную цепь, TG3 - может быть представлено уже тремя неизоморфными друг другу графами и т.д.

Рассмотрим случай, когда предфрактальные деревья могут порождаться не одной, а двумя затравками Я0, Нг: где #i- как и прежде ребро с двумя вершинами, а Я0 - тривиальное дерево состоящее из одной вершины, не имеющее ребер. С точки зрения конструктивного подхода мы имеем структурный алфавит А = {Я0, Я-J, из которого в дальнейшем в соответствие с процедурой ЗВЗ строятся предфрактальные деревья. Обозначим А = {о; о-о}. Естественно, напрашивается аналогия с широко распространенным алфавитом {0; 1}. На каждом -ом этапе любая вершина дерева заменяется, либо затравкой - Я0, либо - затравкой Нь Замена вершины затравкой Я0 фактически означает, что данная вершина остается неизменной вместе инцидентными ей ребрами. Поэтому, вполне естественно ввести единственное ограничение в применении этого алфавита состоящее в следующем: затравка Я0 не может одновременно применяться при замене всех вершин графа, т.к. в этом случае граф просто не изменяется.

Теорема 1. Любое -вершинное дерево является неканоническим предфрактальным деревом в алфавите А, может быть получено за L <71-1 этапов применения процедуры ЗВЗ в этом алфавите.

Доказательство. Доказательство этого утверждения следует из того, что для любого п - вершинного дерева всегда может быть указан алгоритм его построения за п-1 этапов применения процедуры ЗВЗ в данном алфавите {Я0, Я-Д Суть этого алгоритма состоит в том, что на любом этапе

ЗВЗ ко всем вершинам дерева кроме одной применяется замена затравкой Я0 (т.е. эти вершины остаются неизменными), а одна вершина заменяется затравкой Нь Таким образом, на каждом этапе ЗВЗ в соответствии с этим алгоритмом в дереве добавляется одно ребро и одна вершина. Понятно, что подобным способом может быть построена любое дерево. Начиная этот процесс с нулевого этапа (L = 0), т.е. имея в наличии Н0-единственную вершину, и применяя целенаправленно описанный алгоритм любое п - вершинное дерево может быть получено за L = п-1 этапов (по числу ребер в данном дереве), что и доказывает данную теорему. □

Лемма 1. Объединением двух простейших предфратальных деревьев принадлежавших множеству {TGL} является простейшее предфрактальное дерево из множество {TGl+1}.

Доказательство. Произведем объединение двух равновершинных ППД дополнительным ребром, соединяющим какую - либо вершину первого дерево с некоторой вершиной второго. Полученное дерево будет являться также простейшим предфрактальным деревом следующего ранга. Это видно из того, что если мы объявим дополнительное ребро - ребром первого ранга. А ребрам первого ранга в первоначальных деревьях присвоим ранг два и т.д. Тогда каждой из двух деревьев можно считать полученной процедурой ЗВЗ за L+1 этапов из одной вершины затравки Нь Лемма доказана. □

Из утверждения леммы 1 следует, что любое дерево может быть построено за п-1 этапов процедуры ЗВЗ, но при этом п - вершинная звезда строится только за п-1 этапов, а для построения простой цепи можно использовать значительно меньшее их количество, если замену вершин затравкой Нг применять на одном этапе одновременно к нескольким вершинам. В связи с этим возникает естественный вопрос, за какое минимальное число этапов L применения процедуры ЗВЗ в

алфавите A, может быть построено данное п - вершинное дерево (с максимальным значением L = п-1 мы уже определились).

Для ответа на этот вопрос применим к данному п - вершинному дереву процедуру обратную к процедуре ЗВЗ. А именно: выделим на данном дереве максимальное парасочетание М1 - максимальное множество не смежных ребер принадлежащих данному дереву. Для звезды это множество всегда состоит из одного ребра, а у дерева имеющего совершенное парасочетание М1 состоит из п/2 элементов. Далее строится

новое дерево, в котором элементы М1 становятся вершинами (т.е. ребра принадлежащие М1 стягиваются). Следующем шагом выделяется максимальное парасочетание М2 на вновь образовавшемся дереве и т.д. до тех пор, пока на к - ом шаге не получиться граф НПосле этого, повторяя этот процесс в обратном порядке получим алгоритм применение процедуры ЗВЗ в алфавите А, приводящий к построению данного дерева за L = к + 1 этапов ЗВЗ. Число L = к + 1 - будет минимальным числом этапов, за которые может быть построено данное дерево с использованием процедуры ЗВЗ. Назовем это число - числом фрактализации данного дерева. Ниже под символом L будет пониматься именно минимальное число этапов применения операции ЗВЗ необходимых для построения данного дерева.

Степень фрактализации деревьев

Из изложенного выше понятно, что разным деревьям при одном и том же числе вершин могут соответствовать совершенно различные значения числа фрактализации L.

Определение. Степенью фрактализации назовем число ц(Т) =

где N - число вершин, L - число фрактализаций данного дерева.

Лемма2. Область значений степени фрактальности ¿'(/¿(Г)) 6 (0; 1].

Доказательство. Утверждение данной леммы следует из неравенства связывающее число вершин дерева n с числом его фрактализации L.

2 L>n,

т.к. за L этапов ЗВЗ в алфавите A может быть получено «максимальное» 2ь-вершинное дерево. Это возникает в случае, если на каждом этапе все вершины заменяются затравкой #i, что соответствует построению простейших предфрактальных графов. Таким образом, равенство в данном неравенстве достигается, если рассматриваемое дерево является ППД TGL с числом вершин п = 2L. Лемма доказана.

Следствие. Степень фрактальности простейших предфрактальных деревьев равна единице или KTGL) = 1.

Рассмотрим степень фрактальности некоторых типов деревьев.

ЛеммаЗ. Степень фрактальности n - вершинной звезды п

V- =

Доказательство. Так как для звезды максимальное парасочетание всегда состоит из одного ребра для ее построения потребуется L = п-1 этапов процедуры ЗВЗ. Отсюда в соответствии с определением имеем

п

Что и требовалось доказать. □

Следствие. При п оо степень фрактализации n- вершинной звезды \i -> 0.

Лемма З. Степень фрактальности простой цепи удовлетворяет соотношению

Г1г<\1<1

Доказательство. Пусть данное дерево является цепью с n вершинами. Максимальное парасочетание простой цепи будет содержать к ребер если

n=2k (т.е. число вершин в цепи четно) или n=2k+1 (при нечетном п). После свертки парасочетания получим k - вершинную цепь в первом случае и 1^+1 - вершинную цепь во втором. Продолжая процесс свертки максимального парасочетания до получения тривиальной цепи Н1 получим число фрактализации L-1. Нетрудно получить, что в случае простой цепи L связано с п соотношение 21'1 <п <21

из чего и следует утверждение данной леммы. □

Для наглядности обратимся к пузырьковой модели приведенной на рисунке 1.

а)

На рисунке 1 приведены примеры двух заданных графов (а) 8-ми вершинной звезды и (б) 8-ми вершинной цепи.

Рассчитаем степень фрактализации для заданных графов на рисунке 1 (а) и (б).

\ 8 1 т п

a) ^ = ¥ = Тв' 1 = 1

b) ¡1 = 1 = 1, Ь = з

Введенное понятие позволяет определять насколько «фрактально» данное дерево. Чем ближе значения {! к 1, тем фрактальное организовано данное дерево. И наоборот, чем ближе ¡л к 0, тем ближе структура дерева к фрактальному хаосу.

Литература

1. Кочкаров А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. - Нижний Архыз: РАН САО, 1998.

2. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. Предфрактальные графы в проектировании и анализе сложных структур. Препринт. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №10, 2003.

3. А.А.Кочкаров. Структурная динамика: свойства и количественные характеристики предфрактальных графов. - М.: Вега-Инфо, 2012. - 120с.

4. Кочкаров Р.А. Многовзвешенные предфрактальные графы с недетерминированными весами : Приложения в экономике, астрофизике и сетевых коммуникация. - М.: ЛЕНАРД, 2017. - 432 с.

5. Емеличев Р., Мельников О., Сарванов В., Тышкевич Р. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.

6. Берж К. Теория графов и ее применения. Пер. с фр.-М., Иностранная литература. 1962.

7. Павлов Д. А. Мера сходства предфрактальных графов / Д. А. Павлов // Параллельная компьютерная алгебра и её приложения в новых инфокоммуникационных системах : сб. науч. тр. I Междунар. конф. - Ставрополь : Изд.-информ. центр «Фабула», 2014. - С. 81-86.

8. Мелроуз Дж. Иерархические фрактальные графы и блуждания на них . В сб. Фракталы в физике М.: Мир, 1988.-С.519-523.23.

9. М.Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества. Функции, распределения.-Киев:Наук. думка, 1992.

10. Кочкаров А.М., Кочкарова А.Н., Л.Х. Хапаева. Моделирование фрактального развития структур простейшими предфрактальными графами. Известия ЮФУ. Технические науки. Ростов-на-Дону -2016.

11. Павлов Д. А., Салпагаров С.И. Многокритериальная задача выделения маршрутов на предфрактальном графе // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ, 2004

12. Емеличев В.А., Перепелица В. А., Козырев В. А. Обзор некоторых проблем дискретной многокритериальной оптимизации. // Труды сем. по дискретной математике и ее прилож. -М.: МГУ,1989.-С.13-17.

References

1. Kochkarov A.M. Raspoznavanie fraktal'nyh grafov. Algoritmicheskij podhod. ? Nizhnij Arhyz: RAN SAO, 1998.

2. Kochkarov A.A., Kochkarov R.A. Predfraktal'nye grafy v proektirovanii i analize slozhnyh struktur. Preprint. - M.: IPM im. M.V. Keldysha RAN, №10, 2003.

3. A.A.Kochkarov. Strukturnaja dinamika: svojstva i kolichestvennye harakteristiki predfraktal'nyh grafov. - M.: Vega-Info, 2012. - 120s.

4. Kochkarov R.A. Mnogovzveshennye predfraktal'nye grafy s nedeterminirovannymi vesami : Prilozhenija v jekonomike, astrofizike i setevyh kommunikacija. - M.: LENARD, 2017. - 432 s.

5. Emelichev R., Mel'nikov O., Sarvanov V., Tyshkevich R. Lekcii po teorii grafov. M.: Nauka, 1990.

6. Berzh K. Teorija grafov i ee primenenija. Per. s fr.-M., Inostrannaja literatura.

1962.

7. Pavlov D. A. Mera shodstva predfraktal'nyh grafov / D. A. Pavlov // Parallel'naja komp'juternaja algebra i ejo prilozhenija v novyh infokommunikacionnyh sistemah : sb. nauch. tr. I Mezhdunar. konf. - Stavropol' : Izd.-inform. centr «Fabula», 2014. - S. 81-86.

8. Melrouz Dzh. Ierarhicheskie fraktal'nye grafy i bluzhdanija na nih . V sb. Fraktaly v fizike M.: Mir, 1988.-S.519-523.23.

9. M.Turbin A.F., Pracevityj N.V. Fraktal'nye mnozhestva. Funkcii, raspredelenija.-Kiev:Nauk. dumka, 1992.

10. Kochkarov A.M., Kochkarova A.N., L.H. Hapaeva. Modelirovanie fraktal'nogo razvitija struktur prostejshimi predfraktal'nymi grafami. Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki. Rostov-na-Donu -2016.

11. Pavlov D.A., Salpagarov S.I. Mnogokriterial'naja zadacha vydelenija marshrutov na predfraktal'nom grafe // Izvestija TRTU. Taganrog: TRTU, 2004

12. Emelichev V.A., Perepelica V.A., Kozyrev V.A. Obzor nekotoryh problem diskretnoj mnogokriterial'noj optimizacii. // Trudy sem. po diskretnoj matematike i ee prilozh. -M.: MGU,1989.-S.13-17.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.