ФРАГМЕНТ ДИНАМИКИ АЭРОДРОМНОГО ТЯГАЧА С МАССИВНЫМИ БУКСИРУЕМЫМИ ОБЪЕКТАМИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Труды МАИ. 2022. № 127 Trudy MAI, 2022, no. 127

Научная статья УДК 531.36

DOI: 10.34759/Ы-2022-127-03

ФРАГМЕНТ ДИНАМИКИ АЭРОДРОМНОГО ТЯГАЧА С МАССИВНЫМИ БУКСИРУЕМЫМИ ОБЪЕКТАМИ

Игорь Павлович Попов

Курганский государственный университет,

Курган, Россия

ip.popow@yandex.ru

Аннотация. Отмечено, что наиболее тяжелым этапом работы аэродромного тягача с массивными буксируемыми объектами является режим трогания с места. Это связано с необходимостью преодоления силы трения покоя, которая существенно превышает силу трения движения. В качестве варианта решения этой проблемы можно рассматривать использование начальной кинетической энергии тягача, которая может развиваться при использовании упруго-деформируемых тягово-сцепных устройств. Сопоставление кинематических и динамических параметров тягача с буксируемыми объектами для вариантов с абсолютно жесткими и упруго -деформируемыми тягово-сцепными устройствами показывает, что эффективность использования последних возрастает с увеличением числа буксируемых объектов. Упруго-деформируемые тягово-сцепные устройства могут вызывать колебания

системы тягач-буксируемые объекты. Для их предотвращения тягово-сцепные устройства надлежит блокировать в момент их наибольшей деформации. Ключевые слова: буксировка, трение, энергия, тягово-сцепное устройство, жесткость, блокировка, перемещение, скорость, ускорение

Для цитирования: Попов И.П. Фрагмент динамики аэродромного тягача с массивными буксируемыми объектами // Труды МАИ. 2022. № 127. DOI: 10.34759/trd-2022-127-03

Original article

A FRAGMENT OF THE DYNAMICS OF AN AERODROME TRACTOR WITH MASSIVE TOWED OBJECTS

Igor P. Popov

Kurgan State University, Kurgan, Russia ip.popow@yandex.ru

Abstract. It is noted that the most difficult stage in the operation of an airfield tractor with

massive towed objects is the starting mode. This is due to the need to overcome the static

friction force, which significantly exceeds the motion friction force. As a solution to this

problem, we can consider the use of the initial kinetic energy of the tractor, which can

develop when using limited elastically deformable traction coupling devices. To optimize

the mathematical model, the following assumptions are made: traction force F on the hook

of the tractor is a constant value; the inertial masses of the tractor and towed objects are

the same and equal m. To evaluate the effectiveness of the use of elastically deformable

2

traction coupling devices, the obtained results are compared with similar results corresponding to an absolutely rigid traction coupling device. The use of elastically deformable traction coupling devices makes it possible to accumulate the initial kinetic energy of an airfield tractor, which makes it possible to overcome the static friction force and ensure the starting of heavy towed objects. Comparison of the kinematic and dynamic parameters of the tractor with towed objects for options with absolutely rigid and resiliently deformable traction coupling devices shows that the efficiency of using the latter increases with an increase in the number of towed objects. Elastically deformable towing devices can cause oscillations of the tractor-towed objects system. To prevent them, the towing devices must be hard blocked at the moment they reach the greatest deformation.

Keywords: towing, friction, energy, drawbar, stiffness, blocking, movement, speed, acceleration

For citation: Popov I.P. A fragment of the dynamics of an aerodrome tractor with massive towed objects. Trudy MAI, 2022, no. 127. DOI: 10.34759/trd-2022-127-03

Наиболее тяжелым этапом работы аэродромного тягача с массивными буксируемыми объектами является режим трогания с места [1, 2]. Это связано с необходимостью преодоления силы трения покоя, которая существенно превышает силу трения движения [3].

В качестве варианта решения этой проблемы можно рассматривать использование начальной кинетической энергии тягача, которая может развиваться

при использовании ограниченно упруго-деформируемых тягово-сцепных устройств

[4, 5].

Для оптимизации математической модели далее принимаются допущения: тяговое усилие F на крюке тягача - величина неизменная; инертные массы тягача и буксируемых объектов одинаковы и равны т .

Тягач и один буксируемый объект

Динамика тягача описывается выражением:

Ж2 Х

F = т—^ + к (х - X). (1)

здесь х, х2 - пути, пройденные тягачом и буксируемым объектом, к - коэффициент упругости тягово-сцепного устройства [6, 7].

Динамика буксируемого объекта описывается выражением:

Ж 2 Х

0 = т —-2 - к (х - х9).

Ж2 1 27

Перемещение тягача равно

т Ж 2х2

Х1 = к"Ж + Х-. (2)

Формула (1) с учетом (2) приобретает вид:

2 74 72 72 2 74 72

_, т & х9 & х0 & Хъ т & х^ _ & х^ . ,

^ =--г2 + т—г2 + т—г2 + кх7 - кх7 =--г2 + 2т—г2. (3)

к &2 Ж?2 &2 2 2 к Ж2 Ж?2

Можно ввести обозначение

ж2

Соответственно этому изменяется выражение (3)

Ж х

а*2- I. (4)

„ к №

I + 2—I =—т-. (5)

т т

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:

г2 + 2 ' = 0 . т

Решение характеристического уравнения:

Г1,2 = ±\ 2 ^ . V т

Уравнение (5) без правой части имеет хрестоматийное решение [8-10]

I = Ссобл/2+ С2бШ. 2. V т \ т

Хрестоматийное частное решение уравнения (5):

22 = А.

Это решение должно удовлетворять выражению (5)

2 кА = 'кР,

т т

А Р

2т

Суперпозиция обоих решений дает общее решение [11-13]

I = ^ +12 = С ео^/2 + С 8тл/2 + Р

т V т 2т

Начальные условия: при ? = 0 Ж2х2/&2 = 2 = 0, поскольку тягово-сцепное

устройство не деформировано и к буксируемому объекту сила не приложена.

В связи с этим последнюю формулу при ? = 0 можно записать следующим образом.

2(0) = 0 = С ео^/2—0 + С smJ2—0 + —,

т V т 2т

с=-—

2т

В свою очередь подстановка С дает

— и к к — ,

2 =--ео^/2— ? + С2 Бт./2—? +--, (6)

2т V т V т 2т

Из выражения (4) следует

с — т к т к —

у2 = I 2& =--,/ — б1Пл/2—? - С2Л/— ео^/2—? +--? + С

J 2т V 2к V т V 2к V т 2т "

г т — и к „ т . ^ к — 2 х2 =1 У2т = — ео^/2—? - С— 8т./2—? +--? + С? + С. (7)

* и т О ]г Л! т Ат

4к \ т 2к \ т 4т Имея в виду выражения (2), (4), (6), (7), можно записать

— и к ^ т . „ к — — Г, к

х =--ео^ 2— ? + С— Б1П .12— ? +---1--ео^/2— ?

1 2к \ т к \ т 2к 4к \ т

^ т . — ^

С—Б1П 2 — ? + — ? + С? + С4 2к V т 4т

Жхх — к . \ к \ к т к

V = —1 = — */2— Б1П ./2— ? + С2д/2--соб,12— ? -

Ж? 2к\т \ т V тк V т

|2к бШ 2- С2 2ео^|2+ —1 + 4к\т \ т \ т 2к \ т 2т

Р "> к \ к к т . к Р к и к

а = —1 = — 2—соб л|2— г - С2--Б1П .12— г--2 — соб л/2— г +

Ж 2к т V т т к \ т 4к т \ т

к т

к Р

+С 2--б1пл/2— г +

т 2 к V т 2 т

4к

X (0) = 0 = — собл/2 к 0 - С2т б1п,/2 к 0 + — 02 + С3 0 + С4, л1- — т 4т

к „ _ т т ~ 2к

4к

+ С4 = 0,

С4 =-

4к

т

у2(0) = 0 = -С2,(— + С3

у,(0) = 0 = С2ф - + С3 = + Сз,

\ т к V т 2 к V т 2 к

т

+ Сз = 0

т

, С = 0, С = 0.

Чйг + Сз = 0

С учетом установленных коэффициентов решения для тягача и буксируемого объекта приобретают вид:

Р 2к Р 2 Р

х =--собл—г +--г +—,

1 4к Ь 4т 4к

Р 2к Р 2 Р

х9 =— собл—г +--г--

2 4к V т 4т 4к

Р . 2к Р

V =—I-бШ,—г + — г,

2л/2кт У т 2т

<

Р . 2к Р

V =--1-бш ,/—г +--г.

2у/2кт \ т 2т

Р 2к Р а =— соб.— г +

1 2 т V т 2 т

Р 2к Р

а2 =--соб л1— г +

2т \ т 2т

Период т2, за который тягово-сцепное устройство подвергнется максимальной

деформации, определяется следующим образом (индекс «2» равен числу массивных элементов - тягач и буксируемый объект).

/ Л Р Л Р Л

а (^9)--= 0 или —соб4—т? = 0,

2т 2т V т

2 к х2 = П

' т 2

_ л т 12 = 2\2к

За период т2 тягач переместится на величину

/ ч Р 2к л т Р л2 т Р Рп2 Р

X ) =--соб --.--1-----1--=--1--

п 27 4к V т 2\2к 4т 4 2к 4к 32к 4к

При этом его скорость станет равна

/ ч Р . 2к л /т Р л /т Р Рп ^^' 2у[2ктV т 2\2к + 2т 2У2к " 2л/2кт + 4^2^ '

Для оценки эффективности применения упруго-деформируемого тягово-

сцепного устройства полученные результаты следует сопоставить с аналогичными

результатами, соответствующими абсолютно жесткому тягово-сцепному

устройству.

— — — 2

а =-, V =-?, х =-? .

2т 2т 4т

/ \ _ — л2 т _ — л2 / ч — л т —л х(—2' 4тТ2к " 32к ' ' 2т 2\2к " 4у]2кт '

X (—2) = —лУ(32к) + — (4к)=1| 32 х(х2) —л2/(32к) 4л2 ~ ' .

VI (х2 )= —/(^У2кт)+—у12 л 61

V(х2) —У(4^2кт) л ~ ' ^

—= 2,69 . Е (—2)

Здесь — (т2), Е(т2) - кинетические энергии тягача.

Сопоставление перемещений, скоростей и энергий свидетельствует о высокой эффективности применения упруго-деформируемого тягово-сцепного устройства.

Тягач и два буксируемых объекта

Динамика тягача и буксируемых объектов описывается выражениями:

Ж2 х

— = + к(X - Хг), (8)

12_ Ж

Ж2 х

к(х1 - х2) = т—г2 + к(х2 - х3), (9)

Ж2 х

к (Х2 х3) = ^^

Перемещение второго буксируемого объекта равно

т Ж2 х

х9 =--г3 + X,. (10)

2 к Жг23

Дифференцирование этой формулы дает

Ж х2 т Ж х3 Ж х3

Жг2 к Жг* Жгх

Уравнение (9) с учетом двух последних формул приобретает вид:

/2 ___2 74..... 72 _ 72,

т Ж х9 т Ж х, т Ж х, „ т Ж х,

--г + 2х2 - х3 = — —-3 +--г3 + 2--г3

к Жг2 2 3 к2 Жг4 к Жг2 к Жг2

т2 Ж4х, „тЖ2х

= т—I1 + 3--^ + х3. (11)

к2 Жг4 к Жг23

Дифференцирование этой формулы дает

Ж х1 т Ж х3 ^ т Ж х3 Ж х3

Уравнение (8) с учетом полученных формул приобретает вид:

О /1 О О /1 о о

Р т Ж хъ т Ж хъ т Ж хъ т Ж хъ т Ж хъ т Ж х3

к " + "Жг4"+~к~жг+~к2~Жгг + ~к~жг+х - х =

т3 Ж6х, . т2 Ж4х, _ т Ж2х, - 3 + 4——т3 + 3- 3

к3 Ж6 к2 Ж4 к Ж2 '

Ж х. . к Ж х. _ к Ж х. к Р .. _.

3 --х + 3-2 ^ = "Г". (12)

Жг6 т Ж4 т2 Жг2 тъ Можно ввести обозначение

Ж х

Ж-хг = I. (13)

ж2 v 7

Соответственно этому изменяется выражение (12)

к к2 к2 — Л п /1 /1\

2 + 4 — 2 + 3—— 2 =-— . (14)

т т2 т3

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:

к к2 г4 + 4-Г2 + 3 ^ = 0. т т

Решение характеристического уравнения:

9 — к к п _ к п к

Г\,2 =-2 к ± к =, Г12 = -3 к, Г22 = -к т т т т

Г1,2 =±М3 к , Г3,4 =±Ч/— .

т \ т

Уравнение (14) без правой части имеет хрестоматийное решение

2 = С собл/3 + С2 Б1П л/3 + С СОБ ? + С Б1Пл/—?

т V т V т V т

Хрестоматийное частное решение уравнения (14):

22 = А .

Это решение должно удовлетворять выражению (14)

3 к! а=к 2—

2 3 '

т т

А —

3т

Суперпозиция обоих решений дает общее решение [14-18]

13к . 13к I к . I к — г л ч

2 = 2 + 22 = С соб,/—? + С 8т4/—? + С ео^—? + С 8т4/—? +--. (15)

Ут V т ут Ут 3т

Из выражения (13) следует

Су ^ т . 3 к 1т ¡3 к 1= Сн— Б1п.|—г - С\— собЛ—г +

Л/ Л/ т \1 \1 т

3 к V т

3 к V т

„ \т . \к „ /т /к Р

+С3л Т Б1п Л-г - СПТ еоБ\_г + г + С5 V к ш V к ут 3т

х3 = I V

г 7 „ т /3к „ т . /3к = I ^Жг = -С1—соб.|—г -С2—Б1пл/—г 1 3к V т 3к V т

— ■

^ т /к ^ т . 1к Р ^ С—собд—г - С— Б1пл—г +--г + Сл + С,

к

т

к ут 6т

51 1 :

(17)

Имея в виду выражения (10), (13), (15), (17), можно записать

т^ 3к т . /3к т /к т^ . к т Р

х2 = — С соб, /—г +— С бШ*—г +— С соб, /—г +— С бшл/—г +---

к V т к V т к \ т к \ т к 3т

„ т 3к т . /3к т /к С—собл/—г - С2—бш./—г - С3—собл /—г 3к V т 3к V т к ут

„ т . к Р о ^

С — бш—г +—г2 + С5г + С6 к ут 6т

2т /3к 2т . /3к Р Р 2 ^ ^

—С собл/—г +--С2 Б1Пл/—г +---1--г + С5г + С6.

3к Ут 3к у т 3к 6т

(18)

V =

Жх 2т 3к

3к 2т 3к

3к Р

Жг 3к\т

С б!пл/—г +--, —С собл/—г +— г + С5 =

т 3к у т

т 3т

2 /3т ^ . /3к 2 /3т ^ /3к Р

—л/—С бшл—г +—. /—С собл—г +— г + С5.

3 у к ут 3 у к ут 3т

(19)

Ж

3к

3к Р

а2 = —2 = -2С собл /—г - 2С2 б1пл/—г +

Жг

т

т 3т

(20)

Имея в виду выражения (11), (20), (18), (17), можно записать

т 3к т . /3к Р т

х1 = -2ц — собл/— г - 2ц — Б1п./— г +----+

к ут к ут 3т к

3к _2т . 3к 2— 2 — 2

+2—С еоБл/—? + 2—С Бт,/—? +---I--? + 2С? + 2С6 +

3к V т 3к V т 3к 6т

„ т /3к „ т . /3к т к +С—соб Л—? + С—Бт .1—? + С — собл /—? + 3к Ут 3к \ т к \ т

„ т . к — 2 ^ ^

+С4—Б1^—?--? - с? - С =

к V т 6т

„ т /3к т . 3к т /к

С-еоБ-? - С2-Б1Ид I-? + С — еоБд/ —? +

3к \ т 3к V т к \ т

„ т . к — — 2 +С—Бтл/—г + — +—? + С? + С6 к V т к 6т

Жх ^ т . 3к /т 3к „ \т . к V = —1 = Сн— Бт. /—? - С2д/— собл /—? - Сзл— Бт, —? + Ж? V 3 к \ т V 3 к \ т \ к \ т

„ /т \к — ^

+С4Л — еоБ —? + — ? + С5 .

к V т 3т

(21)

„ /3к „ /к —

а = С еоБ,/—? - С соб./—? +--

У т V т 3т

Имея в виду выражение (20), можно записать

а2(0) = -2С + — = 0. 3т

с=—.

6т

Имея в виду выражение (15), можно записать

2 (0) = 0 = —+с +—

6т 3т

—

2т

Имея в виду выражение (18), можно записать

2т — х (0) = —С + — + С = 0,

3к 1 3к 6

— —

+ —+ С = 0

9к 3к

С6 = -

4— ~9к

Имея в виду выражения (21), (16), (19), можно записать

т

т

VI (0) = -си—+си- + С5 = 0

3к

к

т

т

Vз(0) = -С2* — - САЛ- + С = 0

3к

к

С4 = 0,

2 3т

V2(0) = |л/3тС2 + С = 0 ,

С = 0, с = 0.

С учетом установленных коэффициентов решения для тягача и буксируемых объектов приобретают вид:

— /3Г — [к — 2 5—

х1 =--собл/—?--собл/—? +--? +--,

18к \т 2к \т 6т 9к

— 3к — 2 —

х2 =— собл/—? +--?--,

9к V т 6т 9к

—

3к — к — , 4—

х =--соб./—? +--собл/—? +--? -

18к \т 2к Ут 6т 9к

Р . Зк Р . к Р

V = —I-Б1п л/—г +—Б1п л/—г +--г.

6^3кт \ т 2V -т \ т 3т

V2 =

Р . Зк Р

—,— Б1п./—г +--г.

Зу/Зкт \ т 3т

Р . Зк Р . к Р

V = —I-Б1п л/—г--Б1п./—г +--г.

6^3-т \ т 2укт V т 3т

Р Зк Р к Р

а = — соб л/—г +--соб л/—г +--

6т V т 2т \ т 3т

Р

Зк Р

а2 =--собл/—г +

3т V т 3т

Р

Зк Р

'к Р

а

собл—г--соб 4 —г +

6т V т 2т V т 3т

Период х, за который тягово-сцепное устройство подвергнется максимальной деформации, определяется следующим образом.

а(х)--— = 0 или собл/—х, +-— собл/—х = 0. ^ ъ) 3т г 3 " Л' 3

13к Р

—х +—

т 2т

— 6 т

— т

-собл/3 —' 3 V т

'к

х + соб л— х = 0

3 % 3

Это уравнение имеет решение:

-х = 0,427л.

т

х = 0,427лл/—

За период х тягач переместится на величину

х (—) = —— соб л /— • 0,427л — - — соб . к • 0,427л — + ^^ 18к \т V к 2к \т Vk

+-

— 6 т

0,427л.

+

5— 9к

к

-■— соб л/3 • 0,427л -1 соб 0,427л +1 (0,427л )2 + 5 18 2 7 9

£ к

-■— соб 73 • 0,427л -1 соб 0,427л +1 (0,427л )2 + 5 18 2 6К 1 9

—

= 0,78— к

При этом его скорость станет равна

^ ч — • 3к __ /т — • /к Л /т — ^ /т V (—) = . Б1п. I— • 0,427лЛ/—+—,=Б1п. /— • 0,427^Л—+— 0,427лЛ — 6^3кт \ т \ к 2Vкт V т у к 3т \ к

—Р Г 1 г- 1 1 1 —

—г Б1Пл/3 • 0,427л+—Б1п0,427л + - 0,427л = -= .

у/кт V6>/3 2 3 ^ у/кт

Для оценки эффективности применения упруго-деформируемых тягово-сцепных устройств полученные результаты следует сопоставить с аналогичными результатами, соответствующими абсолютно жестким тягово-сцепным устройствам

—

—

—

а = —, V = — ?, х =-?

3т 3т 6т

х(—3 )

—

6т

л2

0,427л,

— — /т —

0,3 —, v(—) = — • 0,427л т = 0,45-—= к 3т \ к у/тк

х1 (—3 ) х(—3 )

2,6.

V(—3) _

= 2,22,

2

Е1 (хз)

Е (хз)

4,93.

Заключение

Использование упруго-деформируемых тягово-сцепных устройств дает возможность накопления начальной кинетической энергии аэродромного тягача, что позволяет преодолеть силу трения покоя и обеспечить трогание тяжелых буксируемых объектов.

Сопоставление кинематических и динамических параметров тягача с буксируемыми объектами для вариантов с абсолютно жесткими и упруго-деформируемыми тягово-сцепнымиустройствами (см. таблицу) показывает, что эффективность использования последних возрастает с увеличением числа буксируемых объектов.

Число массивных элементов х1 (х) VI (х) Е1 (х)

х (х) V (х) Е (х)

2 1,81 1,64 2,69

3 2,6 2,22 4,93

Таблица: Сопоставление кинематических и динамических параметров

Упруго-деформируемые тягово-сцепные устройства могут вызывать колебания системы тягач-буксируемые объекты. Для их предотвращения тягово-сцепные устройства надлежит блокировать [19, 20] в момент их наибольшей деформации.

Список источников

1. Моисеев К.А., Панов Ю.Н., Моисеев К.К. Математические модели двухзвенного тягача, движущегося по грунту с периодическими неровностями // Труды МАИ. 2017. № 96. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=85723

2. Родченко В.В., Золотов А.А., Гусев Е.В., Галеев А.Г. Разработка математической модели надежности сложных технических систем наземной космической инфраструктуры // Труды МАИ. 2013. № 64. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=36455

3. Ковалев Н.В., Байков А.Е. О зоне залипания ящика с внутренним осциллятором на горизонтальной плоскости // Труды МАИ. 2019. № 107. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=108864

4. Нигяр Э.С. Динамика пластины с упруго присоединённой массой // Труды МАИ. 2020. № 111. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=115111. DOI: 10.34759/trd-2020-111-2

5. Григорьева А.Л., Хромов А.И., Григорьев Я.Ю. Растяжение плоского образца в условиях плоского напряженного состояния при различных полях скоростей

перемещений // Труды МАИ. 2020. № 111. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=115109. DOI: 10.34759/trd-2020-111-1

6. Иванников С.В., Родионов Г.Л., Сидоренко А.С. О построении математической модели движения автомобиля // Труды МАИ. 2005. № 18. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=34183

7. Гайнанов Д.Н., Рассказова В.А. Математическое моделирование в задаче оптимального назначения и перемещения локомотивов методами теории графов и комбинаторной оптимизации // Труды МАИ. 2017. № 92. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=77259

8. Попов И.П. Расчет механических колебаний в поле комплексных чисел // Труды МАИ. 2020. № 115. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=119888. DOI: 10.34759/trd-2020-115-01

9. Попов И.П. Расчет колебаний для разветвленных механических систем в поле комплексных чисел // Труды МАИ. 2021. № 116. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=121007. DOI: 10.34759/trd-2021-116-01

10. Попов И.П. Виды механической мощности при гармонических колебаниях // Труды МАИ. 2022. № 122. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=164101. DOI: 10.34759/trd-2022-122-03

11. Мухаметзянова А.А. Раскачивание и стабилизация равновесия двухмассового маятника ограниченным параметрическим управлением // Труды МАИ. 2015. № 84. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=62975

12. Гришанина Т.В., Гусева Е.Е. Метод расчета упругих колебаний циклически симметричной конструкции // Труды МАИ. 2021. № 121. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=162649. DOI: 10.34759/trd-2021-121-05

13. Безгласный С.П., Батина Е.С., Пиякина Е.Е. Параметрическое управление с ограничением движениями двухмассового маятника // Труды МАИ. 2014. № 72. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=47314

14. Алероева Х.Т. Дробное исчисление и малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76821

15. Холостова О.В., Сафонов А.И. О бифуркациях положений равновесия гамильтоновой системы в случаях двойного комбинационного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93297

16. Алероева Х.Т., Алероев Т.С. Дробные дифференциальные уравнения и ядра, и малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 94. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80904

17. Добрышкин А.Ю. Колебания стержня, несущего малую присоединенную массу // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http ://trudymai.ru/published.php?ID=112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

18. Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. Экспериментальная проверка математической модели вынужденных колебаний разомкнутой тонкостенной оболочки с малой присоединенной массой и жестко защемленными краями // Труды МАИ. 2019. № 109. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

19. Семенов М.Е., Соловьев А.М., Попов М.А. Стабилизация неустойчивых объектов: связанные осцилляторы // Труды МАИ. 2017. № 93. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80231

20. Ю С. Ч., Попов Ю.И. Проектный анализ конструкции стабилизации с различным типом закрепления // Труды МАИ. 2005. № 20. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=34125

References

1. Moiseev K.A., Panov Yu.N., Moiseev K.K. Trudy MAI, 2017, no. 96. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=85723

2. Rodchenko V.V., Zolotov A.A., Gusev E.V., Galeev A.G. Trudy MAI, 2013, no. 64. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=36455

3. Kovalev N.V., Baikov A.E. Trudy MAI, 2019, no. 107. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=108864

4. Nigyar E.S. Trudy MAI, 2020, no. 111. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=115111. DOI: 10.34759/trd-2020-111-2

5. Grigor'eva A.L., Khromov A.I., Grigor'ev Ya.Yu. Trudy MAI, 2020, no. 111. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 115109. DOI: 10.34759/trd-2020-111-1

6. Ivannikov S.V., Rodionov G.L., Sidorenko A.S. Trudy MAI, 2005, no. 18. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=34183

7. Gainanov D.N., Rasskazova V.A. Trudy MAI, 2017, no. 92. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=77259

8. Popov I.P. Trudy MAI, 2020, no. 115. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=119888. DOI: 10.34759/trd-2020-115-01

9. Popov I.P. Trudy MAI, 2021, no. 116. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 121007. DOI: 10.34759/trd-2021-116-01

10. Popov I.P. Trudy MAI, 2022, no. 122. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 164101. DOI: 10.34759/trd-2022-122-03

11. Mukhametzyanova A.A. Trudy MAI, 2015, no. 84. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=62975

12. Grishanina T.V., Guseva E.E. Trudy MAI, 2021, no. 121. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 162649. DOI: 10.34759/trd-2021-121-05

13. Bezglasnyi S.P., Batina E.S., Piyakina E.E. Trudy MAI, 2014, no. 72. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=47314

14. Aleroeva Kh.T. Trudy MAI, 2017, no. 92. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=76821

15. Kholostova O.V., Safonov A.I. Trudy MAI, 2018, no. 100. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=93297

16. Aleroeva Kh.T., Aleroev T.S. Trudy MAI, 2017, no. 94. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80904

17. Dobryshkin A.Yu. Trudy MAI, 2020, no. 110. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

18. Dobryshkin A.Yu., Sysoev O.E., Sysoev E.O. Trudy MAI, 2019, no. 109. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

19. Semenov M.E., Solov'ev A.M., Popov M.A. Trudy MAI, 2017, no. 93. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80231

20. Yu S. Ch., Popov Yu.I. Trudy MAI, 2005, no. 20. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=34125

Статья поступила в редакцию 09.11.2022 Статья после доработки 11.11.2022 Одобрена после рецензирования 16.11.2022 Принята к публикации 26.12.2022

The article was submitted on 09.11.2022; approved after reviewing on 16.11.2022; accepted for publication on 26.12.2022