СВОБОДНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НА ОСНОВЕ ВЗАИМНОГО ОБМЕНА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИЕЙ МЕЖДУ ТРЕМЯ ГРУЗАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. 2023. № 129 Trudy MAI, 2023, no. 129

Научная статья УДК 534.014

DOI: 10.34759/Ы-2023-129-02

СВОБОДНЫЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НА ОСНОВЕ ВЗАИМНОГО ОБМЕНА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИЕЙ МЕЖДУ ТРЕМЯ ГРУЗАМИ

Игорь Павлович Попов

Курганский государственный университет,

Курган, Россия

ip.popow@yandex.ru

Аннотация. Рассматривается монореактивный гармонический осциллятор с тремя грузами. Для целей настоящей работы удобно использовать плоскую трехкоординатную систему аналогичную трехфазной системе координат, применяемой в электротехнике. Для произвольного вектора Я, лежащего в трехкоординатной плоскости, начало которого совпадает с началом координат, справедлива Теорема 1. Координаты х1, х2, х3 вектора Я образуют правильный треугольник, размер которого не меняется при произвольном повороте вектора Я. Теорема 2. Середина вектора Я совмещена с центром треугольника ххх. Половина вектора Я играет роль кривошипа, который в реальных устройствах нужен для развития угловой скорости ю и сообщения момента силы для компенсации диссипативных потерь. В монореактивном гармоническом осцилляторе с тремя

грузами могут возникать свободные синусоидальные колебания любой заданной частоты, которая определяется исключительно начальными условиями. Ключевые слова: несбалансированность, асимметрия, виброзащита, симметричная схема, трехкоординатная система, кинематика

Для цитирования: Попов И.П. Свободные синусоидальные колебания на основе взаимного обмена кинетической энергией между тремя грузами // Труды МАИ. 2023. № 129. DOI: 10.34759/trd-2023-129-02

Original article

FREE SINUSOIDAL OSCILLATIONS BASED ON THE MUTUAL EXCHANGE OF KINETIC ENERGY BETWEEN THREE LOADS

Igor P. Popov

Kurgan State University, Kurgan, Russia ip.popow@yandex.ru

Abstract. It is noted that free sinusoidal oscillations in a classical mechanical oscillator are stipulated by the mutual transformation of kinetic energy into potential energy. The oscillator, in which free sinusoidal oscillations are being accompanied by the transformation of the kinetic energy of an inert element into the same kinetic energy of another inert element is well-known. The elements with another nature of reactivity are missing in such oscillator. Such oscillator is essentially mono-reactive. This oscillator

disadvantage consists in its imbalance due to the asymmetry of the structure, which may require additional vibration protection measures. This drawback can be avoided by applying a symmetrical scheme with three weights. For the purposes of this work, it is convenient to employ a flat three-coordinate system similar to the three-phase coordinate system used in electrical engineering. For an arbitrary vector R, lying in the three-coordinate plane, which origin coincides with the origin, Theorem 1 is true. The coordinates xi, X2, X3 of the vector R form a regular triangle, which size does not change with an arbitrary rotation of the vector R. Theorem 2. The middle of the vector R is aligned with the center of the triangle xi X2 X3. Half of the vector xi X2 X3 plays the role of a crank, which in real devices is needed to develop the angular velocity ro and communicate the moment of force to compensate for dissipative losses. In a mono-reactive harmonic oscillator with three weights, free sinusoidal oscillations of any given frequency may occur, which is determined solely by the initial conditions.

Keywords: imbalance, asymmetry, vibration protection, symmetrical scheme, three-coordinate system, kinematics

For citation: Popov I.P. Free sinusoidal oscillations based on the mutual exchange of kinetic energy between three loads. Trudy MAI, 2023, no. 129. DOI: 10.34759/trd-2023-129-02

В классическом механическом осцилляторе свободные синусоидальные колебания [1-4] обусловлены взаимным преобразованием кинетической энергии в потенциальную [5-9].

Известен осциллятор, в котором свободные синусоидальные колебания сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента в кинетическую же энергию другого инертного элемента [10]. Элементы с другим характером реактивности в таком осцилляторе отсутствуют. Такой осциллятор по существу является монореактивным, а именно: т-т.

Недостатком этого осциллятора является его несбалансированность в силу асимметрии конструкции, что может требовать дополнительных виброзащитных мер.

Этого недостатка можно избежать, используя симметричную схему с тремя грузами.

Актуальность работы обусловлена тем, что механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [11-15]. Особое значение учет колебаний приобретает в авиационной и ракетной отраслях [16-20].

Моделирование осциллятора с тремя грузами

Для целей настоящей работы удобно использовать плоскую трехкоординатную систему аналогичную трехфазной системе координат, применяемой в электротехнике. Для произвольного вектора Я, лежащего в

трехкоординатной плоскости Z, начало которого совпадает с началом координат, справедлива

Теорема 1. Координаты х1, х2, х3 вектора Я образуют правильный треугольник, размер которого не меняется при произвольном повороте вектора Я. Доказательство. Координаты вектора Я имеют вид:

^ = Я соб ф,

(1)

х2 = Я соб

с ъ А к

— ф

V3 У

(2)

х2 = Я соб

'2к Л

V 3 У

(3)

где ф - угол между вектором Я и осью 0 х1. С учетом теоремы косинусов

^ ^ — -Я-

2 , 2 соб ф + соб

с ъ А к

--ф

V3 У

2соб ф соб

с ъ А к

--ф

V3 У

к

соб —

3

Я2

соб ф +

1 ^ Тэ .

-соб фН--Бт ф

V2 2 У

Л2 г

- 2соб ф

1 л/3" .

—соб фН--бш ф

V2 2 У

Я2

2 1 2 3 . 2 л/3

соб ф + —соб ф + —Бт фН--

4 4 2

1

Л

собфБтф-~соб ф-~собфБтф

= - Я1

2 , 2 соб ф + соб

'2к Л

V 3 У

2соб ф соб

Л

2к --ф

V 3 У

соб-

2к

Я2

соб ф +

1 ^ .

—соб фН--Бт ф

V 2 2 У

Л2 г

- 2соб ф

1 л/3 . V 1Л

—соб фН--Бт ф

V 2 2 У

V 2 У

л2

2 1 2 3-2 л/3 . 1 2 л/3

СОБ ф + ~СОБ ф + — 81П ф-~собФ81Пф-^соб ф + ~С08ф81Пф

— - я2

^ ^ —

СОБ

С ТТ \

к

— ф

V3 У

'2к ^

+ СОБ

ф

- 2 соб

С ТТ \

к

V 3 У

ф

'2к ^

СОБ

V3 У

ф

V 3 У

к

СОБ — 3

я2

1 л/3 .

— СОБ ф + ~ БШ ф

л2 / +

V

1 л/3 .

— СОБ ф + ~ БШ ф

2

1 л/3 .

— СОБ ф + ~ БШ ф

1 л/э . 4

— СОБ ф + ~ БШ ф

я2

1 2 3 . 2 л/3 . 12

— СОБ ф + — Б1П ф+--СОБфБ1Пф + — СОБ ф +

4 4 2 ^ ^ 4

3 . 2 л/3 . 12 3.2

+— Б1П ф--СОБфБ1Пф + — СОБ ф--Б1П ф

4 2 4 4

—3 я2

4

Треугольник — х2 х3 является правильным с фиксированной стороной равной

3/4Д2.

Торема доказана.

Теорема 2. Середина вектора Я совмещена с центром треугольника —.

Доказательство. Далее середина вектора Я обозначается г С учетом теоремы косинусов

(ХхТ)2 — Я2 СОБ2 ф + 1 - 2С0Бф"СОБф

я

4

(V )2 — Я2

СОБ

'к

V 3 -ф

V 3

Л 1 о ^

+---2 соб

4

к

— ф

V 3

л 1 С тт л 1 к

— СОБ

2

--ф

V3 У

я2

4

(Х3Г ) = X2

соб

л

2л

--Ф

V 3 У

+1 - 2соб 4

л

2л

--Ф

V 3 У

1

—соб

2

'2л л

—-Ф

V

У

X2

4

Расстояния от точек х1 и х2 до точки г являются одинаковыми. Поэтому точка г лежит на прямой, которая перпендикулярна стороне треугольника х1х2 и

проходит через ее средину.

То же самое можно сказать про сторону треугольника х1х3. Из этого следует, что точка г относится к высотам треугольника х1х2х3, а это возможно, только если она совпадает с их пересечением. Пересечение же высот

правильного треугольника, которым в соответствии с теоремой 1 является х1х2х3,

совпадает с центром треугольника.

Теорема доказана.

Обе доказанные теоремы дают представление о пространственной схеме

монореактивного осциллятора с тремя грузами, представленной на рисунке.

Кинематика монореактивного осциллятора с тремя грузами

Далее принимается, что внешние по отношению к осциллятору силы отсутствуют. Массы вспомогательных элементов осциллятора считаются равными нулю. Потерь на трение нет.

В соответствии с выражениями (1) - (3) мгновенные скорости инертных элементов осциллятора равны

dx ■ d ф

- -R sin ф—,

dt dt

dx0 ^ . f n ^ d ф 2 = -R sin -

dt

n

--ф

3

v3 y

dx, ^ . f 2n Л ■ = -R sin--ф

V 3 y

dt

d ф dt

6Х

При свободных синусоидальных колебаниях полная энергия осциллятора со временем не меняется. В монореактивном инертном осцилляторе потенциальная энергия отсутствует. Поэтому полная энергия является исключительно кинетической. В этой связи справедливо выражение

T = 0,5mR

■ 2 , • 2 sin Ф + sin

к

--Ф

v 3 У

+ Sln

л

2к

--Ф

v 3 О

^2 v dt у

0,75mR2

U 2

dt

v Ui у

d ф dt

= c1:

ф = с/+с2.

Для нахождения постоянных интегрирования следует учесть начальные

условия

ф(°) = фо

d ф dt

(0) = .

Отсюда

C2 = ф° : C1 = ®0

С учетом полученного значения ф выражения (1) - (3) конкретизируются

Xi

i = R cos (®0t + ф0),

(4)

x2 = R cos

i TT \

к

--®01 -ф0 V 3

(5)

x3 = R cos

— - ®01 - ф0

V

(6)

У

Для значений

X1(0) = X10 ,

ж

имеют место выражения

Жх

хю

соб фп =

0 Я

х х2

ф = агссоБ— = агсБт л/1 —10

0 Я V Я2

-Яю0 б1п (ю0 0 + ф0) = V]

V

10

х

10

Заключение

Полученные результаты показывают, что в монореактивном осцилляторе с тремя грузами возможно возникновение свободных синусоидальных колебаний грузов, обусловленных взаимным обменом кинетической энергией между ними.

В соответствии с формулами (4) - (6) при свободных синусоидальных колебаних вектор Я вращается с неизменной угловой скоростью ю .

Правильный треугольник х1х2х3 совершает двойное равномерное вращение -вокруг своего центра г и вокруг начала координат 0.

Половина вектора Я (0г) играет роль кривошипа, который в реальных устройствах нужен для развития угловой скорости ю и сообщения момента силы для компенсации диссипативных потерь.

В соответствии с выражениями (4) - (6) в монореактивном гармоническом осцилляторе с тремя грузами могут возникать свободные синусоидальные колебания любой заданной частоты, которая определяется исключительно начальными условиями.

Список источников

1. Алероева Х.Т., Алероев Т.С. Дробные дифференциальные уравнения и ядра, и малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 94. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80904

2. Добрышкин А.Ю. Колебания стержня, несущего малую присоединенную массу // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

3. Быкова Т.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А., Черненко А.В. Радиальные и изгибные колебания круглой трехслойной пластины, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=112836. DOI: 10.34759/trd-2020-110-6

4. Алероева Х.Т. Дробное исчисление и малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76821

5. Холостова О.В., Сафонов А.И. О бифуркациях положений равновесия гамильтоновой системы в случаях двойного комбинационного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93297

6. Попов И.П. Расчет механических колебаний в поле комплексных чисел // Труды МАИ. 2020. № 115. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=119888. DOI: 10.34759/trd-2020-115-01

7. Мухаметзянова А.А. Раскачивание и стабилизация равновесия двухмассового маятника ограниченным параметрическим управлением // Труды МАИ. 2015. № 84. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=62975

8. Семенов М.Е., Соловьев А.М., Попов М.А. Стабилизация неустойчивых объектов: связанные осцилляторы // Труды МАИ. 2017. № 93. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80231

9. Попов И.П. Виды механической мощности при гармонических колебаниях // Труды МАИ. 2022. № 122. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=164101. DOI: 10.34759/trd-2022-122-03

10. Попов И.П. Монореактивный гармонический осциллятор // Труды МАИ. 2022. № 126. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=168987. DOI: 10.34759/trd-2022-126-01

11. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Продольные и изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, контактирующей со слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=105618

12. Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. Экспериментальная проверка математической модели вынужденных колебаний разомкнутой тонкостенной оболочки с малой присоединенной массой и жестко защемленными краями // Труды

МАИ. 2019. № 109. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

13. Петрухин В.А., Мельников В.Е. Маятниковый построитель вертикали с релейным управлением // Труды МАИ. 2017. № 93. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80344

14. Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. Эффективные испытательные стенды для исследования собственных колебаний разомкнутых цилиндрических оболочек и пластин // Труды МАИ. 2020. № 113. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=117957. DOI: 10.34759/trd-2020-113-01

15. Сысоев О.Е., Добрышкин А.Ю., Нейн С.Н. Аналитическое и экспериментальное исследование свободных колебаний разомкнутых оболочек из сплава Д19, несущих систему присоединенных масс // Труды МАИ. 2018. № 98. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=90079

16. Бардин Б.С., Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: http ://trudymai.ru/published.php?ID=65212

17. Благодырёва О.В. Применение метода Ритца и метода конечных элементов к расчёту аэроупругих колебаний крылатой ракеты // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=84426

18. Загордан А.А., Загордан Н.Л. О применении специальных обобщенных координат для исследования совместных изгибных колебаний лопастей несущего

винта, закрепленного на упругодемпфирующей опоре // Труды МАИ. 2019. № 108. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=109383. DOI: 10.34759/trd-2019-108-4

19. Рыбников С.И., Нгуен Т.Ш. Аналитическое конструирование системы демпфирования изгибных аэроупругих колебаний крыла самолета // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=84572

20. Анимица В.А., Борисов Е.А., Крицкий Б.С., Миргазов Р.М. Расчетные исследования виброперегрузок несущего винта, вызванных пульсацией силы тяги, на базе вихревой теории // Труды МАИ. 2016. № 87. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=69626

References

1. Aleroeva Kh.T., Aleroev T.S. Trudy MAI, 2017, no. 94. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80904

2. Dobryshkin A.Yu. Trudy MAI, 2020, no. 110. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

3. Bykova T.V., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A., Chernenko A.V. Trudy MAI, 2020, no. 110. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 112836. DOI: 10.34759/trd-2020-110-6

4. Aleroeva Kh.T. Trudy MAI, 2017, no. 92. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=76821

5. Kholostova O.V., Safonov A.I. Trudy MAI, 2018, no. 100. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=93297

6. Popov I.P. Trudy MAI, 2020, no. 115. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=119888. DOI: 10.34759/trd-2020-115-01

7. Mukhametzyanova A.A. Trudy MAI, 2015, no. 84. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=62975

8. Semenov M.E., Solov'ev A.M., Popov M.A. Trudy MAI, 2017, no. 93. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80231

9. Popov I.P. Trudy MAI, 2022, no. 122. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 164101. DOI: 10.34759/trd-2022-122-03

10. Popov I.P. Trudy MAI, 2022, no. 126. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=168987. DOI: 10.34759/trd-2022-126-01

11. Grushenkova E.D., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A. Trudy MAI, 2019, no. 106. URL: http ://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 105618

12. Dobryshkin A.Yu., Sysoev O.E., Sysoev E.O. Trudy MAI, 2019, no. 109. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

13. Petrukhin V.A., Mel'nikov V.E. Trudy MAI, 2017, no. 93. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80344

14. Dobryshkin A.Yu., Sysoev O.E., Sysoev E.O. Trudy MAI, 2020, no. 113. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=117957. DOI: 10.34759/trd-2020-113-01

15. Sysoev O.E., Dobryshkin A.Yu., Nein S.N. Trudy MAI, 2018, no. 98. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=90079

16. Bardin B.S., Savin A.A. Trudy MAI, 2016, no. 85. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=65212

17. Blagodyreva O.V. Trudy MAI, 2017, no. 95. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=84426

18. Zagordan A.A., Zagordan N.L. Trudy MAI, 2019, no. 108. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=109383. DOI: 10.34759/trd-2019-108-4

19. Rybnikov S.I., Nguen T.Sh. Trudy MAI, 2017, no. 95. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=84572

20. Animitsa V.A., Borisov E.A., Kritskii B.S., Mirgazov R.M. Trudy MAI, 2016, no. 87. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=69626

Статья поступила в редакцию 02.03.2023 Одобрена после рецензирования 12.03.2023 Принята к публикации 27.04.2023

The article was submitted on 02.03.2023; approved after reviewing on 12.03.2023; accepted for publication on 27.04.2023