Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Электронный журнал Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

http://cloudofscience.ru

Формулы1 в научно-технических публикациях: проблемы и решения

В. Ф. Очков

Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»,

111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д 14 e-mail: [email protected]

Аннотация. Автор с коллегами готовил к изданию справочник по теплофизическим свойствам теплоносителей и рабочих тел энергетики, который поддерживается сайтом http://twt.mpei.ac.ru/rbtpp с сетевыми, интерактивными, открытыми расчетами. Справочник содержит, в частности, описание сайта. При подготовке этой части рукописи и отладке сайта возникла необходимость соединить в одном тексте общепринятые математические нотации и специальные формы записи математических выражений в компьютерных математических программах. Здесь излагаются возникшие проблемы и возможные способы их решения.

Ключевые слова: математические выражения, пакеты программ.

Введение

В настоящее время в научно-технических публикациях (монографиях, учебниках, справочниках, диссертациях, авторефератах, журнальных статьях, студенческих курсовых и дипломных работах и т. д.) все чаще и чаще формулы представляют собой не наборы символов, введенных «от руки»2 или с помощью специальных программ Word Equation (дополнение к Word), LaTex и др., а фрагменты расчетов, сделанных в средах компьютерных математических программ Mathcad, Maple, Mathematica и др. (см. сайт www.exponenta.ru, их поддерживающий). Более того, отмеченные математические программы имеют собственные средства комментирования расчетов, что позволяет с их помощью полностью готовить рукописи3 к публикации, не прибегая к специализированным программам — текстовым процессорам Word, Adobe Acrobat и др.

1 А также графики и таблицы — особые формы записи формул, функциональных зависимостей явных и скрытых.

2 Так делали до эры персональных компьютеров — во времена печатных машинок, когда при подготовке так называемой оперативной и не очень качественной полиграфии (статей для сборников научных трудов, методических материалов и др.) вручную вписывали формулы в машинописный текст.

3 Сейчас более уместно говорить не о «рукописях», а о неких «компьюписях». Хотя к клавиатуре компьютера по-прежнему касаются руки человека.

421

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

Наиболее распространенной является компромиссная технология, когда автор передает в издательство или редакцию журнала «гладкий» текст в файле формата doc и растровые рисунки в отдельных файлах формата bmp, например. Затем специалисты издательства объединяют эти файлы и готовят публикацию по стандартам издательства.

В bmp-файлах могут храниться не только традиционные рисунки (схемы, фотографии, диаграммы, графики), но и формулы в виде скриншотов (screen shot — моментальный фотоснимок, слепок с экрана компьютера4) протоколов решения задач в средах математических программ.

Отказ от прямого набора формул в тексте и обращение к услугам «посредников» — математических программ объясняется рядом причин, одна из которых в том, что ручной набор формул без проверки их работоспособности (а она-то и ведется в математических программах) часто чреват ошибками, которые допускает автор и пропускают редакторы и корректоры при работе над рукописью или макетом книги или журнальной статьи. Вспомним, сколько ошибок и опечаток мы допускали в текстах, когда писали их на бумаге или набирали на печатной машинке или компьютере без вшитых средств проверки орфографии (спел-чекеры)! Можно сказать, что в математические пакеты вшиты средства проверки «орфографии формул», высвечивающие в них возможные ошибки. Но главная причина обращения к математическим программам в том, что в настоящее время именно в средах математических программ, как правило, ведется обработка результатов экспериментальных данных, формирование таблиц, построение графиков или оценка теоретических вкладок с показом итоговых и промежуточных результатов. Плоды такой работы желательно перенести в готовящуюся публикацию без каких-либо искажений. Есть и другие причины «экспансии» математических программ в публикации, которые будут раскрыты ниже.

И тут возникает ряд проблем, требующих решения.

1. Проблема десятичного разделителя (decimal separator)

Россия принадлежит к странам, где традиционно в качестве десятичного разделителя используется запятая. В других странах (а это, в основном, англоязычные страны) используется точка. Главная англоязычная страна США в настоящее время задает тон в информационных технологиях. Поэтому все основные компьютерные программы, даже если они сделаны в России, оперируют точкой в качестве де-

4 Для его получения нужно нажать клавишу PrtSc (Print Screen). После этого «картинка» экрана дисплея окажется в буфере обмена. Далее эту картинку можно будет отредактировать в среде, например, графического редактора Paint и сохранить файлом. До эры Windows (в эту операционную систему входят и буфер обмена и редактор Paint) во времена MS-DOS нажатием клавиши Print Screen можно было непосредственно распечатать весь экран дисплея на принтере. Отсюда и такое несколько устаревшее название этой клавиши.

422

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

сятичного разделителя5. Из-за этого в книгах, научных статьях и других публикациях формулы, перенесенные в текст из математических пакетов, содержат точки, в то время как числа самого текста, поясняющего формулы, — запятые. Попытки авторов ликвидировать этот разнобой — поставить в числах текста точки, а не запятые жестко пресекаются редакторами6 и корректорами, которые стоят на страже издательских стандартов, в частности, правила, устанавливающего, что в «отечественных» числах целую и дробную части может разделять только запятая, но никак не точка. Более того, некоторые редакторы и почти все корректоры требуют, чтобы и в «компьютерных» формулах точки в числах были заменены на запятые. И только возражения авторов в том плане, что это не просто формулы, а слепки с экрана дисплея, где данная задача решалась с помощью конкретной математической программы, что в этом рисунке ничего нельзя менять, иначе это будет некий обман читателей, что если точки в числах заменить на запятые, то нужно запятые, которые используются как разделители в списках, менять на точки с запятой, а точки с запятой (а это тоже узаконенный символ в программах) еще на что-то другое7 и т. д., переубеждает редакторов и корректоров, но далеко не всегда. Если же автор

5 Есть редкие исключения из этого правила. Табличный процессор Excel (и весь Microsoft Office), например, можно настроить на работу как с точкой, так и с запятой в качестве десятичного разделителя. Но замена тут точки на запятую вызывает ряд проблем и затрудняет обмен файлами с расчетами, выполненными в этой и других подобных программах.

6 Современный компьютеризированный редактор умеет самостоятельно (конечно, с согласия авторов) внести нужные исправления не только в файл текста, но даже и в графические файлы, в рисунки. Автор данной статьи общается с редакторами двух формаций, если так можно выразиться. Одни редакторы требуют распечатки текста, в котором они по старинке карандашом делают правку, используя специальные символы. Потом эту правку кто-то, а лучше лично автор вносит в файлы готовящейся публикации. Появились редакторы, которые наконец-то научились делать такую работу в самом файле, используя для этого специальные команды редактирования (рецензирования). Автору после этого остается только согласиться или не согласиться с правкой редактора, используя для этого опять же специальные команды текстового процессора. Но такие «компьютеризированные» редакторы, увы, очень часто «халтурят» — пропускают много ошибок (по-видимому, из-за того, что у них много заказов и нужно торопиться все их выполнить). Оптимальный вариант: редактор получает при встрече или по e-mail файлы от автора, сам при необходимости распечатывает их, вносит карандашом или чем угодно и как угодно правку в текст, потом вносит эту правку в файлы и отправляет их назад автору. Еще лучше получить от редактора отсканированную правку в виде рисунка с карандашными пометками. А еще лучше сесть автору «щечка-к-щечке» с редактором и решить все спорные вопросы очно, а не по переписке в Интернете. Но так сейчас случается все реже и реже: многие издательства пользуются услугами редакторов и корректоров, работающих в разных городах. Автор тут хотел применить термин «редактор/корректор», а не просто «редактор». Дело в том, что многие редакции, экономя средства, стараются нанять людей, совмещающих эти две профессии. Или вообще обойтись без них, полагая, что спел-чекеры компьютеров сами выявят ошибки. Но без хороших «живых» редакторов и корректоров приличному издательству обойтись никак нельзя. Более того нужен не просто редактор, а научный редактор, литературный редактор, технический редактор, отдельный проверяльщик цитат и т. д. и т. п. Есть такой тест на проверку качества редактора/корректора. Нужно специально вставить в текст, например, десять ошибок, а потом посмотреть, сколько из них он найдет. Если при этом окажется, что он нашел пять специально введенных ошибок и, например, двадцать изначально находившихся в тексте, то можно предположить, что в тексте осталось около двух десятков не выловленных «изначальных» ошибок...

7 Так устроен уже упоминавшийся нами табличный процессор Excel — см. сноску 5.

423

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

сдастся и заменит в числах формул точки на запятые, то это будет не просто обман (см. выше), но и некая «медвежья услуга» читателю со стороны автора вкупе с редакторами и корректорами. Читатель захочет ввести формулу с листа книги или журнала в компьютер, проверить ее или решить с ее помощью свою задачу8 и не будет понимать, почему у него это не получается...

Тут можно узреть некую войну точки с запятой, которая. Тут автор хотел сказать «не стоит выеденного яйца», но вспомнил более литературную «яичную» аналогию. Джонатан Свифт в своих книгах о похождениях Гулливера9 описал войну тех, кто разбивал яйцо с тупого конца (запятая) с теми, кто это делал с острого конца (точка).

В настоящее время многие страны с высоким уровнем информатизации, где традиционно использовалась и используется запятая в числах (Германия, напри-мер10), постепенно переходят на точку. Один немецкий коллега подарил автору данной статьи свою новую книгу и особо просил сообщить, если в тексте вместо точки в числе окажется «устаревшая» запятая. В этом деле и нам наконец-то нужно «поставить точку» в прямом и переносном смыслах. Этот процесс уже пошел — некоторые наши издательства полностью перешли на точку в числах. Правда, эти издательства выпускают специфическую литературу — переводы (часто машинные) с английского на русский технических текстов, не подвергнутые более-менее тщательной научной редактуре11. Тут можно отметить и некую «фронду12», нацеленную против закостенелых правил, изолирующую страну от «полиграфического мейнстрима». Так, в России в начале XX века некоторые передовые литераторы писали и публиковали свои тексты, отказываясь от старой русской орфографии с ятями, тремя буквами «и»13 (кошмар гимназистов старых времен), лишними твердыми знаками на конце многих слов и т. д. Потом, правда, уже после революции 1917 года некоторые из этих «передовиков» уже в эмиграции издавали свои газеты

8 «Если на сцене висит ружье, то оно должно выстрелить!» — «Если в книге есть формула, то по ней можно и нужно вести расчет!».

9 Сейчас эти книги перешли в разряд детских, но во времена Свифта они считались памфлетами на современную действительность.

10 «Неанглоязычные» Китай, Корея и Япония уже давно перешли на точку в числах.

11 Увы, из-за этого такого рода публикации очень часто «украшают» многочисленные ошибки и опечатки. Это, в частности, касается диссертаций и авторефератов, которые также часто выходят с досадными ошибками.

12 См. сноску 16 ниже.

13 Надо было бы в новой русской орфографии оставить букву i (и «десятеричное»), а не букву и. Тогда бы у иностранцев, надо полагать, было бы меньше трудностей «пр1 чтени руссюх кшг». Третья буква и — это ижица v. Рот у гоголевского Ивана Ивановича был похож на ижицу. Читатель может попробовать в электронной версии этой статьи, размещенной на сайте http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/work2.htm, заменить букву «и» на «i» (см. пример выше) и посмотреть, что из этого получится.

424

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

и журналы, используя старую орфографию в пику «совдеповским» изданиям. Более свежий пример. Во времена еще одной нашей «революции» — перестройки 80-90-х годов прошлого века радикальные «западники» вели разговоры о том, что России нужно срочно переходить с кириллицы на латиницу14. Некоторые газеты и журналы в те времена демонстративно публиковали статьи и заметки латиницей, а не кириллицей15 16. При этом подчеркивалось, что латиница поможет нам быстрее приобщиться к западным ценностям (истинным и, как мы потом узнали, к ложным), а процесс компьютеризации у нас пойдет более быстрыми темпами и т. д. Были попытки перевести на латиницу татарский язык. Но потом все эти проекты и эксперименты были пресечены охранительным законом, гласящим, что письменность всех народов Российской Федерации может базироваться только на кириллице. Отсылаю читателя к роману Дмитрия Быкова «Орфография» (www.lib.ru/POEZIQ/BYKOW_D/orfografiq.txt), где эта тема развита более глубоко.

Можно представить себе, что если жизнь все-таки заставит нас перейти от запятой к точке в числах, то найдутся люди и издания, которые демонстративно будут тут ставить запятую, подобно тем парижским мальчишкам, которые когда-то давно демонстративно продолжали играть во фронду (игру с пращей) после того, как ее из-за многочисленных несчастных случаев запретила полиция1 .

14 На латиницу перешли некоторые «неславянские» республики бывшего СССР — Азербайджан, Молдавия. В Узбекистане сейчас «двоевластие» — используют и кириллицу, и латиницу. Здесь можно узреть элементы «русофобии», но главное тут — желание этих «перебежчиков» приобщиться к доминирующему в настоящее время алфавиту. Доминирующему, в том числе и в информационном обмене. Единая когда-то балканская страна с одним языком была разрезана надвое, в том числе и из-за алфавита: в Сербии пишут кириллицей, а в Хорватии — латиницей.

15 Сейчас в Интернете некоторые сайты предлагают посетителям выбрать, на кириллице или латинице (транслитерация) они будут читать русские (украинские, белорусские) тексты. Международная переписка в том числе и ученых часто ведется на интерлите.

16 Автор хотел сразу после первого упоминания слова фронда (см. сноску 12 выше) сделать сноску с объяснением, что это такое, но побоялся обидеть образованного читателя. Кроме того, у читателя под рукой, как правило, есть Интернет, где можно сделать соответствующий запрос. Автор сделал такой запрос по слову «фронда» и вот что получил в ответ. Во всех интернетовских источниках, сказано, что фронда по-французски это праща (la fronde) и что это слово означает протест, но не по принципиальным, а каким-то другим соображениям (фрондерство). Но нигде не объяснялось, почему это называется пращей. И только «старый, добрый, бумажный» энциклопедический справочник La' Rousse дал ответ на этот вопрос. Автор тут же дополнил соответствующую статью в Википедии (www.wikipedia.org). Так что Интернет Интернетом, а обычные «бумажные» справочники еще долго будут востребованы и будут подпитывать Интернет.

Как заметил читатель, эта статья изобилует сносками. Можно даже сказать, что автор злоупотребляет сносками-комментариями к основному тексту. Даже в название статьи автор умудрился вставить сноску. Сносок можно не делать, а просто явно или скрыто намекать читателю, что он может в случае чего сделать соответствующие запросы в Интернете по «туманным» для читателя терминам и понятиям (или просто обратиться к «бумажному» справочнику или энциклопедии). Такая технология чтения статей (особенно электронных) сейчас все более становится распространенной. В «бумажном» справочнике или в нашей памяти хранится, будем надеется, выверенное (общепринятое) толкование термина, а в Интернете можно найти и спорные варианты, что также очень интересно. Знать бы при этом, что выверено, а что спорно! Справочник, кстати, по-английски Reference Book (книга ссылок)!

425

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

Проблема точки или запятой в числах усложняется еще и тем, что существует так называемый международный финансовый формат чисел (###,###,###,###.##), где запятая выступает в качестве тысячного разделителя, а точка отделяет руб-ли/доллары от копеек/центов. Но в инженерно-технических и научных расчетах такая избыточная точность, как правило, не требуется и числа округляются (к проблеме округления чисел мы еще вернемся ниже, когда будем говорить о «живых» задачниках) даже в так называемых технико-экономических расчетах, где наряду с физическими величинами (массой, энергией, временем и т. д. — см. раздел 6) используются и финансовые.

2. Проблема имен переменных в формулах

Проблема «кириллицы-латиницы» в формулах, затронутая выше, высвечивается еще одной интересной стороной.

Переменные в «отечественных» формулах могут содержать как буквы кириллицы, так и латиницы, а также буквы греческого алфавита17 и различные спецсимволы. В научных дисциплинах есть величины (константы и переменные), за которыми закрепились те или иные имена задолго до появления компьютеров. Списки таких переменных, как правило, приводятся на первых страницах учебников, монографий и некоторых объемных статей, в пояснительных записках к курсовым и дипломным проектам. Специалист, глядя на свою «родную» формулу, может сразу и безошибочно понять, что хранит в формуле та или иная переменная. Переменные при этом могут иметь «национальность»: сравните Din и Бвх, Dout и Д,ых (входной и выходной диаметр чего-то там; когда-то давно у нас в пылу борьбы с космополитизмом предписывалось писать не Dm, а Двх и т. д., и этот перегиб до сих пор полностью не изжит в некоторых отечественных машиностроительных стандартах18). Но сейчас все чаще и чаще мы стали отказываться от букв кириллицы в формулах не из-за отсутствия должного патриотизма, а по чисто практическим, неполитизированным причинам.

Во-первых, как уже отмечалось выше, формулы для статей и монографий все чаще и чаще «рождаются» в средах математических пакетов, а некоторые из них не позволяют мешать «французский с нижегородским» — вставлять в имена переменные не только буквы кириллицы, но даже и греческие буквы, широко используемые в формулах.

Во-вторых, правила публикации формул в отечественной литературе требуют, чтобы латинские буквы в переменных были прописаны курсивом, а буквы кириллицы — прямым шрифтом: сравните D^ и Din (или даже Dvhod 19). Это задумано для

17 Мостик между латиницей и кириллицей.

18 Другая важная причина — чисто русские переменные можно было печатать на русских печатных машинках (см. сноску 2). Из-за этого, кстати, в старых рукописях и публикациях можно встретить такое обозначение шкалы и градуса Цельсия — °Ц.

19 Vhod — вход: smotri snoski 14 i 15.

426

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

того, чтобы читатель мог отличать латинские буквы от кириллических, имеющих сходное написание: А — А, В — В, С — С, Н — Н20 и т. д. В некоторых математических пакетах (в Mathcad, например) допустимо менять шрифт у отдельных переменных 21, но ни в одном математическом пакете нельзя форматировать имя переменной, например, так — саму переменную прописывать курсивом, а ее нижний индекс оставлять прямым (см. примеры выше). Из-за этого приходится отказываться от кириллических слов и сокращений в именах переменных, заменяя их на английские аналоги: было (или даже Двх) стало Din или Dvhod.

Чисто английские переменные в формулах существенно облегчают научный обмен. Иностранный специалист, совсем не знающий русского языка, может по английской аннотации найти в Интернете профильную русскую статью, просмотреть в ней «английские» формулы, понять, о чем тут идет речь, заказать перевод статьи или связаться с автором. По этой же причине в примерах данной статьи используются не русские, а международные написания единиц измерения физических величин (не м, а m (метры), не Па, а Pa (паскали) и т. д. — см. раздел 5). Кроме того, электронная версия данной статьи, размещенная на сайте автора, дополнена ее английским переводом, что сделать намного проще, имея в оригинале уже «англизированные» формулы. Это можно считать неким вкладом в решение проблемы международного научного обмена.

Отсюда вывод. Если в формулах совсем нет букв кириллицы, то выделение латинских букв курсивом теряет всякий смысл и от этого правила можно и нужно отказаться. Тем более, что многие издательства это правило давно уже игнорируют, понимая в том числе и то, что их читатель довольно грамотный и без особых проблем отличит в формуле русскую букву С (эс), к примеру, от ее английского аналога — буквы С (си). Но в данной статье автор правила «латинская буква — курсив» пока придерживается, в частности, для того, чтобы лишний раз не «дразнить» редакторов и корректоров.

Говоря об именах переменных, нужно упомянуть «переменные-иероглифы». Читатель может подумать, что тут речь пойдет о Китае, Японии, Корее и некоторых других азиатских странах22, о том, как там ученые вставляют в переменные формул

20 Отечественные автомобильные номера в настоящее время не содержат русских букв, не имеющих соответствующих латинских аналогов — ц, ш, щ, ы и т. д. (дань глобализации). Есть такой экстремальный литературный жанр — написать более-менее длинный и связный русский текст без специфических русских букв, т. е. латинскими буквами (MAMA MOET PAMY). Это правило нужно распространить и на имена переменных.

21 Это можно видеть на рисунках данной статьи, созданных в среде Mathcad.

22 Автору довелось здесь в России вести занятия со студентами из Мьянмы (бывшая Бирма), общаясь с ними на смеси русского и английского (они эти языки немного знали). Так вот в родном языке этих студентов цифры обозначаются не привычными арабскими символами (1, 2, 3...), а собственными традиционными специальными!? Когда автор это узнал, он понял, почему этим студентам так трудно читать, а тем более понимать «международные» формулы или просто числа.

427

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

свои слова-иероглифы. Но речь пойдет не об этом23, а вот о чем. Некоторые переменные в некоторых научных дисциплинах «обросли» нижними и верхними индексами, штрихами, «крышечками» и другими специфическими символами и стали из-за этого походить не на сокращения слов или аббревиатуры, а на... иероглифы. Эти «иероглифы» несложно написать карандашом на бумаге или мелом на доске аудитории. При определенном навыке эти «иероглифы» можно ввести в электронную версию статьи (в файл для компьютера), используя упоминавшиеся программы Word Equation или LaTex24. Но ввести их в расчет, создаваемый в среде математической программы, очень часто бывает просто невозможно. Такие «иероглифические» имена переменных приходится упрощать — лишать их «многоэтажного» вида, переводить их в линейную (текстовую) форму примерно так, как китайцам, корейцам и японцам приходится упрощать свою письменность, чтобы тексты можно было вводить в компьютер. Из-за этого во многих научных дисциплинах «иероглифические» имена переменных и констант стали обзаводиться своими упрощенными аналогами. Конкретный пример. Можно в текст статьи ввести символ определенного интеграла рисунком25 или специальным набором, а можно просто набрать на клавиатуре int(f(x), x = 0..1).

В начале многих книг и статей, как мы уже отметили выше, авторы размещают в виде таблицы список переменных, используемых в тексте: первый столбец такой таблицы — имя переменной, второй столбец — единица измерения хранимой в переменной величины (о единицах измерения см. раздел 5) и третий столбец — описание переменной. Если же в книге или статье приводятся фрагменты программ или протоколы решения задач в среде какой-либо математической программы, то в списке переменных может появиться еще один столбец — имя переменной (идентификатор), используемый при компьютерном решении задачи. Иногда этот новый столбец может «вытолкнуть» из таблицы первый столбец с традиционными имена-

23 Ученые Китая, Кореи, а тем более, Японии уже давно «англизировали» формулы в своих книгах и научных статьях. Более того, они пишут свои книги и статьи все чаще и чаще только по-английски, понимая, что иначе это затруднит глобальный обмен идеями, без которого невозможно нормальное научное развитие. Ученые Германии и других европейских стран все чаще и чаще публикуются только на английском языке (современная латынь).

24 Можно любоваться скульптурой и удивляться тому, «каким образом ваятель в куске каррарского мрамора видит сокрытого Юпитера и выводит его на свет, резцом и молотом раздробляя его оболочку», а можно, перелистывая старые «докомпьютерные» справочники по математике, восхищаться, каким образом наборщики создавали такие «произведения изобразительного искусства» — сложнейшие математические или химические формулы. Одно время издательства пытались навязать своим авторам единые стандарты и форматы компьютерной подготовки рукописей с формулами, но потом от этой утопической идеи отказались. Вернее, дело обстояло и обстоит так. Если издательство заинтересовано в рукописи, то оно ее возьмет хоть в «рукописном виде» и само доведет до нужного формата. Если же рукопись издательству не нужна, то ее могут отвергнуть в том числе и под предлогом несоответствия оформительским стандартам, которые, как правило, публикуются на сайтах издательств и журналов.

25 Автор разработал специальную технологию замены сложных имен переменных на рисунки в сетевых расчетах [2]. Пример такого расчета можно видеть на сайте по адресу http://twt.mpei.ac.ru/MCS/Worksheets/Non_St_Name.xmcd.

428

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

ми переменных и констант. С экспансией математических пакетов в книги и статьи это «выталкивание» пошло более интенсивно, и мы должны будем постепенно забывать традиционное «иероглифическое» написание не только переменных, но и некоторых математических операторов (см. раздел 7). С другой стороны, разработчики математических пакетов при создании новых версий стараются учитывать устоявшиеся традиции в написании переменных и вводят новые инструменты их форматирования. Так, в среде Mathcad с некоторых пор стало возможным вводить в имена переменных верхние и нижние индексы, математические и другие символы. Правда, такую усложненную переменную нужно обрамлять квадратными скобками: [HCO-], [БГ1 и т. д.

3. Проблема очередности записей при публикации формул

В книгах, статьях, курсовых и дипломных работах формулы принято публиковать в таком порядке — сначала приводится сама формула с небольшим «заголовком» примерно так:

«Температура идеального газа (T) рассчитывается по формуле

m ■ p ■ v R

(126)»

А потом перечисляются переменные, входящие в формулу примерно так:

«где m — молярная масса газа, p — давление газа, v — удельный объем газа26 27 и R — универсальная газовая постоянная». Тут перечисляются переменные, входящие в правую часть формулы... Но часто в научных публикациях даются не просто формулы, по которым можно вычислить значение переменной, стоящей в левой части формулы — см. формулу 1, а уравнения (алгебраические, дифференциальные и др.). О такой форме записи формул мы еще поговорим.

Чтобы формула заработала в математических пакетах, необходимо переставить местами саму формулу и список ее переменных, а также ввести в переменные и константы конкретные значения28: см. рис. 1 — слепок с экрана дисплея решения задачи (1) в среде Mathcad.

26 Набрано в Math Type.

27 Курсив латинской буквы v сделал ее похожей на греческую букву ню или на старую русскую букву ижица (см. сноску 13). Если мы будем выделять курсивом латинские буквы, то нужно что-то придумать и для греческих букв, чтобы их отличать от латинских и кириллических. Это еще один до-вод/повод, чтобы отказаться от правила «латинская буква — это курсив».

28 Тут речь идет о численной (приближенной) математике, а не о компьютерных аналитических преобразованиях (символьная математика) — смотрите, что написано перед формулой (1): «Температура рассчитывается по формуле»!

429

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

Расчет температуры идеального газа.

Константа (универсальная газовая постоянная):

R:= 8.314472----------

mole ■ К

Значения переменных:

- уд. объем

- давление

р := 0.7atm

v:=71^L

kg

Ответ:

Т:=

■Р -у

R

■ молярная масса

gm

m := 14-

mole

= 574.79 °С

Рисунок 1. Расчет по формуле в среде Mathcad

(229)

«Обвешивание» в книге или научной статье формул числовыми значениями переменных, входящих в формулы, может показаться излишним, если не принять во внимание следующую важную тенденцию в развитии информационных технологий.

Расчеты, выполненные в среде Mathcad и в некоторых других математических программах, можно публиковать в Интернете для интерактивной работы с ними. На рис. 2 отображен сайт с адресом http://twt.mpei.ac.ru/MCS/Worksheets/pv-RT.xmcd30, зайдя на который можно изменить в прямоугольных окнах исходные данные, нажать31 кнопку Recalculate32 и получить новый ответ — численное значение температуры, рассчитанное по формуле (1).

При публикации формул, особенно в электронных изданиях, можно рядом с формулой или группой формул поместить ссылку на сайт, где эти формулы можно заставить работать: менять в них исходные данные и получать новые ответы, как это отображено на рис. 2.

Примечание. В переменных расчета, показанных на рис. 1 и 2 , мы, соблюдая вышеотмеченное правило публикации формул, сохранили курсив латинских букв. Из-за этого качество полиграфии несколько ухудшилось. Единицы измерения (а о них речь пойдет ниже в разделе 5) и числа на рис. 1 прописаны прямым шрифтом и выглядят вполне прилично (еще один резон отказаться от правила «латинская буква — курсив», о котором шла речь выше.

29 Это вставленный в текст рисунок — слепок с решения задачи в среде Mathcad.

30 Далее адреса сайтов будут прописываться в названиях рисунков.

31 Автор хотел написать «щелкнуть мышкой» или даже «подвести курсор манипулятора «мышь» к кнопке Recalculate и нажать левую кнопку самой мышки и т. д.», но вспомнил, что читатель уже довольно «компьютерно грамотный» и сам поймет, что к чему. А раньше редакторы заставляли «разжевывать» такой текст.

32 Автор хотел тут дать перевод этому слову (Пересчитать), но... см. предыдущую ссылку.

430

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

Jr] http://twt.mpei,ac.ru/MC5/Worksheets/pv-RTxmcd

Расчет температуры идеального газа.

Константа (универсальная газовая постоянная):

R:= 8.314472-

J

mole ■ К

Значения переменных (можно изменить): р ■= [о"т atm v := |7""i m3/kg

gm/mole Recalculate

m := 114 Ответ:

T :=

■P -v

R

574.79°C

Рисунок 2. Расчет по формуле в Интернете

(333)

При публикации «работающих» формул, как правило, их дублируют с заменой переменных их численными значениями примерно так:

«Энтальпию воды в конце необратимого процесса сжатия ее в насосе И3д вычислим по формуле для расчета относительного внутреннего КПД насоса:

Изд = hT + (Из - hr) / По" =121,4 + (133,9 - 121,4) / 0,85 =136,1 кДж/кг» (4) Такое дублирование ведется для дополнительного контроля, но уже не самой формулы, а правильности численных значений переменных формулы и счета по ним. Предполагается, что человек (некий «сертификатор» расчета), имеющий под рукой калькулятор (арифмометр, логарифмическую линейку, специальные расчетные таблицы, счеты, абак и тд, если идти вглубь истории), может проверить арифметические выкладки, не разыскивая в расчете численные значения переменных, вычисленных ранее.

В среде некоторых математических пакетов также требования стандартов учитываются: там можно дублировать формулы с подстановкой численных значений переменных. Вот пример подобного оформления расчета в среде Mathcad 14 и 15 (рис. 3).

Вместимость конуса: г := 20mm h := 3.5cm

V := - -r2 h = - (20 mm)2 (3.5 cm) = 14.661mL 3 3

(5)

Рисунок 3. «Оцифровка» формулы в среде Mathcad

33 Это вставленный в текст рисунок — слепок с решения задачи в Интернете.

431

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

Подобный стиль счета предусмотрен и в некоторых специализированных пакетах — в пакете NormCAD (http://normcad.ru), например, предназначенном для расчетов по российским (машино-) строительным нормам и правилам (СНиПы). Вот пример расчета в среде NormCAD:

«Площадь арматуры по грани нормальной оси X:

ASx = Asi, x • (nx + 1) + (2 • ASo - Asi, x- Asi, y) • b / (1 + b) =

= 0 (0 +1)+(2 0,0008 - 0 - 0,000314159) 0,50695/(1+ 0,50695) = 0,000432567 м2

(формула (151); п. 3.74, Пособие к СНиП 2.03.01-84).» (6)

Такая «оцифровка» формул была желательна при «ручном» ведении расчетов с помощью калькулятора (арифмометра и тд, см. выше), но стала, как понимает читатель, совершенно излишней при компьютерном счете. Тем не менее, многие устаревшие, но действующие и поныне стандарты оформления расчетов требуют «оцифровки» формул, даже если они велись полностью на компьютере. «По одежке встречают, по уму провожают» — этим правилом руководствуются в различных сертифицирующих организациях, где ваш расчет не примут на проверку, если он оформлен неправильно.

«Оцифровку» расчетных формул требуют многие преподаватели, принимающие типовые курсовые и дипломные проекты в высших и средних технических учебных заведениях. Некоторые преподаватели, принимая от студента такой расчет, кладут около себя калькулятор (чуть раньше они «брали в руки логарифмическую линейку») и проверяют все или по крайней мере некоторые математические выкладки, допуская, что студент тут мог ошибиться, забывая при этом о том, что эти расчеты делал не студент, а компьютер, который не может ошибиться в арифметических выкладках.

Ошибиться тут может студент, выбрав не ту формулу или подставив в нее не то значение, и механическая проверка счета по формулам тут не поможет... Когда-то в МЭИ первые компьютеры стали печатать ведомости на зарплату — колонки цифр с итоговой суммой внизу. Главный бухгалтер МЭИ эти ведомости должен был подписывать. Но прежде чем это сделать он. на счетах проверял правильность числа, стоящего внизу ведомости на зарплату — распечатки компьютера, суммировал все числа. Когда этому главному бухгалтеру говорили, что в итоговой сумме не может быть ошибки, что ошибка может быть только при начислении той или иной зарплаты тому или иному работнику, то ответ был таков — компьютер в случае чего не посадят в тюрьму, а меня посадят, если я подпишу неправильную ведомость. Так и до самого ухода на пенсию этот главный бухгалтер суммировал числа в ведомостях на зарплату перед их подписанием сначала на счетах, а потом на калькуляторе. Так и некоторые преподаватели требуют «оцифровки» формул в студенческих расчетах, не понимая, что этим возможную ошибку не выявить .

Процесс «оцифровки», зафиксированный на формулах (4)-(6), требует значительного ручного оформительского труда и не всегда приводит к желаемому ре-

432

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

зультату: к нужному числу знаков в ответе с нужной единицы измерения и т. д. Чтобы «волки были сыты и овцы целы» — чтобы удовлетворить проверяющего и не перегружать себя лишней и трудоемкой работой, можно оформить расчет (см. формулу (4)) так — дать формулу с итоговым ответом, а под ней «распечатать» переменные формулы с нужным форматом числа и с нужной единицей измерения (рис. 4).

^1 http://twtmpei.ac.ru/MC5/Worksheet5/PTU/AVOO-7-4.xmcd

Энтальпию воды в конце необратимого процесса сжатия ее в насосе h^g вычислим по формуле для расчета относительного внутреннего КПД насоса:

h-? — he:

h3n:= h2' +-----------= 136.1 kJ/kg

■П01

где li2' = 121.4 kJ/kg - энтальпия воды на входе в насос,

= 133.Э kJ/kg-энтальпия воды на выходе из насоса при обратимом процессе сжатия н T|gj = 0.65 - внутренний относительный КПД насоса.

Рисунок 3. Формула со списком переменных и их численных значений

(7)

«Умный» преподаватель, проверяющий расчет, показанный на рис. 5, видя не совсем или совсем неправильный ответ по формуле, не станет проверять счет по этой формуле. Ему достаточно проверить, какие переменные фигурируют в формуле и какие значения эти переменные имеют. Вот тут то и будет очень полезна распечатка значений переменных анализируемой формулы так, как это показано на рис. 4. Если же возникнет потребность проверки правильности счета по формуле, к примеру, для контроля правильности округления ответа, то около формулы лучше поместить значения переменных с базовыми единицами измерения — см. рис. 4а и сравните его с рисунками 2 и 3.

Исходные данные:

р ■■= 0.7 atm v := 7100 ——— т -.= 14 gm

kg mole

Ответ Т-.= m‘p'v =847.04 К R

где т = 0.014-^- р=7О027.5 Ра

mol

v = 7.1 ^Р~ R= 8.314----------

kg К • mol

Рисунок 4a. Расчет по формуле с переводом единиц измерения к базовым единицам СИ Другая помощь проверяющему будет заключаться в том, что вблизи формулы размещаются не только значения переменных формул, но и значения некоторых фрагментов формулы. Эта особенность показана на рис. 4b.

433

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

Термический КПД паро-газовового энергетического блока:

тпгуL= (m ■ |гту + 'пту} ■ 41 = 63.05%

где

1|—р-у = 423.911 kJ/kgg (удельная работа газовой турбины), m' 1|ТУ = 350'3.'Е2 kJ/kgws [работа газовой турбины на кг воды и водяного пара), 1пту = 1322.94 kJ/kgws [удельная работа паровой турбины), m 1|ТУ + 1|ТГУ = 4826.56 kJ/kgws (удельная работа газовой и паровой турбины) и qi = 7655.13 kJ/kgws [удельная теплота, подведенная к ПГУ).

Рисунок 4b. Расчет по формуле с «распечаткой» значений переменных и фрагментов формулы

Оформление студентом и проверенные преподавателем формулы расчетов могут иметь не только чисто учебное, но и практическое значение за счет перевода расчетов в Интернет и обогащение разного рода справочников. Конкретный пример.

Автор работает в составе группы исследователей, объединенных в Международную ассоциацию по свойствам воды и34 водяного пара (www.iapws.org), которая готовит и публикует наборы формул (формуляции), по которым предписывается вести расчеты различных параметров этой очень важной природной субстанции, широко используемой не только в быту, но и во всех отраслях промышленности и сельского хозяйства. Обычно такие формуляции публикуются в виде PDF-текста со вставленными в него «мертвыми» формулами. На рис. 5 в качестве примера показан фрагмент одной из таких формуляций, по которой рассчитывается ионное произведение воды Kw — произведение концентрации катионов И+ на концентрацию анионов ОИ- в воде. В докомпьютерную эру такие формуляции готовили на пишущих машинках (см. сноску 2), вручную вписывая в них нужные формулы. Теперь же эти формулы уже полностью готовят на компьютере, но до недавнего времени это кардинально дело не меняло.

34 Тут автор сомневается, какой союз более подходит — «и» или «или». В современных публикациях появился некий новояз — гибридный союз «и/или», но его, как правило, всегда пытаются вымарать редакторы и корректоры. Дело в том, что в русском языке, как и во многих других «мировых» языках нет слова, объединяющего термины «вода и водяной пар». В быту мы имеем дело либо с водой, либо с паром, вернее, с влажным паром — паром, перемешанным с воздухом и содержащим капельки влаги (пар над кипящей водой). Но при закритических параметрах эту субстанцию нельзя делить на воду и водяной пар (см. линию в таблице рис. 11) — тут нужно использовать новое отдельное слово. Так, у многих племен Амазонии нет слова, описывающего понятие «лес», а есть «густой лес», «редкий лес» и т. д. Будем нашу субстанцию называть «вода/водяной пар», введя новый союз «/» — сокращение от «и/или». У нас, кстати, в ссылке 7 уже появился «редактор/корректор», объединяющий в себе две эти специальности.

434

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

Рисунок 5. Пример формуляции по свойствам воды

С недавнего времени с подачи автора этой статьи и его коллег и студентов [4] подобные формуляции стали публиковаться в виде наборов «живых» интернетовских формул, по которым можно вести соответствующие расчеты. На рис. 6 показан сетевой документ, по которому можно рассчитать ионное произведение воды Kw (вернее, отрицательный десятичный логарифм от этой величины — pKw) в зависимости от температуры и плотности воды.

Формуляции по свойствам воды и водяного пара, а также других субстанций разрабатываются, утверждаются и публикуются, в том числе и в Интернете, для того, чтобы, руководствуясь ими, можно было создавать программы для компьютерных расчетов, в которых нуждается промышленность, исследовательские и проектные организации, а также учебные заведения. Для ручных же расчетов или приближенных оценок годятся таблицы и графики (о них будет сказано ниже), которые создаются также на основе опубликованных формуляций.

Публикация формуляций в виде сетевых, интерактивных, открытых35 расчетов (рис. 6) позволяет:

- просто знакомиться с методикой ведения данного расчета (это, правда, можно и, наверно, даже лучше делать, изучая и традиционные «бумажные», «неживые» PDF-документы — см. рис. 5);

35 В этой триаде словом «открытый» подчеркивается следующий момент. В Интернете можно найти множество расчетных страниц, работающих по схеме «введите исходные данные, нажмите кнопку и получите новый ответ». Но сами формулы, по которым ведется расчет, и промежуточные числа не открыты для посетителей сайта. Закрыты же формулы в том числе и из-за того, что сделаны они с помощью языков программирования, код которых мало кому понятен.

435

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

- проводить конкретные разовые расчеты: менять исходные данные и получать новый результат;

- создавать и, главное, быстро отлаживать соответствующие программы для компьютеров, имея под рукой не только итоговый ответ (в «неживых» формуляциях такие контрольные итоговые ответы, как правило, приводятся для нескольких расчетных точек), но и все промежуточные данные: на рис. 6 показано, что все формулы данной «живой» форму-ляции дополнены числовыми ответами.

jSl http://twt,mpei,ac,ru/MC5/Worl<5heets/W5P/KwTPo.xmcd

The Ionization Constant of H2O - iapws Formulation

к r °c

T*:= 1К 9 := T / T= 600

0 °C < T < 800 °C T :=

The ideal gas ionization constant (.TANAPIS)

To:= 6.141500-10 1 T-i := 4.825133-104 T2 :=-6.770793-104 T3:= 1.010210-107

e h h ?3

pKw :=70+T" + ^r + —, = 80.892 3 e A_____e

0< Density <1.25 g/cm Density := [^ gm/cm3 Recalculate The ionization Constant of water D*:= 1 g/cm3 p := Density / D* = 0.7 d

glq := -0.864671 cc-1 := 8659.19 o,2 := -22786.2

Q := p ■ ev

f>0 > 0.642044 ^ :=-56.8534 p2 :=-0.375754

a-1 oi2 2 /3 ot-0 + — + —-p

= 519559.8 p3 := -3.488719

pKw:= -12

Q h

1°Э(1 + Q) - -—rp- Po + — + P2P

U + I V У

+ pKw + |J3 = 11.203153

Рисунок 6. Пример «живой» интеренет-формуляции по свойствам воды/водяного пара

В самом начале статьи анонсировалась книга [1]. Так вот, все формулы в этом справочнике имеют сетевые, интерактивные, открытые аналоги, разработанные по технологии, отображенной на парах рисунков 1-2 и 3-4.

Авторы других подобных книг с множеством формул вкладывают в книги диски с программами, позволяющими после установки их на компьютере вести расчеты по формулам. Но, эта технология давно уже устарела, если принять во внимание, что в настоящее время почти все компьютеры имеют выход в Интернет. Но и установка расчетных программ не с приложенному к книге диска, а скачивание их из Сети, полностью не решает эту проблему. И причина этому такая.

Можно отметить следующую тенденцию, которая серьезно изменит жизнь пользователей компьютеров в течение ближайшее время. Тенденция эта заключается в развитии так называемых облачных вычислений (cloud computing) — предоставление пользователям компьютеров удаленных вычислительных мощностей и дискового пространства («облаков»), а также каналов связи. На использование «облачных вычислений» пользователей толкает, помимо прочего, высокие стоимости

436

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

лицензий программ на отдельные компьютеры, аренды помещений, электроэнергии, а также не в последнюю очередь... тенденции, описанные в данной статье. Пользователю не нужно будет ставить на свой персональный компьютер какие-либо прикладные программы — все можно будет найти в Интернете за умеренную абонентскую плату или совсем бесплатно...

Размещение программ расчета по формулам на выделенном сервере (в «облаках»), а не раздача (дистрибуция) таких программ через диски, приложенные к книге, или через скачивание программ из Сети имеет еще одно важное преимущество. Если в программах обнаружится ошибка в самих формулах или просто «очепятка» в комментариях, то этот промах можно быстро и незаметно исправить. На таком сервере можно также поместить непрерывно дополняющийся список опечаток, допущенных в самой книге (практика, получающая распространение в последнее время). Книгу, от которой тянутся многочисленные «паутинки» ссылок на сервер, можно считать непрерывно «перерабатывающимся, дополняющимся и исправляющимся» изданием.

Особенно много формул содержится в различных задачниках и решебниках36. Автор со своими студентами взялся за труд перевести некоторые из них, связанные в первую очередь с энергетикой, в сетевой, интерактивный, открытый формат. При такой «оцифровке» было выявлено множество ошибок и опечаток. И это не только классические ошибки/опечатки (в степени переменной стоит двойка, а не положенная тройка, например), но и некие недомолвки/умолчания, в которых может в конце концов разобраться специалист или даже студент, получающий дополнительные качественные консультации у преподавателя. Но математические пакеты такие недомолвки/умолчания категорически отказываются «извинять», прерывают счет сообщениями об ошибке или выдают ответ, не совпадающий с книжным. И в этом трудно винить авторов, редакторов, а тем более корректоров таких решебни-ков: одно дело вычитать «гладкий» текст, а другое — тщательно проверить формулы, не прибегая к скрупулезному счету по ним. Дело осложняется еще и тем, что в задачниках и решебниках численные ответы формул округляются37 и эти округленные ответы переносятся в последующие формулы, что может привести и приводит к существенным искажениям в промежуточных и итоговых численных ответах. В математических пакетах в «последующие формулы» переносятся не округленные

36 В задачнике собраны описания задач и ответов по ним, которые, как правило, размещаются в конце книги. Решебник (новое слово, которого не знает даже Word и подчеркивает его красной волнистой чертой, отмечающей орфографическую ошибку) дополнен подробным описанием процесса решения задачи — формулами с подставленными в них конкретными численными значениями.

37 Это целая наука — правильно округлять числа в ответах и потом не запутаться в этих округлениях. Так, по формулам (2) и (3) был получен численный ответ с двумя знаками после запятой — 574,79 °C, хотя тут достаточно и одного знака: 574,8 °С или даже совсем ни одного: 575 °C, учитывая точность измерения и нашего восприятия температуры. Но можно было вывести и максимальное число знаков, допустимое в данной программной среде (Mathcad 14) 574,7924189533622 °C. Так часто поступают студенты, желая «порадовать» своих преподавателей повышенной точностью компьютерных вычислений в курсовых и дипломных работах.

437

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

ответы, вернее, не так сильно округленные ответы (не 574,79 °C, а

574,7924189533622 °C, вернее не 847,94 К, а 847,9424189533622 К — на «печать» выводятся градусы Цельсия, а сам расчет ведется, естественно, в кельвинах, если вернутся к рис. 1 и 2, что и будет отмечено в разделе 5), что с одной стороны повышает точность расчетов, а с другой, создает проблему разночтений в «живых» и «неживых» («бумажных») решебниках.

Кстати, об округлении ответа. При организации сетевых расчетов желательно давать посетителям сайта возможность задавать число знаков в выводимых числовых ответах (см. пример на рис. 7 — digits).

Работа по «оживлению» формул задачников и решебников очень полезна и в таком отношении: выверенные и опубликованные в Сети расчеты приобретают не только чисто учебную, но и практическую ценность, т. к. по ним можно решать конкретные практические задачи. Решебник тут превращается в очень удобный научно-технический справочник.

g] http://twt.mpei.ac.ru/MC5/Worksheets/W5P/VPT-SI.xmcd Плотность воды/водяного пара

ш

4

5

6

7

Recalculate | d = Э9Э kg/m3

Рисунок 7. Уточнение числа знаков в выводимом ответе

К особому типу решебников относятся различного рода нормативные документы (строительные нормы и правила — СНиПы, например), где также много формул и которые также можно и нужно «оживить» в Интернете. Что, кстати, уже делается, в том числе и автором данной статьи в отношении некоторых стандартов энергетики. Так на сайте http://twt.mpei.ac.ru/MCS/Worksheets/Thermal/Izol-Trub-Teploset.xmcd читатель может увидеть пример одного из таких «живых» нормативных документов — СНиП по расчету толщины теплоизоляции теплосети38.

Ведя разговор о нормативных документах, нельзя не коснуться темы сертификации расчетов. Достоверность информации в «бумажных» справочниках в какой-то мере подтверждается солидностью соответствующих издательств с их штатом

38 Недостаточная толщина изоляции приводит к недопустимым тепловым потерям, а избыточная — к перерасходу теплоизоляционного материала. Эту типичную технико-экономическую задачу (минимизация общей стоимости проектирования, сооружения, эксплуатации и последующей утилизации промышленного объекта при полном выполнении им своих функций) можно каждый раз решать индивидуально, а можно воспользоваться обобщенными СНиПам, что в конечном итоге ведет к удешевлению проектирования.

438

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

научных консультантов, редакторов и корректоров. Страницы же Интернета, как правило, отданы на откуп случайным создателям и не подвергаются жесткому редактированию и тщательной корректуре. С другой стороны, автор собрал довольно большую коллекцию опечаток в справочниках весьма солидных издательств, когда вместо, например, 0,023 87 стоит 0,02387 (двойка перестала быть нижним индексом, отмечающим повторяющиеся нули), а вместо 27,39 — 72,93 (вероятно, число набрал человек, знающий немецкий язык, на котором говорят не «семьдесят два», а «два и семьдесят», не «девяносто три», а «три и девяносто») и т. п. Такие ошибки практически невозможно выявить при традиционной (визуальной) правке корректур «бумажных» справочников и мы уже это отмечали. Тем не менее ошибки остаются ошибками со всеми вытекающими последствиями.

Сертификацию расчетных документов, опубликованных в Сети, можно хотя бы внешне проводить двумя способами. Во-первых, можно публиковать в Сети письмо «солидной» организации, где подтверждается правильность размещенных на конкретном сайте расчетов. Во-вторых, можно из сайтов «солидных» организаций делать ссылки на соответствующие расчетные сайты и упоминать об этом на самом расчетном сайте.

4. Проблема «формулы-графики» и «формулы-таблицы»

Особым родом формул (см. сноску в названии статьи) являются графики и таблицы в справочниках, монографиях, научных статьях.

Графики можно разбить на три группы:

1) графики, построенные по известным формулам;

2) графики, построенные после некой статистической обработки (интерполяция, экстраполяция, аппроксимация) дискретных данных (они, как правило, отмечены точками на графике), или графики с утерянными или недоступными формулами, по которым они когда-то были построены;

3) некие графические зависимости («наброски от руки»), по которым трудно что-либо оценивать, тем более, считать, и которые приведены только для качественной оценки явлений. Такие графики обычно не содержат сетки и чисел по оси ординат, а только обрисовывают некие зависимости: тут функция растет, а тут падает... В литературе, кстати, встречаются и подобные графики «от руки», в которых сделан некий набросок некой зависимости, но по которым практически нельзя и не нужно считать («качественные», но не «количественные» формулы).

Первые две группы графиков несложно «оживить» в Интернете по технологии, описанной в [2], где этому вопросу уделена специальная глава «График на расчетном сайте». Два примера.

На рис. 8 можно видеть сетевой, интерактивный график, относящийся к первой группе графиков и отображающий зависимость скорости звука в воде/водяном паре от температуры и давления. Изобары, показанные на рис. 8, построены по утвер-

439

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

жденной формуляции Международной ассоциации по свойствам воды и водяного пара. Посетитель данного сайта может изменить исходные данные, нажать кнопку Recalculate и получить не только новый числовой ответ (скорость звука в во-де/водяном паре), но и новую изобару, и новые пунктирные линии, фиксирующие рабочую точку на графике. Это позволяет более глубоко понимать те или иные закономерности в свойствах воды/водяного пара. Есть соответствующие сайты, где строятся не изобары, а изотермы, и даже поверхности в трехмерном пространстве39. В Интернете также имеется сайт (http://twt.mpei.ac.ru/MCS/Worksheets/ WSP/RegionsAllAxes.xmcd), где показаны все «живые» формулы, по которым строились изобары рис. 8.

Рисунок 8. График зависимости скорости звука в воде/водяном паре от температуры и давления

Графики второй группы, у которых нет явной аналитической зависимости в виде формул, также можно при определенных усилиях (оцифровка с получением дискретных значений точек на графике, интерполяция или аппроксимация по неко-

39 На экране дисплея компьютера строится, конечно, плоский объект. Но средства усиления объемности (подсветка, перспектива, туман и прочее) делают свое дело: мы видим на экране «реальную» поверхность, которую можно даже поворачивать, чтобы лучше видеть те или иные закономерности.

440

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

торой зависимости и т. д.) опубликовать в Интернете для интерактивного использования. Так, в качестве примера на рис. 9 и 10 показана пара графиков: рис. 9 — это сканированный40 из фундаментального справочника «Физические величины» (М. : Энергоатомиздат, 1991 — см. сайт http://twt.mpei.ac.ru/PVHB с «живыми» расчетами из этого справочника) график скорости звука в морской воде в зависимости от ее температуры и солености41, а рис. 10 — этот же график, открытый в Интернете, с автоматическим построением недостающей изолинии и расчетом скорости звука с фиксацией рабочей точки на графике.

Рисунок 9. Пример типичного графика в «бумажном» справочнике

Рисунок 10. Пример типичного «живого» графика в Интернете

В справочной литературе встречаются также и разного рода номограммы с инструкциями такого рода: отложите значение первого аргумента на левой шкале, а второго — на правой; соедините точки линейкой и на средней шкале считайте ответ. В номограммах (а на них выросло целое поколение инженеров) «тонет» физика задачи — ее качественная оценка, зато повышается точность расчетов. Выпускались даже нехитрые механические устройства типа логарифмической линейки (см. сноску 60) с «вшитыми» в них алгоритмами расчетов. Такие устройства были особо популярны у штурманов, прокладывающих маршруты морских и воздушных судов

40 Отсюда и такое невысокое качество рисунка.

41 Тут умалчивается, что давление атмосферное — см. подобную зависимость для чистой воды на рис. 8, где дополнительно учитывается давление.

441

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

до наступления эры бортовых компьютеров и систем глобального позиционирования. Сейчас что-то подобное можно купить в газетных киосках — совместил на двух дисках свой вес и рост и узнал, пора ли переходить на диету... Номограммы также несложно «оживить» в Интернете. Пример одной такой номограммы можно увидеть здесь: http://twt.mpei.ac.ru/MAS/Worksheets/Boiler/Th_C_B_Nom_2.mcd.

Научные публикации помимо формул и графиков содержат разного рода таблицы — дискретные значения функций одного, двух или даже трех аргументов. Таблицы также условно можно разбить на группы, но не на три как у графиков, а только на две: таблицы, хранящие дискретные значения, рассчитанные по известным формулам, и таблицы, хранящие эмпирические (опытные) значения, не связанные явно с какими-либо аналитическими зависимостями. Таблицы обеих этих групп можно также «оцифровать» и открыть в Интернете для интерактивного использования. На рис. 11 в верхней его части показан фрагмент таблицы из [1] с дискретными значениями трех функций двух аргументов (давление p и температура T), возвращающих удельный объем (v), удельную энтальпию (h) и удельную энтропию (5) воды/водяного пара.

t,-c р = 5.5 MPa р = 6.0 MPa р = 6.5 MPa р = 7,0 MPa

v,m3/kg h.kJ/kg | s,kJ/(kg К) v,m3/kq | h,kJ/kg |s,kJ/(kg К) v,m3/kq h,kJ/kg |s,kJ/(kg К) vm3/kq | h kJ/kg | s kJ/(kg К)

0,0011525 854,0 2,3246 0.00П521 854*2 2,3238 0,0011516 854,4 2,3230 0,0011511 854,6 2.3223

210 0,0011687 899,0 2,4186 0,0011682 899,2 2.4178 0*0011676 899,3 2,4 70 0,0011671 899,5 2,4161

220 0,0011862 944,5 2,5119 0,0011856 944,7 2,5110 0,0011850 944,8 2,5101 0,0011844 945,0 2,5092

230 0,0012052 990,7 2,6047 0,0012046 990,8 2,6037 0,0012039 990,9 2.6027 0*0012032 991,1 2,6018

240 0,0012261 1037,7 2,6972 0,0012253 1037,8 2,6961 0.0012245 1037,8 2,6950 0,0012237 1037,9 2,6939

250 0,0012490 1085,7 2,7897 0,0012481 1085,7 2,7885 0,0012472 1085*6 2,7873 0,0012463 1085,6 2.7861

260 0,0012744 1134,7 2,8825 0,0012734 1134,6 2,8812 0,0012723 1134,5 2,8799 0*0012713 1134,5 2,8785

270 0,03565 2789.9 5,9309 Q.ooi зо 1 s 1184,9 2,97+7 h 0,0013005 1184,8 2,9732 0,0012993 1184,6 2,9717

280 0,03737 2832,9 6,0094 0,03320 2805,2 5,9276 0,0013326 1236,6 3,0678 0.0013311 1236,3 3,0661

290 0,03893 2871,1 6,0779 0*03476 2847,5 6*0033 0,03118 2822,0 5,9287 0,02804 2794,0 5,8528

300 0,04037 2906,2 6,1396 0,03619 2885,5 6,0702 0,03261 2863,5 6,0018 0,02949 2839*8 5*9335

310 0,04174 2939,0 6,1965 0,03752 2920,6 6,1309 0*03392 2901,1 6,0670 0,03080 2880,6 6*0040

320 0,04304 2970*2 6,2495 0,03878 2953*5 6,1870 0,03515 2936,1 6*1265 0,03201 2917,9 6,0674

330 0,04430 3000*1 6,2994 0,03998 2984,9 6,2393 0*03632 2969,1 6,1816 0,03315 2952,6 6,1255

340 0,04550 3028*9 6,3468 0,04114 3014,9 6,2887 0.03743 3000*5 6.2332 0,03423 2985,5 6,1796

Интернет-версия

таблицы

Сайт с обратней задачей

Ч 7> ^ 1®-1 http://twt.mpei.ac.ru/MC5/Work5heets/WSP/PT.xmcd [^t] [ X j (Google l£ld

p/MPa:=|i T [°C] :=|270 Recalculate! v= 0.0013018 m3/kg h=1184.Э kJ/kg s = 2.9747 kJ/(kg K)

“k'T l^-1 http://twt.mpei.ac.ru/MCS/Worksheets/W5P/P5.xmcd [^t]J X | (Google |pH

p / MPa :=|e s/(kJ/(kci K)) := 12.9747 Recalculate! h = 1184.9 kJ/kci T=27B°C v = 0.0013018 m3/kg

Рисунок 11. Пример таблицы свойств воды/водяного пара

Таблицы в век Интернета хороши для. заполнения объема «бумажного» справочника, для увеличения его листинга (см. сноску 42). Но для практической работы таблицы малопригодны. Если, к примеру, приходится решать прямую задачу — по значениям давления и температуры необходимо найти значение удельной

442

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

энтальпии (см. таблицу на рис. 11), то путем несложных интерполяций42 данную задачу можно быстро решить. Но если требуется решить обратную задачу, рассчитать, например, по давлению и удельной энтропии значение удельной энтальпии (очень распространенная теплотехническая задача), то с таблицей, показанной на рис. 11, становится работать весьма сложно. В этом случае существенно поможет Интернет, в котором размещены сайты с расчетами, дополняющими данную таблицу. В нижней части рис. 11 показаны два из таких сайтов, с помощью которых решаются описанные прямая и обратная задачи без каких-либо дополнительных интерполяций и итераций.

Особо следует сказать о маркировке осей графиков (см. рис. 8 и 10) и «ша-пок»/«боковиков» таблиц (см. рис. 11). Если по оси графика или в «шап-ке»/«боковике» таблицы отложены значения давления, например, выраженные в мегапаскалях, то в отечественных и зарубежных изданиях можно увидеть следующие маркировки (обозначения): р, МРа или р [MPa] или p / MPa и др. Наиболее правильной (логичной, не таящий лишних умолчаний) можно считать последнюю («американскую»43) манеру маркировки осей графиков p / MPa: если мы видим, что точка на оси графика соответствует, например, значению давления (p) 12, то это означает, что p / MPa = 12 или (после умножения левой и правой частей равенства на константу MPa) р = 12 МРа. Такая маркировка на графиках и таблицах особо полезна, если в единицах измерения присутствуют множители. Рассмотрим, например, график, где по оси ординат отложено не давление (см. выше), а динамическая вязкость, которую часто измеряют микропаскалями, помноженными на секунду: ц / (10-6 Ра s) = 100 ^ ц = 100-10-6 Ра s ^ ц = 0,0001 Ра s44. Тут все логично: динамическая вязкость равна одной десятитысячной паскаля, умноженного на секунду или ста микропаскалям, помноженным на секунду — эту величину можно вставлять в расчет и считать дальше. Но в отечественных изданиях на таких графиках и в таблицах можно видеть не только правильную запись: ц ■ 106, Па с или ц, 10-6 Па с, где под запятой подразумевается знак деления (практичные американцы его не подразумевают, а явно прописывают — см. выше), но и ошибочные: запятую ставят не на нужном месте (ц, 106 Па с) или путают знак порядка (ц ■ 10-6, Па с). «Американская» манера надписей, повторяем, в этом смысле более практична — тут явным образом ставится знак деления, а не его малоизвестный «псевдоним» —

42 Очень редко исходные значения давления/температуры совпадают с теми, какие прописаны в «шапке» и/или в «боковике» таблицы. Чтобы это происходило чаще и не нужно было прибегать к интерполяции, приходится уменьшать шаг изменения дискретных значений давления/температуры, если говорить о таблице, показанной на рис. 11, и, следовательно, увеличивать объем самой таблицы, что в свою очередь снижает удобство работы с ней.

43 Маркировку оси графика р, МПа можно условно считать русской (см. рис. 9), а р [MPa] — немецкой.

44 Знак умножения (■) тут часто не ставят, что еще больше путает читателя.

443

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

запятая45. Правда, и тут бывают неточности. На осях «американского» графика можно увидеть надпись T / °С или Т / °F (относительные температурные шкалы Цельсия или Фаренгейта). Здесь символ / означает уже не деление, а более сложную зависимость, включающую сдвиг по константам 273,15 К (кельвины) или 459,67°R (градусы Ренкина). В этом случае правильнее писать не T/ °С или Т/ °F, а T, °С или Т [°F], подразумевая под запятой или квадратными скобками символ этой «более сложной зависимости». Так, например, были оформлены графики на рис. 8 и 10. Символ / будет означать деление в случае маркировки T/ K или Т/ °R — абсолютные температурные шкалы Кельвина (кельвины) или Ренкина.

5. Проблема формул с переменными, хранящими физические величины

Вернемся к формуле (1) и к тексту, его поясняющему. Очень часто в книгах и статьях можно встретить формулы, где дополнительно отмечены единицы измерения величин4б, фигурирующих в формулах, примерно так:

«Температура (T, кельвины) идеального газа рассчитывается по формуле

m ■ p ■ v 1000■R ’

(847)

где m — молярная масса газа (гмоль1); p — давление газа (Па); v — удельный объем газа (м-кг ) и R — универсальная газовая постоянная (8.314472 Джмоль1 К1).»

Эти дополнительные указания на единицы измерения могут показаться лишними: если названа физическая величина, то незачем напоминать читателю, какими единицами она измеряется. Но...

Как известно, все формулы по своей сути и отчасти по своему внешнему виду, а также описанию делятся на две группы: формулы, связывающие физические величины и формулы, связывающие физические величины с фиксированными единицами их измерения. Первая группа формул (F = a • m, E = m • c2 и т. д. и т. п.48) описывает

45 Русские тексты, можно сказать, переполнены запятыми. Первое, что видит англичанин в русском тексте — это запятые, разбросанные по нему как веснушки на лице рыжего ирландца (опять же поверхностный взгляд англичанина).

46 Тут дотошный редактор скажет, что нужно писать не «единица измерения такой-то величины (давления, объема и т. д.)», а «единица такой-то величины». Но дело в том, что данное «правильное написание» — это некая не совсем удачная калька с английского, которая у нас приживается с трудом. В английском языке, в отличие от русского слово, «единица» имеет два написания: «one» и «unit». У нас же слово «единица» может восприниматься и как «1 — one», и как «единица (измерения) — unit).

47 Набрано опять же (см. первую формулу) в среде программы Word Equation.

48 Автор в одной книге видел такое «фрондерство» — не и «т.д. и т.п.», а «тд и тп». Мы тут спорим, ставить ли точку вместо запятой в числах, а тут вообще точки не ставят и правильно делают (см. сноску 45). Точка может показаться лишней и в конце абзаца — в данном абзаце-сноске автор не ставит точку

444

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

наши теоретические представления об окружающем мире. Вторая группа формул, так называемые эмпирические формулы описывают экспериментальные данные, пока не подвергнутые более-менее глубокому теоретическому анализу, убирающему у формул «унизительное» прилагательное «эмпирическая»49. Описание переменных формулы (3) включает в себя перечисление и единиц измерения. Следовательно, по этому формальному признаку данную формулу можно считать эмпирической. Но это, конечно, не так — это полноценная «теоретическая» формула, вытекающая из уравнения Клайперона-Менделеева50 р • v = m • R • T 51. Формулу (3) можно считать псевдоэмпирической. Такие формулы, отягощенные упоминанием единиц измерения и дополнительными коэффициентами, очень часто можно встретить в научно-технической литературе. Дело в том, что если вернуться к формуле (3), то можно отметить то, что молярную массу принято измерять не в килограм-мах52 на моль, как это требует Международная система единиц (СИ), а в граммах на моль, к чему мы все привыкли и как это зафиксировано в различных физических и химических справочниках. В формуле же (2) коэффициент 1000 (грамм в килограмме) отсутствует. Почему?! Современные математические пакеты, в частности Mathcad и Maple, работают не просто с величинами (это умеют делать языки программирования и табличные процессоры), а с физическими величинами53 — массой, объемом, количеством вещества, температурой и т. д. При расчетах эти пакеты са- 49 50 51 52 53

49 Сравним: «государь» и «милостивый государь». Но иногда подобные прилагательные могут наоборот возвышать, а не принижать научный термин. Вот простой тест на принадлежность по схеме «наука — лженаука». Сравните: занимательная математика (физика, химия и т. д.) и.. занимательная астрология (хиромантия, политология и т. д.). Сейчас ведутся споры, является ли богословие научной дисциплиной. Читатель, приставьте к этому термину прилагательное «занимательное» и решите сами, что к чему!

50 Это у нас в России данное уравнение идеального газа называется «Клайперона-Менделеева», а в остальном мире просто «Клайперона (Clapeyron)». Это мы говорим «таблица Менделеева». «Они» же говорят просто «периодическая таблица химических элементов». Но и мы не остаемся в долгу — одну из диаграмм состояния воды/водяного пара называем не диаграммой Молье, а просто h, s-диаграммой. Весь мир называет основной пароводяной термодинамический цикл циклом Ренкина, а немцы — циклом Клаузиуса-Ренкина (Clausius-Rankine-Kreisprozess).

Проблема наименований формул и вообще научных открытий и изобретений — это тема отдельного сильно политизированного разговора.

51 Мы тут переменные отделили точками — знаками умножения. Но в книгах их, как правило, не ставят, понимая, что «грамотный» читатель сообразит, что mRT — это не одна, а целых три переменных. И еще. В зарубежных книгах читатель вместо m увидит п. Процессы глобализации тут требуют более четких стандартов и отказа от умолчаний, «разнообозначений» (и взаимных обид — см. предыдущую ссылку).

52 Килограмм — это довольно странная единица массы СИ. Она основная, но почему-то включает в себя множитель кило. Из-за этого, например, единицу массы мкг можно принять не за микрограмм, а за миликилограмм, т. е. за грамм и ошибиться на три порядка, если не выручит уже не раз упоминавшийся принцип умолчания.

53 Правильнее сказать — с размерностями: некоторые разные физические величины имеют одинаковую размерность. Эту особенность автор постарался раскрыть в отдельной главе монографии [3].

445

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

ми сделают соответствующие дополнительные пересчеты единиц измерения, что и отображено в примере, показанном на рис. 254. Более того, эти пакеты ведут контроль размерностей и не позволяют, грубо говоря, складывать метры с килограммами, что очень способствует более быстрому и, главное, безошибочному вводу формул.

Коэффициент 1000 в формуле (3) нетрудно «расшифровать» — это, повторяем, 1000 грамм в одном килограмме. Но в других подобных формулах такие коэффициенты, позволяющие задействовать в расчетах небазовые или устаревшие единицы измерения, «расшифровывать» бывает намного труднее. Что такое число 3,6, фигурирующее в некоторых формулах?! Это 3600 секунд в часе и 1000 кг воды в кубическом метре55. Еще труднее понять суть таких коэффициентов, если в формулах предписывается использовать единицы измерения, некратные основным (не паскаль, а атмосферу, например) или «заокеанские» единицы (не литры, а баррели, например, если вспомнить цену нефти). Нередко в подобные коэффициенты прячут некоторые константы с благими намерениями облегчить расчет. Типичный пример. Во всех справочниках и учебниках по теплотехнике сказано, что удельный расход топлива на электростанции (b, г/кВт-ч) вычисляется по формуле b = 123/п, где п — это КПД электростанции, выраженный в абсолютных единицах. Если же эта величина будет выражена в процентах, то формула будет выглядеть несколько иначе: b = 12300/п. Пример: п = 0,32 b = 123/п = 123/0,32 = 384,456 г/кВт-ч. (п = 32

b = 12300/п = 12300/32 = 384,4 г/кВт-ч): электростанция с КПД 0,32 (32%) сжигает 384,4 грамм условного топлива на выработку одного киловатт-часа электроэнергии. Если же кто-то попробует формулу b = 123/п (b = 12300/п) ввести в Mathcad и посчитать по ней с привлечением механизма единиц измерения, то ответ получится в лучшем случае безразмерным (п. 1 на рис. 12), а в худшем — ошибочным (п. 2).

54 На рис. 2 рассчитанное значение температуры выведено не в «основных» единицах кельвинах (абсолютная термодинамическая шкала температур), а по более привычной шкале Цельсия (дополнительная единица температуры). Математические пакеты позволяют менять единицы умолчания ответа на другие, более удобные для пользователя. Но научный редактор тут сразу скажет, что если тут фигурирует не абсолютная, а относительная температура, то необходимо использовать не переменную Т, а переменную t (или даже 0 — греческая тета, чтобы не путать с t — временем). «Выдавливание» из ручных и компьютерных расчетов физических величин, невозможность автоматического пересчета единиц измерения, тем более по относительным шкалам, привела к такому раздвоению обозначения температуры и некоторых других физических величин. Если редактор требует, чтобы температура обозначалась переменной Т или t (0) в зависимости от того, что она хранит — абсолютную или «относительную» температуру (см. ссылку 63), то нужно и для давления, к примеру, зарезервировать две различные переменные, хранящие значение в разных единицах — в паскалях и атмосферах, например. В тексте автор использует русские наименования единиц измерения, а в рисунках — международные. Это тоже дань глобализации. Другой пример. Отечественные заводы выпускают манометры (или электросчетчики) и пишут на них MPa, а не МПа (не кВт-ч, а kW ■ h), думая и о возможном экспорте своей продукции.

55 Да, читатель, такие метрологические умолчания очень часто встречаются в формулах. При нормальных условиях килограмм воды имеет литровый объем и эту единичную плотность в формулах часто сокращают. Но когда эту формулу начинают вводить в среде Mathcad, то ошибка сразу всплывает и приводит в недоумение неопытного пользователя ...

56 На самом деле получается число 384,375, но нужно уметь правильно округлять ответы!

446

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

1 ?з

1. t) := 0.32 b = — = 384.375

V

2. 32% b := 44222 = 38437.5

П

3. ,, := 32% Q := 7000— b := — = 383.859-^IL

kg Q.ij kW-hr

Рисунок 12. Расчет в среде Mathcad эффективности электростанции

Дело в том, что нормальная, «физическая», неупрощенная формула для расчета расхода условного топлива выглядит так: b = 1/(Qn), где Q — это теплота сгорания условного топлива, принятое и легко запоминающееся значение которой равно 7000 ккал/кг (антрацит хорошего качества). Но при переходе на СИ решили, что специалистам, а тем более студентам будет трудно переводить калории в джоули, часы в секунды, килограммы в граммы, и заранее сделали такой пересчет, получив при этом опять же запоминающийся коэффициент 123 (или 12300). В настоящее время, как мы уже отметили, пересчет единиц измерения берут на себя математические программы и в справочники желательно вернуть первозданную формулу b = 1/(Qn) — см. п. 3 на рис. 1257, убрав упрощенную b = 123/п. А еще лучше иметь в справочниках две подобные формулы, отмечая при этом, что первая формула (b = 123/п) годится для ручного счета или счета с помощью «нефизических» программных средств (калькулятор, языки программирования, электронные таблицы), а вторая (b = 1/Q/n) — для счета в средах современных «физико-математических» программ со встроенными единицами измерения.

Ошибки, связанные с неправильным использованием единиц измерения, издавна сопровождали все сферы человеческих отношений. Например, Петр I в письме князю Куракину (1714) укорял последнего: «... присылали вы роспись подрядным кораблям, которым написана пропорция амстердамскими футами, а я к вам всегда писал, чтоб английскими, о чем зело удивляюсь, для чего сие пренебрегли, ибо убыло в длину более 10 фут, а также и в ширину». В наш же век, в век техногенных катастроф последствия и наносимый ущерб от такого рода ошибок могут быть более значительными.

Два других более свежих примера.

Так, самолет Boeing 767, принадлежащий канадским авиалиниям, 23 июля 1983 года совершал полет из Монреаля в Эдмонтон. На полпути, на высоте 12 500 м, по причине полного расхода топлива лайнер был вынужден совершить аварийную посадку на заброшенном военном аэродроме в местечке Гимли (Gimli). Причиной аварийной ситуации стала ошибка командира, неправильно рассчитав-

57 Эта неупрощенная формула более приемлема и в образовательном плане: студент, работая с ней, должен задуматься, что такое условное топливо и чему равна его теплота сгорания...

447

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

шего массу топлива, необходимого для перелета. В то время авиация Канады переходила с британской метрической системы (в которой объем измеряется в галлонах, а масса в фунтах) на международную метрическую систему SI (литры и килограммы соответственно). Для пересчета массы потребного топлива следовало показания топливомера (в литрах) умножить на соответствующее значение плотности, чтобы получить килограммы. Ошибка состояла в том, что вместо правильного значения плотности (измеряемого в кг/л), командир использовал старое значение (измеряемое в фунтах/галлон). В результате самолет был заправлен только половиной необходимого топлива, что и привело к аварийной ситуации.

Похожая ошибка привела к неудаче и при полете американского спутника Mars Climate Orbiter (MCO). Mars Climate Orbiter был запущен 11 декабря 1998 года на РН Дельта-2. Аппарат прибыл к Марсу через 9 месяцев, 23 сентября 1999 года. В расчетное время на высоте 193 км аппарат включил двигатели на торможение. Через 5 минут MCO ушел за Марс и больше никаких сигналов с него не поступало. Из анализа данных со станций слежения было установлено, что аппарат прошел над поверхностью на высоте всего 57 км вместо расчетных 140 км и попросту сгорел в атмосфере (стоимость аппарата 125 млн долларов). Столь большое отклонение было вызвано ошибкой специалистов, готовивших миссию: при расчетах тормозного импульса одна из групп использовала британские единицы измерения (фунт-сила), а другая — метрические (ньютон).

Можно упомянуть еще одну инженерную ошибку, ставшую почти что легендой, но связанную не с самими единицами измерения, а с относительными шкалами измерения. Строили мост через Рейн. С одного берега это делали немцы, а с другого швейцарцы (у тех и у других, заметим, очень высокий уровень технической культуры). Когда пролеты моста стали соединяться на середине реки, то оказалось, что разница в их высотах составила чуть ли не полметра. Причина ошибки была в том, что в Г ермании строительный стандарт нулевой высоты — это уровень Северного моря, а в Швейцарии — Средиземного58.

Любой специалист в любой области науки и техники может привести множество примеров подобных ошибок и казусов, связанных с неправильным оперированием единицами измерения в формулах. Отход от ручных расчетов и переход на компьютерные «безразмерные» языки программирования в какой-то степени решает эту проблему.

В свое время (третья четверть XX века) при повсеместном переходе на СИ были «вычищены авгиевы конюшни» — в справочниках и учебниках при их переиздании или новом написании все формулы были переделаны так, чтобы в них, не дай бог, не «всплыли» калории, атмосферы, килограммы-силы и прочие устаревшие, но, тем не менее, широко используемые единицы измерения. Повсеместное

58 В теплотехнических измерениях многие до сих пор по старинке полагают, что «градусы Цельсия» («уровень моря») отличаются от кельвинов («центр земли») на величину 273. Правильное же значение этой величины составляет 273,15. Такая «температурная» неточность также чревата ошибками (см. ссылку 63).

448

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

распространение математических пакетов, умеющих не только манипулировать числами, но и пересчитывать при этом единицы измерения, требует, чтобы мы еще раз почистили эти «конюшни», привели в порядок формулы — дали, например, их разное написание, учитывающее и традиционную, и современную технологию счета, дополнили такую раздвоенную формулу59 ссылкой на сайт Интернета, где по ней не только можно посчитать, но и построить, если понадобится, графики, а также получить дополнительную информацию, не вошедшую в компактное «бумажное» издание.

Сейчас в отечественных научно-технических кругах остро ставится вопрос об издании новых или просто о репринтном переиздании «старых, добрых, советских» справочников. Речь даже заходит о переиздании справочника (таблиц) функций Бесселя?! Критики же тут говорят с поддевкой — а давайте еще и таблицы Бради-са60 переиздадим! «Поддевка» тут в том, что в настоящее время у всех тех, кому такие таблицы нужны, есть под рукой как минимум калькулятор (научный калькулятор с вшитыми в них не только элементарными функциями (таблицы Брадиса), но и функциями Бесселя и другими специальными), а как максимум — персональный компьютер с выходом в Интернет.

Справочники переиздавать и издавать, конечно, нужно. Но при этом необходимо учитывать современные реалии, в частности ситуацию, описанную в данной статье, когда в «бумажном» справочнике от формулы (графика, таблицы) можно через соответствующие ссылки перейти к их «живым» аналогам в Интернете. Но тут встает «крамольный» вопрос — а нужны ли тогда вообще традиционные «бумажные» справочники?! Да, нужны, но в ином формате и исполнении!

Математические пакеты, умеющие правильно работать с физическими величинами, поднимают еще один частный вопрос. В свое время при переходе на СИ издательства и редакции журналов перестали принимать рукописи, где использовались не «сишные», но, тем не менее, до сих пор широко используемые единицы измерения. Особенно больно эта ломка шла в научно-технических кругах, где в ходу фунты, футы и прочие «заокеанские» единицы. Да и у нас в России и во всей Европе есть свои «футы-фунты»: атмосферное давление, к примеру, мы никогда не научимся оценивать в паскалях, вернее, в гектопаскалях61, а всегда будем тут оперировать миллиметрами ртутного столба. Резюме! Физико-математические пакеты позволяют отойти от жесткого правила, предписывающего использовать в статьях и книгах только единицы СИ. Мы этим возможным будущим послаблением уже

59 Кто-то тут может возразить, что тем самым мы не «подчищаем конюшни», а, наоборот, еще больше «загрязняем» их, ставя читателя справочника перед выбором — с какой формулой работать.

60 (Сноска для молодого читателя, ленящегося посмотреть в Интернете, что это такое). В таблицах Брадиса хранились значения логарифма, синуса, косинуса и других элементарных функций. Это было целое искусство — правильно пользоваться такими таблицами в паре с логарифмической линейкой.

61 Были попытки давать в прогнозах погоды эту единицу атмосферного давления. Но потом от этого отказались. Говорят, что некоторые гипертоники не правильно понимали «гектопаскальный» прогноз, не принимали из-за этого неких профилактических средств, что приводило к печальным и даже летальным последствиям...

449

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

воспользовались — на рис. 1 и 2 давление газа было введено в атмосферах физических, а не в мегапаскалях, как этого может потребовать редактор. На рис. 8 можно видеть, что посетитель сайта, желающий узнать скорость звука в воде/водяном паре, имеет возможность ввести значение давления, используя на выбор разные единицы измерения: мегапаскали, атмосферы, фут-силы на квадратный дюйм (psi) или мм ртутного столба (mm-Hg). Такой же выбор предоставляется при вводе температуры: шкала Цельсия62, кельвины, шкала Фаренгейта, градусы Ренкина или шкала Реомюра63.

6. Проблема эмпирических формул

А теперь поговорим о «правильных» эмпирических формулах.

Работа с одной из них отображена на рис. 13. В справочниках по теплотехнике можно, например, встретить такую формулу и ее описание:

«Коэффициент теплоотдачи (а, ккал-м-2-ч-1-К-1) высчитывается по формуле:

а = 3-р 0,15-q0,7,

где p — давление (атмосферы технические, кгс-см~2); q — тепловой поток (ккал-м-2-ч-1).»

Внешним признаком эмпирических формул часто являются дробные значения показателей степеней как в нашем случае. Из-за этого ввод в Mathcad-расчет выражения а = 3-р0,15-q0’7 дает неправильный ответ с «непонятной»64 единицей измерения — kg0,85 • m-0,15 • s-2,4 (см. п. 1 на рис. 13). Эмпирическая формула, по которой ведется расчет коэффициента теплоотдачи, была получена после статистической обработки экспериментальных данных. При публикации эмпирических формул всегда четко отмечается, в каких единицах должны быть исходные величины и в каких единицах будет дан ответ. Этими единицами измерения необходимо дополнить эмпирическую формулу. На рис. 13 в пп. 2 и 3 так и было сделано: переменные формулы были поделены на приписанные им единицы измерения, сама формула была умножена на приписанную ей единицу измерения.

62 Тут часто пишут «градусы Цельсия», но это ошибка, вернее, метрологическое умолчание. Дело в том, что градус Цельсия равен кельвину также как градус Фаренгейта — градусу Ренкина. Это шкала Цельсия сдвинута по отношению к шкале Кельвина на 273,15 градусов Цельсия (кельвинов), а шкала Фаренгейта сдвинута по отношению к шкале Ренкина на 459,67 градусов Фаренгейта / Ренкина (см. также ссылки 55 и 59). Фут, вернее, дюйм (1/12 фута) у нас остался под рукой в прямом смысле этого слова: размер листов писчей бумаги проще запомнить, если его измерять не в мм, а дюймах. Диаметр труб мы так и не научились измерять в мм и используем до сих пор дюймы.

63 Тут научный редактор скажет, что Фаренгейта/Ренкина он так и быть в статье оставит, но «старорежимного» Реомюра он никак не потерпит. Но что нам тогда делать с такой цитатой «Послеобеденное солнце жгло с таким усердием, что даже Реомюр, висевший в кабинете акцизного, потерялся: дошел до 35,8° и в нерешимости остановился...» (А. П. Чехов, рассказ «Брожение умов»)!? Современный читатель, читая классику, может ее не правильно понимать, если мы борьбу с устаревшими (не «сишными») единицами измерения доведем до «победного конца», т. е. до абсурда.

64 Тут все понятно: компьютер — это такая штука: что в него положишь, то и получишь! В этом примере компьютер аккуратно возвел единицы измерения в дробные степени.

450

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

Рисунок 13. Работа с эмпирической формулой в среде Mathcad

Отсюда вывод. Если в справочнике нужно поместить эмпирическую формулу и думать при этом о том, что ее будут «оживлять» с помощью физикоматематических пакетов, то нужно не просто упомянуть в описании формулы, с какими единицами она должна работать, а непосредственно вставить эти единицы в саму формулу, как это показано на рис. 13. Обновлять такую формулу — пересчитывать для нее новый коэффициент, учитывающий современную систему измерений (а это пытаются делать в новых справочниках), нет необходимости. Более того, устаревшие и/или «иноземные» единицы измерения в эмпирических формулах несут некий дух времени их создания и колорит страны, где они возникали. Литературная аналогия. В беллетристике часто можно встретить единицы измерения. Иногда они «всплывают» даже в названиях рассказов, повестей, романов: «451° по Фаренгейту», «20 000 лье под водой» и т. д. Тут принято не переводить (фаренгейты в цельсии) и не обновлять (лье в километры) при переводе текстов, чтобы опять же не потерять «дух времени и места» описываемых событий.

7. Проблема «математические операторы и операторы математических программ»

Мы в конце раздела 2 коснулись проблемы различного написания математических операторов в справочниках и в средах математических программ.

Одна из причин популярности Mathcad заключается в том, что пользователь может вставлять в документы математические операторы в тех их написаниях, к каким он привык, изучая математику в школе или вузе. Благодаря этому Mathcad -

451

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

документ максимально похож на лист с математическими выкладками, написанными от руки или созданными в среде какого-либо текстового процессора — редактора математических выражений65.

С другой стороны, наш стиль написания математических выражений «на бумаге» («общепринятая математическая нотация») тоже меняется под воздействием математических пакетов. Некоторые, правда, видят в этом просто снижение общего уровня математической культуры. Другие же считают, что это связано с неизбежным процессом «компьютеризации» математики. Так в настоящее время квадрат синуса все чаще и чаще стали записывать не как sin2x, а как sin(x)2 или (sin х)2 или (sin(x))2 или (sin(x))A2 или (sin(x))**2, не полагаясь на принцип умолчания. Другой пример. На рис. 6 можно увидеть формулу Q = р • е( ), где константа e (основание натурального логарифма) возводится в степень, представляющую собой некий многочлен. Чтобы здесь не возникло ошибки и разночтений, оператор возведения в степень лучше заменить на функцию exp: Q = р • exp(...). И таких примеров влияния компьютера на эволюцию написания математических выражений (наших с вами формул) можно привести множество: 10х заменяют на ext(x), |х| — на abs(x) и т. д., и т. п. С другой стороны, выражения exp(...), ext(...), abs(...) и т. д. могут восприниматься не как функции exp, ext, abs и т. д., а как переменные exp, ext, abs и т. д., перемноженные на выражение, заключенное в скобки. Поэтому то во всех формулах данной статьи знак деления прописан явно точкой, а не пробелом или даже отсутствием пробела.

Особо следует коснуться математического символа = (равно), присутствующего почти во всех формулах справочников. В математических пакетах этот символ разбивается на несколько самостоятельных, имеющих собственное написание и значение.

Во-первых, если говорить о пакете Mathcad, то, например, такая простая запись, как р = 12 МПа может иметь два толкования. Во-первых, эта запись означает, что переменной р присваивается численное значение давления в 12 магапаскалей. В среде Mathcad эта операция выглядит так р := 12 МРа (см. третью строку рис. 12). Во-вторых, выражение р = 12 МПа может означать (а в среде Mathcad и означает), что тут выводится на дисплей численное значение переменной р, рассчитанное ра-нее66 (вывод «на печать» результата расчета). Символ «=» может иметь и третье значение — означать инфиксный булев оператор «равно», разделяющий левую и правую части различных уравнений. Например, знаменитую формулу F = a • m

65 В среде Windows 7 появился инструмент под названием Math Input Panel, который может объединить понятия «ручной» и «компьютерный» ввод формул. С помощью Math Input Panel можно вводить формулы «вручную», водя мышкой по столу или карандашом по специальной панели. При этом ведется распознавание введенных символов формул. Так, кстати, можно вводить тексты в «карманные» компьютеры с тактильными экранами. На сайте www.smath.info развивается проект, в чем-то дублирующий Mathcad, позволяющий вводить и интерактивно работать с формулами.

66 В этом случае «европейский» Mathcad выводит значение в базовых единицах давления, в паскалях, если иметь ввиду наш случай, но пользователь может поменять эту единицу на более для него приемлемую, мегапаскали или атмосферы.

452

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

(второй закон Ньютона) можно, во-первых, считать выражением, по которому рассчитывается значение силы (F := а • m) при известных значениях ускорения (а) и массы (m), а во-вторых, можно считать уравнением F = а • m 61, в котором численно или аналитически можно определить значение одной переменной (F, а, или m), если известны значения двух других. Отсюда вывод: если в справочниках отображается некий реальный расчет, то с символом «=» нужно обходиться весьма деликатно — воспринимать его в разных случаях по-разному: символ присваивания, символ «вывод на печать» или символ «булево равно».

Математические пакеты требуют реформирования написания и некоторых других символов математики, принятых в тех или иных научных дисциплинах, сведения по возможности этих символов к одному «компьютерному» написанию. Поясним этот тезис конкретным примером, связанным также с теплотехникой — с формуляцией по теплофизическим свойствам льда.

б lce_Release.pdf - Adobe Reader

TABLE 3 Relations of the thermodynamic properties to the equation for the Gibbs energy of ice. Eq. (1). and its derivatives

| Property Relation Unit

Density P= fe Ф)т II 94 •ч .L ka

Specific entropy s=-$g/iT)p ■J=-gr J kaK

Specific isobark heat capacity cp=T0srST\ Cp=~Tgn J ka К

Рисунок 14. Фрагмент формуляции по теплофизическим свойствам льда

На рис. 14 показан фрагмент формуляции в виде PDF-файла по теплофизическим свойствам льда. В данной формуляции предписывается, как по значению удельной свободной энергии Гиббса (функция двух аргументов: давление и температура) через взятие частных производных по давлению или температуре можно рассчитать следующие параметры льда: плотность (р), удельную энтропию (5) и удельную изобарную теплоемкость (cp). При этом используется особая нотация частной производной, принятая в термодинамике более века назад. Эта нотация довольно путанная: в одном случае (см. на рис. 14 столбец Property — свойство) нижний индекс означает, что частная производная берется именно по переменной, указанной в индексе, а в другом (столбец Relation — соотношение), что эта переменная наоборот является константой. В других научных дисциплинах, да и в самой термодинамике можно встретить и другие нотации оператора взятия производ- 67

67 В среде Mathcad «нежирное» равно — это оператор вывода численного значения, а «жирное» равно — это булев оператор «равно».

453

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

ных. Чтение таких выражений осложняется и тем, что у функции при взятии их производных не перечисляются аргументы: записано просто g, а не g(T, p). Это можно отметить и в отношении других математических операций и функций68. В этом разнобое кроется причина многочисленных ошибок не только у студентов, изучающих термодинамику, но даже и у опытных специалистов.

Математические пакеты, как мы уже отметили, не могут «терпеть» таких умолчаний и разночтений. Но правильнее сказать так. Математические пакеты при всей своей гибкости и «настраиваемости»69 не могут учесть всех нюансов и различий в написании одного и того же математического оператора в разных научных дисциплинах. Поэтому пользователям приходится подстраиваться под возможности математических пакетов. На рис. 15 представлен открытый, интерактивный, сетевой вариант формуляции по свойствам льда, где использована нотация производной, встроенная в Mathcad и понятная всем пользователям.

‘У http://twt.mpei.ac.ru/MC5/Worksheets/W5P/Ice-

Ih.xmcd

International Association for the Properties of Water and Steam

Web-Release on the Equation for НгО Ice Ih

0 < T < 273.1 6K 0 < p < 21 OMPa

|"C jJ p := |б 11.657 fp^ 3

T :=|0.01

Properties of of Ice: Плотность

Удельная

энтропия

Recalculate

P =

-g(T,P)

kg

" 9167 “I

m

S := g(T , p) —1 .221 kJ/(kg K) ЭТ

Удельная иэобарная ;= _T. S = 2 097 kJ/(k ^

теплоемкость P T2

d \

Рисунок 15. Интернет-формуляция по теплофизическим свойствам льда

Как видно из рис. 15, Mathcad имеет четко установленный символ взятия частных производных, не требующий указания констант. Такой стиль написания математических операторов может и должен перейти не только в формуляции, но и в современные учебники и справочники.

Резюме

68 Классический пример. В математике и во многих прикладных дисциплинах мнимая единица прописывается как i (imaginary). Но в электротехнике за этой константой закрепили букву j, т. к. буква i в этой научной дисциплине еще раньше была «приписана» к силе тока. Из-за этого математик (или определенный математический пакет) и электротехник могут в ряде случаев «не находить общего языка».

69 В среде Mathcad можно, например, выбрать, с каким символом i или j нужно работать.

454

ПАКЕТЫ

ПРИКЛАДНЫХ

ПРОГРАММ

Cloud of Science. 2014. T. 1. № 3

В настоящее время автор статьи развивает свой расчетный сервер (www.trie.ru) и активно сотрудничает с электронным издательством Elsevier/Knovel (http://tools.knovel.com/ie/Help/contributors.htm) в плане создания открытых интерактивных сетевых расчетов, поддерживающих научно-технические справочники. В частности, создается так называемая библиотека уравнений, включающая в себя «живые» расчеты по различным отраслям знаний со ссылками на них из соответствующих справочников.

Литература70

[1] Александров А. А., Орлов К. А., Очков В. Ф. Теплофизические свойства рабочих тел теплоэнергетики. — М. : Изд. дом МЭИ, 2009.

[2] Кондакова Г. Ю., Копылов А. С., Орлов К. А., Очков А. В., Очков В. Ф., Чудова Ю.В. Интернет-версия справочника Теплоэнергетика и теплотехника. Инструментальные средства создания и развития: справочное издание. — М. : Издательский дом МЭИ, 2007.

[3] Очков В. Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров: русская версия. — СПб. : БХВ-Петербург, 2009.

[4] Alexandrov A. A., Ochkov V. F., Orlov K. A. Steam Tables and Diagrams on Mathcad Calculation Server for Personal Computers, Pocket Computers and Smart Phones // Proceedings of the 15th International Conference of the Property of Water and Steam, Berlin/Germany, September 7-11, 2008.

[5] Очков В. Ф., Яньков Г. Г. Математические пакеты и проблема передачи знаний // Вестник РФФИ. 2008. № 4 (60).

[6] Очков В. Ф. Теплотехнический справочник в Интернете // Новое в российской электроэнергетике. 2005. № 5. С. 48-54.

[7] Очков В. Ф. Математические пакеты и сетевой интерактивный теплотехнический справочник: проблемы и решения // Теплоэнергетика. 2006. № 6. С. 71-77.

Автор:

Очков Валерий Федорович, доктор технических наук, профессор, первый заместитель заведующего кафедрой технологии воды и топлива НИУ «Московский энергетический институт»

70 Публикации автора открыты на сайте http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/work1.htm

455

В. Ф. Очков

Формулы в научно-технических публикациях: проблемы и решения

Formula in Scientific and Technical Publications: Problems and Solutions

V. F. Ochkov

National Research University Moscow Power Engineering Institute 14, Krasnokazarmennay street, Moscow, 111250 e-mail: [email protected]

Abstract. The author and his colleagues are ready to publish a handbook on thermophysical properties of coolants and working bodies of Energy, which is supported sites http://twt.mpei.ac.ru/rbtpp with network, interactive, open calculations. The directory contains, in particular, the site description. In preparing this part of the manuscript and debugging site became necessary to combine in a single text the conventional mathematical notation, and special forms of writing mathematical expressions in mathematical computer programs. Here the author wants to tell us about the problems and possible solutions.

Keywords: c mathematical expressions calculation programs.

Reference

[1] Aleksandrov A. A., Orlov K. A., Ochkov V. F. (2009) Teplofizicheskie svojstva rabo-chih tel teplojenergetiki. Moscow, Izd. dom MEI. (In rus.)

[2] Kondakova G. Ju., Kopylov A. S., Orlov K. A., Ochkov A. V., Ochkov V. F., Chudova J. V. (2007) Internet-versija spravochnika Teplojenergetika i teplotehnika. In-strumental'nye sredstva sozdanija i razvitija: Spravochnoe izdanie. Moscow: Izd. dom MEI. (In rus.)

[3] Ochkov V. F. (2009) Mathcad 14 dlja studentov i inzhenerov: russkaja versija. S.-Pb.: BHV-Peterburg. (In rus.)

[4] Alexandrov A. A., Ochkov V. F., Orlov K. A. (2008) Steam Tables and Diagrams on Mathcad Calculation Server for Personal Computers, Pocket Computers and Smart Phones. Proceedings of the 15th International Conference of the Property of Water and Steam. Berlin, Germany.

[5] Ochkov V. F., Yankov G. G. (2008) Matematicheskie pakety i problema peredachi znanij. VestnikRFFI, 60. (In rus.)

[6] Ochkov V. F. (2005) Teplotehnicheskij spravochnik v Internete. Novoe v rossijskoj jelektrojenergetike, 5, 48-54. (In rus.)

[7] Ochkov V. F. (2006) Matematicheskie pakety i setevoj interaktivnyj teplotehnicheskij spravochnik: problemy i reshenija. Teplojenergetika, 6, 71-77. (In rus.)

456