CC BY
32
2012 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 1
МЕХАНИКА
УДК 539.4
ФОРМУЛИРОВКА КРИТЕРИЯ ПРОЧНОСТИ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ СРЕДЫ С ТРЕЩИНОЙ*
А. Р. Арутюнян1, Р. А. Арутюпяп2
1. С.-Петербургский государственный университет,
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник, Robert.Arutyunyan@paloma.spbu.ru
2. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, Robert.Arutyunyan@paloma.spbu.ru
Введение. С учетом текущего коэффициента поперечной деформации вводятся реологические соотношения [1, 2], описывающие поведение нелинейно-упругих материалов, упругая деформация в которых может достигать более 3%. Эти соотношения используются для формулировки критерия прочности образца с трещиной на основе энергетической концепции Гриффитса [3]. В случае абсолютно хрупкой среды, когда коэффициент поперечной деформации равен нулю, полученный критерий совпадает с критерием Гриффитса. В общем случае критерий зависит от текущего коэффициента поперечной деформации. При этом сохраняется гиперболический характер зависимости критической длины трещины от величины критического напряжения. По полученным критериям прочности оцениваются значения теоретической и реальной прочности. Гассмотрены три случая: идеальная кристаллическая решетка без дефектов, нитевидные нанокристаллические и нанокомпозитные материалы с размерами дефектов в пределах нескольких нанометров, лабораторный образец с микронным размером дефектов. Показано, что величина теоретической прочности на два порядка больше значения прочности лабораторного образца. Этот результат находится в согласии с известными в литературе оценками [4]. В случае, когда в материале имеются дефекты, имеющие размеры порядка нано, наблюдается значительное снижение прочности (в пределах одного порядка от теоретической прочности).
Реологические соотношения нелинейно-упругой среды, учитывающие текущий коэффициент поперечной деформации. При формулировке реологических уравнений теории пластичности и ползучести принимается предположение о
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №11-08-00763). © А. Р. Арутюнян, Р. А. Арутюнян, 2012
несжимаемости среды, что соответствует условию v = 1/2 (и — текущий коэффициент поперечной деформации). Что касается линейно-упругой среды, то она является сжимаемой и имеет постоянный коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).
Как показано в работах [1, 2], можно сформулировать нелинейные соотношения теории упругости с учетом текущего коэффициента поперечной деформации v = —£y¡£x = —£z¡£x {¿х, eyi ez — продольная и поперечные деформации растягиваемого образца) и закона сохранения массы. Эти соотношения записываются в виде
о = Еее~2и£, (1)
- = Еее-° , (2)
где а = P/Fo, Р — растягивающая сила, Fq — начальная площадь поперечного сечения образца, г = ех, ро — начальная, р — текущая плотность материала стержня, Е — модуль Юнга.
Законы (1) и (2) могут быть использованы для решения различных задач по деформированию и разрушению сверхпрочных, нелинейно-упругих материалов, например, нитевидных кристаллов, нанокристаллических и нанокомпозитных материалов, упругая деформация в которых может достигать более 3%, а также для описания нелинейно-упругого поведения материалов, полученных способом порошковой металлургии, когда среда является сжимаемой, а ее поведение существенно зависит
от начальной и текущей пористости, определяемой через ро и р. Уравнения (1) и (2) также могут быть использованы и для более точного описания нелинейных эффектов в чистых металлах с различным типом кристаллической решетки и, соответственно, с различным начальным состоянием «пористости», определяемой упаковкой атомов. Например, для трех типов структур (гексагональная плотно упакованная, кубическая гране-центрированная и кубическая объемно-центрированная), при упаковке атомов которых образуются пустоты равные, соответственно, 26, 29 и 32%.
На рис. 1 показаны теоретические кривые напряжение—деформация согласно закону (1). Можно выделить два предельных случая. При v = 1/2 имеем несжимаемую, нелинейно деформируемую упругую среду. При v = 0 среда является жесткой линейно-упругой. Промежуточные случаи описывают поведение упругих материалов с различными механическими свойствами.
Формулировка критерия прочности нелинейно-упругой среды с трещиной на основе энергетической концепции Гриффитса. Далее ограничимся рассмотрением закона (1) и на его основе сформулируем критерий разрушения нелинейной упругой среды с трещиной. В качестве такой среды рассматривается поведение керамических композитов. Как показывают экспериментальные исследования [5,
Рис. 1. Теоретические кривые напряжение — деформация для различных значений коэффициента поперечной деформации.
6], в таких материалах можно создать (с использованием соответствующих технологических процессов обработки) определенные пористые структуры, обеспечивающие до 2-3% нелинейно-упругой деформации при комнатной температуре. При этом деформирование осуществляется без следов остаточной деформации. Как отмечают Кульков и др. [5, 6], «Отсутствие следов остаточной деформации говорит о реализации в структурах материала существенно нелинейных механизмов формирования деформационного отклика на прилагаемую нагрузку».
С учетом этих положений и энергетической концепции Гриффитса [3] соотношение (1) можно использовать для формулировки критерия разрушения образца с трещиной. В нашем случае среда является нелинейно-упругой. При этом характер нелинейности определяется текущим коэффициентом поперечной деформации. Зависимость V = 1у(е) может быть определена экспериментально. Для конкретизации этой зависимости используются имеющиеся в мировой научной литературе экспериментальные результаты [7]. Впервые такие исследования были выполнены Баушингером над образцами, изготовленными из мягкой стали, в опытах на простое растяжение. Как показывают опыты, зависимость V = ь>(е) является немонотонной. На начальном участке деформации, когда материал переходит из упругого состояния в пластическое, коэффициент поперечной деформации монотонно возрастает до максимального значения V = 1/2, т.е. материал переходит в состояние несжимаемости. На участке упрочнения материал становится сжимаемым. Коэффициент поперечной деформации монотонно убывает и стремится к нулю с переходом в область разрушения, что связано с появлением в образце множества пор и трещин.
В опытах других авторов [8] также наблюдается состояние несжимаемости у материалов с явно выраженным пределом текучести при переходе из упругого состояния в пластическое. В случае хрупких материалов, в частности, керамических композитов, экспериментальная зависимость V = г/(е) на начальных этапах деформирования является монотонной, медленно убывающей функцией. С переходом в область разрушения следует ожидать также уменьшение коэффициента поперечной деформации до нулевого значения. Учитывая эти положения функциональную зависимость коэффициента поперечной деформации зададим следующим соотношением:
где щ, ер, к — постоянные.
График зависимости (3) представлен на рис. 2 для различных значений к и при щ = 0, 22, ер = 0, 03.
Учитывая указанный характер изменения коэффициента поперечной деформации, рассмотрим две возможности формулировки критерия прочности образца с трещиной на основе концепции Гриффитса. В первом случае в соотношении (1) будем считать v = const. Для этого случая решается задача о разрушении неподвижно закрепленной тонкой пластины с трещиной, растягиваемой заданным напряжением а (мягкое нагружение), или заданной деформацией е (жесткое нагружение).
Запасенная в пластине упругая энергия, отнесенная к единице площади, определяется выражением
(3)
е
Рис. 2. Кривые изменения текущего коэффициента поперечной деформации согласно формуле (3) для различных значений к: 1—к = 1, 2 —к = 0,4, 3 — к = 0,15.
Если в пластине появился дефект в виде трещины малой длины 2/, расположенный перпендикулярно направлению растяжения, то упругая энергия пластины уменьшится на некоторую величину А\У, равную произведению средней площади области на среднее значение плотности упругой энергии. Принимая, что площадь указанной области имеет порядок /2, получим соотношение для освобожденной в пластине упругой энергии
АЖ = -сШ2, (5)
где с помощью постоянной с учитывается форма и размер выделенной области.
Освобожденная упругая энергия (5) расходуется на образование новых поверхностей. Если обозначить через 7 удельную работу разрушения на единицу площади новой поверхности, работа, затрачиваемая на образование трещины длиною 2/, будет
Г = 4 7/. (6)
В итоге появление трещины изменяет энергию пластины на величину
IV! = -с!¥12 + 471. (7)
Рассматривая малые изменения длины трещины, получим
(Ж1
¿1
= -2 с\¥1 + 47.
(8)
В состоянии равновесия энергия системы имеет экстремальное значение (с1\¥1/с11 = 0). Из этого условия с учетом (4) можно найти критическую длину трещины 1 = 1* в зависимости от критической деформации £ = £*:
87 V2
[1 — + 1)е~2и£*] 1
(9)
В случае, когда среда является абсолютно хрупкой (у = 0, = сг*/Е), из формулы (9) при с = 2тг следует критерий разрушения Гриффитса:
I * —
27 _ 27Е
АЕ1Г 7ГСГ2
(10)
На рис. 3 показаны теоретические кривые прочности — по критерию Гриф-фитса (ту = 0) и по формуле (9) (ту = 0,3). При этом сохраняется гиперболический характер зависимости критической длины трещины от величины критического напряжения.
В случае, когда коэффициент поперечной деформации является переменной величиной и задается соотношением (3), решение задачи о разрушении пластины с трещиной приводит к формулировке критерия прочности, отличного от формулы (9). При этом для к = 1 имеем наиболее простой вариант полученного критерия:
I * —
127 £р Есе*
Рис. 3. Теоретические кривые прочности: 1 — по критерию Гриффитса (и = 0), 2 —по формуле (9) [у = 0,3).
[3щг1 - + 3£р]
(П)
Принимая щ = 0, с = 27т, = сг*/Еу из формулы (11) получаем критерий разрушения Гриффитса (10).
Оценка теоретической и реальной прочности на основе полученного критерия. В заключение обратим внимание на проблему оценки теоретической и реальной прочности. Оценкой теоретической прочности занимались в начале прошлого века многие исследователи (Френкель, Гильман, Гриффите, Борн и др.) [4, 9, 10]. При этом расчеты выполнялись для идеальной кристаллической структуры или решетки. Согласно расчетам прочность такой структуры на несколько порядков выше прочности реальных материалов. Такое различие объясняют наличием в материалах дефектов различного типа (вакансии, дислокации, поры, микротрещины и др.). В дальнейшем для детальной оценки влияния дефектного состояния на прочностные характеристики материалов и формулировки соответствующих критериев прочности были выполнены многочисленные исследования методами физики и механики материалов.
Основы механического подхода были заложены в работах Кирша, Колосова и Инглиса, которые рассмотрели задачу о растяжении пластинки с круговым и эллиптическим разрезами. В частности, в случае эллиптического разреза наибольшее напряжение сгтах наблюдается в вершине эллипса согласно формуле
СГтах = СГП(1 + 21/Ъ),
(12)
где <7п — номинальное напряжение, Ъ — полуоси эллипса [11].
Из формулы (12) следует, что при 6 —)► 0 (трещина «нулевой» толщины) напряжения в вершине такой трещины могут возрастать до бесконечности. Вводя в формулу (12) величину р = Ъ2/I — радиус кривизны в вершине эллиптического узкого разреза, получаем
= а,
(13)
Формула (13) пригодна для оценки концентрации напряжений не только эллиптических отверстий, но и для отверстий любой формы с любым радиусом кривизны в его вершине, в частности, и для трещин «нулевой» толщины. Гриффите использовал формулу (13) для оценки теоретической прочности стекла, которая, согласно расчетам, составляет <ттах = 15000 МПа. При этом предполагалось, что ответственными за реальную прочность стекла (<т„ = 75 МПа) являются малые трещины. Для таких трещин имеем следующие оценки. Рассмотрим трещину длиной I = 10~6 м с радиусом кривизны в кончике трещины р = 10~9 м, равным атомному размеру. Согласно формуле (13) в кончике такой трещины напряжения составляют <ттах = 15071 МПа, что сопоставимо с теоретической прочностью.
Убедительным доказательством ответственности малых трещин за реальную прочность материалов стали опыты Иоффе и др. [12, 13] с кристаллами каменной соли и опыты Гриффитса на разрыв образцов из стеклянных волокон. Иоффе исходил из положения, что ответственными за низкую прочность образцов из каменной соли являются поверхностные дефекты. Чтобы избавиться от поверхностных дефектов образцы испытывались в горячей воде. При этом в результате растворения поверхностного слоя и уничтожения дефектов поверхности наблюдается значительное увеличение прочности до величины теоретической около 2000 МПа.
Теоретическую прочность кристаллов каменной соли рассчитали Борн (при всестороннем равномерном растяжении) и Цвики (при одноосном растяжении). Согласно Цвики <ттах = 2000 МПа. При расчетах Цвики исходил из потенциала взаимодействия атомов Ленарда—Джонса. Следует отметить, что при расчетах теоретической прочности используются различные потенциалы (Морзе, Кондона—Морса, Ленарда— Джонса и др.). Произвольный выбор потенциалов не способствует получению устойчивых результатов величины теоретической прочности. Как показывают расчеты, в зависимости от выбора потенциала результаты могут отличаться до нескольких раз.
В связи с исследованиями по теоретической прочности были выполнены многочисленные работы по созданию различных «бездефектных» материалов в виде нитевидных кристаллов, прочность которых приближается к теоретической. В настоящее время подобные исследования выполняются для нанокристаллических и нанокомпо-зитных материалов. В частности, получены сверхтвердые нанокомпозиты, механические свойства и закономерности нелинейной упругости которых свидетельствуют о достижении в этих материалах состояний, близких к теоретической прочности.
Можно выделить два класса нанокристаллических материалов: материалы с предельно малой величиной зерна меньшей 5-6 нм и с размерами зерна более 10 нм. В первом случае отсутствуют генерация и распространение дислокаций. Во-втором случае деформация управляется дислокационными механизмами пластичности.
Согласно критериям прочности (9)—(11) (рис. 3) с уменьшением критической длины трещины /* критическое напряжение или деформация бесконечно возрастают. При соответствующем выборе критической длины трещины критическую величину напряжения и деформации можно вычислить по этим формулам. В случае идеальной кристаллической решетки (без дефектов) значение /* можно считать равным расстоянию между атомами (Ю~10 м), а критическое напряжение будет соответствовать значению теоретической прочности <7*1. Для рассмотренных нитевидных нанокристаллических и нанокомпозитных материалов с размерами дефектов в пределах 5 нм (сравнимых с размером зерна) можно оценить величину технической прочности <7*2 • Для лабораторного образца величину дефекта можно принять равной 1 мкм. В этом случае расчетная величина прочности должна соответствовать значению реальной
прочности <7*з. Подобные сравнительные расчеты были нами выполнены для разных материалов по критерию прочности (9). Для указанных трех значений критической длины трещины вычислялась величина £*, а соответствующее значение критического напряжения определялось по формуле (1). В частности, для керамических материалов получены следующие оценки: при /*i = Ю~10 м, <r*i = 10530 МПа; при /*2 = 5 • 10~9 м, ст*2 = 1491 МПа; при /*3 = 10~6 м, сгф3 = 109, 5 МПа. При расчетах по формуле (1) были использованы следующие значения коэффициентов [14]: 7 = 0,15 Дж/м2, с = 2, 5, v = 0, 2, Е = 105 МПа.
Отметим два вывода из полученных оценок. Первый, величина теоретической прочности на два порядка больше по сравнению со значением прочности лабораторного образца. Этот результат находится в согласии с известными в литературе оценками. Второй, в случае, когда в материале имеются малые дефекты (порядка нанове-личин), наблюдается значительное, в пределах одного порядка, снижение прочности.
Литература
1. Арутюнян Р. А. Проблема деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. 253 с.
2. Arutyunyan R. A. Creep fracture of nonlinear viscoelastic média undergoing UV radiation // International Journal of Fracture. 2005. Vol. 132. N1. P. L3-L8.
3. Griffith A. A. The phenomena of rupture and flow in solids // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Sériés A. 1921. Vol. 221. P. 163-198.
4. Нотт Дж. Ф. Основы механики разрушения. M.: Металлургия, 1978. 257 с.
5. Кульков С. И. Структура, фазовый состав и механические свойства наносистем на основе Zr02 // Физическая мезомеханика. 2007. Т. 10. №3. С. 81-94.
6. Кульков С. И., Масловский В. И., Буякова С. П., Никитин Д. С. Негуковское поведение пористого диоксида циркония при активной деформации сжатием // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 3. С. 38-42.
7. Koster W., Franz H. Poisson's ratio for metals and alloys // Métal Rev. 1961. Vol. 6. N21. P. 1-55.
8. Жуков A. M. О коэффициенте Пуассона в пластической области // Известия АН СССР. Отд. техн. наук. 1954. №12. С. 86-91.
9. Керштейн И. М., Клюшников В. Д., Ломакин Е. В., Шестериков С. А. Основы экспериментальной механики разрушения. М.: Изд-во МГУ, 1989. 142 с.
10. Разрушение / под ред. Г. Либовица. Т. 7: Разрушение материалов в композиционных материалах. Ч. 1: Неорганические материалы (стекла, горные породы, композиты, керамики, лед). М.: Мир, 1976. 634 с.
11. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.
12. Иоффе А. Ф. Физика кристаллов. М.: Гостехиздат, 1929. 248 с.
13. Иоффе А. Ф., Кирпичева И. В., Левицкая М. А. Деформация и прочность кристаллов // Журнал Русского физ.-хим. общества им. Д.И.Менделеева. Часть физ. 1924. Т. 56. С. 489-503.
14. Справочник. Физические величины / под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.
Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.
