ФОРМУЛА ДЛЯ ЧИСЛА РАЗБИЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА (MATHEMATICS)

УДК 519.116

Кунназаров С.Б.

Каракалпакский государственный университет имени Бердаха (г. Нукус, Республика Каракалпакстан, Узбекистан)

Калмуханов М.Н.

Каракалпакский государственный университет имени Бердаха (г. Нукус, Республика Каракалпакстан, Узбекистан)

Казакбаев С.А.

Каракалпакский государственный университет имени Бердаха (г. Нукус, Республика Каракалпакстан, Узбекистан)

ФОРМУЛА ДЛЯ ЧИСЛА РАЗБИЕНИЙ

Аннотация: к основным комбинаторным задачам относятся задачи подсчёта и перечисления разбиений. Разбиения конечных множеств, а также подсчёт числа различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике. Эта работа посвящена именно этой теме.

Ключевые слова: формула разбиения, множество, разбиение, принципу индукции, полиномиальная формула.

Классическую задачу о числе выборок можно сформулировать эквивалентным образом: сколькими способами можно разбить n различных предметов на к = 2 группы 1, 2 так, чтобы в первой было n = т, а во второй -П = n — т предметов? Естественно сформулировать такую задачу для разбиений на несколько групп: сколькими способами можно разбить n различных предметов на к групп 1 ,...,к по /7,..,/т, предметов?

Рассмотрим произвольные натуральные числа п, к > 2 и щ

п,ч в

сумме равные п:

т\ +...+Щ =п.

Рассмотрим произвольные множество А из п элементов и попарно не пересекающиеся множества А1,...,Ак соответственно из г\,...,пк элементов, в сумме равные А :

А1+...+4=А.

Условимся называть каждое такое семейство А1,...,Ак множеств /2,,...,пк - разбиением множества А. Число всех - разбиений определяется

( п Л

числами п,1\,...,пк и обозначается символом

' • • •' Пк )

В частности, если к = 2, то каждое щ, щ-разбиение А, А множества А из щ + щ = п элементов определяется выборкой А1 некоторых щ из п элементов множества А. По формуле для числа выборок отсюда следует, что

п!

' п Л

п, п

п !п!

у /11>2 ^ /• / !• 2 '

По такой схеме получается и общая формула для числа разбиений:

г

п

Л

у 1

п

щ\...пк\

- Рассмотрим множество М всех натуральных чисел к — 2 таких, что для числа к такое равенство верно для каждых рассматриваемых чисел г^,.. и

множества А.

1. Число 0 принадлежит множеству М, так как при к = 2 доказываемая формула эквивалентна формуле для числа выборок.

2. Для каждого натурального числа I верно предложение: если I е М, то I +1 е М.

Рассмотрим произвольные натуральные числа 1\,...,пк,пк+1, в сумме равные п, и множество В из п элементов. Выборка Z каждых пк+1 из п элементов множества В определяет множество Я^) всех г\,...,пк,пк+1-разбиений В1?.. ,?Вк? Вк+1 множества В, для которых Вк , = Z.

Множества Я(2) попарно не пересекаются и в сумме образуют множество Я всех т\,.. .,пк, пк+1 -разбиений множества В . Я = ЪЩ).

Число множеств ) равно числу

' п Л

V пк+1у

выборок Z произвольных п

к+1

из п элементов множества В.

Каждое принадлежащее Я^) разбиение В1,...,Вк, Вк+1 множества В

определяет пЛ....,пк-разбиение В1,...,Вк, Вк ] множества А = В — Z из п-пк+]

элементов. Различные разбиения из Я(2) определяют различные такие

разбиения множества А. И каждое ..,пк-разбиение А1,...,Ак множества

А = В—Х определяется принадлежащим разбиением

множества В. Следовательно, число разбиений в Я(Х) равно числу

п - п

V п1

к+1

всех г^,...,^ - разбиений множества А из п-пк+1 элементов.

По правилу сложения для числа элементов, из сказанного следует, что число всех разбиений из Я равно произведению числа множеств Я(2) на число разбиений в каждом из них:

( п Л Г п Л ( п -

V пк+1 У

Рассмотрим произвольное натуральное число I и число к = I + 2. Если I е М, то, используя только что доказанное равенство и формулу для числа выборок, получаем

П

П!

(п - П+1)!

П!

«IV. х) Щ+1! (п-пк+1)\ щ!..мк! щ!.. .щ! пк+1! Значит, I +1 = (к +1) - 2 е М.

По принципу индукции из пунктов 1 и 2 следует, что множество М совпадает с множеством N всех натуральных чисел, т. е. доказываемое равенство верно для произвольных натуральных чисел к> 2 и п} +...+пк = п.

Формула для числа выборок дает решение классической задачи о числе

разбиений: п различных предметов на к групп 1 ,...,к по щ,...,пк предметов

можно разбить п!/(п !..лк!) способами.

В частности, если в каждой группе ровно по одному предмету, то разбиения сводятся к перестановкам:

п!

' п ^

1.....1

= п\

1!.. .1!

Замечание. Формула для числа разбиений позволяет записать полиномиальную формулу в следующем эквивалентном виде:

п

( „ \

уЩ у"к 1 •••Лк ■

Появление чисел

П

в качестве коэффициентов при х"]... х'к не

уЧт-->Пк )

случайно: раскрывая скобки в произведении п сумм хл +... + хк, получить х"1... х'к можно, если и только если в щ суммах х] +...+хк выбрать в качестве множителей слагаемое х,,..., в щ суммах - слагаемое хк. Это можно сделать

П

•А-у

способами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М., «Наука», 1969.

2. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. М., «Наука», 1977.

3. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М., ИЛ, 1963.

Kunnazarov S.B.

Berdakh Karakalpak State University (Nukus, Republic of Karakalpakstan, Uzbekistan)

Kalmukhanov M.N.

Berdakh Karakalpak State University (Nukus, Republic of Karakalpakstan, Uzbekistan)

Kazakbayev S.A.

Berdakh Karakalpak State University (Nukus, Republic of Karakalpakstan, Uzbekistan)

FORMULA FOR THE NUMBER OF PARTITIONS

Abstract: the main combinatorial problems include the problems of counting and enumerating partitions. Partitions offinite sets, as well as counting the number of different partitions satisfying certain conditions, are of particular interest in combinatorics. This work is dedicated to this topic.

Keywords: partition formula, sets, partition, induction principle, polynomial formula.