Формообразование поверхностей средствами геометрического и компьютерного моделирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Dmitriev, A. M., Shirokov M. V., Krykin S. A. Issledovanie processa vydavlivanija s razdachej [Research of process of expression with distribution]. Izvestija VUZov. Mashinostroenie, 1983, no 3. pp. 139

- 144.

3. Osen, W. Kombiniertes Quer - Hohl - Vowarts

- Fließpressen . Draft, no 3. pp.133 - 137.

4. Stepanskij L. G. Raschety processov obrabotki metallov davleniem [Calculations of metal forming processes]. Moscow: Mashinostroenie, 1979. 215 p.

5. Chudakov P. D., Gusinskij V. I. Plasticheskoe techenie neuprochnjajushhegosja materiala pri vydavlivanii konicheskih utolshhenij [Plastic current of not strengthened material at expression of conic thickenings] Sbornik nauchnyh trudov: Progressivnye tehnologicheskie processy obrabotki metallov davleniem. Pod red. N.T. Deordieva. Moscow: Mashinostroenie ,1971. no 24. pp. 69 - 76.

6. Aljushin Ju. A. Utochnenie kinematicheski vozmozhnyh polej skorostej iz zhestkih blokov / Ju. A. Aljushin [Specification of kinematic possible fields of speeds from rigid blocks]. Izvestija VUZov. Chernaja metallurgija, 1984, no 4. pp. 35 - 38.

7. Berezovskij B. N. Opredelenie deformacij i skorostej deformacij pri opisanii plasticheskoj oblasti razryvnymi poljami skorostej [Determination of strain and strain rate in the description of the plastic region discontinuous velocity fields]. Obrabotka metallov davleniem. Mezhvuzkij sbornik, Rostov n/D. RISHM, 1980. pp. 177 - 181.

8. Evstifeev V. V. Nauchnoe obosnovanie, obobshhenie i razrabotka progressivnyh tehnologij

holodnoj obemnoj shtampovki [Scientific justification, generalization and development of progressive technologies of cold volume stamping:. Doct. Diss.]. Moscow, 1994. 382 p.

Александров Александр Александрович (Россия, г. Омск) - доктор технических наук, доцент; профессор кафедры «Строительные конструкции» ФГБОУ ВПО «СибАДИ»,. (644080 Россия, г. Омск, пр. Мира 5, e-mail: omsk-aaa@rambler. ru).

Евстифеев Владислав Викторович (Россия, г. Омск) - доктор технических наук, профессор; профессор кафедры «Автомобили,

конструкционные материалы и технологии» ФГБОУ ВПО «СибАДИ». (644080 Россия, г. Омск, пр. Мира 5).

Alexandrov Alexander Aleksandrovich (Russia Federation, Omsk) - Doctor of Engineering, associate professor; professor of Construction Designs chair of Siberian automobile and highway academy (SIBADI). (644080 Russia, Omsk, Mira Ave. 5, e-mail: omsk-aaa@rambler. ru).

Evstifeev Vladislav Viktorovich (Russia Federation, Omsk) - Doctor of Engineering, professor; professor of "Cars, Constructional Materials and Technologies" chair of the Siberian automobile and highway academy (SIBADI). (644080 Russia, Omsk, Mira Ave. 5).

УДК 004.9:621.9.07:621.833

ФОРМООБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ СРЕДСТВАМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

А. А. Ляшков1, В. Я. Волков2

1

Омский государственный технический университет (ОмГТУ), Россия, г. Омск 2ФГБОУ ВПО «СибАДИ», Россия, г. Омск

Аннотация. При моделировании объектов формообразования возникает множество недостаточно решенных, либо совсем не решенных вопросов, связанных с проблемой качественного формообразования поверхности инструмента и поверхности детали, получаемой этим инструментом. В работе поставлена и решена задача разработки математического, геометрического и алгоритмического обеспечения системы автоматизированного проектирования режущего инструмента на основе компьютерного имитационного моделирования процесса формообразования поверхностей.

Ключевые слова: геометрическое моделирование; компьютерное моделирование; дискриминанта; наклонная винтовая поверхность.

Постановка задачи моделирования формообразования поверхностей деталей

Производство изделий в ряде отраслей машиностроения связано с технологическими процессами формообразования

геометрически сложных поверхностей

деталей. К таким деталям относятся роторы винтовых насосов, рабочие колеса турбин, компрессоров и насосов, крыльчатки вентиляторов и компрессоров и другие.

Важная роль при этом отводится вопросам формообразования при

проектировании режущего инструмента. Одним из элементов процесса проектирования инструмента является конструирование его формообразующей поверхности. Решению этой задачи посвящено большое количество работ и основывается на определении

дискриминанты семейства линий или поверхностей. Во многих из этих работ для выполнения расчета требуется вывод соответствующих зависимостей

применительно к различным исходным данным. При этом используется классический метод дифференциальной геометрии или кинематический метод [1,2]. Один из новых подходов предложен в работе [3] и в определенной мере использован в работе [4]. В этих подходах часто вычислительные зависимости имеют форму трансцендентных уравнений. Для их решения используют численные методы. Все это усложняет процесс профилирования инструмента.

Определение обволакивающей семейства поверхностей основывается на разработке математических моделей процесса формообразования и не находится в логической связи с дифференциальными методами. Моделирование срезаемых слоев рассматривается как самостоятельная задача.

Вместе с тем, эффективное решение указанных задач формообразования сложных поверхностей может быть выполнено с применением методов геометрического моделирования средствами компьютерной графики [5, 6]. Современные компьютерные технологии, предоставляя возможность моделирования процесса формообразования, позволяют определить влияния различных параметров инструмента и его установки на форму поверхности детали. Кроме того они дают возможность разрабатывать программы [7], реализующие в автоматизированном режиме эти движения и решающие задачи формообразования с необходимой точностью.

Предлагается исследование процессов формообразования технических поверхностей выполнять с использованием аналитических и численных методов, а также методов, связанных с применением геометрического и компьютерного моделирования.

Объединяющим для них явилось исследование отображений ортогональным проецированием двумерных поверхностей и трехмерных гиперповерхностей, заданных уравнением в неявном виде и параметрическими уравнениями, на координатную плоскость и гиперплоскость [8].

Математическое моделирование

Пусть исходная поверхность, задана уравнением в неявном виде:

F (х, у, z) = 0 . (1)

В точках криминанты этой поверхности относительно координатной плоскости ХУ выполняется условие:

Е (х, у, г) = 0. (2)

Рассматривая уравнение (2) как уравнение еще одной поверхности и определив пересечение ее с исходной поверхностью (1), получим криминанту поверхности (1) относительно координатной плоскости ХУ. Проекцией этой криминанты на координатную плоскость ХУ является дискриминанта поверхности (1) и огибающая семейства плоских конгруэнтных кривых, если поверхность (1) получена отображением этих кривых в пространство И3.

Установлено, что уравнение (2), отражающее условие касания

«вертикальной» плоскости с заданной поверхностью, можно также рассматривать как необходимое условие существования условного экстремума функций, графиками которых являются кривые, получаемые в пересечении поверхности (1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям XZ или уг.

Для определения достаточных условий существования экстремумов на

рассматриваемых кривых определен второй дифференциал функции Лагранжа:

а 2ь = - ^ • .

(3)

Тогда из (3) следует, что если Е^ > о то

Еу '

точка исследуемого сечения поверхности плоскостью, параллельной координатной плоскости Хг или Уг является точкой

условного максимума; если Он. < о то

Еу '

соответствующая точка - точка условного минимума. Для Fzz=0 требуются дополнительные исследования.

В результате криминанта D является объединением множества экстремальных точек, а именно

D =

^ тт f (х, г) V тах f (х, г)

г=1

х=а

Переменной является координата z в своей области определения.

Проведенный анализ полной кривизны поверхности позволили установить следующее:

а) если Егг = 0 , а Еу • Егх - Ех • Еу * 0, то

гауссова кривизна в точках криминатной линии поверхности отрицательна и точка на поверхности является гиперболической, причем средняя кривизна поверхности в ней прямо пропорциональна значению кривизны кривой, полученной в пересечении поверхности плоскостью, параллельной ХУ;

б) если на плоской кривой поверхности (в сечении плоскостью, перпендикулярной оси г

имеется точка перегиба и Егг * 0,|Ех| + |еу| * 0,

то соответствующая ей точка криминантной линии поверхности гиперболическая;

в) если Егг = 0 и Еу • Е2Х - Ех • Еу = 0 , то

точка

поверхности

соответствующая параболическая;

г) если Еу • Е,х - 2ЕХ • Еу • Еху + Ех2 • Еуу = 0 и Еу • Ех - Ех • Егу = 0, то соответствующая точка

поверхности параболическая;

д) если Ех =Еу= 0, то точка особая как на

исходной кривой, так и на поверхности, а также на ее дискриминанте;

е) если 2Ех • Еу • Еху - Ехх • Еу -Еуу-Е? * 0,

е„ * 0

и

Е • Е - Е • Е * 0

* у * гх ^ х гу ^ ^ ■>

то

соответствующая точка поверхности может быть как эллиптической, так и гиперболической

По аналогии с предыдущей задачей проведено исследование отображения ортогональным проецированием

поверхности, заданной параметрическими уравнениями:

х = /(и, V), у = /2(и, V), г = /з(и, у).

В этом случае криминанта D является объединением множества экстремальных точек, а именно:

п

Б = I тп/^и у) V тах у)| Гг(иУ)=аг, г = /зи

г=1

Переменным является один из параметров поверхности в своей области определения.

Полученные результаты распространены на определение огибающей

однопараметрического семейства

поверхностей. Вначале исследуется отображение трехмерной гиперповерхности,

заданной в четырехмерном пространстве уравнением в неявном виде:

Е (х, у, г, 1) = 0 .

Для нее криминанта D объединением следующего экстремальных точек:

является множества

Б =

I

j=1 V г=1

I ШП /(х,у,1 )| х=хг V тах /(х, у, :)| х=х

где переменной является координата t.

Пусть теперь рассматривается трехмерная гиперповерхность в

четырехмерном пространстве, заданная параметрическими уравнениями:

х = /1(и, у,ф),

у = />(и, у,ф),

г = /з(и, у,ф),

1 = /4 (и, у,ф).

Тогда криминанта D поверхности является объединением множества экстремальных точек, а именно

п ( п \

Б =1 I™П/(и,у=у, V тахЛ(и,у=у

з=1 V г=1 з

Переменным является один из параметров гиперповерхности в своей области определения.

Таким образом, полученные результаты позволяют определять дискриминанту двумерной поверхности и трехмерной гиперповерхности, а значит и огибающую семейств плоских кривых, а также поверхностей с единых позиций. Аналитически - через условные экстремумы соответствующих функций, на основе метода множителей Лагранжа, и вычислительными методами - без использования дифференциальных параметров поверхности.

Полигональное моделирование

В прикладных задачах

однопараметрическое семейство конгруэнтных кривых часто связано с центроидой, перекатывающейся без скольжения по неподвижной центроиде. Пусть такое семейство образовано кривой, связанной с окружностью, катящейся без скольжения по прямой линии. Если исходная кривая задана параметрическими уравнениями:

х = х(:), у = у(:), то образуемое семейство в неподвижной системе координат 0ХУ будет определено в виде

у=у

x = x(t) ■ cos ф + y(t) ■ sinф + R ■ ф, y = -x(t) ■ sinф + y(t) ■ cos ф,

где ф - угол поворота образующей кривой вокруг центра окружности, а R - радиус этой окружности.

Выполнив отображение семейства конгруэнтных кривых в пространство R3, получим в системе координат XYZ (ось Z совместно с осями X и Y образуют правую систему координат) поверхность определяемую уравнениями:

пространственных задач профилирования сопряженных поверхностей.

x¥ = x(t) ■ cos ф + y(t) ■ sin ф + R ■ ф, ущ = -x(t) ■ sin ф + y(t) ■ cos ф,

Щ /

zr = p ■ ф,

(4)

где р - некоторая константа. Свяжем с неподвижной системой координат ХУ2 левую цилиндрическую винтовую поверхность 0 (ЦВП) (рис. 1), образованную винтовым движением исходной кривой. Ее уравнения будут:

x = x(t) ■ cos ф + y(t) ■ sin ф, ув = -x(t) ■ sin ф + y(t) ■ cos ф

(5)

в

z = p ■<

где р - параметр винтового движения, причем р = н/2• ж, а Н - шаг винтовой поверхности.

Сравнивая системы уравнений (4) и (5),

/ Я й

приняв р=р и учитывая, что Я = — • г ,

получим:

щ в , R в xr = x +---Z ,

ущ = ye,

щ в

Г = z .

(6)

Рассматривая переход от ЦВП 0 к поверхности V как результат геометрического преобразования, нетрудно заметить, что система (6) описывает аффинное преобразование, т. к. является линейной. Полученная таким преобразованием поверхность (4) (рисунок 1) названа наклонной винтовой поверхностью (НВП).

Исследования отображений ЦВП косоугольным проецированием, а НВП -ортогональным проецированием на координатную плоскость показало их совпадение - рисунок 2. Этот результат показывает взаимосвязь некоторых плоских и

Рис. 1. Полигональные модели ЦВП и НВП; R - радиус цилиндра и радиус

б)

Рис. 2. Твердотельные модели: а) тела с ЦВП

и ее косоугольная проекция; б) тела с НВП и ее ортогональная проекция

Поверхностные модели используются при решении различных задач

формообразования. Так вспомогательные поверхности, полученные на основе семейства плоских кривых, используются в CAD-системах для получения качественной характеристики огибающей, а также для исследования ее формы в зависимости от радиуса центроиды.

Твердотельное моделирование

деталей

Следующим этапом применения компьютерных технологий в задачах формообразования поверхностей является разработка твердотельных моделей деталей, имеющих геометрическую форму, отличную от 3D примитивов, использующихся в известных САПР. Для этих целей могут использоваться, в частности, поверхностные

модели, разработанные ранее. Они служат для отсечения у заготовки частей тела. На такой же технологии основано построение твердотельной модели крыльчатки и моделей удаляемых припусков (рисунок 3). Сама же твердотельная модель заготовки крыльчатки получена с использованием стандартных средств большинства САПР. Для разработки наиболее эффективных схем удаления припуска межлопаточного объема необходим анализ геометрической модели тела этого припуска - П. В основе предлагаемого подхода к выбору вариантов удаления наибольшей части припуска положены методы геометрического синтеза и возможности современных технических и программных средств по формообразованию трехмерных тел.

Рис. 3. Твердотельная модель крыльчатки;

П - удаляемый межлопаточный припуск

Компьютерное имитационное

моделирование формообразования

Результаты моделирования,

выполненные на предыдущих этапах, используются для разработки алгоритмов и программ с целью назначения необходимых технологических условий формообразования детали наиболее рациональными методами размерной обработки. Для этого применяются известные операции твердотельного моделирования. Так кинематическая операция используется для задания множества положений инструмента в процессе формообразования детали. Указание положений и ориентация инструмента могут быть автоматизированы с использованием языков программирования. Такая операция позволяет моделировать наиболее сложные схемы образования сложно профильных поверхностей. Далее,

используя булевы операции, формируется искомая поверхность.

В задачах формообразования поверхностей деталей, обрабатываемых методом центроидного или безцентроидного огибания, эффективно используются возможности современных CAD-систем и соответствующих языков программирования. Одним из примеров может быть решение прямой и обратной задач моделирования сопряженных поверхностей: винтовая -вращения - винтовая.

При решении прямой задачи исходными данными являются модель тела с винтовой канавкой и модель заготовки в виде отсека цилиндра для тела вращения. Размеры цилиндра и его расположение определяются параметрами установки формообразующего элемента относительно заготовки.

Моделирование формообразования поверхности тела вращения по созданной модели тела с ЦВП и параметрам установки выполняется в соответствии с разработанными алгоритмами и программами как показано на рисунке 4.

В связи с тем, что поверхность тела вращения однозначно определяется своим осевым сечением, то моделированию формообразования подвергается только часть заготовки. Полученное осевое сечение может быть подвергнуто редактированию как с целью замены его профиля технологическими кривыми, так и по каким либо иным соображениям. Это сечение используется для получения твердотельной модели тела вращения, на основе которой создается модель дисковой фрезы, а также ее чертеж.

Созданная на основе осевого сечения твердотельная модель инструмента используется для решения обратной задачи формообразования. В этом случае результатом моделирования

формообразования является тело с винтовой канавкой. Для этого тела может быть получено его торцовое сечение, которое используется для проведения

сравнительного анализа с исходным торцовым профилем. Если полученное отклонение находится в допустимом диапазоне, то процесс моделирования завершается. В противном случае возможно как изменение параметров взаимного расположения моделей инструмента и изделия, так и редактирование профиля фрезы для получения требуемого результата.

Наряду с решением прямой и обратной задач формообразования разработанные алгоритмы и программы позволяют получать и твердотельные модели срезаемых слоев (рисунок 5) с целью выбора оптимальных технологических параметров резания.

I

Рис. 4. Формообразование тела вращения по модели тела с винтовой поверхностью

Рис. 5. Моделирование формообразования срезаемых слоев

Заключение

На основании изложенного использование геометрического моделирования и компьютерных технологий позволяет решать следующие задачи:

- разрабатывать поверхностные модели, полученные на основе семейства плоских кривых, визуализирующие как дискретно, так и в режиме анимации изменение формы огибающей этого семейства в зависимости от формы исходной кривой и радиуса центроиды;

- получать твердотельные модели детали с целью выбора метода размерной обработки, соответствующего удалению

наибольшего объема припуска на этапе предварительной обработки;

- обеспечение возможности моделирования процесса формообразования в автоматизированном режиме;

- назначение условий установки, закрепления и взаимного перемещения формообразующего инструмента и обрабатываемых поверхностей.

Библиографический список

1. Залгаллер, В. А. Теория огибающих / В. А. Залгаллер. - М.: Наука, 1975. - 104 с.

2. Litvin, F. L. Alfonso Fuentes Geometry and Applied Theory / Litvin, F. L. - Cembridge University Press, 2004. - 816 p.

3. Thom, R. Sur la theorie des envelopes / R. Thom // J. de math. pur et apple. - 1962. - Vol. 41. -№ 2. - Р. 177-192.

4. Bruce J.W., and P.G. Giblin. Curves and features. Publisher "World" - 1988. - 263 p.

5. Голованов, Н. Н. Геометрическое моделирование / Н. Н. Голованов. - М.: Издательство физико-математической литературы, 2002. - 472 с.

6. Nikolaos, T. CAD-Based Calculation of Cutting Force Components in Gear Hobbing / T. Nikolaos, A. Aristomenis // Journal of Manufacturing Science and Engineering JUNE. - 2012. - Vol. 134.

7. Ляшков, А. А. Моделирование формообразования винтовых поверхностей деталей инструментальной рейкой и червячной фрезой /А. А. Ляшков // Металлообработка. - 2011. - № 1(61). - С. 2-7.

8. Ляшков, А. А. Огибающая однопараметрического семейства поверхностей как особенность отображения ортогональным проецированием гиперповерхности, заданной в 4-х мерном пространстве параметрическими уравнениями, на гиперплоскость / А. А. Ляшков, В. Я. Волков, В. С. Прокопец // Вестник СибАДИ. -2012. - № 1(23). - С. 56 - 60.

SHAPING SURFACE THE METHOD OF THE

GEOMETRIC AND COMPUTER MODELING

A. A. Lyashkov, V. Y. Volkov

Abstract. When modeling objects forming raises a lot of inadequate solved or not solved the issues related to the problem of quality of forming surface of the tool and the workpiece surface, obtained by this tool. In this paper we formulated and solved the task of developing a mathematical, geometric and algorithmic support of computer-aided design of the cutting tool on the basis of computer simulation of the process of forming surfaces.

Keywords: geometric modeling, computer modeling, discriminant, inclined helical surface.

References

1. Zalgaller V. A. Teorija ogibajushhih [Theory of envelopes]. Moscow, Nauka, 1975. 104 p.

2. Litvin F. L. Alfonso Fuentes Geometry and Applied Theory. Cembridge University Press, 2004. 816 p.

3. Thom R. Sur la theorie des envelopes J. de math. pur et apple. 1962. no. 41. no 2. -pp. 177-192.

4. Bruce J.W., and P.G. Giblin. Curves and features. Publisher "World". 1988. 263 p.

5. Golovanov N. N. Geometricheskoe modelirovanie [Geometric modeling]. Moscow, Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 2002. 472 p.

6. Nikolaos T. CAD-Based Calculation of Cutting Force Components in Gear Hobbing / T. Nikolaos, A. Aristomenis. Journal of no. 134.

7. Lyashkov A. A. Modelirovanie formoobrazovanija vintovyh poverhnostej detalej instrumental'noj rejkoj i chervjachnoj frezoj [Simulation of shaping helical surfaces rack-type tool and worm hob]. Metalworking. 2011. no 1(61). pp. 2-7.

8. Lyashkov A. A. Ogibajushhaja odnoparametricheskogo semejstva poverhnostej kak osobennost' otobrazhenija ortogonal'nym proecirovaniem giperpoverhnosti, zadannoj v 4-h mernom prostranstve parametricheskimi uravnenijami, na giperploskost' [The envelope of the one-parameter family of surfaces as a feature

display orthogonal projection of the hypersurface defined by a 4-dimensional space of parametric equations for the hyperplane]. Vestnik SibADI. 2012. No 1 (23). pp. 56-60.

Ляшков Алексей Ануфриевич (Россия, г. Омск)

- кандидат технических наук, доцент кафедры Инженерная геометрия и САПР Омского государственного технического университета. (ОмГТУ). (644080, Россия, г. Омск, пр. Мира, 11,e-mail: 3dogibmod@mail.ru)

Волков Владимир Яковлевич (Россия, г. Омск)

- доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика ФГБОУ ВПО «СибАДИ». (644080, Россия, г. Омск, пр. Мира, 5, e-mail: volkov_vy39@mail.ru)

Lyashkov A. A. (Russia Federation, Omsk) -Ph.D., professor of Engineering geometry and CAD Omsk State Technical University (OmGTU). (644050, Omsk, Mira, 11. E-mail: 3dogibmod@mail.ru)

Volkov V. Y. (Russia Federation, Omsk) - doctor of technical science, professor, head of the Descriptive geometry, engineering and machine graphics Siberian automobile and highway academy (SIBADI). (644080, Omsk, prospect Mira, 5, e-mail: volkov_vy39@mail.ru)

УДК 625.85

АЛГОРИТМ РАБОТЫ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

РАБОЧИМ ПРОЦЕССОМ УКЛАДКИ АСФАЛЬТОБЕТОННОЙ СМЕСИ

АСФАЛ ЬТОУКЛАДЧ ИКОМ

С. А. Милюшенко, С. Д. Игнатов, Н.С. Шерстнев ФГБОУ ВПО «СибАДИ», Россия, г. Омск

Аннотация. В данной статье рассматривается транспортная стратегия Российской Федерации на период до 2030 года, блок-схема сложной динамической системы управления рабочим оборудованием асфальтоукладчика с ее подсистемами и описанием последовательной работы, так же был разработан и представлен алгоритм системы автоматического управления рабочего процесса укладки асфальтобетонной смеси асфальтоукладчиком с подробным описанием последовательности действий.

Ключевые слова: система автоматического управления, асфальтоукладчик, двигатель внутреннего сгорания, алгоритм.

Введение

Правительством Российской Федерации принята «Транспортная стратегия Российской Федерации на период до 2030 года», которая предусматривает увеличение протяженности дорожной сети на 50 %. Достижение поставленной цели требует увеличения темпов строительства и реконструкции автодорог. В связи с этим повышение эффективности асфальтоукладчика на

сегодняшний день является актуальной проблемой [4,8].

Алгоритм работы системы

автоматического управления рабочим процессом асфальтоукладчика

Объектом исследования в данной работе является сложная динамическая система управления рабочим оборудованием асфальтоукладчика (АУ), состоящая из подсистем, участвующих в процессе укладки