Формирование слоистой структуры двухрастворной системы по автомодельному решению задачи распределения примеси на границе раздела: ветви перемешивания Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА МОРЯ

УДК 551.464+557.465

ФОРМИРОВАНИЕ СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ ДВУХРАСТВОРНОЙ СИСТЕМЫ ПО АВТОМОДЕЛЬНОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСИ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА: ВЕТВИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

С. И. Бардан1, Б. М. Долгоносов2

*Мурманский морской биологический институт КНЦ РАН 2Институт водных проблем РАН

Аннотация

Рассматривается безразмерная задача по распределению концентраций примеси конвективно-диффузионным переносом с неустановившейся диффузией в 2-растворной системе при растягиваемой границе раздела. В подвижной системе отсчета для проекции на ось деформации получено автомодельное решение в виде безразмерных пространственно-временных функций (Dxt) и дополнений (1-Dxt). Выделены семейства Djtf-кривых смешения с единой формой распределения примеси вдоль границ раздела и две ветви перемешивания растворов в классе морских вод: осолонения и опреснения, независимо действующие в объеме слоистых структур. Установлено соответствие распределения теоретических Dxt-функций из зон смешения вод для морей Русской Арктики. Приведены примеры решения стандартных задач океанологии по Dxt-функциям, показано сходство с результатами теории турбулентного перемешивания. Выполнен сравнительный анализ, и установлены причины отличий конечных состояний в слоистых структурах по разным решениям. Сформулированы принцип локальных равновесий и критерий объединения смежных прослоек систем растворов, согласующих особенности решений, полученных по Drf-функциям. Ключевые слова:

область река - море, слоистые системы, автомодельное решение, системы отсчета, кривые опреснения и осолонения, ветви перемешивания, деформация границы раздела, фрактал, критерий слияния прослоек, локальное равновесие.

LAMELLAR STRUCTURE FORMATION IN DOUBLE SOLUTION SYSTEM BY SELF-SIMILAR SOLUTION FOR ADMIXTURE DISTRIBUTION NEAR BORDERLINE: BRANCHES OF INTERFUSION

1 2 Sergey I. Bardan , Boris M. Dolgonosov

''Murmansk Marine Biological Institute of the KSC of the RAS

institute of Aquatic Problems of the RAS

Abstract

A non-dimensional problem of admixture concentration distribution by means of the convection-diffusion transfer with non-steady diffusion in double solution system with changing borderline for turbulent torrent, was formulated. For movable indication system, a self-similar solution have been found. Two groups of non-dimensional curves describing both salinization and desalination independently developed in multilayered system where distinguished. Adequacy of theoretical distributions for zones of sea-river mixing have been confirmed for Russian Arctic seas as an example. A comparative analysis of standard oceanological problems with examples was completed. Similarity between solutions by means of Dxt-function and results of theory of turbulent mixing was identified. Reasons for differences of final states of different solutions for lamellar structures results were revealed.

Keywords:

river-sea mixing zone, lamellar structure, branches of mixing salinization and desalination, self-similar solution, spatial-temporal function, solution interface stretching, effect of restraining diffusion, analytical modeling, convective-diffusion transfer.

Актуальность рассматриваемых проблем определяется задачей исследования механизмов самоочищения и воспроизводства свойств водной среды в наиболее загрязняемой, прибрежной зоне моря [1-4]. В Русской Арктике зоны смешения (ЗС) речных и морских вод занимают всю прибрежную область. Здесь при устойчивом поступлении материкового стока в верхний деятельный слой происходит формирование устойчивых слоистых структур - ламелл ЗС (lamellar structure), образуемых промежуточными продуктами разбавления истинно морских вод пресными [1, 4-9]. Разные степени таких разбавлений упорядочены в деятельном слое моря [9-11] и формируют систему физико-химической трансформации примесей (субстанций), переносимых в составе взаимодействующих водных масс разного генезиса [3-5, 12-15]. В ходе последовательных изменений состава веществ в разных разбавлениях морских вод в физико-химических условиях, поддерживаемых для областей река - море, происходит самоочищение среды от большинства миграционных форм не характерных в этом геохимическом классе растворов [12-16], включая большинство антропогенных загрязнений [2, 6, 11-13].

Методы аналитического описания слоистых структур ЗС река - море, возникающих при перемешивании вод разного генезиса и класса, в настоящее время относят к слабо развитым направлениям океанологии или гидрологии [6, 9, 11, 17]. Теория турбулентного переноса, применяемая для описания перемешивания в открытом море, мало пригодна для областей река -море [1, 5, 10, 17], а действие законов массопереноса из динамики гидрологических процессов ограничено приустьевой частью рек [7-11]. Для прибрежья образуется «серая зона», в которой большинство современных океанографических моделей, используемых при изучении условий обмена и трансформации примесей, применяют постановку задач с «жесткой» расчетной сеткой [6, 9, 17]. При этом игнорируются как физическое содержание, так и геохимические последствия, наблюдаемые при смешивании растворов разного состава из разных геохимических классов [16, 18-22], заменяемые формальной подгонкой под их конечное состояние [6, 11, 17].

Цель нашей работы - выявить закономерности распределения концентраций субстанций (c) в окрестностях растягиваемой границы раздела двухрастворных систем и способы их аналитического описания особыми функциями. Приводятся формулировки и общее решение задачи переноса примеси для диффузионного приближения (плоская задача) на основе принципа локальных (или «мозаичных») равновесий [1-2]. Решения при смешении пары растворов получены в подвижной (лагранжевой) системе отсчета для проекции редуцированной оси переноса (особая точка) в случае устойчивой деформации границ раздела. Приведены результаты численного решения в виде пространственно-временных функций (Dxt) и (Dhl) и их дополнений [1-2]. В статье основное внимание уделено временной функции вида: (Dxt) и (D = 1 - Dxt). Для Dxf-кривых перемешивания обсуждается вопрос о выделении двух

xt

семейств, описывающих качественно различные процессы с разными геохимическими последствиями для состава растворов и состояния экосистем в прибрежной зоне моря. Семейства этих кривых образуют две ветви смешения растворов: «опреснения» - для морских и «осолонения» - для пресных вод [13-17]. В сочетании с другими работами [2-5, 18-23] решение задачи переноса позволяет сформулировать ряд положений, являющихся основой

концепции механизмов формирования и устойчивости слоистых структур в ЗС, определяющих их эволюцию для областей река - море [1-3, 6-11].

Материал и метод

Базовая схема перемешивания основана на наблюдениях в реальных ЗС река - море [4-6, 18-22]. Нами применяется трехступенчатое представление [4, 5], адаптированное к двухрастворным системам, когда каждая из таких ступеней включает несколько четко различимых стадий смешения [1, 18-22]. В природных условиях растягивание границ разделов в ЗС проходит за счет фронтального и бокового растекания ламелл с участием градиентных течений [4, 8-11]. Ранее показано [1-2, 24], что снос перемешанных вод, с растягиванием границ раздела некоторого участка длиной ^ в его сечении, приводит к приросту доступного объема для двухсторонней окрестности раздела - прослоек, прилегающих к любым внутренним поверхностям в растворе. Это инициирует ряд гидродинамических эффектов [1-3, 24-28], связанных со свойствами агрегатного состояния - слабые растворы [13-16, 23]. Их анализируют с помощью системы дифференциальных уравнений, описывающих процессы конвективно-диффузионного переноса примеси через поверхность разделов для двухрастворной системы.

1. Схема переноса через растягиваемую границу в растворе: переменные и общая задача. Рассмотрим процесс переноса примеси между двумя растворами, применяемый в ламеллярной модели общего вида [1-3, 23-28]. При этом мы анализируем два наложенных один на другой водных раствора, а перемешивание проходит при их движении. В начальный момент времени ^ = > 0 они обладают постоянным составом и неограниченно простираются в горизонтальном направлении. Оба раствора могут иметь конечную толщину либо могут быть полу-ограниченными по вертикали (для удобства получения более простых решений). Пространство, в котором протекают анализируемые процессы переноса между растворами, трехмерное, что требует применения соответствующих ему систем отсчета. Каждый из растворов: а) занимает собственное полу-пространство, б) будет полу-ограничен по вертикали, в) разделяется плоско-параллельным промежуточным слоем конечной толщины. Такой промежуточный (или пограничный) слой обладает сложной структурой и включает в себя две достаточно малые окрестности, между которыми и проходит граница раздела в двухрастворной системе. Формально принимаем, что при х = 0 все точки расположены на поверхности раздела -«нулевая» толщина [1, 24, 26-28]. На рис. 1 приведены детализированные схемы переноса примеси через границу раздела для случая контакта двух растворов разного состава при ламинарном (или послойном) течении в жидкости, т. е. с определенным направлением переноса, как для самих растворов, так и их смесей.

Принимаем, что произвольный вектор скорости у в выделенных на рис. 1а точках ^ф,^] можно представить матрицей-столбцом компонентов по осям [29-31] с подвижной двухосевой системой отсчета. Для упрощения примем, что явления, вызванные растягиванием границ в любом элементе объема, включающего границу раздела, рассматриваются в той части плоскости, через которую проходит произвольное сечение длины I, выделенное на схеме (рис. 1а) точками ^Ь,^]. Деформация элементарных объемов по их сечению [аЬЫ] рассматривается на малом участке, включающем две окрестности, примыкающие к границе раздела (с обеих сторон, см. рис. 1). Для определенности установим, что ось х (рис. 1б) направлена из равномерно насыщенного субстанцией (солями) раствора в сторону однородного растворителя - пресных вод с низким содержанием соли (меньшей плотности). Тогда начало координат х = 0, есть граница раздела. К ней мы относим все точки сечения ^ через поверхность внутреннего раздела в двухрастворной системе, откуда толщина самой границы - условно «нулевая» (рис. 1б).

Определение скоростей деформации жидкости в объеме, ограниченном его сечением через точки ^Ь,^], составляет содержание анализа локальных движений самих точек их векторами

V [29] приведенного сечения [abcd] (рис. 1). Такая система растворов подчиняется правилам сплошных сред и описывается уравнениями классической гидродинамики [6, 9-11, 17]: состояния, неразрывности, движения и сохранения энергии [29-32]. Это позволяет формализовать их свойства. Так, для несжимаемого раствора: V V = 0, где у(г, t) - поле скоростей; г - пространственные координаты, t - время, V - линейный оператор (набла) осей x,у, z - в прямоугольной координатной сетке [28-30]. Тогда система уравнений конвективно-диффузионного переноса субстанции, выписанная по концентрации (с) любой из примесей переносимых растворами, примет вид [1, 2, 23-29]:

— + V(vc) = DДc, (1)

дt

где D - скорость диффузии примесей; А - дифференциальный оператор Лапласа.

а б

Ось деформации II переноса смеси

Перенос растворов из области начального контакта: направление оси деформации с растягиванием контура контакта (ось переноса редуцируется)

Рис. 1. Схема процессов переноса через границу раздела с ламинарным режимом течения. Показаны направление общего переноса и ось деформации (растягивания) поверхности раздела, прямоугольниками выделены элементы границы раздела «до» и «после» (пунктир) деформаций:

а - общий вид элементарного сечения [abcd] через границу раздела; б - схематизация процессов в выделенном элементе и его (малых) окрестностях по векторам v в точках [a,b,c,d]

2. Дифференциальные уравнения деформируемой границы раздела — одномерная задача.

Процесс переноса субстанции через границу раздела согласно схеме, приведенной на рис. 1, можно описать системами дифференциальных уравнений, полученных авторами ранее [1-3, 24]. Ниже приводится сводка уравнений системы (2) с кратким описанием и обозначениями переменных.

В схеме (рис. 1а, б) любое сжатие-растягивание границ внутренних разделов, представленных в растворах поверхностью сложной формы, будет приводить к деформациям сечений выделенных элементов вида [abcd]. По условию в уравнении (1) стороны элементов расположены в разных по составу растворах - разделены общей границей, через которую и проходит сечение h. Поэтому в состав каждого из элементов будет входить по две окрестности у границы. Определим их как диффузионные прослойки пары контактирующих растворов -часть полупространств, которые по знаку оси х обозначим как (±hg). По условиям неразрывности и несжимаемости жидкости, любой из таких элементов должен сохранять неизменность геометрических размеров - объема и сечений [29, 30]. Формализуем это свойство условием о неразрывности для элементарного объема (т. е. для отдельных участков границы, см. рис. 1), в уравнении общего вида: V = h0A = const (2.1), где h0 - характерный размер выделенного

элемента [1, 2]; А - характерная площадь [abcd], ограниченная точками элементов [a,b,c,d], через которую проходит граница раздела между двумя растворами разного состава в данной системе.

Уточним, что при ламинарном течении, включающем и окрестности границы, касательные напряжения, которые обозначим через Т, создаются трением между прослойками смежных слоев, что согласуется с условиями в системе (1). Тогда относительные скорости отдельных точек [a,b,c,d] любого элемента сечения h [abcd] относительно общей скорости деформации границ раздела запишем как: dv/dt = Tv (2.2), где v - вектор движения точек по осям х, у, z (см. ниже); Т - тензор скоростей в точках (или оператор Гамильтона) [2, 24, 30].

Учтем, что деформацию растягивания на плоскости сечения [abcd], проходящего за счет изменения отношения сторон ad и bc (рис. 1), можно выразить через характерный поперечный размер элементарных сечений, который в уравнении (2.1) обозначен через (h0). В дифференциальной форме изменение соотношения сторон по аргументу (t), выписанному по (h0), примет вид: dh0 /dt = -Gh0 (2.3), где h0 - характерный поперечный размер сечений [abcd]

элементов вдоль границы раздела; G - скорость деформации границ раздела (выраженная через симметричную часть тензора Т - касательных напряжений [1-3, 24]). Системы уравнений (1) и (2.1-2.3), а также граничные условия их выполнения соответствуют положениям гидромеханики по свойствам сплошных сред [1-3, 29, 30]. Поэтому и любой элемент ламеллярных структур систем жидкость-жидкость в силу своей непрерывности (несжимаемость и неразрывность среды) будет сохранять свой объем. Выше это записано как V = const, а на рис. 1 приведена площадь элементарного сечения [abcd] такого объема. Дифференцируя выражение (2.1), получим еще одно уравнение вида: dA/ dt = GA (2.4), где А - площадь характерного сечения [abcd].

Физический смысл дифференциальных уравнений (2.3-2.4) сводится к тому, что всякий прирост длины в сечении границ раздела, для случая деформации растягивания оси li с удлинением элементов [abcd] (рис. 1 а, б), по условию о неразрывности для сред, приводит к увеличению доступного объема в прилегающих к границе диффузионных прослойках ± h§ [1, 2].

Для данного типа деформаций (удлинение-сжатие), согласно уравнениям (2.3-2.4), прирост объема будет пропорционален изменению геометрических размеров в элементах на границе: по формуле (2.3), выписанной для h0, - относительно характерного поперечного размера [abcd], а для выражения (2.5), выписанного по А, - относительно изменения общей площади того же сечения. Поэтому, по условию о неразрывности всей границы между растворами, любой прирост объема в области распространения растворов должен сразу же заполняться со всех сторон (жидкости!) [1]. Так как по формулировкам из (1-2) граница не имеет разрывов, то по этому же формальному условию растворы поступают из глубин полу-ограниченного слоя через диффузионные прослойки ±h§ (рис. 1), фактически из тех частей полу-пространств, которые удалены от границ внутренних разделов и сохраняют исходный состав растворов [1]. По принятой выше для оси х записи это части областей: (х > |+S| > 0) и (х < |-S| < 0) (рис. 1 и 2 [1, 2]).

3. Пограничный слой и его свойства в решаемой задаче. Согласно обозначениям аргументов в уравнениях (2.1-2.4) и направлению осей (рис. 1), скорости микропотоков в окрестностях двусторонней границы меняются по закону: v = ±Ох (2.5а), где ±G - скорость деформации границы раздела выраженная через симметричную часть тензора Т напряжений [2, 24, 29]. Формально скорость переноса субстанций с микропотоками по формуле (2.5а) будет нарастать по модулю - с увеличением расстояния от поверхности раздела, а на самой границе, при х = 0: vj| = 0 (2.5б). Тогда диффузия потока ионов (J(x, t)) через границу раздела численно: J(х, t) ^ 0 (2.5в), что было получено авторами настоящей статьи ранее для стационарного состояния [1, 2]. Отсюда следует, что коэффициенты адвекции-диффузии (D) для любой пассивной субстанции (примеси) в окрестностях раздела: D = f(x) Ф const, то есть меняются в диапазоне от 0 до Dmax, являясь функцией скорости продольных деформаций (±G). Поэтому и D = fi(Gx) Ф const, что полностью согласуется с условиями по (1) и (2). При этом по формуле

(2.5а) для областей выше и ниже раздела по слою 5 образующиеся микропотоки будут: а) противоположными по знаку (согласно деформации «растягивание-сжатие») и б) направлены с разных сторон к слою 5 (рис. 1б). Таким образом, обе окрестности, примыкающие к границе раздела, совместно образуют общую структуру пограничного слоя: имеют «ненулевую» толщину (рис. 1б). Показано, что пограничный слой 5 обладает выраженной гидродинамической природой и имеет реальную толщину, например, состоит из двух прослоек [1-3]: 5 = [|-5| + |+5|] (2.6), где знак (±), соответствует направлению оси (рис. 1а).

Вывод уравнения пограничного слоя 5 приводится в работе [24]: 8 = урюГО , где 5 - общая толщина диффузионного слоя (2.6), откуда [1, 2]: ±|8« 0.5^2070 (2.7), где О - коэффициент

диффузии веществ, О - скорость деформации границы, совпадающая с направлением переноса, выраженная симметричной частью тензора (Т) - напряжений, возникающих между движущимися ламинарными прослойками (типа ±й§). Толщина пограничного слоя 5 определяется свойствами жидкости, динамическими условиями у границ (тензор Т), а также зависит от свойств диффундирующих веществ: для - зависит от коэффициента молекулярной диффузии данного /-го вещества (парциальный) в водном растворе. Выделим: численно было получено [1], что диффузионный перенос через пограничный слой (фиковский) может проходить только в отсутствие продольных деформаций границ и их окрестностей, т. е. растяжений-сжатий элементов [аЬсПо физическому смыслу аргументов системы (2.1-2.7) при реальных диапазонах ионов морских солей и неполярных газов (в слабых водных растворах) размер области, занятой диффузионным подслоем ±5 вдоль поверхностей внутреннего раздела, имеет порядок (пЛ0ъ м). Те же размеры соответствуют характерным масштабам элементов [аЬс^], выделяемых в окрестностях границы.

Рис. 2. Схема переноса примеси у границ раздела через учетную площадку / двухрастворной системы с подвижной системой координат и растягиваемой сплошной границей раздела, процессы и действие внешних сил на точки [а,Ь,е^] соответствуют условиям системы уравнений (1-2):

а - часть сечения I, на поверхности растягиваемой границы с площадкой / [аЬсс1] (по оси деформации условно выделены пограничные подслои толщиной ± 5 и примыкающие диффузионные прослойки ее окрестностей толщиной ±к5 (пунктиры), подвижная ось деформации (1п) - условно средняя, вдоль которой слой 5 делит объем на области турбулентного режима с разными средними скоростями (потоки щ и и2). Врезка [2] -профиль скорости V микропотоков для окрестностей прослойки +к5 по уравнению (2.5)); б - независимые оси X, Y, Z криволинейных уравнений движения для подвижной (лагранжевой) системы координат вида /(иу,м>) в сечении [аЬсс1]

Следовательно, в разделяющем растворы плоско-параллельном слое 5 (включает и малые окрестности, примыкающие к разделу - прослойки ±hs) растягивание-сжатие границ формирует переменные и ориентированные по нормали, микропотоки жидкости. Они

а

Оси вектора деформации и переноса смесей 1п 1пм

О

направлены из основной массы контактирующих растворов в окрестность границы и наоборот (рис. 2а).

По условиям для системы дифференциальных уравнений (2.1-2.7) и схемы переноса на рис. 1, 2, слой 5 в задаче о переносе ионов через поверхность внутреннего раздела будет представлен как промежуточный плоско-параллельный (или пограничный) слой неограниченной протяженности, разделяющий растворы разного состава и образующийся в момент начального контакта [1].

Для слоя 5 очевидно наличие ряда особых свойств, из которых важными для рассмотрения являются следующие. Во-первых, переменные деформации элементов на границе раздела «нулевой» толщины х = 0 для примыкающих к ней малых окрестностей ±И5 вызывают многократный приток-отток растворов (согласно знаку изменения кривизны поверхности [25, 33]), направленный по нормали к оси деформации и линиям тока жидкости [2, 24]. Во-вторых, противоположные микропотоки в окрестностях плоско-параллельного слоя (у границ растворов) есть физический механизм блокирования молекулярной диффузии [1, 2]. В-третьих, микропотоки формируются и действуют по обе стороны границы раздела в целом локально, согласно изменению скоростей деформации любого участка (рис. 1). Это и определяет однородность свойств в примыкающих окрестностях (±й5) и смежных прослойках и рассматривается нами как механизм поддержания устойчивости состава двух смешивающихся растворов [1].

Полученные результаты

1. Формулировка плоской краевой задачи о распределении субстанции у границ раздела и граничные условия турбулентного режима. Рассмотрим плоское турбулентное течение, направленное вдоль разделяющего растворы плоско-параллельного слоя неограниченной протяженности [31], образующегося в момент начального контакта. Схема переноса и микрорельеф поверхности раздела в растворах с турбулентным режимом показаны на рис. 1 и 2.

Для определенности условимся, что граница раздела в среднем ориентирована по оси деформации и переноса смесей двухрастворной системы (ось 1п на рис. 2а). Осредненные по полу-пространствам плоского турбулентного течения скорости (и) [31, 32] в областях их распространения направлены произвольно (и\ и и2 ). Как и для других известных решений системы (1) конвективно-диффузионного переноса [1-3, 9-11, 24-29], ось х выбираем перпендикулярно оси деформации поверхности раздела и линиям тока растворов с разной С-концентрацией субстанции (рис. 1 и 2а). Направление отсчетов оси х выберем (см. выше) из области распространения морских вод (раствор) в область материковых (разбавитель). Учитывая инвариантный характер форм микрорельефа поверхностей раздела [1, 25, 33], размер произвольного элементарного участка - учетной площадки f площадью 5 сечения (аЬс$) (рис. 1, 2 и ниже) выбираем много меньший, чем характерный размер (масштаб) турбулентных пульсаций [31, 33] потока, вызывающих образование мезо- и микрорельефа на деформируемой границе. Вдоль оси х (рис. 2а), в области полу-пространства - да < х < 0, находятся растворы с высокой концентрацией субстанции (примеси - морские соли), назовем его «раствор» (или «морская вода»). В области 0 < х < +<» - раствор без примесей, который обозначим как «чистый растворитель» (или «пресная вода»). Для любых решений задач о распределении С{ вдоль сложных поверхностей требуется применение подвижной системы отсчета -из-за сложности решения гидродинамических уравнений в потоке с неустановившимся режимом [6, 10-11, 31]. При этом любые прямоугольные (при £ => 0) координатные системы неизбежно трансформируются в криволинейные (рис. 2б) [29]. В таком случае системы уравнений переноса между растворами по формуле (1), т. е. плоская задача в лагранжевых координатах - система отсчета, закрепленная в данном сечении (на границе раздела, для х => 0), примет вид [1-3, 24-29]:

(3.1)

где х - ось и координата, перпендикулярные границе раздела, c(x, t) - концентрация субстанции (примеси) в точке х в момент t = 0, D - коэффициент диффузии примеси (см. выше формулу (1)).

Для определенности принимаем, что концентрация субстанции вдали от границы раздела li для «раствора» равна c0, а в области «растворителя» отсутствует. Тогда граничные условия (3.1): c(-<», t) = C0, c(<», t) = 0. Для численного решения переведем систему (3.1) в безразмерную форму по обычной процедуре масштабирования аргументов [1-3, 24, 30]. Используем формулы: t = t' / G, х = 8х', c( х, t) = C0 f (х', /'), где 8 = V 2D / G - общая толщина пограничного (квазидиффузионного) слоя. Преобразуя, получим систему уравнений для плоской задачи в виде:

f f 1 д2 f П (3 2)

— - х—----J— = 0, -<»< х . (3.2)

dt дх 2 дх

В системе (3.2) и далее штрихи опущены. Для численного решения системы (3.2) ее требуется дополнить начальными и граничными условиями. Для плоской и безразмерной задачи они имеют вид: с(х,0) = C00(х), c(-<»,t) = C0, c(<»,t) = 0, где С0 - исходная концентрация ионов морских солей (на удалении от границы раздела морских и пресных вод); параметр 9 (х) = 1 -9 (х), где символ 9(х) = {0, х < 0; 1, х > 0}, что соответствует функции Хевисайда [29, 30, 34]. Граничные условия в системе (3.2) и модели с размерной формулой (3.1) одинаковы [1-2], и система корректна.

2. Алгоритм решения задачи о распределении примеси в окрестностях растягиваемых границ. Алгоритм решения системы (3.2) в этой работе приводится в уточненном виде [2].

Для возможности численного решения ограничимся описанием первой и второй ступеней перемешивания (условие для t << 1), для которых характерен максимум развития физико-химических процессов трансформации субстанций в смеси растворов (ламелл ЗС река - море) [1, 7-13, 18-22, 35]. По схеме, используемой для системы (3), ступени перемешивания длятся от момента приведения жидкостей в контакт и до момента, когда характерные элементы микрорельефа на фрактальной поверхности раздела [25, 33] дробятся с появлением разрывов у раздела [1, 2]. Отметим, что характерный масштаб процессов у раздела неявно задается толщиной 5 пограничного слоя [1-3, 24, 25]. Причем структура границы будет последовательно «истончаться» рядом процессов: а) постоянного «бокового» растекания [7-8], при фронтальном сносе смешанных вод в море - растягиванием [9-11], б) турбулентными пульсациями в потоках, причем с обеих сторон раздела [1, 4, 18]. Постепенно ее толщина сравнивается по порядку со слоями ±5, т. е. размером блокирующей поток ионов: J(х,t)= 0 прослойки [1]. Для этих условий с дополнительным ограничением для безразмерного времени t << 1 возможно получение приближенного аналитического решения о распределении сi при использовании уже известных алгоритмов [1, 2, 24, 25-29] с их адаптацией к системе (3.2).

Будем исходить из условий для уравнения (3.2) и учета того, что ступенчатая функция

Хэвисайда 9(х) аппроксимируется интегралом, известным как функция ошибок (erf) [2, 30, 34]:

( \

, (4)

0(х) « ^erfc 2

л/20

где erf - стандартная функция ошибок, тогда как используемое обозначение erfc = 1 - erf есть дополнительная к ней функция (не путать с обратной) [17, 30, 34].

Для значения erf при аргументе t0 ^ 0 она соответствует пределу min и дает обычную ступенчатую функцию [1, 2] - стандартное решение во множестве задач, известное как «единичный скачок» для передаточной функции, обладающей свойствами непроницаемости -«квазитвердой» границы раздела в жидких системах [1, 2, 29, 30], что полностью соответствует условиям для системы (3).

Упростим систему (3.2), учитывая полученное нами ранее решение [1, 2], что с приближением к границе внутреннего раздела в контактирующей паре растворов скорости микроконвекционного переноса уменьшаются и обращаются в «нуль» для самой границы (по 2.3-2.5): Vx=0^l = 0, тогда поток через границу: J(x,t) = 0. При малых х, т. е. у границы или в ее малых окрестностях (рис. 1-2), можно пренебречь конвективным членом для системы (3), трансформировав ее в плоскую краевую задачу. Упрощение (3.2) проводим для условий: t << 1, т. е. рассматриваем начальные ступени перемешивания (см. выше). Это позволяет перейти к одномерной диффузионной задаче с ее приближенным решением, согласованным с начальными условиями - по пределу min для уравнения (4), тогда первое полное диффузионное решение в уравнении (3.2):

жо . ierfc^L], (5)

где erfc - дополнительная функция ошибок; f(x,t) - искомая концентрационная функция по (3.2).

Для приближенного стационарного решения в уравнении (3.2) требуется взять предел функции для t ^ да. Подставив, получим для t ^ да:

f( x) « 2erfc( x).

(5.1)

Сразу же оценим точность численного расчета, определив ошибку при отбрасывании конвективной составляющей в системе (3.2). Учтя знаки аргумента по оси х и подставив выражение (5) вместо с, для модуля получим:

|(xdf / dx)/(df / dt)| = t. (5.2)

По формуле (5.2) ошибка решения для системы (5) за счет отбрасывания члена, учитывающего перенос субстанций с турбулентной конвекцией, будет нарастать пропорционально росту аргумента (t) - времени, что в целом очевидно. Делаем промежуточный вывод о том, что при заданных краевых условиях для системы (3) полученное по уравнению (5) решение имеет смысл для достаточно малых промежутков. Это и учтено условием t << 1.

Далее представим общее решение для системы (5) в виде суммы: во-первых, стационарного решения при t ^ да в уравнении (5.1) и, во-вторых, нестационарной добавки, которую обозначим v(x,t):

f (x,t) = |erfc( x) + v( x,t) = Dxr (6)

Вид функции Dxt с расчетом v(x,t) по уравнению (6) находим по формуле (3.2). При нулевых граничных условиях:

— - x — - — d-2 = 0, при t > t0, -да < x< +да, откуда v(x, t0) = v0(x), v(±», t) = 0. (7)

dt dx 2 dx

Преобразуя выражение (7), получим, что добавка v0(x) будет равна разности между уравнениями (4) и (5.1):

1 ( х Л 1

v0( x) = — erfc r—— -—erfc( x). (8)

2

V2v

Решение (8) ищем путем подстановки преобразованных величин в виде вспомогательных функций v(x,t) = и(х)Т({). Нормируя и разделяя переменные, получим: 2Т' 7Т = (и" + 2хи')7и = -X . Как известно [29, 30, 34], его стандартными решениями являются выражения вида: Т = Сехр [-(А,/2) t - откуда: и" + 2хи' + Хи = 0. Преобразование переменной в виде и = _уехр(-х2) приводит к уравнению Эрмита канонического вида: у" + 2ху' + (Х - 2) у = 0 [30]. Из специальной литературы известно, что уравнение имеет спектр значений: Х= 2п + 2, п = 0, 1, ..., собственными

а" 2я-

функциями которых являются многочлены: у = н (х) = (-1)"е"2-_е~*2, где Нп(х) - многочлены

" dxn

Эрмита. Тогда общее решение для уравнения (7) запишется как дополнение к общему стационарному решению (5) и разложение нестационарной добавки V по собственным функциям:

да

у(х,0 = е-х2 £ а"Н" (х)е-("+1)("0) (9)

"=0

В системе (9) коэффициенты многочленов Эрмита ап вычисляются по формулам [34]:

1 да

^^ {Уо(х)Н"(х^ (9.1)

"Ч п -да

Для приведенного преобразования интеграла (9), с учетом решения для уравнения (8) и исходя из известных свойств функций для многочленов Эрмита [30]

егЦ - х) = -егД( х), Н п (-х) = (-1)" Н" (х), Н" (- х) = 2яН „^х), (9.2)

получаем определенный интеграл вида:

да

|е_х2Н2"(ах)дх = (4П/2)[(2"!)/"!](а2 -1)". (10)

о

Приведенные выражения позволяют проводить аналитический расчет отдельных коэффициентов интеграла в системе (9), следуя схеме:

а2" = 0, а2"+1 = 2(2/0 -1)" (10.1)

Подстановка коэффициентов из системы (10) в формулу нестационарной добавки V (9) дает:

v(х,0 = е-х2 £х^2"™ . (10.2)

л/п "=12 "!

Многочлены Эрмита вычисляем по рекуррентным формам соотношений вида [2, 24]: Н"+1(х) = 2хН"(х)-2nHn-l(x), Н0(х) = 1 Н^х) = 2х . (10.3)

Для уменьшения погрешности за счет резкого возрастания порядков чисел в ряду (10.3) перейдем к другому рекуррентному соотношению: вместо Н„(х), которое быстро возрастает по " [30, 34], вводим вспомогательную функцию hn(x) по их же отношению [2]:

К(х) = й2"+1( х) = (-1)" (10 4)

Н2" (х) Н2"+1( х) 22" (" -1)! '

В результате преобразований получаем полный набор формул, позволяющий аналитический расчет добавки v(x,t) в уравнениях (6-7) по системе (9-10). В общем виде:

да

ч х, t) = е-х2 £ Й2"-1( х)(1 - 20"е-2"(t-tо) (10.5)

4ы п "=1

Так как в уравнении (10.5) требуется перейти к пределу ^ ^ 0 (см. выше), делаем заключение о том, что расчетное выражение (6) для концентрационной функции Л(х,0 не содержит неопределенных параметров и решается численно. С учетом вспомогательного выражения для hn(x) в рекуррентных соотношениях многочленов Эрмита численный расчет в формуле (10.5) проводим следующим образом:

К(х) =1К(х) = 2х; К"+1 (х) = 2хк2" (х) + — А2"-1 (х); И2"+2 (х) = —Ц - [-хк2"+1 (х) + (2п +1)^ (х). (11)

п +1 2п + 4

Окончательно в уравнениях (6) и (8) значения функций Л(х, 0 находим как сумму

стационарного решения по формуле (5) и ее нестационарной добавки v(x, {). Учитывая

обозначения в системах (10-11), уравнение распределения концентрационной функции Л(х, t)

принимает окончательный вид:

1 1 да

Л(х,Г) = -ег&(х)е х £Й2"_1(х)(1 -^"е-2"^ = Drl. (12.1)

2 4л/ п "=1

Дополнительная к Dxt функция, которую обозначим Ц'х1, имеет вид [29, 34]:

= 1 - Dx, (12.2)

Аналитические выражения (12.1) и (12.2) получены теоретически и дают решение безразмерной системы (3.2) в виде пространственно-временных функций (Dxt). Они описывают распределение для пассивных, условно-консервативных субстанций [13-16, 23, 31, 32, 35] (см. ниже) в двухрастворной системе перемешивающихся растворов с растягиваемой границей раздела, в потоке с ламинарным или турбулентным режимом (учитывая условие о неразрывности границ по уравнениям (1-3)). Dxt-функция табулирована для требуемых безразмерных значений аргумента ^ в диапазоне i = 0.000001, ..., 1.0. Функции Dxt являются основой для расчета и моделирования процессов развиваемой нами гипотезы о механизме формирования слоистых структур особого рода - ламелл ЗС области река - море. Они возникают в процессе смешивания вод разного генезиса и являются физической основой формирования каскадов физико-химических барьерных обстановок [1, 4, 9, 12-14, 18-22].

3. Теоретические кривые распределения функции Dxt у поверхностей раздела. Расчет проводили для одного и того же объема (с площадью сечения [abcd\), двигающегося в потоке перемешивающихся растворов (см. пункты 1-2 «Материала и метода») в формулировке (3), для учетной площадки f плоско-параллельного слоя неограниченной длины, в котором и проходит граница раздела в растворе (рис. 2). Метод подвижного анализа (эйлеровы координаты) приводит к редукции оси деформации раздела между растворами (сноса смесей). Поэтому в решении (12) ось сноса перемешанных вод сохраняется только как проекция координат Dxt, где ей соответствует особая точка [1, 29]. Численное решение о распределении сi примеси вдоль границ внутреннего раздела в двухрастворной системе получено относительно этой особой точки. На рис. 3 приводится сводка результатов в виде отдельных Dxt-кривых (1-8) на двухмерной плоскости для стационарных условий - случай постоянного растягивания границ раздела [1, 2].

■0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 О О.! 0.2 0.3 0.4 0.5 "0-5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Расстояние отгранил раздела (всех=0, при {=>0) Расстояние О1границраздела(всех=0,приг=>0)

Рис. 3. Форма временных функций Ц^ и Dxt по данным численного решения плоской краевой задачи (12)

в безразмерных координатах по аргументу ti, которое выполнено по сечениям 1-8 одного и того же объема, движущегося в потоке растворов вдоль оси деформаций границы (и сноса вод), при и {1 - 0.0001; 2 - 0.001; 3 - 0.002; 4 - 0.01; 5 - 0.03; 6- 0.02; 7 - 0.12; 8 - для и ^ да }:

а - общий вид Ц^-кривых распределения с, (вспомогательные построения на фазовой плоскости процесса уточняют особенности формирования двух семейств кривых по секторам, показаны: особая точка {0; 0.5} -проекция редуцированных осей деформации и переноса смесей, пунктирной линией по с, = 0.5 - условие полного перемешивания); б - общий вид распределения с, дополнительной функции: Ц = 1 - Ц^, дающей симметричные решения Ц^-кривых в системе (12)

Результаты расчетов представлены на фазовой плоскости процесса перемешивания пары растворов как набор Ц^-кривых, построенных относительно особой точки. Приводятся кривые

для моментов безразмерного времени, аргумента tf. 1 - 0.0001; 2 - 0.001, 3 - 0.002; 4 - 0.01, 5 - 0.03; 6 - 0.02; 7 - 0.12, предельный случай - кривая 8, для t; ^ да. Трансформации Dxr^wbix по обеим окрестностям границ раздела по ti закономерно меняют форму от близкой к ступенчатой в более пологие кривые сечений. 2 ^ 3, ..., ^ 7, аргумента {t1 ... tn, ... t ^ да }. Так, ступенчатая функция в момент ti => 0 отражает полную непроницаемость поверхности раздела для процесса молекулярной или турбулентной диффузии (рис. 2б и 3). По Dxf-функции это аналог «квазитвердой» границы с соответствующими свойствами [23, 29-31, 35]. Предельный случай при ti = 0 - «отсутствие» контакта вод, формально запись ti => 0 более корректна. Скачок, характерный в момент, близкий к начальному контакту, при t; ^ 0 (кривая 1, для ti = 0.0001) последовательно трансформируется в слабую криволинейную форму (кривые 2, 3), а затем в двояковыпуклые формы (кривые 4-7) со сменой знака кривизны Dxt-кривых в «особой точке» фазовой плоскости. Такая же эволюция проходит для дополнительной кривой Dxt = 1 - Dxt. При этом трансформация кривых зеркальна и разворачивается в других секторах

фазовой плоскости процесса перемешивания - симметрично основной D.rt-функции. Трансформация D.rt-кривых по сечениям протекает вплоть до стабилизации по ci в равновесном состоянии. Это показано кривой 8 при ti ^ да как max предел D.rt-функции. Стационарность состояния двухрастворной системы в этом случае определяется условиями в уравнениях (1-3) о сохранении скоростей деформации поверхности раздела и ее окрестностей. а) при постоянном сносе смесей и б) трении смежных слоев, восстанавливающих однородность состава растворов с развитием микроконвекции (см. выше и [1, 2, 24]). Это механизм поддержания существующих концентрационных разностей (Лсг) субстанции в смежных прослойках ЗС. Д{сп; сп±1} Ф 0. Тогда в слое 5 с концентрацией с5, для примыкающих к нему ±h5, получаем условие. с5 Ф с5 ±1 (см. ниже).

Для выявления особенностей перемешивания по секторам фазовой плоскости смешения [14] проведем разделительную линию, проходящую через точку сi = 0.5, на рис. 3а, б -штриховые горизонтальные линии, нормальные к оси границы раздела, при х = 0. Такое построение выделяет для Dxt- и Dxt -кривых по два сектора с однородными процессами,

что имеет важный физический смысл. В верхней части рис. 3 выделены все растворы с безразмерной концентрацией сi > 0.5, в нижней - смеси при сi < 0.5. Следовательно, по системе (12), с одной стороны слоя, примыкающего к разделу, проходит процесс постепенного роста концентраций субстанции (примесей) - т. е. в «растворителе», с другой стороны границ -разбавление насыщенных субстанцией растворов тем же «растворителем». По условиям в системе (3) оба процесса развиваются независимо и изолированы по границе раздела. Сама же штриховая линия сi = 0.5 (рис. 3) соответствует состоянию двухрастворной системы при полном перемешивании (рассматривается случай равных объемов [4, 31]). Это также предельный случай, который соответствует определенному значению толщины слоя 5 (по критерию разрушения-слияния смежных прослоек), когда граница будет размываться, а концентрационные разности выравниваются. Д{сп = сп±1} = 0, т. е. смежные слои объединяются (см. выше и далее).

Для границы раздела последовательность D^^^^b^ в приведенной координатной сетке (рис. 3) следует рассматривать как постепенное изменение сi во времени, т. е. отображающее перенос субстанции в фазовой плоскости двухрастворной системы [1, 5, 13-14]. Причем D.^i-кривые группируются по характерным секторам плоскости, а характер их изменения указывает на расхождение изолиний примеси в пространстве состояний при сносе вод в море. Исходя из распределения кривых по секторам, в «особой точке» на границе раздела, проходящей внутри плоско-параллельного слоя 5, проходит формирование двух семейств D^^^^b^ с качественно различными процессами [12-17, 35]. Нами эти семейства разделены как. а) D^^^^b^ опреснения в геохимическом классе морских вод (на рис. 3 - сверху); б) семейство D.rt-кривых осолонения морскими растворами в классе материковых вод (на рис. 3 - внизу) [4, 5, 16].

4. Пространственная форма Dxrфункций при деформации границ. Проследим динамику одномоментных значений Dxt во времени по разным сечениям в потоке - вдоль оси деформации

растяжения и вектора сноса смешивающихся вод. Учтем, что лагранжева система координат в системах (1) и (3) подвижная, т. е. «привязана» к перемещающемуся объему жидкости (рис. 2б). Тогда по Ц^-кривым 1-8 (рис. 3) можно трансформировать временные Ц^-функции в их пространственную форму - семейства Цы1-кривых. Согласно системам (1-3), отсчеты аргументов расстояния I, и времени и, ведутся от точки (области) начального контакта растворов и до любых произвольных моментов (точек) на оси сноса, откуда I, = /(и,). Сам расчет эквивалентен восстановлению редуцированной оси переноса I, по стандартной процедуре [1, 29]. Проводится замена числовых значений и, на расстояние I, пройденное одним и тем же элементарным объемом за промежуток от момента начального контакта в данную точку. Для расчета формы ,Ьп) учтем, что по оси ординат, нормальной к оси деформации-сноса,

отсчет функций Ц^ проводится в пределах, занимаемых плоско-параллельным слоем. Причем, для безразмерной формы значения х меняются в диапазоне [-0.5; +0.5]. Полную толщину обозначим Ы0, тогда f1^x¡ ,1 ¡п ) = /1(Ы0,1). Саму пространственную функцию обозначим Цы1,

а дополнительную к ней - Ц'ы = 1 - Цыи

Набор выбранных изолиний с, для ЦЫ1 строим на оси деформации для значений, табулированных и, для произвольного элемента / двигающегося в потоке вдоль редуцированной оси, которую обозначим 0L¡. Результаты перерасчета решений по системе уравнений (12) показаны на рис. 4а и б - для функции ЦЫ1 и дополнительной пространственной функции Ц'ы = 1 - Цы соответственно.

I-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.6 1

Пространственная функция (О'Ы) по (12а), диапазон Ы: [0; 1]. Дополнительная функция (В'Ы = 1 - ВЫ) по (126), диапазон 1л: [0; I].

"Антиязык": отсчетрасстояний по 1л от контакта, при ¡=>0. Форма "Антиязык": отсчет Ы от точки нач.. контакта [1=>0))

Рис. 4. Автомодельные формы пространственной функции Цы (а) и ее дополнения Цы = 1 - Бы (б)

как двумерные распределения с, (безразмерного вида) вдоль границ раздела растворов. Выделены два семейства изолиний распределения примеси (изогалин), вертикальными линиями на схеме (а) показаны сечения границ раздела (в порядке по аргументу и,). По оси ординат - векторы диффузии и шкала толщины (глубин) слоистой структуры (Ы0), отсчет от границ раздела, для х = 0; по оси абсцисс - вектор деформации и средняя для линий тока, расстояния Ь, отсчитываются от точки начального контакта, при Ь, => 0 (и0 => 0)

Приведенные на рис. 4 изолинии ^ построены относительно пограничного слоя 5 и соответствуют его полному продольному сечению I, (рис. 2) [1, 2]. Вертикальными линиями на рис. 4а показаны отдельные сечения, по которым строили Цы1-функцию. Граница раздела проходит по оси абсцисс и спрямлена. Исходно она ориентирована как средний вектор деформации, совпадающий с осредненным направлением переноса смешанных вод [1], и представлена фрактальной линией сложной формы и бесконечной длины (по определению [25, 33]). Ось ординат (рис. 4) характеризует толщину слоистой структуры Ы0 и соответствует направлению конвективно-диффузионного переноса примеси и растворителя по областям, разделенным плоско-параллельным пограничным слоем, формирующимся потоками смешивающихся растворов. Для всех ступеней смешения двухрастворной системы (рис. 4) распределение изолиний по полу-пространствам вдоль оси 0Ь (деформации и сноса), как и выше

для Dxí-кривых, представлено двумя семействами изогалин (безразмерные). Изолинии упорядочены относительно границы раздела, проходящей по Ы0 = 0, характеризуя их распределение вдоль растягиваемой границы при фронтальном переносе стоковым течением, с устойчивой деформацией границы (рис. 2б). Это и определяет устойчивость деформации всей поверхности раздела в данной системе растворов.

Пространственные Dыl-функции по уравнению (12) получились однообразной формы: они зеркально симметричны относительно слоя раздела. Процессы опреснения или разбавления сильных растворов морских вод (по рис. 4а) проходят в нижней части ламеллы для морских вод. Осолонение или насыщение вод материкового генезиса растворами морских солей проходит в верхней области слоистой структуры. Дополнительная функция = 1 - Dhl на рис. 4б также

симметрична по отношению к основной и описывает параллельные, но противоположно направленные процессы, фактически иллюстрируя принцип действия Ле Шателье - Брауна.

Отметим, что применение в формулах (1)-(3) подвижной системы отсчета позволяет проводить продольные сечения вне зависимости от сложности форм фрактала - поверхностей раздела, возникающих в турбулентном потоке [2, 24-29]). При этом для функций Dhl подвижная система отсчета в уравнениях (1)-(3) и глобальная система фиксированных прямоугольных координат (рис. 2б) [29, 30] совпадают только в одном случае - при смешивании равных объемов растворов [1, 31]. Исходя из структуры слоистых систем, это условие соблюдается только для «сжатой» на 1-й ступени перемешивания ламеллы ЗС (см. далее). В точке начального контакта растворов изолинии с^ сразу же начинают расходиться. Поэтому с учетом формы и характера распределения DЫl-изолиний на рис. 4а очевидно, что пространственные Dыl-функции сI приобретают единую форму только относительно положения границы раздела в растворах. Подчеркнем еще раз, что на рис. 3 и 4 рассмотрен случай равных объемов перемешиваемых растворов (см. выше). Как и выше, линия раздела между процессами опреснения и осолонения, проходящая вдоль оси 0Ь, разделяет области качественно разных физических явлений, связанных с осолонением и опреснением морских вод, что распространяется и на ламеллы ЗС река - море.

Поэтому, согласно свойствам границы раздела, любые трансформации субстанций в областях полу-пространств выше и ниже слоя раздела изолированы друг от друга и проходят независимо.

5. Прикладные аспекты Dxrфункций: решение океанологических задач. Безразмерная форма Dxí-функций в системе (12) требует ввода числовых множителей и нормирования для придания физического смысла согласно рассматриваемым процессам. Решения (3) в приближении по формуле (12) в виде Dxí-функций имеют практические приложения в анализе реальных явлений и процессов, проходящих в открытом море и областях река - море [5-11, 17-22]. Функции, сходные с полученными выше для семейств Dxí-кривых (рис. 3а), известны для распределений концентрации ионов при смешении вод разного генезиса из приложений гидрохимии или физико-химии слабых водных растворов [12-17, 23, 35]. Наибольшую известность они приобрели как «практические кривые», используемые при расчете объемного перемешивания, например, как кривые смешивания разных разбавлений раствора морских солей-полиэлектролитов.

Введение нормировочных множителей для Dxí-функций позволило использовать их в решении стандартных океанологических задач. На рис. 5 приведены результаты аппроксимации Dxí-кривыми таких задач [6, 8-11, 17, 32], а также их сравнительный анализ с результатами обработки стандартными методами прикладной океанологии по данным работ [4, 18-22]. В легенде схем приведены значения аргумента ti {t1... 4, ... t ^да } от 0.000001 до предельного, по которым строили отдельные Dxí-кривые промежуточных решений в задачах. По ходу иллюстрации применения Dxí-функций проводили сравнительный анализ результатов обработки тех же данных традиционными для океанологических исследований методами [6, 11, 17, 31]. Конечные состояния, полученные стандартными методами, показаны овалами -

точки М (рис. 5). Для иллюстрации результатов расчета по ДхГкривым пунктирами даны линии полного перемешивания и конечных состояний вод на основе ДхГфункций (рис. 3).

Рис. 5. Примеры прикладного применения ДхГфункций для решения океанологических задач с введением нормировочных множителей в семейство ДхГкривых (см. рис. 3а). Проводится сравнительный анализ полученных результатов с итогами стандартных методов океанологии: для иллюстрации отличий применения Д^-функции штрих-пунктиром проведены линии полного смешения и стационарные решения по Дxt по формуле (3) для слоистых структур при t ^ ж (см. текст):

а - задача распределения энтальпии при перемешивании (Tw, °С) для ламеллы ЗС река - море, при h0 = 1.6 м, с границей раздела на глубине 0.7 м; б - анализ ¿-кривых трех водных масс; б - анализ Т^-диаграмм перемешивания для двух водных масс по прямой смешения

Задача А. На рис. 5а изображено решение задачи о распределении теплосодержания (Tw, °С) в реальной слоистой структуре - ламелле ЗС классического эстуария в Кольском заливе в весенний период [20, 21]. Средняя толщина h0 ламелл на вершине эстуария составляет 1.6 м, граница раздела расположена на глубине 0.7 м [4]. В весенний период смесь морских и пресных вод с разной энтальпией проходит путь полного перемешивания от вершины к устью эстуария ~L = 50 км, в среднем за 5-6 суток. Рассмотрен случай, когда относительно теплые (Tw = 6 °С) и сильно опресненные воды распространяются поверх холодных (Tw = -1.2 °С) и соленых морских вод.

Результаты стандартного анализа перемешивания по ^-кривым и с использованием ДхГкривых в промежуточных состояниях подобны, вплоть до наступления стационарного состояния в ламелле ЗС по ДхГфункциям. В стандартном подходе конечным результатом перемешивания является точка М: кривая энтальпии вырождается [32]. В случае ДхГкривых ламелла стабилизируется с постоянным расслоением, а основные различия между методами сводятся к конечному состоянию для толщи перемешанных вод. Известно, что в натурных условиях расслоение сохраняется вплоть до размывания ламеллы в водах прибрежной зоны, а в морских водах - стратификация устойчиво соблюдается. Поэтому состояние для точки М -нереалистичный «идеал» [31]. Расчеты по ДхГфункции дают более точный результат: устанавливается grad Tw = const вплоть до разрушения структуры ламелл в ЗС. Это и позволяет сделать вывод о более адекватном описании процесса полученными нами ДхГфункциями.

Задача Б. На рис. 5 б приведен анализ вертикального расслоения водной толщи по Tw, ¿'-кривым при трансформации вод по солености (¿-кривые смешения). Нами рассмотрен случай трех стратифицированных по глубине водных масс (Е1, Е2, Е3). Центры масс располагаются в толще вод на глубинах до 240 м (для Е1 = 5 м, Е2 = 20 м и Е3 = 130 м), причем две верхние массы сильно опреснены (Е1 = 4 %о; Е2 = 14 %о) и подстилаются чисто морскими водами (при Е3 ~ 34.2 %о). Данные характеризуют гидрологическую обстановку у входа в Кольский залив (побережье Баренцева моря) в период окончания весеннего гидрологического сезона [4, 20].

Результаты применения стандартного метода ¿-кривых и использования ДхГкривых на промежуточных стадиях перемешивания дают сопоставимые результаты, вплоть

до наступления стационарного состояния (по ДхГкривым). Причем по стандартным Tw, ¿'-кривым перемешивания конечный результат достигается образованием вначале двух, а далее одной общей массы, когда кривая смешения вырождается в точку М. Ее термохалинный индекс рассчитывают по формуле смешения: S = (т1S1 + m2S2 + m3S3)/(m1 + m2 + m3) [31]. В методе ДхГкривых формируются те же массы (см. рис. 5б, кривые), которые, трансформируясь, стабилизируются с соблюдением стратификации - в устойчивом состоянии. При этом сохраняется упорядоченность с расслоением по вертикали и разной стратификацией по трем областям водной толщи при grad S1,2,3| => const1,2,3|. Ядра масс сохраняются вплоть до истощения границ ламеллярной структуры (по критерию слияния) [1]. Различия результатов двух методов те же, что и выше для конечного состояния толщи воды, причем промежуточные результаты обоих методов схожи при полном различии конечных состояний для толщи перемешанных вод.

Задача В. На рис. 5в проводится анализ перемешивания двух первоначально однородных водных масс (Е1, Е2) стандартным методом Tw, S-диаграмм и по ДхГфункциям. Массы имеют разные Tw, ¿-характеристики: Ei{S = 35.4 V; Tw = 4.0 °С}, E2{S = 33.7 V; Tw = -1.8 °С}, что соответствует условиям зоны Полярного фронта (северо-восточной части Баренцева моря) в летний период, при глубинах ~400 м [21-22]. Как и выше, промежуточные результаты методами Tw, S-диаграмм и при использовании Дxt совпадают вплоть до стационарного состояния. На рис. 5в показана прямая смешения для ДхГфункции и точка конечного смешения М стандартного метода, различия, как и выше, в конечном результате перемешивания. В стандартном методе Tw, S-диаграмм - это точка М, или масса с термохалинным индексом (см. выше). В методе ДхГкривых устанавливается прямая стратификация вод при устойчивом grad (T,S)| => const. Последнее соответствует наблюдаемому в натурных условиях распределению Tw, S-индексов из областей полярного фронта в процессе формирования глубинных баренцевоморских вод [21-23].

Анализ трех задач показывает, что промежуточные результаты применения обоих методов будут сходными при одновременном полном различии конечного состояния в смеси вод. Это стратификация и расслоение для ДхГфункций либо гомогенное образование по стандартным методам. Совпадение с современными океанологическими методами наступает только в случае полного разрушения структуры вод - размывания границ раздела и нарушения условий стационарности, так как в отсутствие деформаций границ слоистая структура исчезает [1, 2]. Следовательно, полученное по формуле (12) решение задачи переноса и распределения концентраций у растягиваемых границ раздела является основным уравнением для аналитических расчетов (или моделирования) процессов перемешивания, в которых конечным состоянием для смеси является образование слоистой структуры (рис. 3-5). В рамках наших работ последствия таких решений определяются рядом эффектов в гидродинамическом пограничном слое толщиной ± 5 (2.7) на растягиваемой границе раздела в паре перемешивающихся растворов [1, 2]. Фактически эти эффекты определяются поверхностными силами, действующими в объектах такого рода.

Обсуждение результатов

1. Кривые перемешивания: опреснение и осолонение растворов. По решению (3) в системе (12) получены разные типы ДхГкривых смешения и их дополнения, обычно наблюдаемые при опреснении океанических и осолонении растворов пресных вод. Приведенные в графической форме результаты двух семейств кривых позволяют провести их интерпретацию по особенностям изменения функций Дxt по разным секторам фазовой плоскости процесса смешения (рис. 3а). В выделенных секторах (рис. 3) располагаются только однородные по знаку кривизны и форме выпуклости ДхГкривые, т. е. смеси в системе всегда будут упорядочены, как и их положение в фазовой плоскости {сг, хг}. Изменения кривых 1-8 (рис. 3а, б) по секторам носят прямо противоположный характер, определяя форму

и направление трансформации веществ в растворах. В приложении к взаимодействию растворов из разных геохимических классов вод [16] это будут качественно разные процессы по последствиям для их вещественного состава и среды [12-15].

Особенности физико-химических явлений, возникающих при разбавлении чистой водой (т. е. пресным стоком) водных растворов морских солей-полиэлектролитов давно известны [4-9, 31]. Для растворов морских солей из области разбавлений ci < 0.5, расположенной с одной стороны границы раздела, будут проходить процессы, известные как «осолонение» пресных вод [13-16]. В таких смесях происходит резкое увеличение ионной силы растворов (IZ) и развитие системы явлений с необратимой трансформацией миграционных форм элементов, входящих в состав геохимического класса пресных вод [7-9, 18-22]. Их движущей силой является изменение IZ за счет роста концентраций солей-полиэлектролитов [7, 9, 16], сопутствующие им процессы для природных вод - лавинная седиментация, перезарядка оболочек взвесей, изменения дисперсности, гидрофобность, сольватация и др. [13-14]. С другой стороны поверхности раздела в области смесей ci > 0 проходит противоположный процесс - «опреснение» (разбавление) растворов морских полиэлектролитов океанической солености слабыми растворами пресных вод. Это приводит к резкому снижению в смеси IZ [13, 16, 35]. Для таких смесей развиваются необратимые и качественно другие формы трансформации их состава, наблюдаемые в геохимическом классе морских растворов [9, 12-16]. К сопутствующим опреснению явлениям относят гидрофильность, освобождение связанных в хелаты форм тяжелых металлов, образование коллоидных структур, растворение осадочных пород и др. [7, 13-15].

При этом разделяющая линия (при ci = 0.5) имеет точный физический смысл: она отображает условия достижения предельного равновесия при ci = const (случай равенства объемов смешиваемых растворов) [31]. На фазовой плоскости {сг, хг} эта линия определяет момент «полного» перемешивания во всем объеме, когда концентрационные разности Д{с„ = с„±1} = 0, - условие, когда смежные слои сливаются. Поэтому гомогенизация - есть разрушение пограничного слоя, в котором проходит граница раздела (см. точку «М» на рис. 5).

2. Геохимическое содержание ветвей перемешивания. Важный промежуточный результат перемешивания разных разбавлений морских вод связан с возникновением пограничного слоя при растягивании границ раздела, когда происходит формирование семейств однородных ДхГкривых. С одной стороны границы это семейство ДхГкривых опреснения, с другой - семейство ДхГкривых осолонения, которые относятся к разным ветвям смешения вод разного состава и генезиса [1, 4, 5, 18-22]. Пространственная форма Д^-функций также реализуется как два разных семейства изолиний ДхГкривых смешения, при этом и семейства Ды-функций формируются выше-ниже границы внутреннего раздела (рис. 1, 4).

Начальный момент для (l, t0) ^ 0 по решению (12) соответствует ступенчатой функции (рис. 3). По системе (12) процесс смешения начинается прямо в точке начального контакта и в тот же момент распадается на две практически изолированные ветви перемешивания - ветвь опреснения морских и ветвь осолонения пресных растворов. В каждой из ветвей существуют специфические ДхГкривые (рис. 3 и 4) при разных геохимических последствиях для состава примесей в растворах, принимающие необратимый характер (см. выше). Хотя обе ветви перемешивания возникают одновременно, при этом: а) они развиваются независимо друг от друга, как разделенные поверхностью со свойствами «твердых» границ; б) по-разному «растворяются» в массе окружающих ламеллы ЗС морских водах. Поэтому в разных ветвях перемешивания и для различных разбавлений морских вод, отличающихся по IZ, на пути смешивания вод разного генезиса в структуре ламелл ЗС одновременно в одном и том же сечении будут проходить противоположные по физико-химическому содержанию процессы трансформации переносимых в растворах веществ [4].

Большая часть таких изменений несет для прибрежной зоны моря глобальные геохимические и экологические последствия. К ним мы относим, например, лавинную

седиментацию взвесей или их диспергирование, гидратацию/гидрофильность оболочек ионов с изменением знака заряда на коллоидах и в дисперсных структурах, выход/переход из/в хелатных комплексов тяжелых элементов (для токсичных форм), растворение/образование осадков или явления формирования дельт и каньонов [1, 3, 7, 9, 18-23, 35]. Это и позволяет сделать вывод о том, что в каждой из выделенных на рис. 3 и 4 областей, разделенных слоем 5, проходят качественно различные явления - осолонение и опреснение. Для них действуют специфические законы и существуют специализированные семейства кривых смешения [1, 3]. С позиций гидрофизики (или механики процесса перемешивания), содержание этих различий -несущественно, тогда как геохимически это будут качественно разные явления. Глобальность таких последствий наиболее выражена и очевидна именно для областей река - море.

3. Автомодельность решения и ее последствия. По характеру решений системы (3) по формулам (12) слоистые структуры разобранного вида относятся к объектам особого рода -фракталам [1-3, 25]. Они обладают весьма необычными свойствами: их длина, площади и объемы в одних видах фракталов равны нулю, в других - близки к бесконечности [33]. Но основным свойством фрактала является их самоподобная структура, или автомодельность в системе (12). Это значит, что в самом простом случае даже небольшая часть такого объекта содержит всю информацию о всех масштабах [25]. Согласно рис. 3 и 4, автомодельное решение в системе (12) очевидно на функциях Дх{ и Ды (12.1) и дополнительных к ним Дх( Ды) = 1 - Дхгфъг) (12.2), что и показано на примерах рис. 5.

Так, геометрические масштабы разобранных слоистых структур различаются в 105 раз и более при неизменном сохранении самоподобия в распределениях с^ приведенного рода. Мультипликатор масштаба размерных форм в слоистых структурах по длине достигает 105 раз и более, а на рис. 5а, б вертикальный масштаб Ы0 меняется в ~104 раз. При этом картина расхождения с-кривых по изолиниям воспроизводит детали всех масштабов (рис. 3, 5). Для безразмерной Ды1 относительно 0L масштаб мультпликатора составляет 0.00001 или ~105 раз (рис. 4а, б). Следовательно, при реальных изменениях размеров (масштаба) структур такого же рода, будут выделяться и их основные структурные элементы, которые характерны для всего указанного диапазона. Для слоистых структур области река - море отметим такие особенности:

а - вдоль границ выше-ниже границ разделов будут выделяться две ветви смешения: опреснения и осолонения морских вод (разбавления-насыщения в слабых растворах) (рис. 3-5);

б - в разных ветвях перемешивания действуют специфические кривые (рис. 3а, 4а);

в - в слоистой системе будут выделяться ее устойчивая и нестационарная части (рис. 4).

В настоящее время известно, что структура природных фракталов влияет на большинство проходящих в них физических процессах, выступая как носитель особых свойств. К таким объектам относят, например, русловые сети, древесные структуры, а также слоистые системы самого разного рода [2, 25, 33], которые по-другому рассеивают излучения, проводят массопотоки или электричество и т. п. Как следует из нашей и других работ [3, 13-14, 16, 25], в объектах этого рода несколько по-другому проходят и процессы массопереноса веществ [1, 2].

4. Сравнительный анализ применения функции Dxt. Полученные теоретические решения (3) в форме ДхГкривых придают уже известным «практическим» кривым смешивания [31, 35] формальное теоретическое обоснование как независимого теоретического решения в системе дифференциальных уравнений общего вида (1-3). С другой стороны, распространение и реалистичность распределений этого же типа есть прямое подтверждение корректности результатов решения задачи о переносе примеси через границы внутренних разделов для двухрастворных систем в случаях их деформаций растягивания-сжатия [1-5, 18].

Сравнительный анализ методов, традиционно применяемых в океанографии (аналитическая геометрия Гте, ¿-диаграмм, метод масс и кривые смешения), показывает, что основные различия двух подходов сводятся к разным конечным состояниям формирующихся

смесей вод. Промежуточные результаты расчета носят сходный характер вплоть до наступления стационарного состояния в методе ДхГфункций. При этом известно, что в натурных условиях расслоение и стратификация водных масс, в том числе и при перемешивании, сохраняются, а исключения обычно оговорены. Недостатки стандартных методов анализа давно известны, и для коррекции конечного состояния толщи вод океанологами отработана система поправок [8, 31]. Авторы настоящей статьи предполагают, что как подобие промежуточных результатов, так и характер отличий, по сравнению с традиционными методами океанологии, определяются применением разных форм функции Крампа. Дело в том, что в полученных нами пространственно-временных функциях Дх{ и Ды используется функция ошибок егй(х), а также ее дополнение ег&(х) = 1 - егДх) [30, 34], при этом в классической океанологии используется прямая форма - интеграл вероятности Ф(х) [31].

Сами стандартные методы анализа Tw, S-кривых и метода масс теоретически разработаны В. Б. Штокманом [32] и развиты В. Н. Мамаевым [31] до уровня общей теории перемешивания (океанических вод). При этом расчеты изначально проводились с использованием обычного интеграла вероятностей Ф(х), табулированного по справочникам [30]. Применяемая нами функция ошибок егй(х) и ее дополнения: erfc^) = 1 - егй(х) введены в науку сравнительно недавно [30, 34] и не были известны основателям русской или советской океанологии. Этими методами пользуются до сих пор при решении прикладных задач и современные океанологи (без их модификации). В своих работах, решая задачу о распределении концентраций для случая растягивания границ раздела жидких систем, мы использовали современный подход для решения дифференциальных уравнений (1-3), что и привело к соответствующим результатам.

Выделим общеизвестный факт, что в теории вероятности все эти функции связаны друг с другом точными соотношениями. Например, связь между разными формами функции Крампа

имеет вид [30, 34]: ф(х) = * L t2dt = ^[1 - erf (х/V2)] = V,(х).

V2^ 2 2

Это объясняет как причины схожести промежуточных результатов, так и различия для конечных состояний водных масс, при одновременном использовании обоих подходов в одной и той же стандартной задаче. Поэтому причиной выявленных отличий результатов обработки, по нашему мнению, является использование разных форм представления Ф(х), с одной стороны, стандартного интеграла Ф(х), с другой - функции ошибок егй(х) и ее дополнения: ег&(х) = 1 - егй(х), имеющих различные конечные (финальные) решения. Это и приводит к разным конечным состояниям смешивающихся вод. Как правило, применение стандартного интеграла Ф(х) приводит к вырождению изолиний в точку на плоскости, а в случае применения егй(х) устанавливается устойчивая стратификация - расслоение смесей. Последнее соответствует большинству наблюдений в природных условиях, в отличие от результатов с использованием Ф(х).

Полученные авторами решения для систем (1-3) создают возможность разрабатывать формы аналитического описания явлений перемешивания моделями, имеющими физический смысл. Приведенные на рис. 5 примеры приложения ДхГфункций к реальным гидрофизическим обстановкам морей Русской Арктики позволяют сделать вывод, что по сравнению с общепринятыми методами, при всей схожести промежуточных результатов, более адекватным будет описание перемешивания пространственно-временными функциями Дх{ и Ды. Изначально они разрабатывались нами для приложения к слоистым структурам жидкость-жидкость общего вида [1, 2, 24] и основаны на функции егДх) и ее дополнении ег&(х) = 1 - егй(х). Такие решения более соответствуют наблюдаемым в природе процессам, причем для разных типов слоистых структур, т. е. не ограничены случаем прибрежья и ламеллами ЗС река - море [1, 2, 19-22].

5. Критерий объединения прослоек: рост пограничного слоя и расхождение изолиний. Для системы уравнений (3) мы отмечали условие о соблюдении соотношения между размером турбулентных вихрей в потоке и микроформами рельефа в пограничном слое [1, 2]. Для размеров

учетной f площади 5 (рис. 1 и 2а) уточним его как (5 »8« Ы0) (2.8). При этом

для структуры слоя 5 - границы раздела в уравнении (12) существует и неявное ограничение, определяющее соотношение между размером 5 и смежных с ним прослоек, так учитывая, что 5 = [|-5| + |+5|] (рис. 1 и 2а), формально между (±5) и (±Ы5). Учет этого ограничения позволяет правильно интерпретировать некоторые из решений (3) по уравнению (12).

Для формализации определимся, что ±Ы5 - характерный минимальный размер смежных прослоек, прилегающих с обеих сторон к поверхности раздела 5 (условно «нулевой», см. выше). Если обозначить для 5 концентрацию с5, то в примыкающих прослойках ±Ы5 они запишутся как с5±1. Выше решениями по формуле (12) получено, что при данных температуре, вязкости и гидродинамических условиях (в прочих равных условиях) [23, 35] величина с5, с5-1 и с§+1 постоянна в данной системе растворов (рис. 3-4), вплоть до полного разрушения структур и исчезновения границ раздела [1, 4]. Это дает основания для формулирования критерия слияния (объединения) смежных прослоек. Критерий, выписанный относительно с\_ для окрестностей 5, в виде формального логического выражения существования (и сохранения) хотя бы части стабильной структуры на границах раздела, можно записать таким способом:

если [(с§ Ф с§ +1) V (с§ ф с§ -1)] с (±Ы§). (13)

где с - логический предикатор или функтор включения части общего выражения.

В такой форме запись в (13) характеризует самые общие условия размывания границ разделов слоистых структур. Для решений по (12) его смысл сводится к тому, что в отличие от записи в (3), уменьшение толщины (и объема) прослоек ±Ы5 вдоль двусторонней поверхности 5 будет иметь физический смысл не во всех случаях. Действительными будут те из решений в (12), для которых толщина 5 остается меньше размеров любой из примыкающих прослоек ±Ы5 (рис. 2а), иначе говоря, они объединяются за счет слияния. Формально (и фактически), для решений системы (3) получим, что начиная с момента контакта (при ¿0 ^ 0) слой 5 непрерывно расширяется за счет объединения и слияния смежных с ним прослоек (и слоев). Именно такая особенность и определяет тип распределения с^ относительно пограничного слоя 5, что наиболее выражено для пространственной функции Ды1 и дополнений: Ды = 1 - Ды1 (рис. 3 и 4).

6. Принцип локальных равновесий в слоистых структурах. Приведенные на рис. 3 и 5 расчеты по формуле (12), а также их сравнение с традиционно используемыми методами подтвердили достоверность применяемых нами схем (рис. 1, 2) и формулировок в (1-3), используемых в задаче переноса веществ через границы раздела. Учитывая сложность формы поверхностей раздела для слоистых структур [16, 25, 33], их пространственно-временную протяженность (масштаб для Li ~ 105-6 м, а для ~ 105 с), а также непрерывность прохождения процесса смешения и его характерную скорость, имеющую порядок ~101-2 с [1-3], необходимо сформулировать согласующий их принцип. Назовем его принципом существования локально-мозаичных равновесий в системах растворов, на примере ламеллы ЗС река - море.

В работе [1] показано, что перенос субстанции через границу в системе двух растворов разного состава по условиям (3) будет невозможен: а) для неразрывной среды; б) при стационарности деформаций. Через сплошную границу раздела массоперенос может проходить по направлению падения концентрации (по Фику: grad с^ или Дсг) только с нетурбулентной диффузией. Это случай, когда деформация растягивания-сжатия границ отсутствует, формально нарушаются условия стационарности. Поэтому диффузионные процессы и появление потока ионов J(х, () ф 0 через границу раздела в двухрастворной системе могут (и будут) локально развиваться на тех участках, где проходят множественные изменения или развитие форм микрорельефа - перегибы для поверхности раздела. К таким зонам относятся локальные области и отдельные участки вдоль поверхностей раздела, на которых при смене знака кривизны микрорельефа (±)деформации растягивания-сжатия локально (временно) будут снижаться или полностью отсутствовать [1]. Такие локальные равновесия могут приводить и к возникновению

условий для развития молекулярной диффузии ионов через внутренние разделы в растворах. Причем, они возможны только в тех случаях, если фазы (растворы), находящиеся в прямом контакте, обратимо взаимодействуют (в термодинамическом смысле [13-16, 23, 35]).

Под локальным («мозаичным») равновесием понимается гипотеза о существовании в смесях, примыкающих к поверхностям раздела, множества промежуточных состояний, одновременно наступающих в разных частях данной физико-химической системы во времени, а «мозаично» - в пространстве, каждое из которых можно рассматривать как равновесное по отношению к скоростьрегулирующим диффузию физико-химическим процессам и реакциям.

Для произвольного момента, возможность развития диффузии ионов через границу раздела будет определяться пространственно-мозаичным нарушением стационарности условий, которые сформулированы для систем (1-3). Формально эти факторы действуют через условия, определяющие устойчивость поддержания скоростей деформации слоистых структур, например, растягивание границ ламелл в ЗС стоковыми и градиентными течениями. Введение принципа локальных равновесий позволяет формально корректно применять в расчетах трансформации веществ, основное уравнение термодинамики Гиббса - Дюгема, а также уравнения стехиометрии для реакций с диффузионно контролируемыми процессами в растворе (или возможные только при условии развития молекулярной диффузии [1, 2, 13, 23, 35]). В целом формирование пространственно «мозаичных» равновесий у границ раздела в растворах следует и из более универсального принципа [13, 14], который позволяет неравновесную в целом систему разделять на отдельные части: подсистемы - структуры - области, в которых локально (в пространстве -времени) развиваются процессы, не соответствующие ее общему (условно среднему) состоянию.

Выводы

1. Сформулирована задача о переносе субстанции через границу внутреннего раздела растворов разного состава для стационарных условий - при деформации растягивания пары разделяющих прослоек, примыкающих к границе неограниченной протяженности. Аналитическое решение получено в виде Д^-функций относительно особой точки в плоском пограничном слое, ограниченном двумя полупространствами для ламинарного и турбулентного режима переноса (определяется условиями о неразрывности для границ разделов).

2. При аналитическом решении системы уравнений получены безразмерные формы кривых объемного перемешивания двух видов: Дх{ = /(х,{). Они соответствуют реально наблюдаемым процессам опреснения вод океанической солености и осолонения слабых растворов пресных вод.

3. Пространственная форма функций Ды = /(х,1п) также реализуется в виде двух семейств изолиний, образующихся выше и ниже границ внутренних разделов в растворах. Для случая равенства объемов перемешиваемых растворов системы - функция зеркально симметрична.

4. Две ветви перемешивания разбавлений морских солей - осолонения-насыщения субстанциями и опреснения-разбавления - возникают одновременно и развиваются независимо друг от друга. Они разделены «полупроницаемой» поверхностью - для молекулярного диффузионного переноса, которая одновременно является «квазитвердой» - относительно турбулентных пульсаций из потоков и определяется характером поверхностных сил, действующих в объектах данного рода.

5. Автомодельность решения (12) служит основой ряда заключений о формировании и основах устойчивости слоистых структур в разных масштабах: а) самоподобие - определяет, что любые преобразования размеров системы сохраняют ее подсистемы, свойства и структуру, существующие (выявленные) на других масштабах и с другим разрешением; б) каждая часть слоистой структуры содержит информацию о всей системе (с поправкой на масштаб); в) однородность форм распределения ci = /Дх1) в объеме, занятом жидкостями, определяется свойствами пограничного слоя 5, разделяющего взаимодействующие растворы разного состава, вплоть до момента полного перемешивания (с вырождением кривых в точку на плоскости).

6. Реальная причина различий между результатами обработки океанологических данных разработанным методом ДхГфункций и стандартными методами океанологии сводится, с одной стороны, к использованию интеграла вероятности Ф(х), с другой - функции ошибок erf(x) и дополнений erfc(x) = 1 - erf(x), приводящих к разным конечным состояниям в водных массах.

7. Формальный критерий слияния смежных прослоек, примыкающих к пограничному слою ô относительно с, в логической форме: ^[(с0 Ф cô+i) v (cô Ф cô-i)] œ (±hô) характеризует условия постоянного развития границы раздела за счет неограниченного расширения слоя ô в двухрастворной системе. Критерий согласован с решением в (12), когда с момента (t0 ^ 0) слой ô непрерывно расширяется за счет объединения со смежными прослойками, что определяет наиболее существенные особенности распределения сi относительно этого слоя.

8. Под локальным («мозаичным») равновесием понимается гипотеза о существовании в смесях, примыкающих к поверхностям раздела, множества промежуточных состояний, одновременно наступающих в разных частях данной физико-химической системы во времени (и «мозаично» в пространстве), каждое из которых можно рассматривать как равновесное по отношению к скоростьрегулирующим диффузию физико-химическим процессам и реакциям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бардан С. И., Долгоносое Б. М. Физические основы устойчивости слоистых структур области река - море и натурные данные по Кольскому заливу // Вестник Кольского научного центра РАН. 2013. № 2. С. 36-53.

2. Долгоносое Б. М. Нелинейная динамика экологических и гидрологических процессов. M.: ЛИБРОКОМ, 2009. 440 с. 3. Долгоносое Б. M., Губернаторова T. H. Механизмы и кинетика деструкции органического вещества в водной среде. М.: КРАСАНд, 2011. 208 с. 4. Бардан С. И. Количественный анализ и динамика области смешения морских и материковых вод Южного колена Кольского залива (Баренцево море) // Изучение и освоение морских и наземных экосистем: Материалы междунар. науч. конф. (Ростов-на-Дону, 6-10 июня 2011 г.). Ростов-н/Д: ЮНЦ РАН, 2011. С. 20-24. 5. Бардан С. И. Система однородных показателей при количественном описании смешения морских и пресных вод и классификационные критерии деления областей их взаимодействия // Природа морской Арктики: Материалы междунар. науч. конф. (Мурманск, 10-12 марта 2010 г.). Апатиты: КНЦ РАН, 2010. С. 24-27. 6. Яковлев Н. Г. Численное моделирование крупномасштабного состояния вод и морского льда Северного Ледовитого океана и его морей: дис. ... докт. физ.-м. наук: 25.00.29. М.: ИО РАН, 2005. 316 с. 7. Гордеев В. В. Речной сток в океан и черты его геохимии. М.: Наука, 1983. 160 с. 8. Боуден К. Физическая океанография прибрежных вод. М.: Мир, 1988. 324 с. 9. Emelianov G. M. The Barrier Zones in the Ocean. Berlin - Heidelberg: Springer Verlag, 2005. 636 p. 10. Долгополова Е. Н., Исупова М. В. Классификация эстуариев по гидродинамическим процессам // Водные ресурсы. 2010. Т. 33, № 3. С. 274-291. 11 Лапина Л. Э. Динамика течений и особенности переноса консервативной примеси в устьевых областях приливных рек. Сыктывкар: ИММ УрО РАН, 2001. 140 с. 12. Перельман А. И. Изучая геохимию. (О методологии науки). М.: Наука, 1987. 152 с. 13. Злобин А., Нянишкене В., Путинцев Н. Экосистемы водорослей в изменяющихся условиях среды обитания (Теория, эксперимент, предположения). Вильнюс: Моклас, 1987. 296 с. 14. Крайнов С. Р., Швец В. М. Гидрогеохимия. М.:Недра,1992. 463с. 15. Алёкин О. А, Ляхин Ю. И. Химия океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. 343 с. 16. Вернадский В. И. История минералов земной коры. Т. 2: История природных вод / Избр. соч. Т. IV, кн. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1960. С. 7-538. 17. Фёдоров К. Н., Гинзбург А. И. Приповерхностный слой океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 303 с. 18. Бардан С. И. Закономерности формирования пространственной структуры бактериоценозов в зимнем планктоне Печорского моря // Изв. РАН. Сер. географ. 2014. № 6. С. 49-61. 19. Бардан С. И. Размерная структура и морфологический состав зимнего бактериопланктона Печорского моря и условия его формирования // Микробиология. 2013. Т. 82, № 6. С. 741-752. 20. Бардан С. И. Ишкулова Т. Г. Суточная изменчивость гидрохимических параметров в начальный период органотрофной фазы функционирования экосистемы Кольского залива (Баренцево море) // Изв. РАН. Сер. географ. 2010. № 4. С. 90100. 21. Бардан С. И., Сербов Н. Г. Формирование бимодального сценария сукцессии автотрофных компонент планктона в Баренцевом и Черном морях и оценка роли температурного фактора // Вюник Одеського державного еколопчного уыверситету. 2013. Вип. 16. С. 90-114. 22. Бардан С. И., Сербов Н. Г. Фракталы в биогеографических закономерностях определяющих состав бактериоценозов зимнего планктона на примере Печорского моря // Вюник Одеського державного еколопчного ушверситету. 2014. Вип. 17. С. 141-156. 23. Симкин Б. Я., Шлейхет И. И. Квантово-механическая и статистическая теория растворов. Вычислительные методы и их применение. М.: Химия, 1989. 256 с. 24. Долгоносов Б. М. Бинарная кристаллизация при турбулентном смешивании растворов // Теоретические основы химической технологии. 1995. Т. 29. С. 285-299. 25. Зеленый Л. М., Милованов A. B. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Усп. физ. наук. (Обзоры актуальных проблем). 2004. Т. 174, № 8. С. 809-852. 26. Muzzio F. J., Ottino J. M. Dynamics of a lamellar system with diffusion and reaction: Scaling analysis and global kinetics // Phys. Rev. 1989. A 40 (12). P. 7182-7192. 27. Ottino J. M., Rantz W. E., Macosko C. W. A lamellar model for analysis of liquid -liquid mixing // Chem. Eng. Sci. 1979. Vol. 34. P. 877. 28. Rantz W. E. Fluid mechanical mixing - lamellar description /

Ulbricht J. J., Patterson G. K. (eds.) // Mixing of Liquids by Mechanical Agitation. New York, 1985. P. 1. 29. Справочник по триботехнике: в 3 т. Т. 1: Теоретические основы / под общ. ред. М. Хебды, А. В. Чичинадзе. М.: Машиностроение, 1989. 400 с. 30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров (определения, теоремы, формулы). М.: Физматгиз, 1984. 831 с. 31.Мамаев О. И. Морская турбулентность: (перемешивание вод Мирового океана): тексты лекций. М.: Изд-во МГУ, 1970. 204 с. 32. Штокман В. Б. Основы теории Q-S-кривых как метода изучения перемешивания и трансформации водных масс моря // Проблемы Арктики. 1943. № 1. 33. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая: Ижевск, 2001. 528 с. 34. Теслер Г. С., Зы Хак Зунг. Вычисление функции интеграла вероятностей и ей обратной // НАНУ. Математичн машини i системи. 2004. № 3. С. 31-40. 35. Татевский М. В. Теория физико-химических свойств молекул и веществ. М.: Изд-во МГУ, 1987. 239 с.

Сведения об авторах

Бардан Сергей Иванович - кандидат биологических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории планктона Мурманского морского биологического института КНЦ РАН E-mail: bardanap@gmail.com

Долгоносов Борис Михайлович - доктор технических наук, заведующий лабораторией моделирования водно-экологических процессов Института водных проблем РАН (г. Москва) E-mail: borismd@aqua.laser.ru

Author Affiliation

Sergey I. Bardan - PhD (Bio), Leading Researcher of the Laboratory on Plankton of the Murmansk Marine Biological Institute of the KSC of the RAS E-mail: bardanap@gmail.com

Boris M. Dolgonosov - Dr. Sci. (Bio), Head of the Laboratory on Modelling of Aqua-Ecological Problems of the Institute of Aquatic Problems of the RAS E-mail: borismd@aqua.laser.ru

Библиографическое описание статьи

Бардан С. И. Формирование слоистой структуры двухрастворной системы по автомодельному решению задачи распределения примеси на границе раздела: ветви перемешивания / С. И. Бардан, Б. М. Долгоносов // Вестник Кольского научного центра РАН. - 2016. - № 2. -С. 60-82.

Reference

Bardan S. I. Lamellar Structure Formation in Double Solution System by Self-Similar Solution for Admixture Distribution near Borderline: Branches of Interfusion / S. I. Bardan, B. M. Dolgonosov // Herald of the Kola Science Centre of the RAS. - 2016. - Vol. 2 (25). - P. 60-82.