Формирование процедуры погашения ипотечного кредита с постоянными по величине выплатами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»



17 (32) - 2004

ФОРМИРОВАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ПОГАШЕНИЯ ИПОТЕЧНОГО КРЕДИТА С ПОСТОЯННЫМИ ПО ВЕЛИЧИНЕ ВЫПЛАТАМИ

Д.З. ВАГАПОВА, кандидат экономических наук, исполнительный директор Самарского областного фонда жилья и ипотеки

Каждый вид ипотечного кредита задает свой механизм погашения основного долга и уплаты процентов, определяя тем самым форму организации финансовых потоков. Рассмотрим формирование процедуры погашения ипотечного кредита с постоянными по величине выплатами и организацию в ней финансовых потоков.

Предположим, что кредитор задал величину основной суммы кредита Д установил его срок п и процентную ставку /, являющуюся постоянной в течение срока ссуды. На основании этих исходных данных рассчитываются периодические выплаты по ипотеке в соответствии с уравнением:

^ = ¿>/¿(1+/)-* =й/аЙ,г (])

При найденной в соответствии с выражением (1) величине расхода по займу Кможно сформировать план погашения ипотечного кредита. Для этого найдем сумму первого платежа, идущую на погашение основного долга, как разность между величиной срочной уплаты Vи процентами, т.е.

/г, = К— £>/. (2)

Второй платеж представляет собой наращенную сумму первого и равен:

Л2 = V- (/)- /?,) / = /?, + Л, /' = /?,( 1 + /), третий платеж — наращенную сумму второго:

/?з = Л2(1 +/) = +/)2ит.д.

Общая формула для определения величины погашения долга на конец любого года Нравна /^=/^,(1+ /) = /?,(! +/)*-', к=\,2,-,п. (3) Для последнего года займа п величина погашения долга составит

/?п = Л_1(1 + /) = Л1(1 + /)"-1. В соответствии с формулой (3) периодические платежи по погашению долга образуют ряд: Л,; Д,(1 +/);*,(! +/)2;...; Л,(1+ /)*-';...; Л, (1+/)""'. (4)

Как следует из этого ряда и формулы (3), величина погашения долга увеличивается от года к году и в конце срока займа становится равной

п 1 у 7

Сумма членов ряда (4) по какой-либо год образует величину погашенной задолженности на конец этого года. Например, на конец года к величина погашенной задолженности равна

к-\

** =/®1 + /)'=Л1А;,- к = \,2,...,п,^ (5)

1=0

к-1

где + — коэффициент наращения (на-

копления) единичного финансового потока за п периодов.

Эта сумма есть сумма к членов геометрической прогрессии со знаменателем и = (/ +1) и начальным членом, равным 1. Поэтому при / * О

= + 1)к -\\/1 = {ик -\)Ц.

и-1

к

Если / = 0, то = = п ■

Как следует из приведенной формулы коэффициента наращения, 5 зависит только от срока кредита и процентной ставки. С увеличением каждого из этих параметров его величина увеличивается. Значения коэффициента легко табулировать и использовать в расчетах специальные таблицы.

В соответствии с формулой (5) величины погашенной задолженности составляют следующий ряд: Я. 5. ; Я. 5, , .... Я, 5 . ;...;/?. 5

I 1./ ' 1 2, г ' ' I к, I ' * 1 п. I

или

/г,;Л.£(1+/У;...; я^+О';-; (6)

/=0 /=0 (-О

Первый член этого ряда равен и», = /?р так как = 1, а последний член м> = Я. 5 = Д т.е. после-

I;/ ' п 1 '

дний член ряда (6) равен сумме займа, а это озна-

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ш£от>ъй ъ -П7>/ехшъъ4

21

^(к^ели^а&аЯиг (¡риЯаНсо&их шнимсоб

17 (32) - 2004

чает, что долг за срок займа выплачен в полной мере. Размер погашенной задолженности, как следует из ряда и формулы (5), последовательно увеличивается от величины /?, в конце первого года до суммы займа й в конце срока погашения.

Размер погашенной задолженности до начала года к определяется из уравнения:

* = 2,3,...,я, и'" = 0. (7)

Величины погашенной задолженности на начало года в соответствии с выражением (7) образуют ряд:

0; Л, Л, Л, вЛ, 5 д.и.; г

или

.'=0

(=0

/=о

(=0

Размер погашенной задолженности на начало года увеличивается от нуля на начало первого года

п=2

идовеличины ^^О + О' = ^-^,(1 + /)" нана-

чало последнего года займа.

Величина долга на начало какого-либо года к при известной задолженности на этот период и>" образует последовательность значений следующего ряда:

В; Б - и-,н; Д В ; В - <

или

А й- Л,*,..; 0- Л,5,,;...; й- ...; й-

12;/

1 к~1и ■

Остаток долга на начало года Нравен

1 л-1;/"

д; = й-/г,2(1+/)' = о-/ = 2, з,...,«, д" = л (8)

Если учесть, что размер долга на начало последнего года займа равен

то остаток долга на начало последнего года займа равен

= =£>-£> + Л|(1 + ;У =Л,(1 + /)\

Остаток долга на конец каждого года при известной погашенной задолженности у/к, к= 1,2, ..., п образует аналогичную последовательность в виде следующего ряда:

При этом долг на конец года к составит

= = + 1,2,.... л. (9)

/»о

Учитывая, что величина погашенной задолженности на конец последнего года займа и равна

сумме займа 0(м>п = £>), остатокдолга на конец года «равен нулю,т.е.

О = £>-н> =£>-/) = 0.

п п 1 п;I

Определим величину процентов, выплачиваемую в конце каждого года в случае, когда расходы по займу являются постоянными величинами. Так как проценты начисляются на размер долга в начальный период, величины процентов составят следующий ряд:

А/; (£>-<>/; (В-и...;(£>- н>';)/; ...;(£>- н»;,)/ или

А/; (/) - /Ь„.) /;(/)- /&,..) ...; (Я - ^ ,..) /;...; (А - , !)/.

4 1 и-1 ;

Процентные платежи, выплачиваемые в конце года к, определяются из уравнения:

J = (D- Л, .) /, к = 2, 3.....л , У, = А/, (10)

а величина процентов, выплачиваемая в конце года п, составит в соответствии с формулой (10) /„ = (А - Я, 5 М;,) / = (А - А + Я, (1 + /)") / = Я, / (1 + />.

Полученные уравнения (1 — 10) в совокупности позволяют сформировать план погашения займа должником при условии постоянства срочных выплат.

В общем виде взаимосвязанные модели финансовых потоков при формировании плана-гра-фика погашения задолженности во времени представлены в табл. 1.

Общий план погашения задолженности может быть легко переведен в конкретный вид при заданных параметрах контракта А п, /.

Рассмотрим числовой пример формирования графика погашения ипотечного кредита с постоянными по величине выплатами.

Кредитор задает максимальную величину суммы кредита, которая является определенным процентом от стоимости собственности (например, 85%), выкупаемой заемщиком, устанавливает максимальный срок кредита, который должен быть, например, короче срока выхода заемщика на пенсию, и предлагает процентную ставку, сложившуюся на рынке. Затем рассчитываются периодические выплаты по ипотечному кредиту. Предположим, что кредитор установил следующие значения исходных показателей:

• сумма кредита А = 500-103 руб.;

• срок ипотечного кредита п = 10 лет;

• годовая процентная ставка / = 12%.

Периодические платежи, предполагается, будут один раз в конце каждого года. Обычно периодические выплаты осуществляются ежемесячно, но в рассматриваемом примере сделано предложение о ежегодных выплатах.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жЕот>ъЯ ъ -ПРЛ-кжъы

(риНлНсо&их аотшсоЗ-

17 (32) - 2004

Таблица 1

Модели потоков при формировании общего плана погашения задолженности

Год Расходы по займу V Расходы па погашение долга Погашенный долг Остаток долга Проценты

щ /А А Л

1 У=0/а„:, 0 й т

2 V Л|= (1+0 Я 1*2;

3 V «,= (!+/)-

•

/ V ЛЛ-и л А;,' (О-Л ,**.,..,)/

•

п V л.= (1 +'Г' ^ А-1.1 ЛА.-; О- (О- Л, VI;/)'

Из исходных данных видно, что ежегодные платежи должны быть больше процентных платежей, равных 500-103 ■ 0,12 = 60-103 руб. Поэтому, для того чтобы погасить ипотечный кредит, ежегодный платеж должен превышать 60 103 руб. В соответствии с формулой (1) находим, что

У = £>/ аи). 12 = 500-103 / 5,65 = 88,5-103 руб.

График погашения (амортизации) кредита показывает в любой момент времени его состояние, характеризующееся такими параметрами, как остаток долга, величина погашенного долга, размер платежа на выплату процентов, выплата основной суммы кредита. План амортизации может быть рассчитан несколькими путями. Рассмотрим способ, основанный на использовании системы уравнений (2 — 7) и формировании на их основе табл. 1. Проиллюстрируем на рассматриваемом числовом примере этот способ.

В числовом виде табл. 1 будем формировать по столбцам. Второй столбец представляет собой ежегодные постоянные выплаты, равные V— 88,5-103 руб. Часть ежегодных выплат расходуется на погашение основного долга, а другая часть — на погашение процентов. Расходы на погашение долга за первый год равны разности между постоянными выплатами Vи процентами за первый год Л{ = 88,5-103 - 60-Ю3 = 28,5-103 руб. За второй год Я2 = /?, (1 + /) = 28,5-103-1,12 = 31,92-103 руб., за третий год Л3 = Л, (1 + /)2 = 28,5-10Ч,122 = 35,63-103 руб. и т.д. В четвертом и пятом столбцах рассчитаны значения погашенного долга для любого промежуточного периода: на начало и конец периода к = 1,..., п. Так, на начало первого года н^ = 0, а на конец года и^ = Яг ^ |2 = Л, = 28,5-103 руб, на начало второго года и>н2 = Д = 28,5 -103 руб., \у2 = 12= = 60,42-103 руб. и т.д.

В шестом и седьмом столбцах рассчитаны значения остаточной задолженности для любого периода, включая его начало и конец. Эти величины определяются для какого-то периода как разности между суммой кредита £)и величиной выплаченного долга до этого периода. На начало первого года остаток долга равен сумме кредита />= 500-103 руб., а на конец первого года /), = Э — = 500-103 — 28,5-103 = 471,5-103 руб., на начало второго года остаток долга равен />2 = £>— = 471,5-103 руб., а конец второго года /)2 = й - и>2 = 439,58-103 руб. и т.д.

В восьмом столбце рассчитаны значения процентов, определяемые для каждого периода как процент от оставшегося долга. На первый год вели-чина процентов составляет/, = /)/ = 500-Ю3 • 0,12 = = 60-103 руб., на второй год У2 = £>2/ = 56, 58-103 руб. и т.д.

Данные, рассчитанные по всем потокам, сведены в табл. 2.

Как следует из таблицы, чем больше времени проходит с момента предоставления кредита, тем большая часть периодического платежа направляется на выплату основного долга и тем меньшая часть идет на погашение кредита.

За десять лет, как следует из последней строки пятого и седьмого столбцов и итоговой суммы расходов (второй столбец), задолженность по кредиту полностью погашена. Недопогашенная часть ссуды 6 600 руб. вызвана округлением расчетов.

Теперь рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай, когда выплаты процентов и погашение основного долга по ипотечному кредиту производятся ежемесячно, т.е. 12 раз в году.

В этой ситуации периодические расходы по займу равны

V = О/ а 12п. (11)

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: М8бръя ъ ъ7>*ъяггсъ4

23

АСа^лирх&гНие еЦмЯаЯса&их потеков

17 (32) - 2004

Таблица 2

План погашения ипотечного кредита V = 88,5- 103 руб., / = 12%, п = 10

Год Расходы по займу К-103 Расходы па погашение долга Погашенный долг Остаток долга Проценты

о3 иуЮ3 /П-ю3 %103 Л-103

1 88,5 У?]=28,5 иЛ=о и', = 28,5 О" |=500 £>, = 471,5 J| = 60

2 88,5 Л2=31,92 и>"2 = 28,5 №,= 60,4 £>",=471,5 02= 439,6 .12 = 56,6

3 88,5 /?з=35,6 и'"з= 28,5 и', = 96,1 £>"3 = 439,6 £>з = 404 У3 = 52,9

4 88,5 Д„=39,9 иЛ,= 96,1 уу4= 136,2 О" 4 = 404 ¿>4= 363,8 ■)ц = 48,6

5 88,5 Л5=44,8 >Л= 136,2 И'5= 181 1)"5 = 363,8 />5=319 У5 = 43,8

6 88,5 «0=50,2 иЛ;= 181 и*6= 231,4 0"6 = 319 ¿>6= 268,6 Л =38,3

7 88,5 Я-г 56,2 и'"7= 231,4 и'7= 287,6 0"7 = 268,6 £>7=212,4 •/7 = 32,4

8 88,5 Л« =63 н<н8= 287,6 |у8= 350,6 0"ц = 212,4 £>8= 149,5 Л =25,5

9 88,5 Л» =70,4 »Vй, = 350,6 №„=442,2 /Г., =149,5 £>„=78,8 Л= 18,1

10 88,5 «т=79 >/,0=442,2 №10= 500,2 £>",„ =-0,2 0,0= 149,5 710=9,6

ИТОГО... 499,5-103 385,8-Ю3

Величина погашения долга на конец периода Нравна

= + 12 п, (12)

где /?, = V— £>//12.

Сумма погашенной задолженности на конец периода к составит 1

и^ =Л1Х(1 + //12)' = Я{8к:ип,к= 1,2,..., 12«. (13)

Задолженность на конец периода к можно определить по уравнению

= 1+//12)', к= 1,2,..., 12«. (14)

Процентные платежи на конец периода к равны Jk=(D-IV,)//12 = /V/12 = 0//12- Л,//12^( 1 + ¡/т)',

к= 1,2,..., 12«. (15)

Уравнения (11 — 15) позволяют сформировать план погашения задолженности при постоянных периодических расходах по займу, когда выплаты процентов и погашение долга производятся 12 раз в году.

Используем исходные данные рассмотренного примера для формирования графика погашения кредита в типичной ситуации, когда амортизация долга осуществляется ежемесячно.

Определим в соответствии с выражением (11) ежемесячные расходы по займу для следующих исходных данных:

• сумма кредита £)= 500-103 руб.,

• срок ипотечного кредита 12л = 12-10= 120 месяцев;

• ежемесячная процентная ставка //12 = 12/12 = 1%, или 0,01.

Коэффициент приведенных значений для исходных данных равен

°120:0,01 _ 69,7. Тогда ежемесячные расходы по займу составят следующую величину:

К= 500-103 / 69,7 = 7,17-103 руб. Таким образом, ежемесячная финансовая нагрузка у заемщика равна 7,17-103 руб.

Часть этой суммы идет на погашение основного долга, а другая часть — на погашение процентов. В соответствии с формулой (12) расходы на погашение долга составят:

• в первый месяц Л, = V — /)//12 = 7,17-Ю3 -500-103-0,01=2,17-Ю3 руб.;

• во второй месяц Я2 = /^(1 + 0,01) = 2,19-103 руб.;

• в третий месяц = Л (1 + 0,01) = 2,21 -103 руб.;

• в четвертый месяц Л4= /?,(1 + 0,01) = 2,24-103 руб.;

• в пятый месяц Я5 = Л4(1 + 0,01) = 2,26-103 руб.;

• в двенадцатый месяц /?12 = Л,(1 +0,01)" = 2,42-103 руб.;

• в двадцать четвертый месяц Л24 = Л:(1 + 0,01 )23 = 2,76-103 руб.;

• в сто двадцатый месяц = Л,(1 + 0,01)"'' = 7,16-Ю3 руб.

При известных значениях ежемесячных расходов на погашение долга легко определить ежемесячные расходы, идущие на погашение процентов по уравнению

Jk = V-Rk,k = 2,..., 120, У = /)//!2. Так, процентные платежи составят:

• в первый месяцу = 500-103-0,01 = 5-103 руб.;

24

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жео-р-кЯ -и •нРА'ХЖгсМ

cfruHaHcaáux потока^

17 (32) - 2004

Таблица 3

План погашения ипотечного кредита V с ежемесячной амортизацией долга У= 7,17 ■ 103 руб., / = 0,01

Месяц Расходы по займу Расходы на погашение Погашенный долг на конец месяца иу 103 Остаток долга на конец месяца ¿V103

долга ЛИ О3 процентов J-103

1 7,17 2,17 5 2,17 497,8

2 7,17 2,19 4,98 4,36 495,6

3 7,17 2,21 4,96 6,53 493,5

4 7,17 2,24 4,93 8,81 491,2

5 7,17 2,26 4,91 11,07 488,9

.

12 7,17 2,42 4,75 27,52 472,5

.

24 7,17 2,76 4,41 58,52 441,5

.

120 7,17 7,16 0,01 499,2 0,8

ИТОГО... 860 1 03 руб. 500 1 03 руб. 360 1 03 руб.

• вовторой месяц/, = (7,17 - 2,19)103 = 4,98-103руб.;

• в третий месяц /3 = (7,17 - 2,21) 103 = 4,96-103 руб.;

• в четвертый месяц /4 = (7,17 - 2,24) 103 = 4,93 • 103 руб.;

• в пятый месяц /5 = (7,17 - 2,26) 103 = 4,9 Ы О3 руб.;

• в двенадцатый месяц /12 = (7,17 — 2,42)103 = 4,75-Ю3 руб.;

• в двадцать четвертый месяц /24 = (7,17 - 2,76)103 = 4,41-103 руб.;

• в сто двадцатый месяц /ш = (7,17 — 7,16)103 = 0,0Ы03 руб.

По уравнениям (13 — 14) легко определить в каждый текущий месяц сумму погашенной задол-

женности и имеющуюся задолженность до конца срока кредита.

Результаты расчета приведены в табл. 3, характеризующей состояние займа в любой месяц кредитного срока. Из табл. 3 видно, что все периодические платежи одинаковы, но постепенно в каждом платеже растет доля основной суммы, а доля на погашение процентов сокращается, остаток кредита постепенно уменьшается.

Таким образом, в работе рассмотрен общий подход формирования процедуры амортизации долга, позволяющий использовать его для решения практических задач погашения постоянного ипотечного кредита с любыми исходными данными.

AtLr:

-Л

Издательский дом «Финансы и Кредит»

ПРИГЛАШАЕТ К СОТРУДНИЧЕСТВУ НА ВЗАИМОВЫГОДНЫХ УСЛОВИЯХ ОРГАНИЗАЦИИ, ЗАНИМАЮЩИЕСЯ РАСПРОСТРАНЕНИЕМ И РЕАЛИЗАЦИЕЙ ПЕЧАТНОЙ ПРОДУКЦИИ.

Тел./факс: 8(095) 237-86-57 8(095) 237-86-59 8(095) 959-69-79

Информация в Интернете: http:Wwww.financepress.ru E-mail: post@financepress.ru

РЕДАКЦИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ЖВОРЪЯ ъ 71Р/гкжъъ4

25