CC BY
20ФОРМИРОВАНИЕ ПРИЕМОВ
ЭВРИСТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ В КУРСЕ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Ю.Г. Тымко, канд. педагог. наук, Донецкий национальный университет,
г. Донецк, УКРАИНА
Розглядаеться питания формування прийомгв евристичног дгяльностг студентгв у курс1 методики навчання математики за допомогою використання систем методич-них завдань. Наведено приклади таких завдань.
Ключовi слова: тдготовка майбуттх учителгв математики, прийоми евристичног дгяльностг, методика навчання математики, методичнг завдання.
Постановка проблемы. Одним из основных стратегических направлений модернизации общего образования в нашей стране является достижение его нового качества. В процессе профессионально-педагогической подготовки учителей математики актуальной становится задача воспитания думающего человека, способного ориентироваться в меняющемся потоке информации, готового находить решения в незапланированных ситуациях. Поэтому, именно в вузе должны быть заложены основы формирования личности учителя с новым образом мышления.
Одним из средств достижения этого может стать формирование у студентов, будущих учителей математики, эвристических приемов умственной деятельности в процессе овладевания знаниями. Этот процесс должен быть непрерывным в течение всех лет обучения на математическом факультете и пронизывать цикл нормативных математических и методических дисциплин. В данной статье мы на примере дисциплины «Методика обучения математике» раскроем теоретические аспекты создания и использования систем методических заданий, направленных на формирование эвристических приемов умственной деятельности будущих учителей математики.
Анализ актуальных исследований.
В учебно-методической литературе эвристические приемы рассматриваются как особые приемы, сформировавшиеся в процессе решения одних задач и более или менее сознательно переносимые на другие задачи. Они дают общее направление мысли обучаемого, не гарантируя получение требуемого результата.
Мы считаем необходим при изучении методики математики формирование эвристических приемов общего и специального видов, классификация которых разработана Е. И. Скафой [6]. Это актуально, поскольку эвристические приемы способствует формированию у будущих учителей необходимых умений для организации эвристической деятельности учащихся. Кроме того, повышение качества методической подготовки будущего учителя математики возможно путем изучения студентами сущности и операционного состава эвристических приемов в процессе решения специальной системы упражнений.
Роль эвристических приемов мыслительной деятельности в процессе обучения математике учащихся и студентов исследованы в работах М.И.Бурды, К. В. Вла-сенко, И.В.Гончаровой, И. А. Горчаковой, Л. Ларсона, Т.С.Максимовой, Т.НМирако-вой, В. М. Осинской, Дж. Пойа, Е. И. Ска-фы, З. И. Слепкань, О.В.Тутовой и др. Одна-
ко, роль эвристических приемов в процессе подготовки будущего учителя математики рассмотрена недостаточно.
Цель статьи - обосновать необходимость формирования приемов эвристической деятельности у студентов, будущих учителей математики и представить систему методических задач, ориентированную на формирование некоторых эвристических приемов.
Изложение основного материала. Рассмотрим эвристические приемы по классификации Е. И. Скафы [6]. Они делятся на общие (применяемые в процессе изучения всех курсов) и специальные (используемые в процессе решения математических и методических эвристических задач). Основным средством формирования таких приемов в курсе методики обучения математике являются методические задачи [4-5].
Большую роль в «открытии» понятий и решении задач играют эвристические приемы. Мы рассматривает те, которые принадлежат к общим эвристикам (анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, классификация, систематизация, аналогия, индукция) и специфическим (подведение под понятие и выведение следствий). В работах В. Н. Осинской [3] описан операционный состав общих эвристических приемов. Важнейшее место среди них занимают анализ и синтез. Анализ и синтез лежит в основе решения большинства нестандартных задач.
Анализ - эвристический прием, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие. Примером использования анализа могут быть задания, предлагаемые студентам на практических занятиях по методике математики при изучении темы «Математические предложения и методы их доказательства».
Пример (тема «Математические предложения и методы их доказательства»). Проанализируйте предложенные утверждения. Определите, чем является каждое утверждение для определенного понятия (признаком, свойством, теоремой
существования)?
1. Две прямые в плоскости, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Чем это утверждение является для понятия «параллельные прямые» (признаком, свойством, теоремой существования)?
2. Преобразование симметрии относительно прямой является движением. Чем это утверждение является для понятия «движение» (признаком, свойством, теоремой существования)?
Анализ приведенных утверждений и установление, где находится рассматриваемое понятие, в условии или заключении теоремы, приводит к правильному ответу. Если получится, что данное понятие находится в условии теоремы (второе утверждение), тогда теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие находится в заключении теоремы (первое утверждение), то теорема выражает признак.
Для формирования приема анализа полезно предлагать студентам задачи типа «Найди ошибку».
Пример (тема «Математические понятия»). Найдите и исправьте ошибки в следующих определениях понятий:
1. Два равных угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
2. Квадратом называется равносторонний и равноугольный четырехугольник.
3. Угол, образованный двумя хордами, называется вписанным.
Анализ первого определения показывает, что в самом определении использованы лишние существенные свойства вводимого понятия, а именно тот факт, что углы равны. В ходе анализа второго определения студенты приходят к выводу, что оно правильное. Действительно четырехугольник, у которого все стороны и углы равны, является квадратом. Однако, припоминая одно из требований к формулировке определений математических понятий, студенты убеждаются, что данное определение вводится не через ближайший
род. Если первое является избыточным, то третье определение - недостаточным, что легко подтвердить контрпримером - две пересекающиеся хорды или хорды, не имеющие общих точек.
Синтез - эвристический прием, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной.
Процесс поиска решения методической задачи включает фазы первоначального грубого анализа и синтеза, а затем анализ и синтез становятся все более тонкими и глубокими. В ходе анализа-синтеза изучаются как свойства, так и причинно-следственная связь. Таким образом, эвристический поиск решения проводится на основе анализа. Если же последовательность действий для достижения цели известна решающему задачу, то он сразу составляет план в прямом направлении на основании синтеза.
Неотъемлемой составляющей профессиональной деятельности учителя является умение сравнивать различного рода объекты, (например, сравнивать способы решения различных задач) с целью нахождения аналогов искомому объекту, перенесения их свойств в определенные условия. Вследствие этого в основе большинства профессиональных умений учителя лежит прием сравнение. Необходимо отметить, что сравнение способствует установлению более глубоких связей ранее изученного и нового материала, облегчает усвоение знаний, помогает проводить аналогию.
Сравнение - это эвристический прием, благодаря которому устанавливаются качества схожести и отличия между определенными предметами и явлениями.
Показателем овладения приемом сравнения, как отмечает Е.В.Кузнецова [1], является самостоятельное использование этого приема студентами при выполнении различных заданий без специальных указаний типа: «Сравните...», «Укажите общие признаки...», «В чем сходство и отличие ...».
Методически продуманное использование приема сравнения способствует по-
вышению уровня развития студентов, развивает вариативность их сознания, обогащает способность к интерпретации. В курсе методики обучения математике после решения методических задач разными способами студентам всегда предлагается сравнить их между собой.
Сравнение целесообразно использовать при изучении похожих понятий, методов решения задач, доказательств теорем. Задания на сравнение направлены на выделение общих и отличительных существенных свойств математических понятий. Проиллюстрируем это примерами.
Пример (тема «Математические понятия»). Используя прием «сравнение», ответьте на следующие вопросы.
1. Какие дополнительные свойства имеет равносторонний треугольник по сравнению с равнобедренным.
2. Найдите общие свойства: трапеции и ромба.
3. Назовите свойства, которые являются общими для всех выпуклых многоугольников.
4. Укажите признаки сходства и различия понятий: параллельные прямые и скрещивающиеся прямые.
5. Что общего в свойствах гомотетии и подобия? Чем они отличаются? В чем причина общности свойств?
6. Сравнивая призму и пирамиду, укажите все общие свойства, все отличительные свойства, укажите цель сравнения, сделайте выводы.
При изучении теоремы сравниваются методы доказательства, приемы, шаги доказательства.
Пример (тема «Методика изучения теорем»). Используя прием «сравнение», ответьте на следующие вопросы.
1. Что общего в доказательстве признака параллельности прямой и плоскости и признака параллельности плоскостей?
2. Похожи ли доказательства теорем о составлении уравнения прямой, плоскости и сферы? В чем причина сходства?
3. Сравните признаки равенства треугольников с признаками подобия треугольников. Какие выводы можно сделать
на основании сравнения?
Сравнение подготавливает почву для применения аналогии. С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство.
Одним из основных логических приемов введения нового понятия или доказательства утверждения на уроках математики является прием аналогии. Поэтому на примерах заданий, используемых в курсе методики обучения математике, важно у будущего учителя умения работать с таким приемом.
Аналогия - эвристический прием, направленный на получение новых знаний о свойствах, признаках, отношениях предметов и явлений, которые изучаются на основании частичной схожести с другими предметами и явлениями.
При построении умозаключения по аналогии: анализируют изучаемый объект; обнаруживают его сходство с ранее изученным или хорошо известным объектом; переносят известные свойства ранее изученного объекта на изучаемый объект.
Задания на установления аналогий при изучении математических понятий могут быть следующие.
Пример (тема «Методика формирования математических понятий»).
1. Из школьного курса планиметрии известно определение понятия диаметра круга, как хорды, проходящей через центр. По аналогии с этим в стереометрии вводится понятие диаметра шара. Предложите его.
2. По аналогии с определением параллельности двух прямых сконструируйте определения понятий параллельности плоскостей или параллельности прямой и плоскости.
3. По аналогии с понятием медианы треугольника введите понятие медианы произвольного многоугольника с нечетным числом сторон.
4. По аналогии с понятием угла между двумя лучами введите понятие угла между двумя полуплоскостями.
Особое значение имеет аналогия для
учителя при обучении учащихся работе с теоремами. Следующие задания, предложенные студентам, показывают возможность применения аналогии в построении теорем и их доказательств.
Пример (тема «Математические предложения и методы их доказательства»).
1. В равнобедренный треугольник можно вписать окружность. Сформулируйте аналогичное утверждение для многоугольника.
2. Каждый равносторонний треугольник является также равноугольным. Сформулируйте аналогичное утверждение для шестиугольника.
3. Справедливо ли следующее утверждение: «Если в треугольнике все стороны равны, то и все углы равны». Сформулируйте аналогичное утверждение для шестиугольника. Правильно ли оно?
4. Справедливо ли утверждение: «Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри правильного треугольника (или на его стороне) до его сторон есть величина постоянная». Сформулируйте аналогичное утверждение: а) для многоугольника, б) для тетраэдра, в) для многогранника, г) для семиугольника. Определите правильность построенных аналогичных утверждений.
5. Используя аналогию с соответствующей теоремой планиметрии, докажите следующую теорему: «В трехгранном углу сумма двух плоских углов больше третьего».
Часто стереометрические задачи являются своеобразным аналогом планиметрических задач. Установление аналогии между ними ведет к нахождению решения стереометрической задачи по аналогии с планиметрической.
Пример (тема «Задачи в обучении математике»). Для следующей стереометрической задачи найдите ее планиметрический аналог. Решите сначала задачу на плоскости, а затем, используя аналогию, задачу в пространстве.
Задача в пространстве. Докажите, что объем тетраэдра, описанного около сферы, вычисляется по формуле
V = 1Р ■ г , г - радиус этой сферы, Р -
полная поверхность тетраэдра.
Аналогом этой задачи на плоскости является следующая задача.
Задача на плоскости. Докажите, что площадь треугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле,
£ = 1Р ■ г где г - радиус этой окружности, Р - периметр треугольника.
Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии часто приходят к ложным заключениям. Так, например, Д. М. Майергойз [2] рассматривает примеры ошибочных аналогий учащихся по алгебре и геометрии. Автор считает, что решить эту проблему может привитие систематической работы к установлению различий, даже там, где необходимо находить сходство.
К общим эвристическим приемам относится прием обобщения.
Обобщение - это эвристический прием объединения предметов и явлений по их общим и существенным признакам.
Обобщение является средством и способом введения многих математических понятий, формулировок теорем, методом доказательства различных теорем, решения большого числа математических задач. Обобщение также может быть источником новых математических задач, поэтому так важно формировать этот прием у будущих учителей математики.
Пример. Обобщите задачу. «Прямоугольная трапеция имеет один угол равный 600. Известно, что в данную трапецию можно вписать окружность. Постройте центр этой окружности».
В результате обобщения этой задачи студенты предложили следующую: «Дана прямоугольная трапеция с вписанной в нее окружностью. Постройте центр этой окружности».
Систематизация - это эвристический прием, в процессе которого изучаемые объекты упорядочиваются в определенную систему на основе выбранного ос-
нования.
Студентам предлагается ряд заданий, направленных на систематизацию теоретического материала. Это может быть заполнение опорных конспектов на печатной основе. Выполнение этого задания формирует умение ориентироваться в учебном материале, свободно оперировать усвоенной теорией.
Основной частью приема систематизации выступает классификация -эвристический прием отнесения единичных объектов к соответствующему роду или классу.
Классификация - эвристический прием мышления, суть которого заключается в разделении определенного множества на подмножества (классы), которые попарно не пересекаются. Число таких подмножеств, а также их состав зависят от основания классификации (т.е. от признака, существенного для соответствующих объектов). Таким образом, одно множество можно разбить на классы разными способами.
Пример (тема ««Математические понятия»).
1. По каким признакам можно делить треугольники на виды?
2. По какому признаку разделены треугольники на прямоугольные, тупоугольные, остроугольные?
3. Проанализируйте, правильно ли осуществлено деление понятий:
а) рациональные числа бывают положительные и отрицательные;
б) треугольники бывают разносторонние, равнобедренные и прямоугольные;
в) пересекающиеся прямые, непересекающиеся прямые, параллельные прямые и скрещиваются прямые.
4. Классифицируйте выпуклые четырехугольники по сторонам и углам.
При выполнении этих и других заданий на классификацию следует помнить следующее: классификация должна производится по одному основанию (это требование не выполняется в задании 3б)); сумма объемов видовых понятий должна совпадать с объемом родового по-
© Tymko Yu.
нятия (требование полноты классификации не выполняется в задании 3 а)); полученные классы должны исключать друг друга (это требование не выполняется в задании 3 в)).
Использование учителями приемов «подведение под понятие» и «выведение следствий» в своей профессиональной деятельности указывает на их значимость и необходимость формировать у студентов во время обучения в вузе. Эти эвристические приемы являются предметом специального рассмотрения.
Выводы. Таким образом, целенаправленное и систематическое использование студентами общих и специальных эвристических приемов в курсе методики обучения математике при решении методических задач способствует не только улучшению качества методической подготовки будущего учителя математики, но и формированию умения применять различные эвристические приемы в своей профессиональной деятельности.
1. Кузнецова Е. В. Элементы творческой деятельности учащихся У-У классов при решении занимательных задач /ЕВ.Кузнецова //Математика в школе. -1997. - №5. - С. 66~72.
2. Майергойз Д. М. Аналогия в педагоги-
ческом процессе / Д.ММайергойз // Математика в школе. -1947. -№1. - С. 60~65.
3. Осинская В. Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике / В. Н. Осинская. - К.: Рад. шк., 1989. -192 с.
4. Робочий зошит за темою «Матема-тичш поняття»: профестно зор1ентований евристичний курс «Методика навчання математики: Загальна методика» / О. I. Скафа, I. В. Гончарова, Ю. Г. Тимко; за ред. проф. О. I. Скафи. - Донецьк: ДонНУ, 2010. -50 с.
5. Робочий зошит за темою «Матема-тичш твердження 7 гх доведення»: профестно зор1ентований евристичний курс «Методика навчання математики: Загальна методика» / О. I. Скафа, I. В. Гончарова, Ю. Г. Тимко; за ред. проф. О. I. Скафи. - Донецьк : ДонНУ, 2010. - 48 с.
6. Скафа Е. И. Разновидности эвристик и их классификация в дидактических целях / Е.И. Скафа // Дидактика математики: проблеми / досл1дження : м1жнар. зб. наук. роб1т / редкол. : О. I. Скафа (наук. ред.) та ¡н. ; Донецький нац. ун-т ; Ысти-тут педагог1ки Акад. пед. наук Украгни ; Нащональний пед. ун-т ¡м. М. П. Драгома-нова. - Донецьк, 2002. - Вип. 18. - С. 16-27.
Резюме. Тымко Ю. Г. ФОРМИРОВАНИЕ ПРИЕМОВ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ У СТУДЕНТОВ В КУРСЕ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ. Рассматривается вопрос формирования приемов эвристической деятельности у студентов в курсе методики обучения математике посредством использования систем методических задач. Приведены примеры таких задач.
Ключевые слова: подготовка будущих учителей математики, приемы эвристической деятельности, методика обучения математике, методические задачи.
Abstract. Tymko Yu. FORMATION OF HEURISTIC ACTIVITY RECEPTION FOR STUDENTS IN THE COURSE ON RESEARCH METHODS OF TEACHING MATHEMATICS. The question of the formation of heuristic activity reception for students in the course on research methods of teaching mathematics is considered. It can be made by system of methodical tasks. The examples of such are provided.
Keywords: training of future teachers of mathematics, heuristic activity reception, methods of teaching mathematics, methodical tasks.
Стаття представлена професором О. I. Скафою.
На^йшла доредакци 05.02.2013р.
