Формирование последовательности саморепродукций одномерной линейной решеткой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Формирование последовательности саморепродукций одномерной линейной

решеткой

Исманов Ю. Х.1, Исмаилов Д. А.2, Алымкулов С. А.3

'Исманов Юсупжан Хакимжанович /Ismanov Yusupzhan Hakimzhanovich — кандидат физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник; 2Исмаилов Джапар Авазович /Ismailov Dzhapar Avazovich - кандидат технических наук, заведующий лабораторией; 3Алымкулов Салмор Аманович /Alymkulov Salmor Amanovich - доктор технических наук, директор, Институт физико-технических проблем и материаловедения, Национальная академия наук, г. Бишкек, Кыргызская республика

Аннотация: в статье представлен теоретический анализ процесса формирования последовательности саморепродукций одномерной решетки при освещении ее плоской когерентной световой волной.

Ключевые слова: саморепродукция, линейная решетка, когерентная волна, преобразование Фурье, преобразование Френеля, дифракционный интеграл.

Эффект безлинзового формирования изображений периодических структур впервые был зарегистрирован Тальботом в 1836 г. [1].

В данной статье приведено подробное теоретическое описание процесса формирования саморепродукций, которые возникают при освещении решетки плоской когерентной волной.

Направим на решетку параллельный пучок когерентного света. Решетку расположим в плоскости

(Хд , ) таким образом, чтоб ее линии были параллельны оси Оу (рис. 1).

Для такой решетки коэффициент пропускания представляет собой ряд Фурье, в котором переменной является координата х .

ад

а(х) = ^ ехр(2я7их/<), (1)

здесь < - период решетки.

Уо У X

. Л / X XI XI X X XI X хГ ■ X

V _._ X X X О X

У г

и-" X X X X X ^Х X X

t

с 1

2<2

Рис. 1. Формирование последовательности саморепродукций одномерной решеткой ^ =_

постоянная саморепродукций z = Ш(п = 1,2,...)

Параллельный пучок монохроматического света проходит перпендикулярно плоскости решетки параллельно оси х, причем амплитуда волны равна единице у(Х0, , ^) = ехр(/^0) . Решетка

размещается вначале координат, т. е. ^ = 0. В этом случае поле прямо перед решеткой равно

у(Х, У, z0 ) = 1. Поле, непосредственно за решеткой, можно рассматривать как произведение

волновой функции на коэффициент пропускания решетки, что позволительно, принимая во внимание непрерывность волны:

V(хо,Уо, 2+о) = Чхо,Ус 2о)'а(хо) = Е Ьп а) . (2)

-о,

п=-ад

С целью расчета поля на расстоянии, удаленном от плоскости решетки на рассматриваемую волну (2) можно представить как совокупность бесконечного числа простейших плоских волн [2]

V (хо, Уо, 2о+ ) = И Со ехр [Ш(тх + £ )] ата£ , (3)

ад

где Т], £ - пространственные частоты, а

а V=Со (т, £) ата£ ехр [ ¡2ж(тх)] (4)

можно рассматривать как волну с плоским фронтом и амплитудой бесконечно малой величины С0 (Т, £)ата£ , направляющие косинусы которой равны

р = ТЛ, в = £Л, у = [ 1 - (тЛ)2 - (Л)2 ]о'5, (5)

где Л - длина волны.

Таким же способом можно произвести разложение комплексной амплитуды в плоскости ( х, у ), поперечной направлению распространения и удаленной на расстояние ъ от начала координат, по плоским волнам бесконечно малой величины

= С2 (т, ехр [/2^(тх + £у)]. (6)

в соответствии с интегралом

V (x, У, 2) = \\С1 (Т ехР [/2ЧТх + £У)] аТа£ , (7)

ад

Где С2тт,4) = Со(т,^)ехр{1(2^Л)[(1 -тЛ)2 -(£Л)2] 2} , (8)

т. е. в точке 2 = о волна умножается на функцию, являющуюся передаточной для свободного пространства, и которая показывает, как распространяются плоские волны, имеющие направляющие косинусы р,в,у , на расстоянии 2 .

Найдем связь между У2 (X, у, 2) и у(Х0, у0, ) [2]. С этой целью используем преобразование Фурье в виде

Со (Т, £) = ЦЛхо, Уо) ехр [-/2^(Тхо + £Уо)]ахоаУо. (9)

ад

Теперь поле V можно выразить через у(х0, у0, ) подставляя выражение (9) для С0 (Т, £) в (8) и заменяя С (т, £) в (7) правой частью (8):

(х У, 2) = JJаXоаУоv( Xо, Уо)Н(х - Xо, У - Уо) (10)

ад

где

Н(х - хо, У - Уо) = Ц ехр {к [ 1 - (тЛ)2 - (£Л)2 ]о 5};

•-х„, У - У ) =| |ехр {/к| 1 - (ТЛ) - (£Л) I } 2 x

(11)

x ехр {/2^ [т(х - х0) + £(У - Уо)]}

где К = 2л/Л - волновое число.

Решения для задач дифракции определяются соотношениями (10) и (11). Эти соотношения дают возможность получить выражение для комплексной амплитуды поля в направлении перпендикулярном оси распространения на удалении ъ через поле в пределах дифракционной области

при 2 = о . Вычислить указанный дифракционный интеграл в самом общем виде задача достаточно сложная. По этой причине выражение (11) необходимо упростить. Положим в (11)

X = pcosa, Г = psina, x — x0 = r cos J3, y — y0 = Г sin J3,, т.е. перейдем к полярным координатам. Тогда

(12)

H(r cos Д r sin Д) J J exp

{ik [i — (Xp)2 ]'" z} exp [i2^pcos(^ — a)dad p] =

0 0

да

= 2л Jexp {ik [i — (Xp)2 ] 0 5z} J(2лpr)pdp = H (r).

0

Делая замену переменных l = 2лp, выражение (12) можно переписать в виде

да

H (r) = 1/(2л) J exp [—z(l2 — k2) J0 (lr)ldl (13)

0

Этот интеграл может быть вычислен по стандартному методу с использованием хорошо известных преобразований для функций Бесселя [3]

да

J J (bl )exp [—a(l2 — y 2)°'5(l2 — y 2)—0'5 ] Idl = exp [— iy(a2 + b2f ] (a2 + b2)—0'5 (14)

arg(l2 — y2)0,5 = л/2 при I < y.

Продифференцировав (14) по 'а' и подставив a = z, y = —k, b = r , получим

Hi(r) =

exp [ ik (z2 + r 2f5 ]

f i ^

ik(z2 + rT5 (z2 + rT5 ^ ik(z2 + rT5 J

i--

(15)

1. При r >> A второй член в скобках << 1 и им можно пренебречь.

2. Z(Z + Г2)0'5 = cosy, где у - угол между положительным направлением оси Z и

прямой, проходящей через точки ( XQ, y, Z+ ) и ( X, У, Z ). Множитель cos у ~ 1, когда размеры

рассматриваемой области малы по сравнению с расстоянием Z, т. е. это случай параксиального приближения.

3. (z2 + r2)0,5 « Z в параксиальном приближении. Следовательно, в параксиальном приближении

H(r) - exp [ik(Z2 + r2)0'5 ] ¡iAZ (16)

и дифракционный интеграл принимает вид

VZ (x, У, Z) = Ц v(X0 , Уо , Z0+ ) exP [ik(Z2 + r 2 )0,5 ] dxodyo .

да

Последнее допущение

v~\) 1 (У Уо) J ~ Z 1 (x x0) которое представляет собой два члена биномиального разложения величины (Z2 + r2)0'5 и,

которое называют френелевским приближением. Справедливость этого приближения рассмотрена Гудменом [4]. С учетом этого приближения окончательно запишем (17) в виде

V (x ^ Z) = eXp(ikZ) Jjv( Xo, Уo, Z0+ )exP I (x - x0)2 + (У - У0)2 ]i dx0dy0 . (18)

да v J

(18) - представляет собой дифракционный интеграл в виде преобразования Френеля, которое получается как параксиальное приближение общего дифракционного интеграла.

Дифракционный интеграл (18) можно рассчитать аналитически. С этой целью представим экспоненту под интегралом в виде произведения двух экспонент, причем сомножитель, не зависящий

(z2 + r2)0,5 = [z2 + (x — xj2 + (y — Л)2 ] ^ z + (x — X0)V(2z) + (y — y)7(2z) (17)

от переменных интегрирования, вынесем за знак интеграла. Теперь, принимая во внимание соотношение (2), получаем

£ (х2 + У2) 2 2

ч exp(ikz) VzZ х, y, z) =—--exp

x exp

ikz

(х0 + Уо2)

2 z

да

U S ^ exp(2mnx0/d) x

(19)

exp

TT(2 хох + 2 Уо y) 2 z

exp(ikz)

vz (х, y, z) =—--exp

ikz

ik^2 i ik r%

x exp exp I — 2х0х

ik 2 2 \ — (х + У ) 2z

да

S bn J exp(2ninх0/d) >

(20)

J exp I lkL I exp I у- 2УУо ) dy,

iky 2z I 1 I 2z

Преобразуем в (20) один из интегралов, переменная для которого У0. Сделаем замены

переменных в этом интеграле следующего вида: т = ж/(Az), ¡л = у/Az, 3 = 2жц. Указанный интеграл обозначим буквой I.

/ ч ,

г iky2 I ik I =1 exp

V 2 z у

exp 1— 2ууо I dyo = J exp (1ту1 ) exp (12п"Уо) dyo. (21)

Выражение (21) можно рассматривать как одномерное преобразование Фурье от функции ехр(/ГУ2) . Опираясь на свойства преобразования Фурье [5], рассчитываем величину интеграла (21):

I = exp(in/4) exp [-i32/(4r)] .

(22)

При возврате к начальным переменным получаем

I = л/А exp(in/ 4) exp

i

/[4n/(Az)] I = 4!z exp(in/4) exp

n -

■i—y у

Az

(23)

Интеграл по переменной х „ обозначим буквой K. Согласно (20)

K = J exp(i 2ппх0 /d) exp

г 1ТХ2 л

v 2 z у

exp | ^ 2х0х | dх0.

(24)

K =

n

Я

exp(in/ 4) exp

2nn 2

- i(s~— )/(4s)

(25)

где = ж/(Лг), % = х/(Л2) , £ = 2ж% - переменные заменяем по аналогии заменам, которые производились для переменной Уо .

Окончательное выражение для светового поля на произвольном удалении 2 от плоскости решетки имеет вид [6]

/к ' " " У Ь IX К =

/ 1 п

exp(ikz) vz (х, y, z) =—--exp

ikz

2 z

(х2 + y2)

exp(ikz)

ikz

exp

i f( х2 + y2)

Az

exp

-i f( х2 + y2) Az

Az exp(in/2) S bn

x exp

„ , пх n2Az

i2n---it

d 2d2

A2 exp(ikz) i2n

exp(in/2) S bn exp

, пх n2Az

i2nx---—

d 2d2

оо

да

x

п=—да

п=-да

2й2

Подставим в (26) значения 2 =-т . Значения поля в этих точках принимают следующий вид:

Л

I nx 2 i2n х--n m

I d ,

, A2exp(/lz) , V(X У,z) =---exp(ixl2) ^ bn exp

= A exp(/'Az) exp(/^ /2) bn exp(i2xnx / d) exp(/2^n2m).

Из условия n 2m - целое, следует exp(/2^n2m) = 1, и

V (x, y, z) = ^ b exp(i 2Ttnx / d).

n=-w

Таким образом (26) показывает, что на расстояниях, которые задаются выражением z = 2d— m ,

A

где m = 1,2,3,..., соотношение (26), с точностью до несущественных фазовых множителей, представляет собой соотношение для распределения поля непосредственно за решеткой (2). Т.е. на

расстояниях кратных t = 2d решетка как бы формирует свои изображения - возникает картина

A

распределения светового поля, которая представляет собой последовательность изображений решетки - саморепродукций.

Литература

1. TalbotH. F. Facts relating to optical science // Philosophical Magazine. 1836. Ser. 3. V. 9. No. 56. P. 401-404.

2. Lohmann A. W., Silva D. E. An interferometer based on the Talbot effect // Optical Communication, 1971. V.2. No. 9. P. 413-415.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М: Наука, 1973. 832 с.

4. Гудмен Д. Введение в Фурье - оптику. М.: Мир, 1970. 311 с.

5. Исманов Ю. Х. Фазовые искажения последовательности саморепродукций плоскопараллельной пластиной // Вестник науки и образования, 2016. № 3 (15). С. 4-6.

6. Исманов Ю. Х. Методы рентгеновской голографии с внутренним источником // Наука, техника и образование, 2016. № 3 (21). С. 19-22.

Моделирование в голографии с использованием второго опорного пучка Исманов Ю. Х.1, Исмаилов Д. А.2, Алымкулов С. А.3

'Исманов Юсупжан Хакимжанович /Ьшапоу ТитрхНап НактхНапгтсН - кандидат физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник; 2Исмаилов Джапар Авазович /¡кшайоу ОхНараг АуаюугсН — кандидат технических наук, заведующий

лабораторией;

3Алымкулов Салмор Аманович /А1ушки1оу За1шог АшапоугсН - доктор технических наук, директор, Институт физико-технических проблем и материаловедения, Национальная академия наук, г. Бишкек, Кыргызская республика

Аннотация: в статье рассматриваются результаты компьютерного моделирования процессов записи и восстановления бесщелевых радужных голограмм. Восстановление голограмм моделировалось только для случая когерентной восстанавливающей волны, так как моделирование белого света не представлялось возможным.

Ключевые слова: бесщелевая радужная голография, второй опорный пучок, компьютерное моделирование, восстановление белым светом, мнимое изображение, порядок дифракции, расфокусировка.

Компьютерное моделирование процессов записи и восстановления голограмм, записанных с использованием второго опорного пучка, соосного объектной волне, проводилось на основе

10