CC BY
23
-------ф
-V-------
-------------------------------- © О.В. Тайлаков, В.О. Тайлаков,
Д.В. Исламов, Д.Н. Застрелов, 2006
УДК 330.322(075.8)
О.В. Тайлаков, В.О. Тайлаков, Д.В. Исламов,
Д.Н. Застрелов
ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРОЕКТОВ СОВМЕСТНОГО ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ УГЛЕДОБЫВАЮЩИХ КОМПАНИЙ
В связи с ратификацией Киотского протокола для угольных компаний особый интерес представляет Программы Совместного Осуществления (ПСО), т.к. в сложившейся экономико-политической ситуации на рынке торговли квотами Россия будет выступать в роле продавца единиц сокращенных выбросов (ЕСВ) [1]. Согласно Киотскому протоколу ряд стран взяли на себя обязательства сократить выбросы парниковых газов, которые являются причиной глобального потепления. На мировом рынке торговли квотами существуют покупатели и продавцы квот. Одной из схем продаж сокращенных выбросов являются ПСО, в соответствии с которыми предприятие-покупатель инвестирует средства в проект утилизации газа, влияющего на глобальное потепление, и приобретает сокращенные единицы у стороны-продавца. Для Кемеровской области, являющейся центром угольной промышленности России, наибольший интерес представляет возможность реализации ПСО по сокращению выбросов шахтного метана. При этом возникает задача формирования портфеля инвестиций для угледобывающих предприятий участвующих в нескольких ПСО.
Рассмотрим ситуацию, когда на рынке торговли квотами единиц сокращенных выбросов (ЕСВ) у угледобывающего предприятия существует четыре потенциальных страны - покупателя. Предполагается, что продавец ЕСВ планирует получить прибыль не ниже заданного уровня. При максимиза-
ции прибыли увеличивается риск ее получение. Требуется определить весовые коэффициенты продаж ЕСВ для каждого покупателей. Математически задачу оптимизации портфе-
4
ля продаж ЕСВ можно представить в виде [2]: ^Wr > R
i=1
Z = WTÜW^ min
4
при и ^W = 1 , (1)
i=1
где Z - дисперсия портфеля ПСО; W - удельный вес i-го покупателя ЕСВ; г - доход от i-го ПСО; Q - дисперсионноковариационная матрица; W - вектор-столбец, составленный из W элементов; R - минимальный приемлемый уровень дохода ПСО; I = 1,4 - количество проектов ПСО.
В качестве входных данных для оптимизационной задачи рассмотрим тестовый пример, характеризующий возможные варианты значений цен на рынке торговли квотами за ЕСВ (таблица). При этом, чем больше разброс цен г по i-му покупателю, тем выше цена на ЕСВ по данному ПСО. В качестве цены по данному ПСО выбирается среднее значение r по другим i-ым ПСО, разброс цен оценивается их дисперсией
^r .
Предложения Покупатель
По другим ПСО, Гі і=1 і=2 і=3 і=4
1 1 1 1
2 2 2 2
1 3 3 3
2 1 4 4
2 3 2 1
1 1 3 2
2 2 4 3
1 3 1 4
Среднее значение цены ЕСВ, г 1 1,5 1,9 2,3 3
2 Дисперсия, и г 0,3 0,8 1,3 2,2
Решением оптимизационной задачи (1) является нахождение долей Wi распределения продаж ЕСВ по четырем ПСО і= 1,4 таким образом, чтобы минимизировать риски 2 при заданном значении желаемого минимального дохода Р.
Целевая функция имеет вид:
2 (Ж) = [^2ВД]
уаг.
СОУ,
СОУ,
соу4
СОУ,.
уаг
СОУ,
соу4
СОУ,
СОу
уаг3
соу4
СОУ1
СОу
СОУ,
уаг4
Ж
Ж
Ж
Ж
= var1W12 + чаъ'М? + varзWз2 + var4W42 + 2cov12W1W2 + +2соу-\з'М1'Мз + 2cov14W1W4 + 2cov23W2W3 + 2cov24W2W4 + +2cov34W3W4 тіп
при ограничениях:
4
УЖг > Я,
і і ’
1=1 4
Уж=і;
где первое ограничение показывает, что суммарная доходность по всем ПСО не менее R, второе ограничение - сумма весовых коэффициентов равна единице. Целевая функция Z непрерывна в R4 , lim Z(W) = +<х>. Допустимое множество
замкнуто в R4. По следствию теоремы Вейерштрасса существует точка глобального минимума W*.
Лагранжиан имеет следующий вид [3]:
L(W,Ä) = Z -£ Äg (W),
i=1
где X- множитель Лагранжа, д, - ограничения, которые определяются как:
g1(W) = W+W2+W3+W4-I, g2(W) = W1r1+W2r2+W3r3+W4r4-R..
Необходимые условия включают условия стационарности, дополняющие нежесткости, неотрицательности и нетри-виальности.
Условия стационарности:
dL/dW1 = 2 var, W1 + 2cov12 W2 + 2cov13 W3 + 2cov14 W4 = 0 ,
dL / dW2 = 2 var2 W2 + 2 cov21 W + 2 cov23 W3 + 2 cov24 W4 = 0 , dL / dW3 = 2 var3 W3 + 2 cov31 W1 + 2 cov32 W2 + 2 cov34 W4 = 0 , dL / dW4 = 2 var4 W4 + 2 cov41 W1+ 2 cov42 W2 + 2 cov43 W3 = 0 .
Условие дополняющее нежесткости:
Ä(X Wr - R) = 0.
i =1
Условие неотрицательности:
Xi>0.
Условие нетривиальности:
(Xi, Х2)ф0.
Используя ограничения оптимизационной задачи (1) и условие стационарности, получена система из шести уравнений:
0,56W - 0,11W2 + 0,56W3 = 0 1,53W2 - 0,11W; - 0,38W3 - 0,22 W4 = 0 2,67W3 + 0,56W - 0,38W2 = 0 2var4 W4 - 0,22 W2 = 0
4 (2)
YW.r. = R
1 1
i=1
4
Zw=1
Решение системы уравнений (2) является решением оптимизационной задачи портфеля продаж (1).
Для программной реализации метода Лагранжа использовалась интерактивная система математического моделирования MatLAB 6.1. Алгоритм включает четыре основных шага. На первом шаге задаются входные данные путем запроса данных из таблицы разброса цен ЕСВ из Excel в MATLAB, либо заданием таблицы в матричной форме в рабочем окне MATLAB. На втором шаге вычисляются значения множителей дисперсии портфеля Z. На третьем шаге решается системы уравнений методом исключения Гаусса. На четвертом шаге выводится решения системы уравнений в рабочем окне MATLAB и в Excel.
Для исходных данных, представленных в табл., дисперсионно-ковариационная матрица имеет вид:
0,2778 -0,0556 0,2778 0
Q =
-0,0556 0,7667 -0,1889 -0,1111
0,2778 -0,1889 1,3444 0
0 -0,1111 0 2,2222
С использованием разработанной компьютерной программы найдены доли пСо W1 = 0,47; W2 = 0,3; W3 = 0,09 и W4 = =0,14. Из решения оптимизационной задачи, исходя из оценки риска 7, с учетом разброса цен по предыдущим проектам, следует, что наиболее приемлемые страны-покупатели при сложившейся конъюнктуре рынка и данном
i =1
минимальном уровне ожидаемого дохода являются инвесторы 1 и 2. С увеличением ожидаемой доходности увеличивается риск инвестиционных проектов. При превышении доходности R на 10 % риска возрастает на 42 %.
Разработанный подход может быть использован для анализа степени риска инвертирования ПСО, учитывая приемлемый уровень доходности от их реализации.
---------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Граб М. и Вролик К., Брек Д. Киотский протокол: Анализ и интерпретация. - М.: «Харвест-Принт», 2002.-268 с.
2. Wilkes F.M. Mathematics for Business Finance and Economics. - London: Routledge, 1994. - 220 pp.
3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М: Наука, 1976, 392 с.
|— Коротко об авторах----------------------------------
Тайлаков О.В., Тайлаков В.О., Исламов Д.В., Застрелов Д.Н. -Институт угля и углехимии СО РАН, г. Кемерово.
-------Ф
-V--------
------------------------------- © Н.Г. Матвиенко, Б.М. Зимаков,
2006
УДК 622.371
Н.Г. Матвиенко, Б.М. Зимаков
ОСОБЕННОСТИ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ГАЗОБЕЗОПАСНОСТИ ОСВОЕНИЯ РУДНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ГАЗОНЕФТЕНОСНОСТИ ВМЕЩАЮЩИХ МАССИВОВ
