Формирование математической модели продольных колебаний, возникающих в многодвигательном гидроприводе холодильников МНЛЗ Текст научной статьи по специальности «Физика»

А.Н. Савельев, С.В. Козлов, Э.Я. Живаго, О.Д. Прохоренко Сибирский государственный индустриальный университет

ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В МНОГОДВИГАТЕЛЬНОМ ГИДРОПРИВОДЕ ХОЛОДИЛЬНИКОВ МНЛЗ

Холодильники металла, используемые в машинах непрерывного литья заготовок (МНЛЗ), представляют собой набор подвижных и неподвижных балок, на которых располагается охлаждаемый металл. Подвижные балки подводятся к металлу, поднимают его в вертикальной плоскости, перемещают в горизонтальной плоскости и затем опускают на новое место, расположенное от прежнего на один шаг холодильника. Таким образом, металл перемещается вдоль холодильника от одного его конца к другому.

Электрогидравлическая система привода холодильника металла машины непрерывного литья заготовок представляет собой сложную структуру, в которой, как и во всех других сложных системах, совершается широкий спектр колебательных процессов [1 - 3]. Все эти процессы можно разделить на две группы: группу низкочастотных динамических процессов от изменения внешней технологической нагрузки [4] и группу динамических (волновых) процессов, возникновение которых зависит от скоростных параметров взаимодействия подвижных балок холодильника с металлом [5, 6]. Для описания этих процессов используются разные виды моделей. В первом случае используются динамические модели, включающие сосредоточенные массы и упругие безмассовые связи между ними [6, 7]. Второй вид динамических процессов моделируется моделями с распределенными по всему волноводу массами [8, 9]. При формировании моделей их формальная часть требует выполнения операций таким образом, чтобы этот выбор был рациональным в равной степени по сложности и по достоверности, что полностью определяется набором факторов, которые действуют на технические устройства.

Условия работы технологического оборудования металлургической промышленности характеризуются высокими энергосиловыми параметрами и связаны с ограничением габаритных размеров машин, высокими температурными воздействиями и значительными по величине динамическими нагрузками. Возникающие в оборудовании динамические воздей-

ствия провоцируют появление в них волновых процессов, которые, складываясь с низкочастотными колебательными составляющими нагрузки, приводят к критическим ситуациям и, как результат, к выходу оборудования из строя [8].

В настоящей работе формируется модель многоволнового процесса, возникающего в гидроприводе холодильников МНЛЗ в результате ударного взаимодействия металла с подвижными балками холодильника.

В приводе подвижных балок холодильника при передаче энергии от делителя потока (рис. 1) к подвижным балкам холодильника в момент их соприкосновения с металлом ступенчато возрастает дополнительная нагрузка. Эта нагрузка определяет не только усилие, действующее на подвижные балки, но и скорость движения подвижных балок и всех элементов передаточного механизма привода. В результате действия низкочастотных динамических процессов происходит многократно повторяющийся продольный по элементам привода удар. Это связано с тем, что в реальных условиях работы привода холодильника скорость взаимодействия подвижных балок и металла постоянно меняется. Такое изменение вызывает целый каскад следуемых друг за другом волн напряжений. Так, при взаимодействии массы металла с подвижными балками с относительной скоростью и01 формируется первая волна напряжений (рис. 2, а). При этом относительная скорость и01 уменьшается и ее значение приближается к нулю. Однако в приводе балок холодильника разность скоростей подвижных балок и металла определяется не только взаимодействием этих элементов, но и зависит от ряда других внешних и внутренних условий, и через время А( возникнет новая разность скоростей и02, которая формирует вторую упругую волну (рис. 2, б). Затем появится третья упругая волна (рис. 2, в) и т.д. При этом, если встречаются две и большее количество упругих волн, то общее напряжение в этой точке определяется по принципу суперпозиции волн (рис. 2, г).

Рис. 1. Процесс перехода от реальной конструкции привода холодильника к расчетной схеме

В предлагаемом методе кривая изменения относительной скорости взаимодействующих подвижных балок холодильника с металлом представлена в виде дискретных величин с временным шагом А(. Значение А^ при этом значительно меньше по величине периода колебаний относительной скорости взаимодействия масс металла и подвижных балок. В конце каждого шага в приводе балок формируется новая волна напряжений. После того, как волна пройдет несколько раз вдоль стержня, теряя при каждом проходе свою энергию, значение ее считается незначимым и в дальнейшем расчете не учитывается. Определение напряжения в материале от каждой волны характеризуется следующими условиями. В силу того, что удар между подвижными балками и металлом плоский, его в каждый момент времени ^ можно рассматривать как линейное взаимодействие двух масс. Одна из этих масс соответствует приведенной массе элементов одного из двигателей привода холодильников и может быть представлена в виде стержня 2 с приведенными характеристиками упругости и плотности их материалов (рис. 1, б). Вторая масса - это масса охлаждаемого на холодильнике металла, приходящаяся на один двигатель привода холодильника. Эта масса в расчетной схеме представлена в виде единой массы 1. Между первой и второй массами в момент их контакта происходит удар. Известно, что в том случае, когда в некоторой точке упругой среды возникает какое-то возмущение, то из этой точки во все стороны начинают излучаться упругие волны [6]. На расстоянии от центра возмущения эти волны можно рас-

сматривать как плоские и считать, что все частицы материала в них движутся параллельно направлению распространения волны (продольные волны) или перпендикулярно этому направлению (поперечные волны). При исследовании продольных колебаний в стержне 2 (рис. 1, б) может быть использована гипотеза плоских сечений, в которой можно пренебречь наличием движения частиц перпендикулярно оси стержня и рассматривать только продольные колебания. Выделим элемент ёх стержня 2 (рис. 1, б), по которому движется волна упругих напряжений, ограниченная двумя поперечными сечениями 1 и 2. Волна возникла в результате взаимодействия массы т охлаждаемого металла и стержня, которые двигались со скоростями Ум и Ус. Сначала будем считать, что проведен один акт взаимодействия массы т со стержнем с относительной скоростью У0 = - Ус. Прикладывая нагрузки, действующие на выделенный участок стержня, и применяя принцип Даламбера, получим уравнение

дИ д2£

дх Р дt2

(1)

где N - продольная сила в сечении; р - приведенная плотность материала стержня; Е -площадь поперечного сечения стержня; -смещение этого поперечного участка вдоль оси х.

а б в

777" 77/ '777" 777"

Рис. 2. Волновой процесс при многократном взаимодействии стержня с грузом

движущуюся с той же скоростью в противоположном направлении. Для использования уравнения (4) нужно выбрать вид функций / и Ф так, чтобы выполнялись начальные и граничные условия. Эта задача в данном случае, согласно методу, изложенному в работе [10], решена следующим образом. Удар элемента 1 (рис. 1, б) производится по стержню 2 длинной I, второй конец которого закреплен на элементе 3. Начало координаты х помещено в точку удара. Тогда для закрепленного конца стержня (х=1) граничным условием будет £ = 0 . Подставляя в выражение (4) значение £ = получим

После выполнения ряда преобразований уравнения (1) придем к следующему результату [6]:

1АГ р дА

Р дх I дх

А. д^к

а2 дт2

= 0,

(2)

/(а - х) + ф(а + х) = 0.

(5)

Так как в этом равенстве ^ может принимать любое значение, то уравнение (5) можно записать следующим образом:

Ф(г) = -/ (г - 2/),

где а2 = , Е - приведенный модуль упругости материала стержня.

Приведенная площадь поперечного сечения стержня в данной расчетной схеме постоянная. В силу этого волновое уравнение продольных колебаний (2) может быть преобразовано в известную формулу Сен-Венана:

где аргумент г, соответствующий пути, пройденному упругой волной в стержне, может принимать произвольные значения. Если провести определенную замену в выражении (5), то получим

£(х,?) = /(а?-х) + ф(а + х-2/) .(6)

С2!

сх2

--1 .д^ = 0. а2 дt2

(3)

Для решения уравнения Сен-Венана чаще всего используются три подхода: решение с помощью тригонометрических рядов, решение с помощью разрывных функций и решение по методу характеристик. В данном случае используется метод решения уравнения с помощью разрывных функций [10]. В основе этого решения лежит уравнение деформации слоя материала в стержне вида

Вид функции / можно определить, рассматривая взаимодействие стержня с ударяющимся грузом (рис. 1). Если считать, что груз движется вместе с концом стержня (х=0), то можно

найти его силу инерции: -т

д?2

. Эта сила

уравновешивается продольной силой на конце

стержня, равной ЕР | —| . Таким образом.

дх

уравнение движения груза имеет следующий вид:

^ = /(а? - х) + ф(а? + х) .

(4)

Физический смысл уравнения (4) сводится к следующему. Первое слагаемое ^ = / (а? - х)

представляет волну деформации, движущуюся вдоль стержня в направлении оси х со скоростью а = Е . Точно так же второе слагаемое V Р

= ф (а+х) представляет волну деформации,

-т

Г ¿^Л уд ?2 ,

+ЕР|д1

5х

= 0,

или, поскольку Е = а р, получим

д% а2д1

—-х—

д?

1дх

= 0,

(7)

г

где % =

рП

т

отношение массы стержня к

массе металла на холодильнике.

Подставляя в уравнение (7) вместо его значение (6) и заменяя величину М на значение г, получим

С = /' (0) = —0 а

Таким образом, при 0 < г < 21 функция /' (г ) определяется выражением

/" (г)-/"(г - 2/) + Х /'(г) + /' (г - 2/)] = 0; (8)

здесь штрихи обозначают дифференцирование по аргументу. Отсюда

/''(г)-х/'(г) = /''(г - 2/)-х/'(г -2/) = 0 . (9)

Функциональное уравнение (9) связывает значения функции / (г) со значениями этой функции для аргумента, меньшего на 21. Используя формулу (9) и начальные условия, можно шаг за шагом построить функцию / (г).

До соприкосновения груза т со стержнем (т.е. при t < 0) для всех точек стержня смещения равны нулю, и при г <0 имеем / (г) = 0.

Поэтому для интервала 0 < г < 2/ правая часть уравнения (9) равна нулю:

/ " (г )-X/'(г ) = 0.

Интегрируя это уравнение, находим, что при 0 < г < 2/

/' (*) = — е

а

(10)

Зная функцию /(г) для значения г < 2/, можно определить изменение усилий и скоростей в любом сечении стержня: начиная с первого момента удара и до тех пор, пока

< 2/ - х, т.е. пока до данного сечения не дойдет отраженная от опоры волна деформации.

При at < 2/ - х функция /^ + х - 2/) = 0, выражение (6) для перемещений имеет вид

4 = / (at - х).

Соответственно скорость и деформация в любом сечении составят

— = — = аГ ' (at - х); Ы у '

е = тт = -/ ' ( at - х ) .

дх

Подставляя сюда значение /'(г), по формуле (10) найдем, что при х < at < 2/ - х

г

- х— /

/' (г ) = Се

Постоянная С определяется из условия, что в начальный момент t = 0 скорость движения конца стержня (х = 0) равна скорости взаимодействия груза со стержнем — = V - V (здесь

- линейная скорость груза; V - линейная скорость стержня). Тогда

дх) t=0

= —

Подставляя сюда выражение (6), получаем

a[/' (0) + /' (- 2/ )] = —.

Или, так как /' (- 2/) = 0, запишем

е = —

-—(at-х) —(м - х)

(11)

Пока волна деформации не дошла до опоры скорости и деформации в любом сечении оказываются связанными простым соотношением — = -aе . Однако эти функции являются разрывными: на фронте волны скорость скачкообразно изменяется от нуля до —, а деформация - от нуля до - —0. Таким образом, дефор-a

мация стержня, возникающая в нем в первый момент удара, полностью определяется скоростью удара и не зависит от массы ударяющего груза.

Выше рассмотрен лишь первый этап удара, когда имеется только прямая волна деформации, идущая по стержню сверху вниз и обрат-

г

х

— = — е

a

х=0

но. Для построения функции / (г) следующего интервала изменения аргумента - 2/ < г < 4/ - нужно подставить в правую часть исходного уравнения найденное выше значение функции / (2) для 0 < г < 21. В этом случае получим для интервала 2/ < г < 4/ уравнение вида

-х( г-2/)

/"(г) + %/'(г) = -2Ц%е /

(12)

Произвольная постоянная при интегрировании этого уравнения определяется из условия, что скорость груза, а значит и скорость конца стержня (г = 0), не могут изменяться скачкообразно, т.е. что уравнение

Сх 1 = а[/" (а?)-/" (а? - 2/)]

д?У г=0

представляет собой непрерывную функцию. Это условие удовлетворяется, если разрывы функции /" (г) будут в точности повторяться

при изменении аргумента на 2/ . Так как при г = 0 функция /'(г) скачком увеличится на ц/а, то этот же скачок повторится и при г = 21, г = 4/, г = 61 и т.д. В частности, при г = 2/ функция /' (г) со значения, определяемого формулой (10)

г.(2/)=£ ].

-2%

должна увеличиться до

/'-( 2 / ) = (Т +1).

Последнее значение /' (г) и является

начальным условием для интегрирования уравнения (12). Интегрируя это уравнение, получаем для интервала 2/ < г < 4/

/ = ^ е' + ^ |1 - 2%

а а I /

г-2/ I

-%(г-2/)

е

Аналогично находим для интервала

4/ < г < 6/:

/' (г ) = ^ е 1 |1 - 2%

а а I /

-%(г-2/)

Ц -%г Ц к „г - 2/ , , г) = -°е/ + 1 -2%-Iе /

1 - 2%

г - 4 /

-%( г-4 / ) /

Таким образом, шаг за шагом можно сконструировать функцию /'(г) для любых значений аргумента.

Далее можно интегрированием получить

функцию /'(г), которая является непрерывной:

при 0 < г < 2/

/ ( г ) = ^ /

а %

( ^ 1 - е / V У

при 2/ < г < 4/

ц / /

/ ( г ) = ■

а %

1 - е / +1 1 + 2%

г - 2/

%(г-2/)

при 4/ < г < 6/

и„/ /

/(г) = Ье / + |1

а %

+

-2%-

г - 2 /

%(г-2/)

1 + 2%2

£-2/ 1

%(г-4/)

и т.д.

Зная функцию /'(г), можно найти перемещение х. Продифференцировав по г выражение (6), находим деформацию

8 = § = - [/' (а? - г) + /' (а? + г - 2/)] .

Расчет нагрузок в зоне контакта подвижных балок с металлом по вышеописанному методу удобен с применением вычислительной техники. Составленная по представленному методу программа позволяет моделировать картину нагружения элементов привода в зависимости от скоростных параметров зоны контакта подвижных балок с металлом при многократном процессе их взаимодействия.

Для учета многообразия волновых потоков необходимо знать характер принудительного изменения разности относительных скоростей

Ц, подвижных балок и металла.

Определение скоростных характеристик в зоне контакта подвижных балок холодильника с металлом может быть получено путем рассмотрения динамики низкочастотных колебаний элементов привода, выполненного в рабо-

тах [11 - 12]. В этих работах весь привод представлен в виде дискретной восьмимассовой динамической модели с упругими связями и зазорами в связях.

Рис. 3. Характер изменения скорости взаимодействия подвижных балок холодильника с металлом (а) и давления от волновой нагрузки (б) в одной ветви процесса в приводе подвижных балок

Математическое описание восьмимассовой динамической модели позволяет получить скоростные параметры взаимодействия подвижных балок холодильника и охлаждаемого на нем металла. Данные скоростных параметров одного из вариантов взаимодействия подвижных балок и металла [12] взяты в качестве исходных для приведенного ниже примера расчета волновых процессов в приводе холодильника. Характер скоростного взаимодействия металла с подвижными балками холодильника показан на рис. 3, а.

При составлении алгоритма расчета волнового процесса при взаимодействии подвижных балок с металлом принято, что упругая волна от одного удара балок с металлом проходит вдоль привода подвижных балок в одну и другую стороны десять раз и после становится незначимой. При этом относительная скорость движения балок и металла и0г- непрерывно меняется, последующие удары следуют один за другим. Временной период между ударами значительно меньше периода прохождения упругой волны, что создает ситуацию, при которой происходит не только наложение прямой и обратной упругих волн от одного удара, но и включение в нагрузку всех последующих волн напряжений.

Результаты расчета давления, возникающего в гидроприводе от волн напряжений при взаимодействии охлаждаемого на холодильни-

ке металла с подвижными балками холодильника, показаны на рис. 3, б. Волновая составляющая нагрузки при статическом давлении в гидроприводе подвижных балок холодильника 16 МПа составляет порядка 15 МПа. Это давление в случайно выбранном варианте расчета составляет практически значение, равное статическому давлению. Данный пример свидетельствует о том, что в прочностных расчетах элементов привода холодильника необходимо вместе со статическими и динамическими составляющими нагрузки учитывать и нагрузку от волновых процессов.

Выводы. Предложен метод расчета волновых процессов, протекающих в гидроприводе холодильников машины непрерывного литья заготовок. Рассмотренный пример показал, что при том режиме работы гидропривода, который реализуется в холодильниках МНЛЗ, давление жидкости от волновых процессов близко по величине к статическому. А это значит, что волновой вид нагрузки на привод должен в обязательном порядке учитываться при расчете параметров элементов гидропривода. Для учета волновых процессов может быть использован предложенный в работе метод расчета волновой составляющей давления в гидроприводе балок холодильника металла машины непрерывного литья заготовок.

БИБИЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Савельев А.Н., Савельев Н.В. Анализ нагрузок во вкладыше универсального шпинделя привода прокатной клети // Изв. вуз. Черная металлургия. 2007. № 10. С. 57

- 59.

2. Савельев А.Н., Савельев Н.В., Локтева Н.А. Визуальная оценка динамических процессов в шарнирах головок универсальных шпинделей // Изв. вуз. Черная металлургия. 2009. № 8. С. 59 - 64.

3. Савельев А.Н., Савельев Ан.Н. Исследование динамики движения полосы в установившейся стадии прокатки // Изв. вуз. Черная металлургия. 1982. № 10. С. 71 - 74.

4. Динамика машин и управление машинами: Справочник / В.К. Асташев, В.И. Бабитский и др.; под ред. Г.В. Крейнина. - М.: Машиностроение, 1988. - 240 с.

5. Болодин В.П. Волновая динамика машин. -М.: Наука, 1991. - 188 с.

6. Манжосов В.К. Модели продольного удара.

- Ульяновск: изд. УлГТУ, 2006. - 160 с.

7. Комаров М.С. Динамика механизмов и машин. - М.: Машиновстроение, 1969. - 296 с.

8. Савельев А.Н., Савельев Н.В. Экспериментальная оценка динамических нагрузок в зоне трения вкладышей универсального

шпинделя прокатного стана // Изв. вуз. Черная металлургия. 2002. № 8. С. 51 - 53.

9. Савельев А.Н., Савельев Н.В., Локтева Н.А. Метод расчета давления в зоне контакта лопасть-вкладыш универсального шпинделя с учетом происходящих в ней волновых процессов // Изв. вуз. Черная металлургия. 2011. № 4. С. 50 - 55.

10. Расчет на прочность в машиностроении Т. III. Инерционные нагрузки. Колебания и ударные нагрузки. Выносливость. Усталость: справочник / Под ред. С.Д. Пономарева. - М.: Машгиз, 1959. - 1123 с.

11. Савельев А.Н., Козлов С.В., Анисимов Д.О. Особенности формирования динамических моделей многодвигательных гидроприводов холодильников МНЛЗ // Вестник Сиб-ГИУ. 2016. № 2 (16). С. 28 - 31.

12. Савельев А.Н., Козлов С.В., Винокуров Н.Е. Динамические нагрузки, воздействующие на элементы многодвигательного гидропривода холодильника МНЛЗ // Изв. вуз. Черная металлургия. 2018. Т. 61. № 2. С. 149 - 155.

© 2018 г. А.Н. Савельев, С.В. Козлов, Э.Я. Живаго, О.Д. Прохоренко Поступила 21 мая 2018 г.