CC BY
76
ПЕДАГАГІЧНЫЯ НАВУКІ
31
УДК 378.147.31:[51-7:53]
И. В. Кирюшин
ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ У СТУДЕНТОВ ВУЗОВ НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ ИДЕЙ СОДЕРЖАТЕЛЬНОГО ОБОБЩЕНИЯ
Предлагается алгоритм введения понятий, опирающийся на моделирование физикотехнических задач в теоретическом курсе высшей математики для студентов физических и инженерно-технических специальностей вузов. С помощью алгоритма выполняется содержательное обобщение, основанное на выяснении условий происхождения математических понятий из физической действительности, названное нами «конвергентным синтезом». Рассматривается введение понятия неопределенного интеграла. Подход обеспечивает интеграцию содержания математики и физики в теории обучения, создает условия для усиления мотивации к учебе и приобретения навыков математического моделирования.
Введение
В последние годы в образовании делается акцент на развитие компетентностного подхода. Особый вес приобретают не столько академические знания, умения и навыки выпускника вуза, сколько его способности квалифицированно осуществлять профессиональную деятельность, что и определяет качество подготовки. Актуальной становится проблема профессионально ориентированного обучения математике студентов физических и инженерно-технических специальностей вузов, поскольку математика выполняет в естествознании методологическую функцию и считается языком физики. Средством решения этой проблемы может быть интеграция содержания математики и физики (технических дисциплин) в рамках предметной области «математика». К этому выводу приходит все большее число исследователей [1]-[4].
Вопросами установления интеграционных (межпредметных) связей математических и физических дисциплин в обучении математике студентов физических и инженерно-технических специальностей вузов также занимались М. С. Аммосова, Н. А. Байгазова, В. Р. Беломестнова, Е. А. Василевская, Л. В. Васяк, М. Л. Груздева, В. А. Далингер, Т. В. Игнатьева, Е. И. Исмагилова,
О. Е. Кириченко, И. Г. Михайлова, С. Х. Мухаметдинова, С. В. Плотникова, С. А. Розанова, Т. И. Федотова и др. Изданы интеграционные учебные пособия: сборники прикладных и физических задач по математике для студентов технических вузов [5], [6].
Анализ научно-методических публикаций, учебников и задачников по высшей математике показывает, что средствами осуществления интеграции математических и специальных дисциплин могут выступать: а) математические задачи прикладного характера, б) метод математического моделирования физических и физико-технических задач (интеграция на уровне практики математики). Однако в решении задач используются готовые результаты математической теории, которая при этом остается за рамками интеграции. А ведь именно теория как сложный «чужеродный» объект вызывает наибольшее неприятие, «отторжение», «сопротивление организма» при изучении математики будущими инженерами и физиками. Именно «чистая» теория математики обычно ведет к снижению их интереса к предмету и мотивации к учебе, ухудшению успеваемости, порождает серьезные психологические проблемы (например, затрудняет адаптацию первокурсников), формализм в знаниях и тем самым ограничивает развитие теоретического мышления. Последствия этого нельзя недооценить.
Таким образом, интеграцией охвачен лишь «внешний фасад» математики, что нельзя признать удовлетворяющим требованиям времени. Усилить междисциплинарные связи математики и физики (технических дисциплин), на наш взгляд, можно, если при введении математических понятий на лекциях опираться на моделирование физических (физико-технических) объектов и структур. В работе [7] был предложен перечень физических явлений для использования их моделей при введении соответствующих понятий математического анализа. Однако психологодидактические основания введения понятий подробно не обсуждались. В данной статье сделана попытка ликвидировать этот пробел, для чего потребовалось рассмотреть механизм введения математических понятий и пример реализации метода.
32
ВЕСНІК МДПУ імя І. П. ШАМЯКІНА
Результаты исследования и их обсуждение
Понятие - важнейшая форма научного мышления - есть результат аналитикосинтетического обобщения [8]-[10]. Обобщение наряду с абстракцией, сравнением, анализом и синтезом является основной операцией мыслительной деятельности. С. Л. Рубинштейн [8] рассматривал три вида обобщения: а) эмпирическое обобщение, б) теоретическое (научное) обобщение, в) дедукцию.
Эмпирическое обобщение как путь от частного к общему обеспечивает выделение общих (сходных) признаков у сопоставляемых объектов посредством сравнения и используется на начальных этапах познания. Однако, во-первых, оно «не гарантирует того, что общее, выделяемое таким образом, является вместе с тем и существенным для данных явлений. ... Из того, что существенное закономерно является общим, не следует, что общее необходимо существенно; в этом прежде всего заключается ненадежность, а значит, и несовершенство такого обобщения» [8, 150]. Во-вторых, эмпирическое обобщение - «лишь отбор из числа эмпирически, непосредственно, чувственно данных свойств; оно не способно поэтому привести к открытию чего-либо сверх того» и «остается в пределах эмпирических констатаций» [8, 150]. Здесь сравнение как «конкретная форма взаимосвязи анализа и синтеза осуществляет эмпирическое обобщение и классификацию явлений», а «сходное является лишь внешним вероятным индикатором существенного» [9, 236].
Теоретическое (научное) обобщение есть выделение не любых общих свойств явлений, а свойств существенных. «Научное обобщение производит эффект анализа, связанного с абстракцией. При этом абстрагирование, ведущее к обобщению, заключается в научном понятии, не отрывает общее от частного. В научном понятии, в законе частное не исчезает, а сохраняется в виде переменных, которые могут получить разное частное значение. В этом смысле общее богаче частного, содержит его - хотя и в неспециализированном виде - в себе» [8, 143]. С. Л. Рубинштейн раскрывает смысл существенного: «Сущность вещи - это не что иное, как заключенное в ней самой основание всех изменений, с ней происходящих при взаимодействии с другими вещами» [8, 112]. Это внутреннее основание изменений проявляется как их закон: «... З а к о н, к о т о р о м у д а н н о е я в л е н и е п о д ч и н я е т с я, в к л ю ч а е т с я в е г о о п р е д е л е н и е» [8, 111]. Наконец, дедукция - это обобщение путем доказательства, «доказательное выведение одного положения на основе других, из которых оно с необходимостью следует...» [8, 151].
Эмпирическое обобщение приводит к эмпирическим понятиям и является основой эмпирического мышления, а обобщение второго типа, называемое также содержательным обобщением, - основа мышления теоретического. В. В. Давыдов подчеркивал: «...Различие эмпирического и теоретического мышления определяется различием путей и средств реализации обобщения» [9, 257]. Абстракция и обобщение содержательного типа лежат в основе формирования научного, теоретического, понятия. Такое понятие «выступает как вполне определенный и конкретный с п о с о б с в я з и всеобщего и единичного, как с п о с о б в ы в е д е н и я особенных и единичных явлений из их всеобщей основы. Благодаря этому содержанием теоретического понятия выступает развитие предмета» [9, 362]. Сведение чувственно-конкретного понятия к теоретическому выступает как средство достижения главной цели научного познания - восхождения от абстрактного к мысленному конкретному.
В существующих теоретических (лекционных) курсах математики для студентов физических и инженерно-технических специальностей вузов обычно все понятия вводятся третьим - дедуктивным - способом. Он, по сути, является чисто математическим, требует развитого математического мышления и, как показал исторический опыт, является не очень эффективным в обучении будущих инженеров и физиков. Кроме того, дедуктивный способ содействует развитию математического мышления (мышления профессиональных математиков), что представляется нецелесообразным для физиков и инженеров по следующим соображениям.
Следуя взглядам А. Пуанкаре, Ж. Адамара, А. Я. Хинчина и др., математическое мышление определим как теоретическое мышление, оперирующее высоко абстрактными (математическими) объектами, или понятиями, лишенными всякого оттенка вещественности, и использующее специальные, математические, методы. В свою очередь, физическое мышление отличается от математического: а) «вещественным» оттенком даже абстрактных теоретических понятий (материальная точка и др.), б) важнейшим значением, которое имеют в физике
ПЕДАГАГІЧНЫЯ НАВУКІ
33
конкретные теоретические понятия (идеальный газ, электромагнитное поле, плазма, электрон и т. п.). Особенности физического (физико-технического) мышления отражены в положении физических и технических наук в системе классификации наук.
Физика как менее абстрактная и более конкретная наука, чем математика, находится в современной «лестнице наук», представляющей классификацию наук по объекту исследования (в движении от абстрактного к конкретному), правее математики в ряду математика - астрономия -физика - химия - биология и т. д. Г. Спенсер относит математику (и логику) к абстрактным наукам, а физику (наряду с механикой и химией) - к абстрактно-конкретным наукам. Дж. Франклин считает математику, логику, кибернетику и информатику формальными науками, использующими только абстрактный метод. Формальным наукам М. Бунге противопоставляет эмпирические науки, так или иначе основанные на опыте (физика, химия и др.). Поскольку техника олицетворяет собой практические достижения физики, опирается на физические законы, то вектор технического мышления достаточно близок к вектору физического мышления.
Проблему эффективности обучения высшей математике, на наш взгляд, можно решить, если при введении важных математических понятий: 1) опираться на содержательное обобщение; 2) обобщение проводить на физическом (физико-техническом) материале. Таким образом, в обучении математике будущих инженеров и физиков должны фигурировать не готовые определения понятий и их, пусть даже и прикладные, иллюстрации, и не выделение понятий из математической же основы (в частности, из геометрической), а выявление всеобщих абстрактных форм среди многообразия физических явлений.
Отталкиваясь от метода содержательного обобщения В. В. Давыдова [9, 427], рекомендованного им для развивающего обучения младших школьников различным дисциплинам (математике, русскому языку и т. д.), мы разработали алгоритм введения математических понятий при обучении студентов, состоящий из четырех основных стадий: 1) описание физического явления (структуры) на языке физики и постановка физической задачи, решение которой требует нового математического понятия (при этом, вообще, должно использоваться несколько физических задач); 2) выполнение такого преобразования содержания, которое позволяет перейти к отношению, играющему роль всеобщей основы для решения любой задачи данного вида; 3) фиксация этого отношения в знаковой модели, позволяющей рассматривать его особенности в «чистом виде»; 4) установление таких свойств данного отношения, которые дают возможность выявить условия и способ решения исходной задачи. Заметим, что понятие является «особым видом м о д е л е й, создаваемых в процессе познавательной деятельности людей» [9, 256], а «содержание и способ развертывания у ч е б н о г о материала должны быть подобными и з л о ж е н и ю результатов исследования, т. е. показывать учащимся действительное движение, начинающееся с некоторой его простой [уже найденной, генетически исходной] всеобщей формы» [9, 420].
Рассмотрим способ введения понятия неопределенного интеграла с разбивкой на указанные выше этапы. Сначала студентам предлагается следующая задача. 1. Дана зависимость угловой скорости o(t) вращения тела от времени t: o(t) = cosat(рад./с), а - постоянная.
Восстановить закон вращения тела, т. е. найти зависимость угла поворота р от времени, если в начальный момент t = t0 этот угол равен р=р0 (рад.). 2. Известно, что угловая скорость есть производная от угла поворота: p(t) = 0(t). Говорят, что функция p(t) является первообразной функции o(t) для всякого t > t0. Запишем по-другому: dp(t) = 0(t)dt. Применим
к обеим частям равенства операцию, обратную дифференцированию, считая, что она существует. 3. Обозначив эту операцию знаком интеграла, получим:
J dp(t) = p(t) = J co(t )dt.
Здесь операция интегрирования «аннулирует» операцию дифференцирования и, как видим, представляет собой установление первообразной. 4. Функция p(t) + С, где С - произвольная
постоянная, также является первообразной для o(t), поскольку () + Сў = p(t) = o(t). Иначе говоря, выражение p(t) + С задает бесконечное множество первообразных.
34
ВЕСНІК МДПУ імя І. П. ШАМЯКІНА
Интересующий нас закон вращения с угловой скоростью co(t) задается функцией p = cp(t) + С0, где С0 - некоторая постоянная. Вычислим С0, учитывая начальное условие: Р„ = P(t„) + С„, откуда С„ = р0 - p(t0).
Итак, закон вращения будет иметь вид p = p(t) + p„ -p(t„). Одной из первообразных для a(t) = cosat является функция p(t) = (sinat)/a, поскольку ((sinat)/a) = cosat, т. е.
p(t) = Jcosatdt = (sinat)/а .
Тогда закон вращения тела окончательно примет вид:
p = (sinat)/a + p„ -(sinat„)/a.
Выполним проверку, подставив сюда вместо t величину t и получив тождество.
Затем рассматривается другая задача. 1. Тело массы m (кг) совершает прямолинейное движение под действием переменной силы F(t) = e~yt (Н), где у - постоянная (у> 0), t - время (с). Определить зависимость скорости v движения тела от времени, если в начальный момент t = t„ скорость равна v = v„ (м/с). 2. Известно, что производная от скорости по времени -это ускорение: v'(t) = a(t), т. е. v(t) - первообразная функции a(t) при t > t„. Из второго закона Ньютона можно найти ускорение тела: a(t) = F(t)/т. Следовательно, v'(t) = F(t)/т, или dv(t) = F(t)dt / т. Применим к последнему уравнению операцию, обратную дифференцированию. 3. В результате получим:
J dv(t) = v(t) = J F(t)dt / m.
Операция интегрирования «аннулирует» операцию дифференцирования, и первообразная, функция для ускорения a(t) = F(t)/т есть скорость v(t) = Jf(t)dt/m. 4. Функция
вида v(t) + C (С - произвольная постоянная) также будет первообразной для a(t). Искомая зависимость определяется функцией v = v(t) + C„, причем из начального условия найдем, что C„ = v„ — v(t„). Следовательно, v = v(t) + v„ - v(t„). Одна из первообразных функции a(t) = F (t)/т = e~n / т есть v(t) = —e~p /(ут), что легко проверить дифференцированием. Таким образом, получим:
v(t) = J e ytdt / т = —e yt /(ут) ■
Зависимость скорости v от времени t примет вид:
e-yt„ e-yt
v = v„ +---------.
ут ут
Проверка для t = t„ должна подтвердить правильность решения.
Наконец, в третьей задаче требуется: 1. Установить вид зависимости потенциальной энергии W (Дж) упругой деформации пружин^1 от величины ее деформации х (м). Коэффициент упругости пружины равен k (Н/м). 2. Работа A внешней силы F(х)
по деформированию пружины переходит в потенциальную энергию W (х) последней.
ПЕДАГАГІЧНЫЯ НАВУКІ
35
Элементарная работа dA равна dA = F (x)dx. Значит, дифференциал dW (x) равен dW (x) = dA = F (x)dx. Применим к последнему соотношению операцию, обратную дифференцированию. 3. Найдем, что
I dW(x) = W(x) = |F(x)dx,
т. е. функция W(x) - первообразная для F(x), W’ (x) = F(x). 4. Функция типа W(x) + C также
является первообразной для f(x), поскольку (W(x) + C) = W\x) = F(x). Интересующая нас зависимость имеет вид: W = W(x) + C0. Постоянную C0 найдем из естественного начального условия: W = 0 при x = 0, откуда C0 =-W(0), W = W(x) - W(0). Из закона Гука следует,
что F(x) = kx, следовательно, W(x) = |kxdx. Ввиду того что (kx2/2)'= kx, то kx2/2 -одна из первообразных функции kx:
W (x) = | kxdx = kx2/2.
Окончательно получим, что W = kx2 /2 - W(0) = kx2/2.
Далее обобщаем полученные результаты в виде понятия неопределенного интеграла. При этом подчеркиваем, что
| f (x)dx = Ф(x) + C,
где Ф(.х-) - одна из первообразных для функции f (x). После проведения всех теоретических
выкладок (доказательства утверждений, теорем и т. д.) следует проиллюстрировать наиболее важные положения физико-техническими задачами. Аналогичным образом вводятся и другие понятия математики: пределы последовательности и функции, производная, интегралы, ряды и т. д.
Использованное нами для введения обозначения интеграла соотношение I dF (x) = F (x) = I f (x)dx, где F' (x) = f (x) (интегрир°вание есть опеPация, обрагная
дифференцированию, которая «аннулирует» дифференцирование) представляется нам методически более обоснованным, чем никак не объясняемое применение (постулирование) обозначения | f (x)dx, фигурирующее во всех учебниках по математическому анализу
(когда не указывается, как под знаком интеграла появился дифференциал dx).
В исследовании В. В. Давыдова [9] разработана лишь общая схема введения понятий, относящихся к различным школьным дисциплинам, но нет анализа рекомендаций для приложения их к высшей математике и методике её преподавания. Специфика применения метода содержательного обобщения в нашем случае определяется: а) различием целей обучения в школе и вузе; б) математической областью его приложения и высокой степенью абстрактности определяемых понятий; в) профессиональной направленностью обучения или необходимостью использования профессионального физико-технического контекста, опоры на него; г) потребностью в гармоничном соединении этого контекста с основным математическим материалом (интеграционная физико-математическая специфика); д) возрастными особенностями мышления студентов и отсутствием необходимости в так называемом опережающем обучении, в котором В. В. Давыдов и применял метод содержательного обобщения; е) потребностью в серьезной мотивации к изучению математики студентами ввиду явного наличия у них профессиональных, далеко не математических склонностей и предпочтений.
36
ВЕСНІК МДПУ імя І. П. ШАМЯКІНА
Формирование понятий высшей математики с помощью теоретического обобщения (т. е. путём выяснения условий происхождения понятий), отталкиваясь от постановки физико-технических задач, создает основу как для усиления мотивации студентов к изучению математики благодаря непосредственной реализации профессионального интереса, так и для профнаправленности обучения. В том, что касается изложения процесса рождения понятий,
В. В. Давыдов подчеркивал: «Принцип содержательного обобщения и образования теоретического понятия состоит в выделении всеобщей формы какого-либо многообразия явлений, в выяснении происхождения содержания понятия» [8, 426].
Можно считать наш подход модификацией метода содержательного обобщения или его развитием, но так или иначе специфика предлагаемого подхода проявляется столь ярко, что есть все основания говорить об особой разновидности синтеза содержания математических и физических (технических) дисциплин в теоретическом курсе высшей математики. Мы назвали ее конвергентным синтезом (от англ. «convergent» - сходящийся в одной точке). Конвергентный синтез вводит определение математического понятия не через дедукцию и не в готовом виде, а через задачи для выяснения условий его происхождения из физической действительности.
Спонтанное и бессистемное введение некоторых математических понятий через движение от физической задачи встречается, например, в учебниках по математическому анализу и высшей математике следующих авторов: Г. М. Фихтенгольц (1948, 2005) -производная (скорость неравномерного движения), тройной интеграл (масса неоднородного тела); Я. С. Бугров, С. М. Никольский (1980, 2004) - определенный интеграл (масса неоднородного стержня), обыкновенное дифференциальное уравнение (температура остываемого твердого тела); А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин (1988, 2009) - производная (та же задача), определенный интеграл (работа переменной силы); Д. Т. Письменный (2009) - производная (та же задача).
С. М. Никольский (1970, 1990), В. А. Ильин, Э. Г. Позняк (1965, 2005), В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов (2007) фактически вынесли «физическое» введение понятий (производная, неопределенный или определенный интегралы) в первый концентр обучения (во вводную главу). Это, на наш взгляд, аннулирует продуктивность «физического метода», поскольку, во-первых, нарушает дидактическое единство материала, логику его изложения, а во-вторых, не отменяет того, что в следующем концентре понятия надо вводить заново.
Подчеркнем, что в имеющихся пособиях: 1) если математическое понятие и вводится на базе физического материала, то обычно для этого используется одна физическая задача; 2) за последние 3-4 десятилетия весьма ограниченный перечень таких физических задач практически не изменился; 3) редкая опора на физический контекст при введении понятий никак не сказалась на профнаправленности содержания учебников. Кроме того, научнометодические публикации, касающиеся освещения системного «физического» подхода к введению математических понятий, фактически отсутствуют. Всё это говорит о том, что сегодня полноценная методика формирования математических понятий с опорой на физическую (физико-техническую) основу не создана. Вместо стихийности и неосознанности в этом вопросе мы предлагаем: а) алгоритм введения математических понятий на базе физического (физико-технического) содержания; б) использование данного подхода для усиления мотивации к изучению математики студентами вузов и приобретения ими навыков математического моделирования. Способ опробован на физическом факультете БГПУ им. Максима Танка в курсе математического анализа и уже обеспечил значительный рост мотивации студентов к изучению дисциплины.
Выводы
1. Впервые предлагается алгоритм введения понятий, опирающийся на моделирование физических (физико-технических) задач в теоретическом курсе высшей математики для студентов физических и инженерно-технических специальностей вузов. С помощью алгоритма выполняется содержательное обобщение, основанное на выяснении условий происхождения математических понятий из физической действительности.
ПЕДАГАГІЧНЫЯ НАВУКІ
37
2. Предлагаемый способ, названный нами конвергентным синтезом, обеспечивает интеграцию содержания математики и физики в теории обучения, а также интеграцию на уровне видов учебной деятельности (моделирование), содействует формированию интегрированной образовательной среды. В свою очередь, теоретическая интеграция математики и физики создает условия для усиления мотивации к изучению математики, для профнаправленности обучения и преодоления формализма в знаниях студентов, для приобретения ими навыков математического моделирования физических явлений.
Литература
1. Зайниев, Р. М. Профессиональная направленность математической подготовки инженерных кадров / Р. М. Зайниев // Высшее образование сегодня. - 2008. - № 5. - С. 88-90.
2. Князева, О. Г. Проблема профессиональной направленности обучения математике в технических вузах / О. Г. Князева // Вестник Томского гос. пед. ун-та. - 2009. - Вып. 9. - С. 14-18.
3. Носков, М. В. Какой математике учить будущих бакалавров? / М. В. Носков, В. А. Шершнева // Высшее образование в России. - 2010. - № 3. - С. 44-48.
4. Рассоха, Е. Н. К проблеме развития математических способностей студентов технических специальностей / Е. Н. Рассоха, Л. М. Анциферова // Вестник Оренбургского гос. ун-та. - 2010. - № 9. -С. 189-194.
5. Ветрова, В. Т. Сборник физических задач по общему курсу высшей математики : учеб. пособие для вузов / В. Т. Ветрова. - Минск : Выш. шк., 1997. - 202 с.
6. Шершнева, В. А. Сборник прикладных задач по математике для студентов инженерных вузов / В. А. Шершнева, О. А. Карнаухова. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2008. - 204 с.
7. Кирюшин, И. В. Теоретическая интеграция математики и физики в курсе математического анализа / И. В. Кирюшин // Весці БДПУ. Серыя 3. - 2010. - № 2. - С. 34-39.
8. Рубинштейн, С. Л. Бытие и сознание / С. Л. Рубинштейн. - М. : изд-во Акад. наук СССР, 1957. - 328 с.
9. Давыдов, В. В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов / В. В. Давыдов. - М. : Педагогическое общество России, 2000. - 480 с.
10. Усова А. В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения / А. В. Усова. -М. : Педагогика, 1986. - 176 с.
Summary
An algorithm of the introduction of notions, based on modeling of physics and technical tasks in theoretical course of teaching mathematics to students of engineering-technical professions of higher educational establishments is offered. As an example of entering notion an indefinite integral is considered. This method has been named as «convergent syntheses». The method is assumed to increase motivation in basic training in mathematics. The approach guarantees intergration of mathematics’ and physics’ content in the theory of teaching.
Поступила в редакцию 05.04.2011.
