CC BY
88
УДК 378+371+372.016:517
Прозоровская Светлана Дмитриевна
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики и эконометрики Санкт-Петербургского государственного университета сервиса и экономики, [email protected], Санкт-Петербург
Филиппова Татьяна Игнатьевна
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и физики военной академии связи, [email protected], Санкт-Петербург
Кропачева Наталия Юрьевна
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей математики и информатики Санкт-Петербургского государственного университета, [email protected], Санкт-Петербург
формирование основных понятий МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НА ОСНОВЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ОБОБЩЕНИя
Аннотация. В статье рассмотрен один из подходов к введению понятий производной и интеграла на основе задачи о нахождении аддитивной функции промежутка и ее плотности, построенный на концепции учебной деятельности.
Ключевые слова: линейность в малом, функция промежутка, аддитивная функция промежутка, плотность изменения аддитивной функции промежутка, физические величины первого и второго рода, учебная деятельность, учебные действия.
Prozorovskaya Svetlana Dmitrievna
Candidate of Pedagogical Sciences, Assoc. Prof. of Dept. ofApplied Mathematics and Econometrics at the Saint-Petersburg State University of Service and Economics, [email protected], Saint-Petersburg
Filippova Tatyana Ignatyevna
Candidate of Pedagogical Sciences, Assoc. Prof. of Dept. of Mathematics and Physics at S. M. Budyonny Military Academy of the Signal Corps, [email protected], Saint-Petersburg
Kropachiova Natalia Yurievna
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assoc. Prof. of Dept. of General Mathematics and Information Science at the Saint-Petersburg State University, [email protected], Saint-Petersburg
DEVELOPING THE MAIN CONCEPTS OF MATHEMATICAL ANALYSIS ON THE BASIS OF THEORETICAL GENERALIZATIONS
Annotation. This paper describes an approach to the introduction of derivative and integral concepts in university education. The approach is based on the task of finding an additive function of the interval and its density and is built on the concept of learning activities
Keywords: linearity im klein, linearity in the small, interval function, additive function of the interval, changes in the density of the additive function of the interval, physical quantities of the first and second kind, learning activities
Методика формирования понятия на ос- и оценки. Изучая тот или иной вопрос в синове теоретического обобщения может быть туации учебной деятельности, обучаемый
построена на концепции учебной деятельно- должен знать: цель изучения вопроса, какие
сти - одной из качественных характеристик учебные действия нужно для этого выпол-
учебного процесса, которая рассматривается нить, каковы границы применимости этого
как единство компонентов: учебной зада- вопроса. Учебная деятельность направлена
чи, учебных действий, действий контроля на решение учебных задач (их следует от-
личать от многообразия конкретно-частных задач). Учебная задача направлена на анализ обучаемым условий происхождения теоретических понятий и на овладение соответствующими обобщенными способами действий, ориентированных на некоторые общие отношения осваиваемой предметной области. Учебная задача реализуется через систему учебных действий: общелогических и специфических. Общелогические учебные действия дают общий подход к анализу учебного материала, специфические - обеспечивают усвоение знаний в их предметном содержании. Их состав и последовательность выполнения определяется учебной задачей и содержанием учебного материала.
В 2003-2006 гг. нами был проведен обучающий эксперимент с курсантами 1-го курса военно-морского института, в 20082011 гг. - со студентами государственного университета сервиса и экономики Санкт-Петербурга при изучении основных понятий математического анализа - производной и интеграла, который представляет один из вариантов реализации концепции учебной деятельности. Этот эксперимент показал, что обучение, построенное по принципу восхождения от абстрактного к конкретному [1] более эффективно, чем традиционное, которое строится на основе перехода мысли от частного к общему. Это различие было особенно заметным на успеваемости слабых студентов.
Опыт работы вузов показывает, что изучая основные понятия математического анализа, обучаемые усваивают их формально, не осознавая многочисленных взаимных связей этих понятий, внутриматематических и естественно-научных приложений. Одной из причин указанных недостатков является то, что при изучении понятия производной не уделяется должного внимания методу выделения главной части функции как основного метода изучения ее локальных свойств, основанного на том, что график функции обладает свойством «линейности в малом». Недостатком определения определенного интеграла является затрудненность физических приложений, в то время как определение интеграла должно подчеркивать не способ его вычисления, а те свойства интеграла, которые лежат в основе его приложений в
математике и естествознании, ибо одной из основных причин перестройки математического образования является необходимость отражения в процессе обучения прикладных сторон математической науки [5]. Таким образом, мы исследовали возможные пути совершенствования методики изучения понятий производной и интеграла, позволяющей повысить качество их усвоения.
Одно из направлений разработки методики обучения основным понятиям математического анализа лежит в использовании идеи линеаризации, имеющей важное значение для сознательного формирования и применения понятия производной для внутрима-тематических приложений. Другой важный подход к введению понятий производной и интеграла на основе задачи о нахождении аддитивной функции промежутка и ее плотности, обеспечивающий сознательное формирование и применение этих понятий для естественнонаучных приложений. Каждый из этих двух подходов к введению понятий производной и интеграла дает возможность рассматривать модельный характер изучаемых понятий, ориентирует на формирование у студентов научно-теоретического мышления, на необходимость существенного повышения роли которого указывают психологические исследования Л. С. Выготского, П. Я. Гальперина, В. В. Давыдова, А. Н. Леонтьева, С. Л. Рубинштейна, Д. Б. Эльконина и др.
Идея линеаризации состоит в замене функции f на близкую к ней линейную функцию g. При традиционном подходе предел
является определением производной, при предлагаемом подходе производная - средство для решении задачи линеаризации. Опыт показывает, что студенты, рассматривая различные известные им физические величины, не объединяют их в соответствующие пары, а рассматривают порознь. Как правило, они рассматривают лишь одну пару физических величин: путь - скорость. Мы же хотим объяснить студентам, что физические величины бывают двух родов, что пары: работа - мощность, масса - плотность массы, вес - удельный вес и т. д. - составлены по такому же принципу, как пара
«путь - скорость». Условно называем первые величины в этих парах - величинами первого рода, а вторые - величинами второго рода. Устанавливаем важное для идеи приложения математики к физике различие между величинами в каждой паре. Все величины первого рода (Ф[а,Ь]) - функции отрезка (промежутка), а величины второго рода (p(x0)) - функции точки. Выясняем, что основным свойством физических величин первого рода является аддитивность, математически процедура нахождения скорости, мощности и т. д. одна и та же, и это мы показываем на всех рассматриваемых примерах, что позволяет ввести общее математическое понятие, являющееся единой математической моделью всех физических величин второго рода. Эта общая модель называется плотностью:
р(х0)= limР (х0,л-0 + Ах) =
' Лг->0 ^ '
Стандартным способом, использующимся в физике для задания аддитивной функции промежутка, является задание ее закона распределения. Например, числовая функция S = F(t) - путь, пройденный движущейся точкой за время от начального момента до момента t, называется законом движения; числовая функция Q = F(t) - количество тепла, сообщаемое телу при нагревании его за время t, называется законом распределения и т. д. Закон распределения порождает соответствующую аддитивную функцию промежутка по формуле: (Ф[а,Ь])= F(b) - F(a) = AF тогда равенство p(x0) = F'(x0) позволяет вычислять плотности, т. е. любые физические величины второго рода. Таким образом, производная - универсальное средство для нахождения физических величин второго рода. При такой схеме мотивировок для введения производной естественно возникает вопрос о нахождении физических величин первого рода по их плотностям. Тогда определением интеграла может служить следующее: интеграл - аддитивная функция промежутка с заданной плотностью.
Такой подход к введению понятий производной и интеграла имеет следующие пре-
имущества:
1. Больше внимания уделяется связи этих понятий с реальным миром, с физическими задачами.
2. Больше внимания уделяется связи этих понятий друг с другом.
Становится естественным, что задача вычисления определенного интеграла является обратной к задаче нахождения производной.
Как известно, одним из основных приемов, способствующих развитию творческого мышления студентов при обучении математике, является принцип моделирования [3]. Моделирование в обучении необходимо для того, чтобы сделать возможным полноценное и прочное овладение студентами методами познания и способами учебной познавательной деятельности, оно требует отказа от объяснительно-созерцательного типа учебного процесса и перехода к активно-творческому типу. Принципы математического моделирования обеспечиваются при предлагаемом нами подходе к введению понятий производной и интеграла, единая математическая модель всех физических величин второго рода называется плотностью.
Предлагаемый новый подход к введению понятий производной и интеграла влечет за собой новые методические приемы иго изучения. В качестве таких новых методических приемов мы избрали формирование адекватных предлагаемому содержанию учебных действий. Именно учебные действия дают общее направление учебной деятельности и играют важную роль в овладении обучаемыми знаниями, умениями, навыками, помогают им самостоятельно приобретать знания. Как пишет Н. Ф. Талызина: «Знания не могут быть ни усвоены, ни сохранены вне действий обучаемого. Качество знаний определяется содержанием и характеристиками той познавательной деятельности, в состав которой они вошли. Вместо двух проблем - передать знания и сформировать умения и навыки их применения -перед обучением стоит одна: сформировать такие виды деятельности, которые с самого начала включают в себя заданную систему знаний и обеспечивают их применение в заранее предусмотренных пределах» [2].
Учебная задача, поставленная нами при введении понятия производной на основе задачи линеаризации, состояла в том, что-
бы «открыть» происхождение производной и дать студентам самое обобщенное представление о ней. Общая учебная задача, которую мы поставили при изучении понятий производной и интеграла на основе задачи о нахождении аддитивной функции промежутка и ее плотности, - с помощью примеров физических величин выделить класс аддитивных функций промежутка и определить их плотности, нахождение которых позволит применить понятия производной и интеграла к решению задач с различным физическим содержанием. Эта общая учебная задача решалась нами через учебные подзадачи, каждая из которых рассматривалась на нескольких занятиях.
В результате теоретического анализа предлагаемого подхода нами были выделены опорные понятия темы: «линейность в малом», функция промежутка, аддитивная функция промежутка, средняя плотность и плотность изменения для любой аддитивной функции промежутка, физические величины первого и второго рода, средняя скорость и скорость изменения физических величин первого рода - и разработана методика формирования этих понятий через соответствующие специфические учебные действия. К специфическим учебным действиям мы отнесли: нахождение значения функции в точке, составление выражения для приращения аргумента по заданному значению аргумента, представление приращения Ау в виде двух слагаемых, из которых одно линейно зависит от Ах, другое стремится к нулю гораздо быстрее, чем Ах; установление соответствия каждому отрезку [а,Ь]^\Л,Б] определенного значения Ф[а,Ь], где [Л,Б] - область определения функции промежутка, конструирование функций промежутка самими студентами на основе известных им примеров физических величин и т. д.
Большинство из установленных нами специфических учебных действий являются операциями общелогических учебных действий распознавания, отыскания следствий, сравнения, обобщения и конкретизации. В то же время овладение специфическими учебными действиями способствует обобщенности названных общелогических учебных действий. Ведущими учебными действиями в деятельности по осознанному формированию и применению понятий
производной и интеграла являются действия обобщения и конкретизации, осознанное овладение этими действиями, как показывает эксперимент, содействует формированию у студентов прочных знаний изучаемого материала, служит средством активизации мыслительной деятельности студентов, их активности при усвоении знаний [4].
Для успешного усвоения студентами указанных понятий учебная деятельность была организована следующим образом:
1. Усвоение знаний происходило в процессе их применения, т. е. в результате активных действий студентов с учебным материалом.
2. В процессе учебной работы студенты сталкивались с проблемными ситуациями, что способствовало осознанию вводимых понятий.
3. Студенты получали сведения о способах решения задач, связанных с понятиями производной и интеграла, ориентированных как на внутриматематические, так и на естественнонаучные приложения, о приемах объяснения путей их решения.
4 На основании предметных действий студенты усваивали специфику отношения математики к физике, что затем использовалось ими как средство усвоения более конкретных знаний.
Нами составлен набор математических задач, являющихся основным средством формирования учебных действий, содержание которых определяется теоретическими сведениями, предложенным подходом к введению понятий производной и интеграла. Разработана методика их решения, направленная на получение необходимых обобщений для внутрипредметного и межпредметного применения.
В эксперименте, который проводился со студентами первого курса университете сервиса и экономики, участвовало 5 групп: 3 экспериментальных (ЭК) и 2 контрольных (КК). В КК ( в отличие от ЭК) преподавание строилось традиционно, на основе устоявшихся методических рекомендаций. Перед началом эксперимента было проведено обследование курсантов, в котором определялся уровень знаний курсантов по понятиям производной и интеграла. При этом значимых различий между ЭК и КК обнаружено не было. В процессе эксперимента обнару-
Рис. Результаты усвоения понятий производной и интеграла
жились различия в процессе формирования понятий с помощью эмпирического и теоретического обобщения.
На рис. 1 показано общее число баллов, полученное до и после обучающего эксперимента в одном из ЭК (за каждый правильный ответ давался один балл).
Эффект обучения наблюдался не только в ЭК, но и в КК. После экспериментального обучения курсанты ЭК в основном получали 3 балла и больше, а курсанты КК - 3 и меньше (х2 = 4,29, р = 0,05).
По данным исследований В. В. Давыдова и его сотрудников, построение учебного процесса в логике восхождения от абстрактного к конкретному способствует общему психическому развитию обучаемых, и прежде всего формированию у них теоретического мышления. В качестве показателей развития мышления были приняты уровень обобщения и осознанность познавательных процессов.
Эксперимент показал, что:
1. При предлагаемой методике изучения понятий производной и интеграла студенты становятся лучше ориентированными на разнообразные применения как внутрима-тематического, так и естественнонаучного характера.
2. Система учебных задач и методика их решения направляет студентов на получение необходимых обобщений для внутрипред-метного и межпредметного применения.
3. Разработанная методика способствует сознательному усвоению и применению понятий производной и интеграла, установлению тесной содержательной связи между этими понятиями, обеспечивает единство их изучения и применения к внутриматематиче-ским и естественнонаучным приложениям.
Библиографический список
1. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. - М.: Педагогика, 1972. - 424 с.
2. Леонтьев А. Н. Психологические основы развития ребенка и обучения. - М.: Смысл, 2009. - 426 с.
3. Материалы 18-ой международной конференции «Современное образование: содержание, технологии, качество». СПб.: Издательство Санкт-Петербургского государственного университета «ЛЭТИ» им В. И. Ульянова (Ленина), 2012. - 112 с.
4. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний. - М.: Издательство Московского университета, 1975. - 343 с.
5. Управление качеством образования: практикоориентированная монография и методическое пособие. - М.: Педагогическое общество России, 2006. - 448 с.
