CC BY
45
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
УДК 519.711.2
ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕКОТОРЫХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ, СТРУКТУРНО ИДЕНТИЧНЫХ МЕХАНИЗМУ НАВЕСКИ УНИВЕРСАЛЬНОГО ЭНЕРГОСРЕДСТВА
В. Б. ПОПОВ
Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,
Республика Беларусь
Введение
Ряд механизмов агрегатирования в сельскохозяйственных машинах структурно идентичны, что позволяет использовать разработанное ранее математическое описание. Так, например, в навесном кормоуборочном комбайне «Полесье-1400» поворот силосопровода гидроцилиндром и удержание большей части веса адаптера блоком пружин выполняется механизмами, структурно идентичными механизму навески переднего подъемно-навесного устройства универсального энергосредства [1].
Постановка задачи анализа
Проецируя пространственную схему этих механизмов в первом случае на продольно-горизонтальную, а во втором - на напродольно-вертикальную плоскости получаем плоские рычажные механизмы (ПРМ). Таким образом, практически не снижая точности результатов анализа, понижается порядок описывающей математической модели. Анализ структуры данных распространенных ПРМ показывает, что в обоих случаях имеем шестизвенник (рис. 1а, 1б), в основе которого лежит четырех-звенник ЛВС, причем два его звена (Ь1,Ь2) относятся к гидроцилиндру либо к блоку пружин.
Рис. 1а. Структурная схема механизма поворота силосопровода
Рис. 1б. Структурная схема механизма вывешивания адаптера
К четырехзвеннику присоединяется группа из двух звеньев, последнее звено которой L5 моделирует силосопровод или адаптер. Звенья полученного ПРМ считаются абсолютно жесткими, поэтому в результате имеем механизм с одной степенью свободы, которой соответствует обобщенная координата S. Геометрия четырех-звенника П01П 23 П03 (рис. 2) определяется базой L0 = const, углом ее наклона к горизонту у = const и плечом L3 = const. При смещении поршня (растяжении пружины) изменяется обобщенная координата S, а также углы а и в . Связь между переменными в П 01П 23 П 03 определяется из соотношений:
s 2+L0 - L3 e L0 + L3 - s 2
cos а =--------0-3; cos В = - 0 3
2 • S • L
2 • L • L
03
(1)
Аналитическое исследование ПРМ выполняется по методу замкнутого векторного контура [2]. Геометрические соотношения в четырехзвеннике П01П 23 П03 определяются из соотношений:
Ф12 (S )=y + a(S); Фэ (S ) = n + y-p(S).
В результате определяются координаты интересующих точек, например: X, = X, + L, • cosф34(S); Y34 = Y03 + L34 • sinф34(S).
34
03
34
(2)
Кинематические параметры четырехзвенника П01П 23 П03 выражаются через аналоги угловых скоростей звеньев, которые получают в результате дифференцирования соответствующего угла по обобщенной координате £, например:
ёф3
~dS
= Ф3 =■
2 • S
{• ¿3-[S2 -(L0 + L3)] ’^s-^-S! • {-[s! -(L0 +L2)]
L23 + S2 - L02
. (3)
В роли обобщенной координаты для четырехзвенника П 03П 34 П 45 П 05 удобно использовать угол ф34. Векторы-звенья Ь34, Ь4, Ь5 проецируются на оси X, У в локальной системе координат X' П 03У', повернутой относительно глобальной системы координат ХП01У на угол Т :
T = arcsin
Y - Y
А0Ъ 05
L
Рис. 2. Геометрические параметры плоского рычажного механизма
При этом ось OX в локальной системе координат обязательно проходит через базу четырехзвенника. П03П34П45П05 :
L.1 =[(03- X05 ) +(Y»- Y0S )2
В результате для четырехзвенника П 03П 34 П 45П 05 определяются углы ф4, ф5, а затем передаточные отношения, связывающие между собой аналоги угловых скоростей (4:, US:) и ускорений (U43, U'53) его звеньев:
Ф 4 = arccos
Ф5 = arccos
L + S2 - L 2 • L4 • S1
L24 - S13 - L25
2 • L5 • S1
+ arccos
+ arccos
L34 • sin(93 + T)
L01 + L34 • cos(3 + T)_
L34 • sin(ф3 + T )
L01 + L34 • cos(ф3 + T)
-T;
-T;
L3 • sin(фз Ф5) ; U = L3 • sin(фз -ф4) ;
53 L5 • sin(фз Ф4 V
U = ц : —Vу: ^5>
43 L4 • sin(ф3 -ф4 )
U1 = L3 • cos(3 Ф5 )-U52: • L5 + U43 • L4 • cos(94 Ф5 ) •
43 L4 • эт(ф5 - Ф4 )
U1 = L3 • COS(фз - Ф4 ) + U■43 • L4 - U523 • L5 • cos(95 - Ф4 ) 53 L5 • SІn(ф5 Ф4)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Из выражений (6)-(8) очевидно, что аналоги угловых скоростей и ускорений зависят только от геометрических параметров ПРМ. Через угол ф34(ф3) они непосредственно связаны с обобщенной координатой £ и не зависят от времени. Поэтому кинематическое исследование ПРМ может быть выполнено независимо от его динамического анализа.
Для получения аналога углового ускорения ф3 выполняется повторное дифференцирование аналога угловой скорости ф3 по обобщенной координате £:
ф3=________2 £4-( -¿0)21____________________________________. (9)
Угловая скорость звена 3 («рычага») определяется как произведение аналога угловой скорости этого звена на скорость изменения обобщенной координаты ( £ ):
ш3 = ф3 • £. (10)
Аналогично определяются угловые скорости звеньев 4 и 5 (для силосопровода или адаптера). Дифференцируя ш3, ш4, ш5 по времени, после некоторых преобразований получим выражения для угловых ускорений упомянутых звеньев в3, в4, в5, а также ускорений центра тяжести адаптера Х£5, У£5:
ш3 =ф3 • £; в3 = ф3' • £2 +ф32 • £; (11)
ш4 =ф4 • £; в4 =в3 •Ц43 +ш2 и'А3; (12)
ш5 =ф5 • £; в5 =в3 •и53 + • и'53; (13)
Х £ 5 =-1£ 5 •[е5 • 81п(фз +ф£ 5 )+ш2 • С08(ф5 +ф£ 5 )] ; (14)
?£5 = 1£5 Ь • С0Э(ф5 +ф£5 )-®2 • ^^5 + ф£5 )[ (15)
где Ь£ 5 и ф £ 5 - координаты центра тяжести МВА (см. рис. 2).
Динамика работы плоского механизма описывается уравнением Лагранжа 2-го рода, записанным для материальной точки, обладающей приведенной массой тпр (£)
и совершающей движение под действием обобщенной силы Q(£):
тпр (£ )• £ +1 • б/т"р (£) = Q(£). (16)
п,А/ 2 ё£ У ’
Для адаптера тпр (£) = т5 • /25, а для силосопровода тпр (£) = J5 • ф'2; производная
от приведенной массы по обобщенной координате (для МПС используется только 2-й член выражения):
Лтщ ( £ ) й£
= 2 •
где т5,35 - соответственно масса адаптера и момент инерции силосопровода; 1£5, ф5 - соответственно передаточные числа МВА и МПС.
Передаточные числа (ПЧ) механизмов определяются по выражениям:
^5 = ф3 • ^53 • 5 • СОз(ф5 + ф£5 ) ; ф5 = фз '^53. 07)
Для определения закона движения входного звена соответствующего ПРМ уравнение (16) решается совместно с уравнением, определяющим либо реакцию на опорном башмаке (Я), либо давление в гидроцилиндре (р). В случае МПС это уравнение образует систему совместно с уравнением, из которого определяется давление в гидроцилиндре [3] и сила, движущая его поршень:
Q = Р • £+^ • Р; = р • р, (18)
Е
где Q - объемная подача жидкости в гидроцилиндр (ГЦ); Рн - площадь поршня ГЦ со стороны напорного тракта; V - объем приведенной к гидроцилиндру жидкости; Е - приведенный модуль объемной упругости гидравлической цепи; £, р - скорости движения поршня и изменения давления в ГЦ.
Для МВА уравнение Лагранжа (16) образует систему уравнений и решается совместно с уравнением, из которого определяется величина реакции на опорном башмаке адаптера:
Рпр = (к • Р,. - Я) 1,5, (19)
где Рпр - сила растяжения пружинного блока; к - коэффициент, учитывающий распределение веса адаптера на соответствующий башмак; Р5 - вес адаптера; Я - реакция на башмаке адаптера от его контакта с опорной поверхностью.
Реакция на башмаке адаптера однозначно определяется весом адаптера, расположением его центра тяжести и текущими геометрическими параметрами МВА.
Рассмотренные системы уравнений отличаются выражениями для приведенной к входному звену силы Рпр или Ргц, что определяется характером движения совершаемого нагрузкой: для МПС - вращательное, МВА - плоскопараллельное. В результате решения полученных систем уравнений численным методом определяется закон относительного движения звеньев гидроцилиндра или растяжения пружины: £ ()= / £, £, £, ().
Силовой анализ ПРМ выполняется в известном порядке, начиная с двухповодковой группы в составе звеньев Ь4, Ь5. При этом учитываются инерционные характеристики только у выходного звена как относительно наиболее важные. Действующие в шарнирах силы приводятся к паре П45 (рис. 3) и относительно ее составляются уравнения моментов.
В результате была получена система, состоящая из четырех уравнений:
Я34 + Я05 =- Р5;
Я34 + Я34 =- Р45;
34 34 45 ’ (20) Я. •[ - ^ ] + Я X34 - X45 ]= 0;
Я • [^4, - У,5 ] + Я • [X05 - X45 ] = -Р, • ( - Х45 )
Рис. 3. Схема силового анализа плоского рычажного механизма
Решая эту систему уравнений любым известным методом [6], определяют реакции в шарнирах П 34 и П 05. Далее рассматривается четырехзвенник П01П23 П03 и определяются реакции в шарнирах П 23, П 03, П 01:
R = ДИ'(X4 - X03)-R34 'fa- Г34) ;
3 (03 - Y23 )'C°S Ф12 -(Х23 - X03 )sin Ф12 ’
R23 = R23 ■ c0s ф12 ; R23 — R23 ' Sin ф12 ;
Rx = Rx — Rx • Rx — Rx •
Л03 _ 34 23 ’ Л01 _ 23 3
R03 — R34 - R23; К — R^. (21)
По известным коэффициентам трения в кинематических парах (f), радиусам
цапф вращательных пар (г ), направлениям относительных скоростей звеньев ПРМ определяются моменты сил трения во вращательных и силы трения в поступательных парах. В результате, например, в МПС потери мощности на входном звене (L2 - поршень ) и во вращательной паре П01 составляют соответственно:
N2 — f ' R23 ' S ; N01 — f ' R01 ' Г01 ' ®12.
Потери на трение в кинематических парах обычно приводят ко входному звену, формируя таким образом приведенную силу трения [4], которая используется при решении дифференциального уравнения движения (16), а также при оценке качества синтезируемого варианта ПРМ.
Результаты и их обсуждение
Для параметрической оптимизации описанных функциональных математических моделей МПС и МВА были опробованы несколько методов оптимизации [4], [5]. Градиентные методы для решения данной задачи оказались практически непригодными, так как составленная целевая функция включает в себя штрафные функции и вследствие этого имеет изломы линий уровня. При числе управляемых параметров до 8-10 удовлетворительно была оценена эффективность методов спирального ко-
ординатного спуска и сеточного поиска (разновидность метода исключения неперспективных областей).
Характеристики МПС и МВА кормоуборочного комбайна «Полесье-1400» до и после оптимизации приведены на рис. 4 и 5. Особенно заметен выигрыш в сглаживании усилия в гидроцилиндре (МПС), имеющего выраженный рост нелинейности при угле поворота силосопровода более 250 градусов.
А ,[Н]
s ,|м]
Рис. 4. Изменение приведенной силы и передаточного числа в зависимости от обобщенной координаты
6ы/70 /?,[Н]
Стало
1200 -
х \ 800 -
V
т
-120 -во -1,0 1 1 1 0 М цо
Ум,[ мм]
Рис. 5. Изменение силы реакции на башмаке в зависимости от его вертикального положения
Заключение
Таким образом, кинематические и динамические параметры ПРМ однозначно выражаются через соответствующие аналоги угловых скоростей и ускорений звеньев, а также их массогеометрические параметры. Закон изменения обобщенной координаты входного звена зависит главным образом от массово-динамических характеристик ПРМ.
Значительная часть движущей силы в ПРМ расходуется на преодоление сил трения. Практически установлено, что, например, МПС часто работает в области, близ-
кой к самоторможению. Игнорирование этого обстоятельства приводит к значительным количественным ошибкам.
Разработанная методика автоматизированного проектирования МВА и МПС может быть использована для рычажных механизмов сельскохояйственных машин, имеющих идентичную структуру и назначение.
Литература
1. Попов, В. Б. Автоматизированное проектирование механизма навески переднего подъемно-навесного устройства универсального энергосредства / В. Б. Попов // Механизация и электрификация сельского хозяйства. - Вып. 42.
2. Артоболевский, И. И. Теория механизмов и машин : учебник для втузов / И. И. Артоболевский. - Москва : Наука, 1988. - 640 с.
3. Попов, Д. К. Нестационарные гидромеханические процессы / Д. К. Попов. - Москва : Машиностроение, 1982. - 240 с.
4. Попов, В. Б. Автоматизированное проектирование механизма поворота силосо-провода кормоуборочного комбайна / В. Б. Попов // Механизация и электрификация сельского хозяйства. - Вып. 41. - С. 218-224.
5. Шуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Т. Шуп. - Москва : Мир, 1982. -238 с.
6. Дьяков, В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке БАБІС для ПЭВМ / В. П. Дьяков. - Москва : Наука, 1987. - 240 с.
Получено 03.11.2008 г.
