CC BY
1УДК 37
Лозовой Д.А.
студент 2 курса, направление «Педагогическое образование», профиль «Математика и физика» Сахалинский государственный университет (г. Южно-Сахалинск, Россия)
ФОРМИРОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ У ШКОЛЬНИКОВ СРЕДНИХ КЛАССОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ПРИ ПОМОЩИ ЗАДАЧ С ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМИ
Аннотация: статья посвящена формированию логического мышления у школьников средних классов при помощи задач с доказательствами, разобраны способы решения задач с доказательством, выделен алгоритм решения задач с доказательством, даны рекомендации для более полного развития логического мышления у школьников.
Ключевые слова: педагогика, математика, логическое мышление.
В наше время складываются противоречия между: содержанием государственного стандарта образования и отсутствием единых требований к разнообразным авторским учебным программам, альтернативным учебникам и пособиям по математике, которые не всегда достаточно ориентированы на развитие логического мышления школьников, возможностями школьного курса математики по развитию логического мышления учащихся и требованиями нынешнего общества, необходимостью использования математической логики в школьном курсе математики и недостаточной разработанностью методики её преподавания, недостаточной дидактической обеспеченностью. Формирование логического мышления у школьников в процессе обучения математики является предметом работы учителей. Оно развивается в ходе различных математических выводов индуктивных и дедуктивных, в ходе доказательств теорем и обосновании задач. Логическое мышление сводится к анализу, синтезу,
сравнению, обобщению и другим логическим операциям. Нельзя научить ребёнка рассуждать, доказывать и делать выводы, если он е владеет логическими операциями, которые обеспечивают усвоение знаний, с помощью которых происходит переход на более высокий уровень мышления. В соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом среднего (полного) общего образования изучение предметной области «Математика» должно обеспечить, кроме прочих, сформированность элементов логического мышления.
Проблеме формирования и развития логического мышления посвящены работы многих отечественных и зарубежных методистов, психологов и педагогов: Л.С. Выготского «Мышление и речь», В.А. Гусева «Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе», Ю.М. Колягина «О системе учебных задач как средстве развития математического мышления школьников», А.А. Столяра «О некоторых применениях логики в педагогике математики», Д. Пойа «Математическое открытие. Решение задач. Основные понятия, изучение и преподавание», Ж. Пиаже «Психология интеллекта». Проблемы логического мышления в школе и вузе изучали методисты и педагоги: В.И. Арнольд, Л.А. Калужнин, А.Н. Колмогоров, И.Л. Никольская, В.А. Успенский, Л.М. Фридман и др.
Роль логических знаний и умений в теории и практике обучения математике Абрам Аронович Столяр определял в двух аспектах:
1) Усвоение обще-логических приёмов является необходимым условием формирования и развития познавательной деятельности,
2) Разработанный в рамках математической логики язык и некоторые общие понятия (логические операции) способствуют раскрытию структуры и более глубокому пониманию учебного материала.
Целью исследования является рассмотрение и аналитика методических подходов, направленных на развитие логического мышления с использованием математических задач на доказательство.
Логическое мышление представляет собой осознанную, развёрнутую во времени системную, творческую, сочетающую продуктивные и репродуктивные действия, деятельность, предполагающую выявление и анализ проблемы, формулировку целей, задач, рабочей гипотезы, выбор методов и строгую схему процесса решения, проверку результатов на адекватность [1].
Математики трактуют логическое мышление по-разному:
Таблица 1. Логическое мышление в понятии математиков.
Математик Определение логического мышления
Абрам Аронович Столяр Постепенное формирование и развитие у учащихся тех логических структур, которые лежат в основе математической деятельности, — важнейшее средство обучения математике, приводящее уровень мышления учащихся в соответствие с требуемым для осуществления этой деятельности
Андрей Николаевич Колмогоров Систематическое и строгое рассуждение, основанное на чётко сформулированных аксиомах и правилах вывода. Считал, что логика играет важную роль в математике, помогая строить точные и надежные математические теории
Валерий Александрович Гусев Мышление, которое предполагает наличие следующих специфических умений: • умение подчиняться законам логики и организовывать свои действия в соответствии с этими законами, • умение выполнять логические операции, осознанно их аргументировать, строить гипотезы, обосновывать и опровергать их, • умение выделять существенные или несущественные признаки математических объектов и понятий.
Владислав Александрович Успенский Способность устанавливать логические последовательности операций и выводить верные решения на основе строгой логики и математических законов. Логическое мышление играет важную роль в математике и помогает развивать абстрактное мышление, аналитические способности и умение решать сложные задачи.
Юрий Михайлович Колягин Умение выводить следствия из данных предпосылок, вычленять частные случаи, исчерпывающие данное явление, теоретически предсказывать конкретный результат, обобщать полученные выводы
Чтобы обучение происходило на основе формирования компонентов логического мышления, нужно выделение некоторых условий, выполнение которых устраняет стихийность этого процесса, а учащегося делает его субъектом. Успешность выделения будет зависеть от чёткого определения структуры методического обеспечения в соответствии с конечной целью или результатами и пониманию того, что совершенствование достигается путём реализации целого ряда условий, а не одного. Достижению цели служат следующие условия:
• Психологические: иллюстрирующие субъект, субъектные отношения между участниками процесса обучения, наличие у педагогов склонности к экспериментальной работе,
• Информационные: владение полной информацией о тенденциях развития образования, научных моделей мира и методов познания, сущности различных методик обучения,
• Организационные: создающие практическую завершенность методики, которая применяется в процессе обучения и определяющая наличие и соответствие материально технической базы, личностных качеств, квалификации и организационных способностей педагогов,
• Педагогические: отражающие постановку цели, определение содержания, методов и средств обучения, наполняющих целенаправленно организованную педагогом обучающую среду, систему средств и комплекс взаимодействий.
Решение задач на доказательство формирует логическое мышление ученика, то есть основных логических операций: анализа и синтеза. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учащихся, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность школьника в обосновании математических фактов.
Решение задач с доказательством - один из основных этапов усвоения системы математических знаний, в частности геометрических понятий и связей между ними [3]. Решая данные задачи, развиваются творческие способности,
самостоятельное мышление, приобретают навыки практического применения теоретических положений геометрии.
При планировании урока учителю необходимо обратить внимание учащихся на теоретический материал, необходимый при решении задач, переосмыслить его содержание на практике. Применяя такой методический приём, педагог подготовит класс к успешному восприятию и осмыслению конкретной задачи, к осознанному применению теории на практике, будет способствовать закреплению ранее изученного материала, приобретённые математические знания станут прочнее.
При решении задачи с доказательством можно следует выделить следующие этапы:
• Изучение условия задачи,
• Анализ решения задачи (поиск путей решения),
• Выбор оптимального пути решения задачи,
• Решение задачи,
• Исследование полученного результата.
Зачастую учащиеся опускают последний шаг данного алгоритма, что приводит к неверному результату.
При решении задач используются аналитический и синтетический методы:
аналитическим называют способ решения, при котором искомые результаты получают путём расчётов по составленным выражениям, данный вид логической операции предполагает отправление не от условия задачи, а от её требования, вопроса,
синтетический способ характеризуется тем, что основным вопросом при поиске решения задачи является вопрос о том, что можно найти по двум или нескольким известным в тексте задачи числовым значениям, по вновь полученным числовым значениям и другим известным в задаче данным вновь ищется ответ на вопрос, что можно узнать по этим значениям.
Рассмотрим решение задачи при помощи аналитического и синтетического методов:
Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая AB пересекает отрезок CD в точке O. Докажите, что: а) угол ADB равен углу ACB, б) DO=OC.
А
Рисунок 1. Чертёж задачи с доказательством.
Таблица 2. Синтетический способ решения.
Знаем Можем узнать (доказать) Вычисляем (даём пояснение)
Треугольники ADC и BCD -равнобедренные, CD -основание CA=AD, BC=BD По определение равнобедренного треугольника
CA=AD, BC=BD, AB -общая сторона треугольников Треугольники ACB и ADB равны По трём сторонам
Треугольники ACB и ADB равны Углы АСВ и ADB равны, углы CAO и DAO равны Как соответственные углы
Треугольник CAD -равнобедренный, CD -основание, углы CAO и DAO равны CO=OD По свойству биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённой к его основанию
Решая задачу с помощью синтетических рассуждений, мы последовательно выбираем зависимые между собой пары данных, важных для решения, в условии величин, проверяем каждый раз, приближаемся ли мы к получению конечного результата при составлении определенных комбинаций.
Таблица 3. Аналитический способ решения.
Дано Нужно чтобы доказать Надо доказать Вычисляем (даём пояснение)
Углы АСВ и ЛОБ равны Треугольники ACB и ADB равны
Треугольники ADC и BCD - равнобедренные, CD - основание Треугольники АСВ и ЛВБ равны Три пары равных элементов CA=AD, BC=BD по определению равнобедренного треугольника
CA=AD, BC=BD Три пары равных элементов AB - общая сторона треугольников Треугольники ACB и ADB равны по трём сторонам Углы АСВ и ADB равны, углы CAO и DAO равны как соответсвенные
AO - биссектриса равнобедренного треугольника CAD СО=ОБ AO - медиана треугольника CAD CO=OD
Рассмотрев решение задачи двумя предложенными методами, следует обратить внимание учащихся на то, что в последовательности цепи умозаключений анализ и синтез неотделимо связаны между собой. Проводя анализ, следуя от вопроса задачи необходимо обращать внимание на то, что иногда данные условия задачи предполагают ответ на очередной ведущий вопрос. И, наоборот, следуя синтетическим методом, т.е. комбинируя данные задачи, мы постоянно имеем в виду вопрос, на который необходимо дать ответ.
Таким образом, следует вывод, что органическое соединение анализа и синтеза при решении задач представляет собой единый аналитико-синтетический метод.
При решении на уроках задач с доказательством целесообразно предложить учащимся следующий алгоритм решения:
1. Подробно изучить условие задачи. Выполнить эскиз рисунка, соответствующий условию данной задачи,
2. Разобрать, уяснить то, что нужно найти в задаче и то, что для этого нужно знать,
3. Из системы опорных задач выделить часто повторяющиеся задачи, решения которых будут существенно помогать в решение нынешней задачи. Выяснить, какие из ранее изученных задач могут быть полезны при решении данной задачи,
4. Учитывая предыдущий шаг, переформулировать данную задачу для более простого решения и, конечно же, решить саму задачу.
Зная систему опорных задач, учитель чётко планирует необходимость использования конкретной опорной задачи при решении данной задачи. Это даёт возможность обучить школьников приёму разложения сложной задачи на более простые составляющие задачи.
Для успешного развития логического мышления у учеников при помощи задач с доказательством, учитель должен максимально правильно и удобно организовать свою деятельность:
• Педагог должен так организовать деятельность учебную деятельность школьников, чтобы они сами приходили, открывали способ решения задачи. В случаях, когда ученики предлагают несколько способов решения задачи, нужно акцентировать внимание на наиболее рациональном, но и не забывать рассматривать все предложенные пути решения, поясняя все его недостатки и положительные стороны,
• Необходимо формировать план при решении задачи, чтобы школьники учились планировать действия, которые они будут совершать, при это
следить, чтобы выполнение составленной системы действий приводило к достижению намеченной цели,
• На уроках нужно научить школьников уметь сопоставлять различные суждения, полученные учениками, пользоваться свойствами и устанавливать закономерности при решении задач,
• Давать задачи, где чётко поставлен вопрос и понятно сформулировано условие. Также целесообразно будет использовать занимательные, требующие смекалки задачи, способствующие развитию мышления школьников.
• Педагог должен уделять внимание и задачам с повышенной сложностью, где уже он будет стремиться научить ученика выделять более простые задачи из сложных.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Царькова Д. А., Демченкова Н. А. Формирование логического мышления учащихся общеобразовательной школы в процессе обучения математике // Ученый XXI века. - 2015. - №5-6(6-7). - URL: https://cyberleninka.ru/article/n/formirovanie-logicheskogo-myshleniya-uchaschihsya-obscheobrazovatelnoy-shkoly-v-protsesse-obucheniya-matematike;
2. Столяр А. А. Логическое введение в математику // Издательство «Вышэйшая школа», Минск. - 1971. - С. 3-4. - URL: https://djvu.online/file/1jzMOi3cjp4TC;
3. Скоробагатова О. О. Методические рекомендации «Решение геометрических задач» // Открытый урок. - 2008. - URL: https://urok.1sept.ru/articles/510697;
4. Пархоменко Е. Н. Организационно-педагогические условия формирования логического мышления учащихся 5-8 классов // Вестник Донецкого педагогического института. - 2017. - №1. - С. 86-95. - URL:
https://cyberleninka.ru/article/n/organizatsionno-pedagogicheskie-usloviya-formirovaniya-logicheskogo-myshleniya-uchaschihsya-5-8-klassov
Lozovoy D.A.
Sakhalin State University (Yuzhno-Sakhalinsk, Russia)
FORMATION OF LOGICAL THINKING IN MIDDLE SCHOOL STUDENTSIN MATHEMATICS LESSONS USING PROBLEMS WITH PROOFS
Abstract: the article is devoted to the formation of logical thinking in middle school students using problems with evidence, the methods of solving problems with proof are analyzed, an algorithm for solving problems with proof is highlighted, recommendations are given for a more complete development of logical thinking in schoolchildren.
Keywords: pedagogy, mathematics, logical thinking.
